1.3.1祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积(人教A版必修2) 2020-2021学年高一下学期第一章
人教A版高中数学必修二1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积课件
4
2
2956 (mm3)
2.956 (cm3)
所以螺帽的个数为 5.81000 (7.8 2.956) 252（个） 答：这堆螺帽大约有252个．
课堂小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 台体 锥体
S S' S' 0
柱体、锥体、台体的表面积
圆柱S 2r(r l)
圆柱、圆锥、 圆台
棱柱、棱锥、 棱台
r O
r’＝r
O’
r’＝0
上底扩大
O
上底缩小
O
O
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r(r l)
例2：如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径
为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁15cm。为了美
化花盆的外观，需要涂油漆。已知每平方米用100毫升
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
典型题例
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成．
S 解：先求ABC的面积，过点S作 SD BC，
交BC于点D．
A
因为BC=a，SD SB sin 60 3 a
2
BD
C
所以：S▲ABC 1 BC SD 1 a 3 a 3 a2
2
22 4
因此，四面体S-ABC 的表面积． S 4 3 a2 3 a2
4
.已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角 形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_4
变题2：
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱
9
柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为 8 ，底面周长 为 3，则这个球的体积为___________
反馈训练1：
1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，一球切
于三棱柱的各侧面，一球过三棱柱的各顶点，则这两个球的 表面积之比为________ 2.球 O 与底面边长为 3 的正三棱柱的各侧面均相切，则球 O 的表面积为________
小结1
如何求直棱柱的外接球半径呢？ （1）先找外接球的球心： 它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点； （2） 再构造直角三角形，勾股定理求解。
二、棱锥与球
典例2：正四面体ABCD的棱长为a， 求其内切球半径r与外接球半径R.
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法1.补成正方体
A B
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.勾股定理法
P
P
O
A
C
A
M
D
B
O MD
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法3.射影定理法
P
A
O
C l 2 h 2R
H
D
B
M
a
F
6a
2a
4
4
6a 12 3a 3
a
a
2
AD 3 a 2
则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
一、棱柱与球
典例1： 有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一 球过正方体的各顶点,求这三个 球的体积之比.
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_0
探究祖暅原理为使学生受到优秀数学传统文化的熏陶首先介绍了一下提出祖暅原理的历史人物；接下来对祖暅原理做了细致的分析，让学生理解其具体含义并注意应用时需要注意的方面；最后利用祖暅原理结合三维动画层层引导、分析、推导出柱体、锥体、球体的体积公式。
教学目标1. 理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的过程；2. 在推导柱体、锥体体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握柱体、锥体、球体的体积公式；3. 通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.重点：理解祖暅原理和柱体、椎体、球体体积公式的推导过程。
难点：球体的体积公式推导及准确把握相关几何体体积之间的关系。
教学过程1. 介绍提出祖暅原理的历史人物祖冲之父子。
2. 细致分析祖暅原理，并强调应用时的细节。
3. 应用祖暅原理推导柱体、椎体的体积公式4. 观看视频：应用祖暅原理推到球体的体积公式5. 祖暅原理未能得到西方认可的原因教学过程一、引入取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？这堆书的几何形状发生了改变，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等。
其实这里蕴含了一个很重要的数学原理—祖暅原理。
今天我们就来学习什么是祖暅原理以及它的应用。
首先我们要认识我国历史上两位很重要的数学家。
二、祖冲之父子介绍祖冲之（429-500），字文远。
出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。
他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。
人教版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》
在展示评价后，若你仍有补充， 我们奖励 20 分
2020/3/11
题 号 方式
自探一 板书 自探二 板书
展示分工
第五组 第一组
点评分工
展示要求：
1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记
积为____。
5，0
2020/3/11
总结本节课内容，重点，难点！ 总结本节课同学们的表现！
2020/3/11
课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
课后作业：完成课时作业1。
2020/3/11
2020/3/11
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
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祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
2020/3/11
探究一
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
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结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
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质疑再探
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运用拓展
1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中, 图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上 底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直 线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等， 则图1的面积为___.
