随机过程

四、多维随机变量及其概率分布 定义：设(Ω, ö,P)为概率空间， 定义： X=X(e)=(X1(e), X2(e),…, Xn(e))是定义在Ω 上的n维空间Rn中取值的向量函数, x=(x1, x2, …, xn)∈Rn， {e:X1(e)≤x1, X2(e)≤x2, … ,Xn(e)≤xn} ∈ ö， 则称X(e)是ö上的n维随机变量，简记为 X =(X1, X2,…, Xn)。
⎛ n ⎞ n P ⎜ ∩ Ai ⎟ = ∏ P ( Ai ) ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1
则称õ为独立事件族。 ★事件A, B独立，有 P(AB)=P(A)P(B)
1.1 概率空间
★事件A, B, C相互独立，有 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
1.2 随机变量及其分布
二、离散型随机变量及分布函数 随机变量：离散型，连续型 定义：离散型随机变量X的概率分布用分布 定义： 律（列）描述：P(X=xk)=pk，k=1,2,…
X P x1 p1 x2 p2
xk ≤ x
xk pk
k
★分布函数 F ( x ) =
∑p
1.2 随机变量及其分布
常见离散型随机变量X及其分布律 (1)0-1分布 P(X=1)=p，P(X=0)=q，0<p<1，p+q=1 (2)二项分布 k P(X=k)=C n p k q n−k ， 0 <p<1, p+q=1, k=1,2,…,n
F ( y1 , y2 ,
, yn ) =
xi ≤ yi i =1, , n
∑p
x1 , , x n
(y1, y2, …, yn) ∈Rn
1.2 随机变量及其分布
n维连续型随机变量X=(X1, X2, …, Xn) 联合概率密度f(x1, x2, …, xn) X=(X1, X2, …, Xn)的联合分布函数为
F ( y1 , y2 , , yn ) = ∫
y1 −∞
∫
yn
−∞
f ( x1 , x 2 ,
, x n )dx1
dx n
(y1, y2, …, yn) ∈Rn
1.2 随机变量及其分布
五、随机变量的独立性 定义：设{Xt , t∈T }是一族随机变量，若对 定义： 任意n≥2和t1, t2,…, tn ∈T ，x1, x2, …, xn ∈ R ，有
1.2 随机变量及其分布
分布函数为
⎧ P (∅) = 0, x < 0 ⎪ F ( x ) = P{e : X (e ) ≤ x} = ⎨ P{反} = 1 ,0 ≤ x < 1 2 ⎪ P{正，反} = 1，x ≥ 1 ⎩
即
⎧0, x < 0 ⎪1 F ( x ) = P{ X ≤ x} = ⎨ 2 ,0 ≤ x < 1 ⎪1，x ≥ 1 ⎩
1.2 随机变量及其分布
性质： （1）单调性：若x1<x2，则F(x1) ≤ F(x2) （2）F (−∞) = xlim F ( x ) = 0，F (+∞) = xlim F ( x ) = 1 → −∞ → +∞ （3）F(x)右连续， F(x+0) = F(x) ★这三个性质完全刻划了分布函数，即可 以证明：满足上述3条款的函数F(x)必为 某一随机变量的分布函数。
1.1 概率空间
定义：集合Ω，某些子集组成集合族ö， 定义： 满足 （1）Ω∈ö （必然事件） （2）若A∈ö, 则Ω\A∈ö（对立事件） ∞ （3）若Ai∈ö，则 ∪ Ai ∈ö（可列并事件）
i =1
称ö为σ-代数，（Ω，ö）为可测空间 ★运算
1.1 概率空间
性质： 设（Ω，ö）为可测空间,则 （4）∅∈ö （不可能事件） （5）若A,B ∈ö,则A\B ∈ö （差事件） ∞ n n （6）若Ai∈ö,则 ∪ Ai , ∩ Ai ,∩ Ai ∈ö
i , j =1
∑ F (b , b ,
1 2
n
i =1
, bi −1 , a i , bi +1 ,
, b j −1 , a j , b j +1 ,
, bn )
+…+(-1)n F(a1, a2 , …, an)≥0
1.2 随机变量及其分布
对于n=2 F(b1, b2) - F(a1, b2) - F(b1, a2) + F(a1, a2) ≥0 y b2 a2 x a1 b1
1.2 随机变量及其分布
定义：对x =(x1, x2, …, xn) ∈Rn，称 定义： F(x)= F(x1, x2, …, xn) =P{e:X1(e) ≤ x1, X2(e) ≤ x2, … , Xn(e)≤xn} 为n维随机变量X=(X1, X2, …, Xn)的联合分 布函数
1.2 随机变量及其分布
n维离散型随机变量X=(X1, X2, …, Xn) Xi都是离散型随机变量 (i=1, 2, …, n) X=(X1, X2, …, Xn)的联合分布律为 P(X1=x1, X2=x2, …, Xn=xn)= p x1 , , xn 其中xi ∈Ii是离散集，i= 1, 2, …, n X=(X1, X2, …, Xn)的联合分布函数为
