通信原理第3章随机过程PPT课件
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通信原理ppt课件——第三章
输出信号
两条路径信道模型
34
频域表示 信道传输函数为
35
信道幅频特性为
若两条路径的相对时 延差 固定，则信 道的幅频特性为：
36
若两条路径的相对时延差相对时延
差
是随机参量 ，则信道的幅
频特性为：
多径传播信道的相关带宽 ——信道传输特性相邻两个零点之间的频率间隔
信道最大多径时延差
37
• 如果信号的频谱比相关带宽宽，则会产生严重的频率 选择性衰落，为了减少频率选择性衰落，就应使信号 的频谱小于相关带宽（通常选择信号带宽为相关带宽 的1/3~1/5）
（噪声）。
根据以上几条性质，调制 信道可以用一个二端口线 性时变网络来表示，该网 络称为调制信道模型：
调制信道模型
4
二端口的调制信道模型，其输出与输入的关系有
一般情况下，
可以表示为信道单位冲激响应c(t)与输入
பைடு நூலகம்
信号的卷积， c(t)的傅里叶变换C(w)是信道传输函数：
或
可看成是乘性干扰
根据信道传输函数 的时变特性的不同，将物理信道分为
21
➢自由空间传播 ——当移动台和基站天线在视距范围之内，这时
电波传播的主要方式是直射波，其传播可以按自由 空间传播来分析。
设发射机输入给天线功率为 (W)，则接收天线 上获得的功率为
22
自由空间传播损耗定义为 当发射天线增益和接收天线增益都等于1时
用 dB可表示为
自由空间传播损耗与距离d的平 方成正比，距离越远损耗越大
发送信号
单一频率正弦波
陆地移动多径传播
多径信道一共有n条路径，各条 路径具有时变衰耗和时变传输 时延且各条路径到达接收端的 信号相互独立，则接收端接收 到的合成波为
通信原理第7版课件樊昌信版
? 2 F2 (x1，x2；t1, t2 ) ?x1?x2
?
f2 ( x1，x2；t1，t2 )
二维概率密度函数
大家好
? n 维分布函数 n 维概率密度函数
大家好
§3.1.2 随机过程的数字特征 ---描述随机过程的主要特性
? 均值 ---随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心
? E ??(t)??
t1
t2
t
? 特性描述 ：
大家好
§3.1.1 随机过程的分布函数
? 一维分布函数 ---描述孤立时刻的统计特性
F1(x1，t1) ? P[t?() 1 ? x1]
?F1 (x1，t1 ) ? ?x1
f1(x1，t1 )
一维概率密度函数
? ? ? 二维分布函数 F2 (x1，x2；t1，t2 ) ? P? (t1 ) ? x1， (t2 ) ? x2 ?
—— 自变量的 递减 函数
erf (c0) ? 1 erf (?c ) ? 0
大家好
课件制作：曹丽娜
erfc()x ? 1 ? erf ()x
erf (? x) ? ? erf (x) erf (? x)c ? 2 ? erf (x) c
利用误差函数，可将F(x)表示为：
意义：
F
(x)
?
? ?? ?
