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九年级上册期末数学试卷4

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部编数学九年级上册20232024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷(04)(解析版)含

部编数学九年级上册20232024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷(04)(解析版)含

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（04）（满分100分，答题时间90分钟）一、选择题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，即可求解．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形．A 、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形关于对称轴折叠后可完全重合；中心对图形是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180° 后与自身重合是解题的关键．2. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）A. 14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】B【解析】根据概率公式直接求概率即可；一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，选中书是物理书的结果有1种，∴从中任取1本书是物理书的概率=13．【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．3．已知关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）的A ．a ≥﹣4B ．a ＞﹣4C ．a ≥﹣4且a ≠0D ．a ＞﹣4且a ≠0【答案】D 【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a ≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a ×（﹣1）＞0，然后求出a 的范围后对各选项进行判断．根据题意得a ≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a ×（﹣1）＞0，解得a ＞﹣4且a ≠0．4.如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）A ．32123212300x x ´--=B ．()()23212300x x x --+=C ．()()3212300x x --=D ．()23212300x x -+-=【答案】C 【解析】解：根据题意得：()()3212300x x --=；故答案为：()()3212300x x --=．故选C ．5. 如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，OF BC ^于点F ，65BOF Ð=°，则AOD Ð为（ ）A. 70°B. 65°C. 50°D. 45°【答案】C 【解析】根据邻补角得出∠AOF =180°-65°=115°，利用四边形内角和得出∠DCB =65°，结合圆周角定理及邻补角进行求解即可．【详解】∵∠BOF =65°，∴∠AOF =180°-65°=115°，∵CD ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠DCB =360°-90°-90°-115°=65°，∴∠DOB =2×65°=130°，∴∠AOD =180°-130°=50°，故选：C ．【点睛】题目主要考查邻补角的计算及圆周角定理，四边形内角和等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6. 二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，与y 轴交于(0,1)-，对称轴为直线1x =．以下结论：①0abc >；②13a >；③对于任意实数m ，都有()m am b a b +>+成立；④若()12,y -，21,2y æöç÷èø，()32,y 在该函数图象上，则321y y y <<；⑤方程2ax bx c k ++=（0k …，k 为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】根据图象可判断0,1,0a c b >=-<，即可判断①正确；令2210y ax ax =--=，解得1x ==±根据图得，110-<-<，再由顶点坐标的纵坐标的范围即可求出a 的范围，即可判断②错误；由2b a =-代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；分类讨论当20ax bx c ++>时，当20ax bx c ++<时，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可判断⑤正确．【详解】Q 二次函数2y ax bx c =++的部分图象与y 轴交于(0,1)-，对称轴为直线1x =，抛物线开头向上，0,1,12b a c a\>=--=，20b a \=-<，0abc \>，故①正确；令2210y ax ax =--=，解得1x ==±，由图得，110-<-<，解得13a >，Q 抛物线的顶点坐标为(1,1)a --，由图得，211a -<--<-，解得01a <<，113a \<<，故②错误；2b a =-Q ，()m am b a b +>+\可化为(2)2m am a a a ->-，即(2)1m m ->-，2(1)0m \->，若()m am b a b +>+成立，则1m ¹，故③错误；当1x <时，y 随x 的增大而减小，122-<Q ，12y y \>，Q 对称轴为直线1x =，2x \=时与0x =时所对应的y 值相等，231y y y \<<，故④错误；2ax bx c k ++=，当20ax bx c ++>时，20ax bx c k ++-=，1222b a x x a a-\+=-=-=，当20ax bx c ++<时，20ax bx c k +++=，3422b a x x a a -\+=-=-=，12344x x x x \+++=，故⑤正确；综上，正确的个数为2，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键．二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1. 