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祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现:祖眶原理与柱体、锥体、球体的体积一、教材分析本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容是用祖唯原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖瞄原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解空间几何体问题的思想方法，逐步提高解决空间几何体问题的能力.在推理的过程中，感受我国文化的魅力，通过数形结合导出柱、锥、球体的体积公式.这些过程正是培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模等数学学科核心素养的重要过程.二、学情分析学生己经掌握了第一章的基础之上，对空间几何体具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法.他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的实物来理解抽象的逻辑关系.同事思维的严密性需要进一步加强.三、设计思路1、由祖随原理推导柱、锥、球的体积.其知识设计结构图如下:2、结合唐特工作室的雾误悟教学思想：博学・审问•明辨•笃行的教学设计路线.在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过师生合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，充分利用错误资源，力争在培养学生数学知识的同时让学生感受数学文化.（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、善于观察、灵活应用的能力.四、教学目标根据班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：（1）理解祖唯原理的含义，理解利用祖唯原理计算几何体体积的方法；（2）在用祖唾原理推导柱、锥、球体体积的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；（3）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感,提高学习数学的兴趣.五、教学重难点教学重点：理解祖瞄原理的含义，以及柱体、锥体、球体的体积公式的探究;教学难点：运用祖瞄原理推导球的体积，学生探究能力的培养.六、教学方法雾误悟、探究式、启发式七、教学过程：（-）【博学情境】课题引入，提出问题数学在人类历史的发展中，有着重要的作用，扮演着重要的角色，可以毫不夸张地说：如果咱们的生活离开了数学，那么人类的历史将无法展开。
高中数学人教A版必修2第一章1.3.1柱体、锥体、台体的体积课件(共21张PPT)
柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底两面个积柱S和体高的h体
的积，即
V柱体=Sh
积相等
h S
h
S
S
二、锥体的体积公式
设有面积都等于S，高都等于h的两个锥体，使它们
的底面在同一平面内。根据祖暅原理，可知它们的体
积相等。
即等底等高的
由圆锥体积公式可知
V锥体=
1 sh 3
两个锥体的体 积相等
h
h
S
S
探究：棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
所以螺帽的个数为 5.81000 (7.8 2.956) 252（个） 答：这堆螺帽大约有252个．
例2、从一个正方体中，如图那样截去4个 三棱锥后，得到一个三棱锥A-BCD，求它 的体积是正方体体积的几分之几？
A D
C A D
B
C B
课堂练习：
１．用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆 柱形的侧面，求这个圆柱的体积。
P
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥) 截成的，因此可以利用两个锥体 的体积差．得到圆台(棱台)的体积 公式(过程看下一页)．
A
V VPABCD VPABCD
1 (S SS S)h 3
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的 体积来计算。如果台体的上、下底面面积分别为 S‘， S，高是h，可以推得它的体积是
锥体中的比例问题
4、平行于圆锥底面的平面，把圆锥的高三等分，
则圆锥被分成三部分的体积之比为（ ）
（A）1∶2∶3 （B）1∶4∶9
（C）1∶7∶19 （D）1∶8∶27
V
V
人教版高中数学必修2：1.3.1柱体,椎体,台体的表面积与体积课件
解： V Sh r2h
O
=
3 4
122
6
10
3.14
10 2
2
10
=2956mm3 2.956cm3
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
练习：课本P283,4
3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
圆锥体积
圆锥的体积公式：
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高） 3
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的．1 3
柱体的体积计算公式： V柱体=sh
锥体的体积计算公式:
V锥体=
1 sh 3
（其中S为底面积,h为高）
P
练习：三棱锥P-ABC的
O`
O
圆锥的侧面展开图是一个扇形：
如果圆锥的底面半径为，r 母线为，l
那么圆锥的底面积为，r侧2 面积为。 rl
因此圆锥的表面积为 S r 2 rl r(r l)
S
2r
O
练习：圆锥母线长为5厘米，底面 半径为3厘米，求圆锥的表面积。
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于 上、下两个底面和加上侧面的面积，即
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？ 如何计算它们的表面积？
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体， 它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就 是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
S表=S侧+S底
h
侧面展开图是矩形
高中数学必修二《祖暅原理与柱体锥体球体的体积》优秀教学设计
高中数学必修二《祖暅原理与柱体锥体球体的体积》优
秀教学设计
一、教学的基本背景
1、知识背景
祖冲之原理是一个重要的古典几何定理，它的关键点在于三视图、二
视图、三维图之间的关系及其在设计几何图形时的应用。
余弦定理是利用
祖冲之原理，推导出的三角形余弦定理，它的关键点在于构建过一点的直
角三角形时，其另外两边的长度能够用余弦定理来求出。
此外，体积学中
柱体、锥体、球体的体积计算也是利用祖冲之原理，结合余弦定理进行推
导的，关键点在于利用余弦定理求出柱体、锥体、球体的边长，然后利用
它们的边长，结合特定的体积公式，求出它们的体积。