西安电子科技大学 通院
大家好
课件制作：曹丽娜
例
解题 第1步：判断? (t)是否平稳，即求其统计平均值
思路：
若均值为常数，且自相关函数只与时间
间隔? 有关， 则? (t) 是广义平稳的。 第2步：求? (t) 的时间平均值
第3步：比较 统计平均值 和 时间平均值
解题 过程： 参见教材41页
通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
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随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
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随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
通信原理教程3-随机过程
X (t1 ) 和 X (t2 ) 分别是在时刻
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
第三章通信原理 随机过程
或随机过程的一次实现。 全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
通信原理课件第3章_随机过程
严平稳随机过程的数字特征： （1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。 4.广义平稳随机过程 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。 意义： ●具有各态历经性平稳随机过程－－十分有趣，非常有用。
●平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的 一维分布函数与时间t无关：
f1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 )
●而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; )
3. 数字特征
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a
2017/2/12
通信原理
6
第3章 随机过程
概括：
随机过程ξ(t)的含义／属性有两点： （1）ξ(t)是t 的函数； （2）ξ(t)在任一时刻 t1上的取值ξ(t1)不是确定的，是一个 随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布 的。 概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
研究内容－－随机过程统计特征： 3.1.1 随机过程的分布函数 3.1.2 随机过程的数字特征
2 (t )
n (t )
t1 t2
t
图3-1 n部接收机的输出波形 讨论： ●在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的 数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的－－为随机量。 ●换句话说，随机过程在任意时刻t1的值ξ(t1)是一个随机变量。 ●因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时 刻的随机变量的集合。
2017/2/12
Hale Waihona Puke 通信原理7第3章 随机过程
第3章-通信原理-随机过程
第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
(2) 随机过程：没有确定的变化形式。
每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机信号和噪声统称为随机过程。
1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。
随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。
同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。
2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
数字特征是指均值、方差和相关系数。
是从随机变量的数字特征推广而来的。
(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。
积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。
精品课件-通信系统原理-第3章
(3.1)
概率的取值范围为lim0~1n，C P(AP)=(0C的)事件A称为不可能事件， P(A)=1的事件A称为必N然事N件。
第3章 随机信号分析
3.2.2 复杂事件 复杂事件是指两个或两个以上简单事件构成的事件，并且
事件之间有一个相互关系问题。其基本关系大致有如下几种： (1) 事件相等：若事件A的发生必然导致事件B的发生，而
第3章 随机信号分析
虽然随机信号和噪声都具有不可预测的波形特点，但两者 的意义完全不同。随机信号的不可预测性是它携带信息的能力， 而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信号受到污染。研 究发现，随机信号和噪声的统计特性有许多差异，因此可以利用 这种差异在某种程度上把信号从噪声中提取出来，并且尽量恢复 信号所携带的信息。
当随机变量X的取值个数是有限的或者可数无限个时，则 称它为离散随机变量，否则就称为连续随机变量，即可能的取 值充满某一有限或无限区间。
第3章 随机信号分析
1. 概率分布函数和概率密度函数
假设随机变量X可以取xi=x1，x2，x3，x4四个值，并且有 x1<x2<x3<x4，相应的概率为P(xi)或P(X=xi)，则有P(X≤x2)= P(x1)+P(x2)。用P(X≤x)定义的x的函数称为随机变量X的概率 分布函数，简称分布函数，记作F(x)，即
本章将在复习概率论基本概念的基础上，对随机信号和噪 声的数学模型即随机过程进行理论分析，然后用随机过程理论来 研究实际应用问题。
第3章 随机信号分析
3.2 随机事件与概率 3.2.1 事件和概率
在概率论中，把某次试验中可能发生的和可能不发生的事 件称为随机事件，简称事件。例如，二元数字序列的某一位的 取值就是一个随机事件。对随机现象进行的这种试验，称为随 机试验。
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●无穷多个样本函数的总体
在统计学中称作随机函数的 总集－－随机过程ξ(t) 。 ●每一条曲线ξi(t)都是随机过 程的一个实现/样本。
●在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值ξ(t1) ，发 现他们的值是不同的－－ 是一个随机量（随机变量）。
26.09.2020
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通信原理
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第3章 随机过程
概括：
F2（x1，x2；t1，t2）= P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2 ] 为随机过程ξ(t)的二维分布函数
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通信原理
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第3章 随机过程
●二维概率密度函数 若二维分布函数对x1和x2二阶偏导数存在，则
f2x1,x2;t1,t22F 2 xx 11 , xx22 ;t1,t2
叫做随机过程ξ(t)的二维概率密度。 ●同理，可以定义随机过程的多维分布函数及多维概率密 度分别为