若1x =是方程220x x a -+=的根，则=a ________．【答案】1【解析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x =1代入方程得到a 的值．把x =1代入方程220x x a -+=，得1−2+a =0，解得a =1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．2.下列图形:①等腰梯形;②菱形;③函数y=x 2的图象;④函数y=kx+b(k ≠0)的图象.其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 .(填序号)【答案】②④【解析】①等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形;②菱形既是轴对称图形又是中心对称图形;③函数y=x 2的图象是轴对称图形,不是中心对称图形;④函数y=kx+b(k ≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.所以,既是轴对称图形又是中心对称图形的为②④.3. 一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为14，则这个箱子中黄球的个数为______个．【答案】15【解析】设黄球的个数为x 个，根据概率计算公式列出方程，解出x 即可．【详解】解：设：黄球的个数为x 个，5154x =+解得：15x =，检验：将15x =代入520x +=，值不为零，∴15x =是方程的解，∴黄球的个数为15个．【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．4.如图,矩形ABCD 和矩形A'B'C'D 关于点D 成中心对称,已知AB=3,BC=4,则阴影部分的周长和是 .【答案】48【解析】∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=90°.∵AB=3,BC=4,∴∴△ABC 的周长=3+4+5=12.∵矩形ABCD 和矩形A'B'C'D 关于点D 成中心对称,∴阴影部分的四个直角三角形全等,∴阴影部分的周长和=4×12=48.5. （2023重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，请列出方程________．【答案】2301(1)500x +=【解析】根据变化前数量2(1)x ´+=变化后数量，即可列出方程．Q 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ．\第二个月新建了301(1)x +个充电桩，\第三个月新建了2301(1)x +个充电桩，Q 第三个月新建了500个充电桩，于是有2301(1)500x +=，故答案为2301(1)500x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为x ，则有(1)na xb +=，其中a 表示变化前数量，b 表示变化后数量，n 表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．6．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA=45°，则弦CD 的长为 ．【答案】．【解析】连接OD ，作OE ⊥CD 于E ，由垂径定理得出CE=DE ，证明△OEM 是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE=OM=，在Rt △ODE 中，由勾股定理求出DE=，得出CD=2DE=即可．【解答】连接OD ，作OE ⊥CD 于E ，如图所示：则CE=DE ，∵AB 是⊙O 的直径，AB=4，点M 是OA 的中点，∴OD=OA=2，OM=1，∵∠OME=∠CMA=45°，∴△OEM 是等腰直角三角形，∴OE=OM=，在Rt △ODE 中，由勾股定理得：DE==，∴CD=2DE=；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出DE 是解决问题的关键．7. 如图，⊙O 的半径为2，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若30B Ð=°．则»AC 的长为_____（结果用含有π的式子表示）【答案】23p 【解析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到60AOC Ð=°，再利用弧长公式求解即可．【详解】2AOC B Ð=ÐQ ，30B Ð=°，60AOC \Ð=°，Q ⊙O 的半径为2，»60221803AC p p ´\==【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即180n r l p =，熟练掌握知识点是解题的关键．8.在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第_____象限。

北师大版九年级上册数学期末考试试卷带答案

北师大版九年级上册数学期末考试试卷带答案

北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．一元二次方程x(x－3)＝4的解是（）A．1B．4C．－1或4D．1或－42．一个由5个相同的正方体组成的立体图形，如图所示，则这个立体图形的左视图是A．B．C．D．3．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C坐标A．（﹣1，﹣1）B．（﹣43，﹣1）C．（﹣1，﹣43）D．（﹣2，﹣1）4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（）A．45B．35C．54D．435．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC ＝9，则BF的长为（）A．4B．C．4.5D．56．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是（）A ．﹣3＜x ＜2B ．x ＜﹣3或x ＞2C ．﹣3＜x ＜0或x ＞2D ．0＜x ＜27．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME AC ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（）A ．1.2B ．1.5C ．2.4D ．2.58．反比例函数4y x =和6y x =在第一象限的图象如图所示，点A 在函数6y x=图象上，点B 在函数4y x=图象上，AB ∥y 轴，点C 是y 轴上的一个动点，则△ABC 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为对角线AC 上一动点，90EDP ∠=︒，DE DP =，当点E 从点A 运动到点C 的过程中，EPC ∆的周长的最小值为（）A ．