柱体、锥体、台体的表面积和体积
《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教学指导设计
精心整理《柱体、锥体、台体的表面积》教学设计一、教材的理解与处理空间几何体的表面积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识；立体几何中的核心思想“立体问题平面化”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。
棱柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，我们还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一美。
二、教学目标确定说明学生在初中虽然已经接触过平面几何体的概念，但学生尚缺乏空间想象能力，还缺乏知识的迁移与类比能力，这些都需要教师在课堂教学过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成.数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：1.知识与技能：使学生通过柱体、锥体、台体的表面积的探索，学会将空间问题转化为平面问题进行解决的数学思想方法.2.过程与方法：使学生在表面积公式的推导过程中充分感受数学的转化思想、类比思想，提高学生分析问题与解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过和谐对称规范的图形，给予学生以数学美的享受；同时发展学生求知、求实、勇于探索的情感与态度.三、教学重点、难点确定说明本节课如果只把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求。
这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会，就失去让学生体会数学美的机会。
数学教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体.难点为：用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积四、教学策略的选择说明丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是数学教学追求的。
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表） 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母l 为线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，母线长。
柱体锥体台体的表面积与体积
第 1 课时 柱体、锥体、台体的表面 积与体积
高中同步新课标·数学
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[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P23～P27， 回答下列问题．
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(1)在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以 及它们的展开图(教材图 1.3－1)，你知道正方体和长方体 的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？
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练一练
1．(2016·泸州高一检测)已知棱长为
a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，
Hale Waihona Puke 求它的表面积．解：过点 S 作 SD⊥BC，交 BC 于点 D.
因 为 BC ＝ a ， SD ＝ SB2－BD2 ＝
a2－a22＝
3 2 a.
所以 S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2.
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①能否计算出“祥云”火炬的外层 着色需要覆盖多大的面积？
提示：可以，即计算圆台的表面积． ②能否计算其内部能盛装多少液态 的丙烷？
提示：可以，即计算其容积．
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2．归纳总结，核心必记 (1)多面体的表面积 多面体的表面积就是 各个面 的面积 的和，也就是 展开图 的面积．
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圆柱 圆锥
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(2)旋转体的表面积 底面积：S 底＝ πr2
侧面积：S 侧＝2πrl
表面积：S＝ 2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝ πr2
柱体椎体台体的体积和表面积PPT教学课件
棱柱的展开图
正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它 的表面积？
a
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算 它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱锥的展开图
正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算 它的表面积？
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
S 解：先求SBC的面积，过点S作 SD BC
a
交BC于点D．
A
因为SB=a，SD SB sin 60 3 a
2
BD
C
所以：SABC
1 2
BC
SD
1 2
a
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积
．
圆柱的表面积
r O
l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
3、遥感技术的优点
活动：比较人工实地调查与利用遥感技术调查， 哪一种获取资料和信息的方法更好？
人工实地调查
利用遥感技术调查
花费时间
多
少
时效性
差（慢）
好（快）
连续性 差，不能全天候观测
好，能全天侯观测
调查人员
多
少
调查成本
高
低
调查范围 小，有些地方不能人 广，连续性好，能获得人眼看
工调查
不到的信息
二、遥感技术系统与遥感类型
遥感技术可以及时探知森林火灾发生的地 点和范围，可分析大火蔓延的方向，为灭火总 指挥部制定灭火计划、做出灭火部署提供科学 依据。
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
图(1)
提示:相等.
图(2)
一
二
三
2.棱柱、棱锥、棱台的展开图是怎样的?如何求棱柱、棱锥、棱 台的表面积? 提示:如下图所示,首先需求出各个展开图中的每部分平面图形 的面积,然后求和即可.
一
二
三
3.填空: 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开 图的面积.
一
二
三
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 【问题思考】 1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积? 提示:圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱 的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表 =2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间几何体的体积 【例2】 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20和30的正 三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积 之和,求棱台的高和体积. 思路分析:侧面面积等于上、下底面面积之和→侧面等腰梯形的 高→三棱台的高→三棱台的体积 解:如图所示,在三棱台ABC-A'B'C'中,O',O分别为上、下底面的中 点,D,D'分别是BC,B'C'的中点,则DD'是等腰梯形BCC'B'的高,
答案:(1) (2) (3)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间几何体的表面积 【例1】 如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90° , AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体 的表面积.
