2010年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2010年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.设全集{},6*<∈=x N x U 集合{}{}5,3,3,1==B A ，则 {}=B AA.{}4,1B.{}5,1C.{}4,2D.{}2 2.不等式023<+-x x 的解集为A.{}32<<-x xB.{}2-<x xC.{}3,2>-<x x x 或D.{}3>x x3.已知)2cos(,32sin αα-=x 则= A.35-B.91-C.91D.35 4.函数)1)(1ln(1>-+=x x y 的反函数是 A.)0(11>-=+x e y x B.)0(11>+=+x e y xC.)(11R x e y x ∈-=+D.)(11R x e y x ∈+=+5.若变量x ，y 满足约束条件y x z y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥2.523,,1则的最大值为 A.1 B.2 C3. D.46.如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12，那么=+++721a a aA.14B.21C.28D.357.若曲线b ax x y ++=2在点（0，b ）处的切线方程是,01=+=y x 则 A.a=1，b=1 B.a=-1，b=1 C .a=1，b =－1D.a=-1，b=-18.已知三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形。

SA 垂直于底面ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为A.43 B.45 C.47D.439.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有A.12种B.18种C.36种D.54种10.ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分,ACB ∠若,,b CA a CB ==|a|=1，|b|=2，则CDA.b a 3231+ B.b a 3132+ C.b a 5453+D.b a 5354+ 11.与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个12.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为.23过右焦点F ，且斜率)0(>k k 的直线与C 相交于A 、B 两点，若FB AF 3=，则k =A.1B.2C.3D.2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.已知α是第二象限的角，ααcos ,21tan -== .14.9)1(xx +的展开式中3x 的系数是 .15.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线为l ，过M （1，0）且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若MB AM =，则p= .ABC SEF16.已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两上小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）A B C ∆中，D 为BC 边上的一点，BD=33，,53cos ,135sin =∠=ADC B 求AD.18.（本小题满分12分）已知}{n a 是各项均为正数的等比数列，且).111(64)11(23433422121a a a a a a a a a a ++=++⋅+=+ （1）求}{n a 的通项公式； （2）设2)1(nn n a a b +=，求数列}{n b 的前n 项和.n T19.（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC —A 1B 2C 1中，AC=BC ，AA 1=AB ，D 为BB 2的中点，E 为AB 1上的一点，AE=3EB 2. （1）证明：DE 为异面直线AB 1与 CD 的公垂线；（2）设异面直线AB 1与CD 的夹角为︒45，求二面角A 2—AC 1—B 1的大小.OM NEAB20.（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中共有4个元件，分别标为4321,,,T T T T ，电流能通过321,,T T T 的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立，已知321,,T T T 中至少有一个能通过的概率为0.999.（I ）求p ；（II ）求电流能在M 与N 之间通过的概率.21.（本小题满分12分）已知函数.133)(22+--=x ax x x f （I ）设a=2，求)(x f 的单调区间；（II ）设)(x f 在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知斜率为1的直线l 与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M （1，3）. （I ）求C 的离心率；（II ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|=17，证明：过A 、B 、D三点的圆与x 轴相切.BCS EF 2010年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(文)试题答案解析: 一、选择题（1）C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。

B={3,5}，∴ {1,3,5}A B =，∴(){2,4}U C A B =故选 C . （2）A ：本题考查了不等式的解法∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A（3）B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴ 11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+（5）C ：本题考查了线性规划的知识。

∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z = （6）C ：本题考查了数列的基础知识。

∵ 34512a a a ++=，∴ 44a =12717417()7282a a a a a a +++=⨯⨯+==（7）A ：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵2x y x aa='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =（8）D ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于 SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E 为BC 中点， ∵ BC ⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF ⊥面SBC ，∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴3=AE ，AS=3，∴ SE=32，AF=23，∴43sin =∠ABF（9）B ：本题考查了排列组合的知识∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有624=C ，余下放入最后一个信封，∴共有18324=C（10）B ：本题考查了平面向量的基础知识∵ CD 为角平分线，∴12BD BC AD AC ==，∵ AB CB CA a b =-=-， ∴222333AD AB a b ==-，∴ 22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+（11）D ：本题考查了空间想象能力∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，（12）B ：),(),,(2211y x B y x A ，∵ 23,3,321=-=∴=e y y FB AF ， 设044,,3,2222=-+∴===t y x t b t c t a 直线AB 方程为.3t sy x +=代入消去x ，∴032)4(222=-++t sty y s ，∴ ,4,4322221221+-=+-=+s t y y s st y y ，222222232,344st t y y s s -=--=-++，解得212s =，2k = 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．（13）255- ：本题考查了同角三角函数的基础知识 ∵1tan 2α=-，∴25cos 5α=-OM NE AB（14）84：本题考查了二项展开式定理的基础知识∵ 9191()r r r r T C x x -+=，∴ 923,3r r -==，∴3984C = （15）2：本题考查了抛物线的几何性质设直线AB ：33y x =-，代入22y px =得23(62)30x p x +--+=， 又∵ AM MB =，∴ 221+=p x ，解得24120p P +-=，解得2,6p p ==-（舍去）（16）3：本题考查球、直线与圆的基础知识 ∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N 的半径为7， ∵小圆N 中弦长AB=4，作NE 垂直于AB ， ∴ NE=3，同理可得ME=3，在直角三角形ONE 中，∵ NE=3，ON=3， ∴ ,3,6ππ=∠∴=∠MON EON ∴ MN=3三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）解： 由3cos 052ADC B π∠=><知 由已知得124cos ,sin 135B ADC =∠=， 从而 s i n s i n (B AD A D C B∠=∠- =s i n c o s c o s s iA D CB A DC B ∠-∠ 41235513513=⨯⨯⨯3365=.由正弦定理得AD sin sin BDB BAD =∠, 所以sin AD sin BD BBAD ∙=∠53313==253365⨯. （18）解：（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有1111234111234111112,11164.a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩化简得21261264.a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 又10a >，故12,1q a == 所以 12n n a -=（Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭因此()()1111111411414...41 (224421)14441314nn n n n n n T n n n -----⎛⎫=++++++++=++=-++ ⎪-⎝⎭-（19）解法一：（Ⅰ）连结1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F.因为面11AA BB 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF=FB .又1AE=3EB ，所以1FE=EB ，又D 为1BB 的中点，故1DE BF DE AB ⊥∥，.作CG AB ⊥,G 为垂足，由AC=BC 知，G 为AB 中点. 又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得CG ⊥11AA B B .连结DG ，则1DG AB ∥，故DE DG ⊥,由三垂线定理，得DE CD ⊥. 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.（Ⅱ）因为1DG AB ∥，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，CDG=45∠.设AB=2，则1AB 22=，DG=2，CG=2,AC=3.作111B H A C ⊥,H 为垂足，因为底面11111A B C AAC C ⊥面,故111B H AAC C ⊥面，又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连结1B K ,由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角2211111111112223A B AC A B B H A C ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==22111133HC B C B H =-=221111232(3)7,37AA HC AC HK AC ⨯=+===11tan 14B HB KH HK∠== 所以二面角111A AC B --的大小为arctan 14 解法二：（Ⅰ）以B 为坐标原点，射线BA 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设AB=2，则A （2,0,0,），1B (0,2,0)，D （0,1,0），13E(,,0)22，又设C （1,0,c ）,则()()111DE 0B A=2,-2,0,DC=1,-1,c 22⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，.于是1DE B A=0,DE DC=0. 故1DE B A DE DC ⊥⊥，, 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.（Ⅱ）因为1,B A DC <>等于异面直线1AB 与CD 的夹角，故 11cos 45B A DC B A DC =， 即 2222242c ⨯+⨯=，解得 2c =，故AC (,22)=-1，， 又11AA =BB =(0,2,0)， 所以11AC =AC+AA =(1,22)-，，设平面11AAC 的法向量为(,,)m x y z =， 则110,0m AC m AA == 即22020x y z y -++==且令2x =，则1,0z y ==，故(2,0,1)m = 令平面11AB C 的法向量为(,,)n p q r =则110,0n AC n B A ==，即220,220p q r p q -++=-= 令2p =，则2,1q r ==-，故(2,21)n =- 所以 1cos ,15m n m n m n <>==. 由于,m n <>等于二面角111A -AC -B 的平面角， 所以二面角111A -AC -B 的大小为15arccos15. （20）解：记1A 表示事件：电流能通过T ,1,2,3,4,i i =A 表示事件：123T T T ，，中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过， （Ⅰ）123123A A A A A A A =，，，相互独立， 3123123P()()()()()(1)A P A A A P A P A P A p ===-,又 P()1P(A)=10.9990.001A =--=， 故 3(1)0.0010.9p p -==，， （Ⅱ）44134123B A +A A A +A A A A =， 44134123P (B )P (A +A A A +A A A A )= 44134123P (A )+P (A A A )+P (A A A A )= 44134123P (A )+P (A )P (A )P (A )+P (A )P (A )P (A )P (A )= =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891 （21）解：（Ⅰ）当a=2时，32()631,()3(23)(23)f x x x x f x x x '=-++=-+--当(,23)x ∈-∞-时()0,()f x f x '>在(,23)-∞-单调增加；当(23,23)x ∈-+时()0,()f x f x '<在(23,23)-+单调减少； 当(23,)x ∈++∞时()0,()f x f x '>在(23,)++∞单调增加； 综上所述，()f x 的单调递增区间是(,23)-∞-和(23,)++∞， ()f x 的单调递减区间是(23,23)-+（Ⅱ）22()3[()1]f x x a a '=-++，当210a -≥时，()0,()f x f x '≥为增函数，故()f x 无极值点； 当210a -<时，()0f x '=有两个根 22121,1x a a x a a =--=+- 由题意知，22213,213a a a a <--<<+-<或 ①式无解，②式的解为5543a <<， 因此a 的取值范围是5543⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （22）解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简，得2222222()440b a x a x a a b ----=， 设 1122B(,)(,)x y D x y 、， 则22221212222244,a a a b x x x x b a b a ++==--- ① 由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a ⨯=- 即223b a =， ② 故222c a b a =+= 所以C 的离心率2c e a== （Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=，2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==< 故不妨设12,x a x a ≤-≥，2222211111BF =(2)(2)332x a y x a x a a x -+=-+-=-，2222222222FD =(2)(2)332x a y x a x a x a -+=-+-=-，22121212BF FD (2)(2)=42()548a x x a x x a x x a a a =---++-=++. 又 BF FD 17=，故 254817a a ++=，解得1a =，或95a =-（舍去）， 故2121212BD =22()46x x x x x x -=+-=，连结MA ，则由A(1,0)，M(1,3)知MA 3=，从而MA=MB=MD ,且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。