222B ．42C ．324D ．22310．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程，则下列方程正确的是A ．22500(1)9100x +＝B ．22500(1%)9100x +＝C ．22500(1)2500(1)9100x x +++＝D ．225002500(1)2500(1)9100x x ++++＝11．如图，某次课外实践活动中，小红在地面点B 处利用标杆FC 测量一旗杆ED 的高度．小红眼睛点A 与标杆顶端点F ，旗杆顶端点E 在同一直线上，点B ，C ，D 也在同一条直线上．已知小红眼睛到地面距离 1.6AB =米，标杆高 3.8FC =米，且1BC =米，7CD =米，则旗杆ED 的高度为（）A ．15.4米B ．17米C ．17.6米D ．19.2米12．若0ab >，则一次函数y ax b =-与反比例函数aby x=在同一坐标系数中的大致图象是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．一元二次方程220x x -+=的解是______．14．一个反比例函数的图象过点A(-3，2)，则这个反比例函数的表达式是_____．15．如图，Rt △ABC 中，∠ACD=90°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ．若S △AEG=13S 四边形EBCG ，则CF AD=_________．16．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE 的面积为12．则四边形DBCE 的面积为_______．三、解答题17．解方程(1)2230x x --=（公式法）；(2)23740x x -+=（配方法）；(3)22(2)(23)x x -=+（因式分解法）；(4)2(1)22x x -=-（适当的方法）．18．现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字–1，–2，1，2，3．先将标有数字–2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从两个盒子里各随机取出一个小球．（1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果；（2）求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率．19．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？20．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，连接BD 并延长，与∠ACF 的角平分线交于点E ．（1）求证：△ABD ∽△CED ；（2）若AB=8，AD=2CD ，求CE 的长．21．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8）、B （﹣4，m ）．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB 的面积；(3)若y 1＜y 2，直接写出x 的取值范围．22．如图，在菱形ABCD ，对角线AC,与BD 交于点O,过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两直线交于点E,（1）求证：四边形OCED 是矩形；（2）若CE=1，菱形ABCD的周长为ABCD 的面积.23．如图，反比例函数ky x（k≠0）的图象经过点A （1，2）和B （2，n ），（1）以原点O 为位似中心画出△A1B1O ，使11AB A B =12；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得PA+PB 的值最小？若存在，求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．某品牌童装平均每天可售出40件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出4件．要想平均每天销售这种童装盈利2400元，那么每件童装应降价多少元？25．如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线上一点，CG 的延长线交AB 于点E ，交DA 的延长线于点F ，连接AG ．（1）求证：AG ＝CG ；（2）求证：△AEG ∽△FAG ；（3）若GE•GF ＝9，求CG 的长．参考答案1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．A 9．A 10．D 11．D 12．C13．120,2x x ==【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：220x x -+=，(2)0x x -+=，0,20x x =-+=，则120,2x x ==，故答案为：120,2x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键．14．6y x=-【分析】根据反比例函数的意义待定系数法求解析式．【详解】解：∵反比例函数的图象过点A(-3，2)，∴6k =-∴这个反比例函数的表达式是6y x=-故答案为：6y x=-15．12【详解】解：∵EF BD∥∴∠AEG=∠ABC ，∠AGE=∠ACB ，∴△AEG ∽△ABC ，且S △AEG=13S 四边形EBCG∴S △AEG ：S △ABC=1：4，∴AG ：AC=1：2，又EF BD∥∴∠AGF=∠ACD ，∠AFG=∠ADC ，∴△AGF ∽△ACD ，且相似比为1：2，∴S △AFG ：S △ACD=1：4，∴S △AFG=13S 四边形FDCGS △AFG=14S △ADC ∵AF ：AD=GF ：CD=AG ：AC=1：2∵∠ACD=90°∴AF=CF=DF∴CF ：AD=1：2．故答案为：1216．32【分析】先根据三角形中位线定理得出1//,2DE BC DE BC =，再根据相似三角形的判定与性质得出2()ADE ABC S DE S BC= ，从而可得ABC 的面积，由此即可得出答案．【详解】 点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点1//,2DE BC DE BC ∴=ADE ABC∴ 21(4ADE ABC S DE S BC ∴==△△，即4ABCADES S =△△又12ADES =1422ABCS ∴=⨯= 则四边形DBCE 的面积为13222ABC ADE S S -=-= 故答案为：32．17．