1 (t )
找不到两个完全相
2 (t)
同的波形。
n (t)
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t1
t2
t
图 2- 1 n图 图 图 图 图 图*图 图 图
通信原理
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第3章 随机过程
1 (t )
2 (t)
n (t)
t1
t2
t
图 2- 1 n图 图 图 图 图 图 图 图 图
讨论：
●每一条曲线ξi(t)都是一个随 机起伏的时间函数－－样本 函数（确知信号）。
意义： ●可以把随机过程ξ(t)当作一个多元的随机变量来看待，
而用这个多元随机变量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)的分布函数或概 率密度来描述随机过程的统计特性。
●显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。
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通信原理
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第3章 随机过程
3.1.2.随机过程的数字特征
引言 ●问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。 ●措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性， 更简单方便。 ●方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时 间平均”两种。
叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。
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通信原理
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第3章 随机过程
●一维概率密度函数
若一维分布函数对x1的偏导数存在，则
f1x1,t1Fxx11,t1
叫做随机过程ξ(t)的一维概率密度。 （2）二维描述－－随机过程不同时刻取值之间的相互关系
●二维分布函数
若随机过程ξ(t)在时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，而在时 刻t2的取值是随机变量ξ(t2)，则ξ(t1)与ξ(t2)构成一个二元随机 变量[ξ(t1)，ξ(t2)]，称
F n x 1 , x 2 ,x n ; t 1 , t 2 ,t n P [ ( t 1 ) x 1 ,( t 2 ) x 2 ,,( t n ) x n ]
fn x 1 ,x 2 ,.x .n ;.t1 ,t1 ,.tn .. , n F n x 1 ,x x 1 2 ,x 2 ..x . n .; x .t.n 1 ,t2 ,.tn ..,
统计平均: 对随机过程ξ(t)某一特定时刻不同实现的可能 取值ξ(ti)－－随机变量 ，用统计方法得出的种种平均值叫统 计平均。
时间平均:对随机过程ξ(t)的某一特定实现即样本函数ξi(t) ， 用数学分析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。
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第3章 随机过程
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第3章 随机过程
统计独立
对于任何n个随机变量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)，如果下式成 立
fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =f1（x1，t1）f2（x2，t2）...fn（xn，tn） 则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。
通信原理电子教案
第3章 随机过程
第3章 随机过程
第三章 随机过程
－－本章是本书的数学基础。 3.1随机过程的基本概念 3.2平稳随机过程 3.3高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5窄带随机过程 3.6正弦波加窄带随机过程 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结
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（一）统计平均
1.均值 随机过程在任意时刻 t 的取值所组成随机变量ξ(t)的均值
称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即
E[(t)] xf1(x，t)dx
注：t1→t，x1 →x
记 为 a(t)
物理意义：均值代表随机过程的摆动中心。
2.均方值 t)dx
称为随机过程ξ(t)的均方值。－－相对于横轴的振动程度 。
*
通信原理
2
第3章 随机过程
通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程，分析与研究通 信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。 ● 随机信号：通信系统中的信号通常总带某种随机性。不 可预测，不能用确定函数表示的信号。 ● 随机噪声：通信系统必然遇到噪声。不可预测（热噪 声）。简称噪声。 ● 随机过程：从统计学的观点看，随机信号和 随机噪声统 称为随机过程。
随机过程ξ(t)的含义／属性有两点： （1）ξ(t)是t 的函数，是由所有的样本函数构成的； （2）ξ(t)在任一时刻 t1上的取值ξ(t1)不是确定的，是一个 随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布 的。故随机过程可以看做是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪 声分析中来。
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通信原理
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第3章 随机过程
3.1随机过程的基本概念
考察： 假设有无数台性能相同的接收机，在同样条件下不
加信号测试其输出。 得到一系列噪声波形ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、...、ξn(t)、...。
理想时，波形应一致，但实际不然
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通信原理
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第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度
（1）一维描述
●一维分布函数
随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机
变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率
F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1]
（3.1.1）
在统计学中称作随机函数的 总集－－随机过程ξ(t) 。 ●每一条曲线ξi(t)都是随机过 程的一个实现/样本。
●在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值ξ(t1) ，发 现他们的值是不同的－－ 是一个随机量（随机变量）。
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通信原理