思路分析:分析几何体的形状
求表面积
柱体、椎体、台体、球体的体积和球的表面积
二、球体的体积和表面积
探 究
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一 个球充入的气体较多？为什么？
如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆 厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
球的概念
球的截面 的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
R ri R [ ( i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2 , n n n n
C
C1
例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球 心O的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
R O O , ABC是正三角形， 2
O A 2 3 2 3 AB r 3 2 3
解：在RtOO A中, OA 2 O O 2 O A 2 ,
柱体、锥体、台体、球体 的体积和球体的表面积
一、柱体、锥体、台体的体积
柱体、锥体、台体的表面积与体积教案
柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标：1、知识与技能：（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）了解柱、锥、台的表面积和体积计算公式；能运用柱锥台的表面积体积公式和体积进行计算和解决有关实际问题2、过程与方法：通过观察几何体并探求计算公式，培养观察能力及空间想象能力。
3、情感、态度与价值观：用数学的眼光去捕捉现实世界三维的美教学重点：柱、锥、台体的表面积和体积计算.教学难点：熟练利用柱、锥、台体的表面积和体积公式解题教学过程：一、自主学习二、知识探究知识探究一、柱体、锥体、台体的表面积1.多面体的表面积（1）创设情境：问题1：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积。
你知道正方体和长方体的展开图有什么关系吗？用几何画板展示长方体展开的过程，观察展开图，可以得出几何体的表面积等于它的展开图的面积（2)探究新知问题2：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?学生活动：独立思考，分组讨论，推举代表解决问题，学生评价补充总结：棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积即各个面的面积和(3)典例分析分析：由于四面体S-ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍。
解：先求△SBC 的面积,过点S 作SD ⊥BC,交BC 于点D.因为BC=a,SD=22223.22a SB BD a a -=+= 所以 21133.2224SBC S BC SD a a a ∆=⋅=⨯= 因此,四面体的表面积22343.4S a a =⨯= SB CAD 例1：已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积.(教材P 24页例1) 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积（1） 探究新知问题3：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）a.圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），讨论总结公式设圆柱的底面半径为r,母线长为l ,则有：S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
高中数学必修二教案-柱体、锥体、台体的表面积与体积
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
柱体、椎体、台体的表面积与体积
1 5730 p 2
t
1.对于空间几何体，我们分别从结 构特征和视图两个方面进行了研究，为 了度量一个几何体的大小，我们还须进 一步学习几何体的表面积和体积. 2.柱、锥、台、球是最基本、最简 单的几何体，研究空间几何体的表面积 和体积，应以柱、锥、台、球的表面积 和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、 球的表面积和体积呢？
3 2
3
2 1
1
思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜 想锥体的体积公式是什么？
1 V Sh 3，如何计 算台体的体积？ 设台体的上、下底面面积分别为S′、 S，高为h，那么台体的体积公式是什么？
上底面 积S′
1 高h V ( S S S S ) h 3
V Sh
高h
底面积S
思考3:关于体积有如下几个原理： （1） 相同的几何体的体积相等； （2）一个 几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.
将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有 什么关系？它们与三棱柱的体积有什么 关系？
S ( r r r l rl )
2 2
r′=r
r′=0
S 2 r ( r l )
S r (r l )
知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积
思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱 的体积公式吗？它们可以统一为一个什 么公式？ 思考2:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜 想柱体的体积公式是什么？
20
S 1000 cm 0.1m
2
15
2
15
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？ V≈2956（mm3） =2.956（cm3） 5.8×100÷7.8×2.956 ≈252（个）
柱体台体锥体的面积与体积公式
柱体台体锥体的面积与体积公式柱体、台体和锥体是几何学中的常见立体图形，它们具有不同的形状和特点。
在几何学中，我们经常需要计算柱体、台体和锥体的面积和体积，以便解决各种实际问题。
下面将分别介绍柱体、台体和锥体的面积和体积公式。
一、柱体的面积和体积公式柱体是一种由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成的立体图形。
柱体的底面是一个圆，侧面是一个矩形，顶面也是一个圆。
柱体的面积包括底面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以柱体的高。
1. 柱体的底面积公式柱体的底面积公式很简单，即底面的面积公式，也就是圆的面积公式。
设柱体的底面半径为r，则柱体的底面积为πr²，其中π是一个常数，约等于3.14。
2. 柱体的侧面积公式柱体的侧面积是一个矩形的面积，可以通过计算矩形的周长乘以柱体的高得到。
设柱体的底面半径为r，柱体的高为h，则柱体的侧面积为2πrh。
柱体的全面积包括底面积和侧面积，可以通过将底面积和侧面积相加得到。
柱体的全面积公式为2πr² + 2πrh。
4. 柱体的体积公式柱体的体积是底面积乘以柱体的高，可以通过将底面积乘以柱体的高得到。
柱体的体积公式为πr²h。
二、台体的面积和体积公式台体是一种由两个平行且相等的椭圆面、一个矩形面和两个梯形面组成的立体图形。
台体的底面和顶面都是椭圆，侧面是一个矩形，而底面和顶面之间的面是两个梯形。
台体的面积包括底面积、顶面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以台体的高。
1. 台体的底面积公式台体的底面积是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。
设台体的底面长轴为a，短轴为b，则台体的底面积为πab。
2. 台体的顶面积公式台体的顶面积也是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。
设台体的顶面长轴为A，短轴为B，则台体的顶面积为πAB。
台体的侧面积是一个矩形和两个梯形的面积之和，可以通过计算矩形和梯形的面积公式得到。
设台体的底面长轴为a，顶面长轴为A，底面短轴为b，顶面短轴为B，台体的高为h，则台体的侧面积为2(a+b)h。