1.2 随机变量及其分布
例：投掷硬币试验
设Ω={正，反}，取 ö={∅，{正}，{反}，{正，反}} P{∅}=0，P{正}=P{反}=1/2，P{Ω}=1， 则(Ω, ö,P)为概率空间。 又定义映射X：Ω→ R，X(正)=1， X(反)=0 （1）x<0，{e: X(e)≤x}= ∅ ∈ ö （2）0≤ x<1，{e: X(e)≤x}= {反}∈ ö （3）x≥1，{e: X(e)≤x}= {正,反}∈ ö 则X为ö上的随机变量。
⎧ 1 ,a < x < b ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪0 , 其它 ⎩
x
1.2 随机变量及其分布
(2)正态分布
1 f ( x) = e 2π σ
( x −μ )2 − 2σ 2
(3)指数分布
⎧λe − λx , x ≥ 0 f ( x) = ⎨ ⎩0 , x < 0 λ >0
1.2 随机变量及其分布
1.2 随机变量及其分布

对于n=3 F(b1, b2, b3) - F(a1, b2, b3) - F(b1, a2, b3) - F(b1, b2, a3) + F(a1, a2, b3) +F(a1, b2, a3) + F(b1, a2, a3) -F(a1, a2, a3) ≥0
1.2 随机变量及其分布
ö为σ-代数，（Ω，ö）为可测空间 ★注：2Ω称为幂集，因为集合元素的个数 为2 |Ω|
1.1 概率空间
ö1 ={∅，{正正}，{正反}，{正正，正反}，
{反正，反反}，{正反，反正，反反}， {正 正，反正，反反} ，{正正，正反，反正，反 反}} ö2 ={∅，{反正}，{反反}， {反正，反反}， {正正，正反}，{正正，正反，反反}， {正 正，正反，反正} ，{正正，正反，反正，反 反}} ö3 ={∅，{正正}， {正反，反正，反反}， Ω }
1.1 概率空间
例：投掷硬币试验 例： 设Ω={正，反}，取 ö={∅，{正}，{反}，{正，反}} 定义： P{∅}=0， P{正}=P{反}=1/2， P{Ω}=1， 则 (Ω, ö,P)为概率空间
1.1 概率空间
三、独立事件 定义： 设(Ω, ö,P)为概率空间，õ⊆ ö， 若对任意A1, A2, …, An∈ õ， n=1,2 ,…，有
i =1 n
其中xi是Xti的任意可能值(I =1, 2, …, n)
1.2 随机变量及其分布
（2）若{Xt , t∈T }是一族连续型随机变 量，则独立性等价于
f t1 ,…,t n ( x1 , x 2 ,
P ( X t1 ≤ x1 , X t2 ≤ x2 , , X tn ≤ xn ) = ∏ P( X ti ≤ xi )
i =1 n
则称{Xt , t∈T}是独立的。
1.2 随机变量及其分布
性质： （1）若{Xt , t∈T}是一族离散型随机变量， 则独立性等价于
P ( X t1 = x1 , X t 2 = x 2 , , X tn = xn ) = ∏ P ( X ti = xi )
第一章 预备知识(Preliminaries)
1.1 概率空间(Probability Space)
一、可测空间 随机试验：可重复、可预见、不确定 样本空间：随机试验所有可能结果 Ω 样本点：基本事件 e ∈ Ω 事件：A ⊆ Ω(部分事件) 必然事件：Ω 不可能事件：∅ 事件运算：并、交、差、（上、下）极限
i =1 i =1 i =1
（有限并，有限交，可列交事件）
1.1 概率空间
例：连续投掷两次硬币试验 例： Ω={正正，正反，反正，反反} ö＝2Ω={∅，{正正}，{正反}，{反正}，{反
反}， {正正，正反}，{正正，反正}，{正正， 反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正， 反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反 反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反 反}，{正正，正反，反正，反反}}
|
⎝ i =1
⎠
i =1
称P是(Ω, ö)上的概率， (Ω, ö,P)为概率 空间， P(A)为事件A的概率。
1.1 概率空间
性质： 设(Ω, ö,P)为概率空间，则 （4） P（∅）= 0 （5）P（B\A）= P(B) -P(A) , （6） ∞
(A⊆B)
⎧ ⎛ ⎞ ⎪ P ⎜ ∪ An ⎟, A1 ⊆ A2 ⊆ ⊆ An ⎟ ⎜ ⎪ ⎝ n =1 ⎠ lim P ( An ) = ⎨ n →∞ ⎛∞ ⎪ P ⎜ A ⎞, A ⊇ A ⊇ ⊇ A ⎟ n 2 ⎪ ⎜∩ n ⎟ 1 ⎩ ⎝ n =1 ⎠