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第3章 随机过程
概括：
F2（x1，x2；t1，t2）= P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2 ] 为随机过程ξ(t)的二维分布函数
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通信原理
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第3章 随机过程
●二维概率密度函数 若二维分布函数对x1和x2二阶偏导数存在，则
f2x1,x2;t1,t22F 2 xx 11 , xx22 ;t1,t2
叫做随机过程ξ(t)的二维概率密度。 ●同理，可以定义随机过程的多维分布函数及多维概率密 度分别为
1 (t )
找不到两个完全相
2 (t)
同的波形。
n (t)
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t1
t2
t
图 2- 1 n图 图 图 图 图 图*图 图 图
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第3章 随机过程
1 (t )
2 (t)
n (t)
t1
t2
t
图 2- 1 n图 图 图 图 图 图 图 图 图
讨论：
●每一条曲线ξi(t)都是一个随 机起伏的时间函数－－样本 函数（确知信号）。
意义： ●可以把随机过程ξ(t)当作一个多元的随机变量来看待，
而用这个多元随机变量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)的分布函数或概 率密度来描述随机过程的统计特性。
●显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。
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第3章 随机过程
3.1.2.随机过程的数字特征
引言 ●问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。 ●措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性， 更简单方便。 ●方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时 间平均”两种。
叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。
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第3章 随机过程
●一维概率密度函数
若一维分布函数对x1的偏导数存在，则
f1x1,t1Fxx11,t1
叫做随机过程ξ(t)的一维概率密度。 （2）二维描述－－随机过程不同时刻取值之间的相互关系
●二维分布函数
若随机过程ξ(t)在时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，而在时 刻t2的取值是随机变量ξ(t2)，则ξ(t1)与ξ(t2)构成一个二元随机 变量[ξ(t1)，ξ(t2)]，称
F n x 1 , x 2 ,x n ; t 1 , t 2 ,t n P [ ( t 1 ) x 1 ,( t 2 ) x 2 ,,( t n ) x n ]
fn x 1 ,x 2 ,.x .n ;.t1 ,t1 ,.tn .. , n F n x 1 ,x x 1 2 ,x 2 ..x . n .; x .t.n 1 ,t2 ,.tn ..,
统计平均: 对随机过程ξ(t)某一特定时刻不同实现的可能 取值ξ(ti)－－随机变量 ，用统计方法得出的种种平均值叫统 计平均。
时间平均:对随机过程ξ(t)的某一特定实现即样本函数ξi(t) ， 用数学分析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。
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第3章 随机过程
统计独立
对于任何n个随机变量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)，如果下式成 立
fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =f1（x1，t1）f2（x2，t2）...fn（xn，tn） 则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。
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第3章 随机过程
第3章 随机过程
第三章 随机过程
－－本章是本书的数学基础。 3.1随机过程的基本概念 3.2平稳随机过程 3.3高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5窄带随机过程 3.6正弦波加窄带随机过程 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结
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（一）统计平均
1.均值 随机过程在任意时刻 t 的取值所组成随机变量ξ(t)的均值
称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即
E[(t)] xf1(x，t)dx
注：t1→t，x1 →x
记 为 a(t)
物理意义：均值代表随机过程的摆动中心。
2.均方值 t)dx
称为随机过程ξ(t)的均方值。－－相对于横轴的振动程度 。
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第3章 随机过程
通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程，分析与研究通 信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。 ● 随机信号：通信系统中的信号通常总带某种随机性。不 可预测，不能用确定函数表示的信号。 ● 随机噪声：通信系统必然遇到噪声。不可预测（热噪 声）。简称噪声。 ● 随机过程：从统计学的观点看，随机信号和 随机噪声统 称为随机过程。
随机过程ξ(t)的含义／属性有两点： （1）ξ(t)是t 的函数，是由所有的样本函数构成的； （2）ξ(t)在任一时刻 t1上的取值ξ(t1)不是确定的，是一个 随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布 的。故随机过程可以看做是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪 声分析中来。
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第3章 随机过程
3.1随机过程的基本概念
考察： 假设有无数台性能相同的接收机，在同样条件下不
加信号测试其输出。 得到一系列噪声波形ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、...、ξn(t)、...。
理想时，波形应一致，但实际不然
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第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度
（1）一维描述
●一维分布函数
随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机
变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率
F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1]
（3.1.1）