(1)123,1x x ==-(2)124,13x x ==(3)121,53x x =-=-(4)123,1x x ==【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．(1)解：∵2230x x --=，∴1a =，2b =-，3c =-，∴()()22=42413160b ac ∆-=--⨯⨯-=>，∴242x ±==，∴13x =，21x =-；(2)解：∵23740x x -+=，∴2374x x -=-，∴27433x x -=-，∴22277473636x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴271636x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴7166x -=±，∴143x =，21x =；(3)解：∵22(2)(23)x x -=+∴22(2)(23)0x x -+-=，∴()(223)2230x x x x -++---=，∴()()3150x x ++=，∴113x =-，25x =-；(4)解：∵2(1)22x x -=-，∴()2(1)210x x --=-，∴()(12)10x x ---=，∴13x =，21x =．18．（1）详见解析；（2）13【分析】（1）首先根据题意列出表格，由表格即可求得取出的两个小球上数字之和所有等可能的结果；（2）首先根据（1）中的表格，求得取出的两个小球上的数字之和等于0的情况，然后利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）列表得：-12-2-30103325则共有6种结果，且它们的可能性相同；（2）∵取出的两个小球上的数字之和等于0的有：（1，-1），（-2，2），∴两个小球上的数字之和等于0的概率为：2163=．19．当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似．【详解】试题分析：根据题意可知：OQ=6-t ，OP=t ，然后分OQ OP OB OA =和OQ OP OA OB=两种情况分别求出t 的值．试题解析：解：①若△POQ ∽△AOB 时，=，即=，整理得：12﹣2t=t ，解得：t=4．②若△POQ ∽△BOA 时，=，即=，整理得：6﹣t=2t ，解得：t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似．20．（1）见解析；（2）CE=4【分析】（1）根据等边三角形的性质得到60A ACB ∠=∠=︒，则120ACF ∠=︒，根据角平分线的性质，得到60ACE ∠=︒，即可求证；（2）利用相似三角形的性质得到CD CE AD AB=，即可求解．【详解】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACE=60°；∴∠BAC=∠ACE ；又∵∠ADB=∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ；（2）解：∵△ABD ∽△CED ，∴CD CE AD AB=，∵AD=2DC ，AB=8；∴1842CD CE AB AD =⨯=⨯=21．(1)18y x =，y 2＝2x+6，过程见解析；(2)15，过程见解析；(3)﹣4＜x ＜0或x ＞1，过程见解析．【分析】（1）利用待定系数法即可求得结论；（2）设直线AB 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ，利用直线AB 解析式求得点C ，D 的坐标，用△AOC ，△OCD 和△OBD 的面积之和表示△AOB 的面积即可；（3）利用图象即可确定出x 的取值范围．（1）解：点A （1，8）在反比例函数11ky x =上，∴k 1＝1×8＝8．∴18y x =．∵点B （﹣4，m ）在反比例函数18y x =上，∴﹣4m ＝8．∴m ＝﹣2．∴B （﹣4，﹣2）．∵点A （1，8）、B （﹣4，﹣2）在一次函数y 2＝k 2x+b 的图象上，∴22842k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：226k b =⎧⎨=⎩．∴y 2＝2x+6．（2）解：设直线AB 与y 轴交于点C，如图，由直线AB:y 2＝2x+6，令x ＝0，则y ＝6，∴C （0，6）．∴OC ＝6．过点A 作AF ⊥y 轴于点F ，过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，∵A （1，8），B （﹣4，﹣2），∴AF ＝1，BE ＝4．∴AOBAOC BOC S S S =+△△△11××22OC AF OC BE =+1=6(14)2⨯⨯+=15答：△AOB 的面积是15．（3）解：由图象可知，点A 右侧的部分和点B 与点C 之间的部分y 1＜y 2，∴若y 1＜y 2，x 的取值范围为：﹣4＜x ＜0或x ＞1．【点睛】本题是一道反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长和利用数形结合的思想方法求得x 的取值范围是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）欲证明四边形OCED 是矩形，只需推知四边形OCED 是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，90COD ︒∴∠=，//,//CE OD DE OC ，所以四边形OCED 是平行四边形，90COD ︒∠= ，∴四边形OCED 是矩形；（2）由（1）知，四边形OCED 是矩形，则CE=OD=1，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD=CD=BC ，∵菱形ABCD 的周长为CD ∴2OC∴==，24,22 AC OC BD OD==== ，∴菱形ABCD的面积为：11424 22AC BD⋅=⨯⨯=.23．(1)作图见解析；（2）存在，P（0，5 3）．【分析】（1）有两种情形，分别画出图象即可；（2）存在．如图作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，此时PA+PB 的值最小．求出直线BA′的解析式即可解决问题．【详解】（1）△A1B1O的图象如图所示．（2）存在．如图作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，此时PA+PB 的值最小．∵点A（1，2）在反比例函数y=kx上，∴k=2，∴B （2，1），∵A′（﹣1，2），设最小BA′的解析式为y=kx+b ，则有221k b k b -+⎧⎨+⎩＝＝，解得1253k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴直线BA′的解析式为y=﹣13x+53，∴P （0，53）．24．每件童装应降价20元．【分析】设每件童装应降价x 元，再根据题意即可列出关于x 的一元二次方程，解出x ，最后舍去不合题意的解即可．