2、学生背景
该课是高中数学必修二的课程，上学期学生已经学完了几何图形的绘制、建模与分析，以及利用三视图构建二维图形以及利用三维图形构建三
维图形，对祖冲之原理也有一定的认识，但是对祖冲之原理在计算体积上
的应用还不是太熟悉。
二、教学目标
1、知识目标
（1）掌握祖冲之原理，以及如何利用祖冲之原理在三视图，二视图，三维图之间构建关系，利于设计几何图形；
（2）能够推导出三角形余弦定理，熟练掌握它的应用：构建过一点
的直角三角形时，计算另外两边长度；
（3）熟练运用祖冲之原理和三角形余弦定理。
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柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C B
A
C
B
总结 锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
பைடு நூலகம்锥体的代表 三棱锥
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
总结提升：
(1)棱锥：V椎体
1 3
Sh(S为底面积，h为棱锥的高）；
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？
能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V 长方体 abc
V 长方体 sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
6. 只有全力以赴，梦想才能起飞。 3. 贫穷是不需要计划的，致富才需要一个周密的计划 7. 如果说时间是最宝贵的东西，那么浪费时间就是最大的挥霍。 10、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。 10. 无论你在什么时候开始，重要的是开始后就不要停止;无论你在什么时候结束，重要的是结束后就不要后悔。 8. 只有不断找寻机会的人才会及时把握机会。 8、靠山山会倒，靠水水会流，靠自己永远不倒。 17. 秋天，树叶黄了，枯了，快要脱落了。枯黄的叶子离开了枝头，在风中飞舞着，怀着对金秋季节无比眷恋的心情离去。假如我是落叶，我 愿意很快地落在地上，又很快地被水溶化，然后钻进又黑又香的泥土里，尽情拥抱这些又大又小又粗又细的树根。
余部分的体积之比。
D'
Image 解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD'A' BCC'B' A'
设它的底面 ADD'A' 面积为S，高为h，
C' B'
则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A'DD'
D
C
的底面面积为
1S 2
高是h,所以棱锥
C AA'DD'
B
的体积
VC A'DD
1 1 Sh 32
探究点一 柱体的体积计算公式
设有底面积都等于S，高都等于h的任 意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使 它们的下底面在同一个平面α内（如图）
问题3
用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等 吗？为什么？
棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.
问题4长方体的体积计算公式
能否推广到一般的棱柱（圆柱） 体积的计算呢？
12、坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的。
锥体 V 1 Sh 3
2.球的体积公式
V球
4 R 3
3
5. 为明天做准备的最好方法就是集中你所有智慧，所有的热忱，把今天的工作做得尽善尽美，这就是你能应付未来的唯一方法。 11、目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。 4. 智者一切求自己，愚者一切求他人。 9. 当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。 16. 我从来不认为半小时是我微不足道的很小的一段时间。 19. 网络事业创造了富裕，又延续了平等。 10. 狂妄的人有救，自卑的人没有救。 15. 孤独是空气，你呼吸着它而感觉到自己存在。 20. 成功与不成功之间有时距离很短--只要后者再向前几步。 8. 流过泪的眼睛更明亮，滴过血的心灵更坚强! 9. 根本不必回头去看咒骂你的人是谁?如果有一条疯狗咬你一口，难道你也要趴下去反咬他一口吗? 11. 虽然现实生活中，不是所有的梦想都能开花结果，也不是所有的人都能梦想成真。但每一个梦想都是绚烂多姿，每一个人都因追逐梦想而 生活得更加精彩。
由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的
体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与
长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：
定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底
面 积s和高h的积。
V柱体= sh
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
总结 柱体体积公式及其探索思路？
1 Sh 6
余下的体积
Sh 1 Sh 5 Sh 66
所以体积比为 1: 5
探究点三 球体的体积计算公式
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
V球
4 R3
3
V球
4 R3
3
学以致用
学以致用
柱体 V Sh
1.柱体、锥体、 的体积
(2)圆锥：V圆锥
1 3
Sh
1 r2h(S为底面积，h为圆锥
3
的高，r为底面半径）.
(3) " 割补" 是求体积的一种常见策略，运用时注意
弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系.
(4)注意求三棱锥体积时顶点与底面的相对性.
学以致用
例1：如图，在长方体 ABCD ABCD 中，
No 截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩
第一章 空间几何体
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭 的影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓厚的 兴趣。
祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子 祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，球体的体 积计算。
他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列里” 原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学 家卡瓦列里发现的。为了纪念祖氏父子的这一伟大发现 ，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。