【详解】解：设每件童装应降价x 元，依题意可列方程为(40)(404)2400x x -+=，解得：121020x x ==，，∵要减少库存，∴20x =，答：每件童装应降价20元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解题关键．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）CG ＝3【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ADB ＝∠CDB ＝45°，AD ＝CD ，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG ≌△CDG （SAS ），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD ∥CB ，推出∠FCB ＝∠F ，由（1）可知△ADG ≌△CDG ，利用全等三角形的性质得到∠DAG ＝∠DCG ，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB−∠DAG ＝∠DCB−∠DCG ，推出∠BCF ＝∠BAG ，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG ∽△FAG ，（3）根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】（1）证明：∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，又AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，AD CDADG CDG DG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△CDG （SAS ），∴AG ＝CG ；（2）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥CB ，∴∠FCB ＝∠F ，由（1）可知△ADG ≌△CDG ，∴∠DAG ＝∠DCG ，∴∠DAB−∠DAG ＝∠DCB−∠DCG ，即∠BCF ＝∠BAG ，∴∠EAG ＝∠F ，又∠EGA ＝∠AGF ，∴△AEG ∽△FAG ；（3）∵△AEG ∽△FAG ，∴GEGAGA GF =，即GA 2＝GE•GF ，∴GA ＝3或GA ＝−3（舍去），根据（1）中的结论AG ＝CG ，∴CG ＝3．。

2023-2024学年湖北省武汉市九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖北省武汉市九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个.小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是( )A. 一定是红球B. 摸出红球的可能性最大C. 不可能是黑球D. 摸出黄球的可能性最小3.方程x 2−6x−5=0经过配方后，所得的方程是( )A. (x−6)2=30B. (x−6)2=41C. (x−3)2=4D. (x−3)2=144.在平面直角坐标系中，以点(−3,4)为圆心，3为半径的圆( )A. 与x 轴相离，与y 轴相切B. 与x 轴相离，与y 轴相交C. 与x 轴相切，与y 轴相交D. 与x 轴相切，与y 轴相离5.已知x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax +b =0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是( )A. a =3，b =1B. a =3，b =−1C. a =−32，b =−1D. a =−32，b =16.二次函数y =−(x +1)2+2的图象大致是( )A. B.C. D.7.若A (−4,y 1)，B (−3,y 2)，C (1,y 3)为二次函数y =ax 2+4ax +a (a >0)的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 1<y 3C. y 3<y 1<y 2D. y 1<y 3<y 28.四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是( )A. 56B. 34C. 12D. 239.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，AB=1，∠AOB=30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为( )A. (1,3)B. (1,−3)C. (−3,1)D. (−1,3)10.定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”.现有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为( )A. 22B. 2−2C. 2−1D. 22−2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

2023-2024学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣b D．a＜﹣b2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则cos A等于（）A．B．C．D．3．（2分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+24．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°5．（2分）如图，D是△ABC的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使△ACD ∽△ABC，则这个条件不可以是（）A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠B C．D．6．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．它的图象分布在第二、第四象限B．点（﹣1，4）在它的图象上C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大7．（2分）已知．如图，（1）连接AB；（2）作弦AB的垂直平分线l1，分别交，弦AB于C，D两点；（3）作线段AD，DB的垂直平分线l2，l3，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H 两点；（4）连接EF．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．AG＝GD＝DH＝HB B．C．l1∥l2∥l3D．EF＝GH8．（2分）学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，解这个直角三角形．从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（）A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为．11．（2分）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为．12．（2分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB 与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为_______cm．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝76°，则∠ACB＝°．14．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c ＜﹣1的x的值，这个值可以是．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，则m+n的值为．16．（2分）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：①该抛物线与x轴有两个交点；②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．所有正确推断的序号是．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分,第23-4题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每7分)17．（5分）解不等式组：．18．（5分）计算：|﹣2|﹣2tan60°．19．（6分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．20．（5分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝6，AC＝4，求AD的长．21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．22．（6分）在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E 的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cos22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，．（1）求证：∠COB＝∠DOB；（2）若⊙O的半径为2，求OE，的长．24．（5分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小明进行了三次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456789竖直高度y/m2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 3.72 1.1根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并求出实心球着地点的水平距离d1；（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为d2，d3，则d1，d2，d3的大小关系为．25．（6分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）若a＝1，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；（2）已知点（3﹣a，y1），（a+1，y2），（﹣a，y3）在该抛物线上，若y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．27．（7分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：对于图形G1、G2，若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，d是G1关于G2的“映距”．（1）如图，点A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（﹣1，0），D（0，﹣1），E（4，0），F（0，4），G（5，0），H（0，5）．在线段CD，EF，GH中，线段AB的映图是．（2）⊙O的半径为1．①求⊙O关于直线的映距d的最小值；②若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，直接写出m的取值范围．2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣b D．a＜﹣b【分析】由点在数轴上的位置分析选项可得答案．【解答】解：A选项：由数轴的定义得左大右小，即a＜﹣3，该选项错误．B选项：a点在﹣4的左侧，即a＞﹣4，该选项错误．C选项：2＜b＜3，﹣3＜﹣b＜﹣2，故a在﹣b的左侧，即a＜﹣b，该选项错误．D选项：正确．故答案选D．【点评】该题考查对数轴的理解，实数的相关概念及分类．2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则cos A等于（）A．B．C．D．【分析】根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，则cos A＝．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．3．（2分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+2【分析】将所给二次函数表达式转化为顶点式即可．【解答】解：由题知，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x﹣1）2+4．即二次函数的表达式可写成：y＝﹣（x﹣1）2+4．故选：B．【点评】本题考查二次函数的三种形式，熟知二次函数解析式中的顶点式是解题的关键．4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：∵∠ABD＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°，∵∠CAB＝30°，∴∠APD＝∠ACD+∠CAB＝70°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．5．（2分）如图，D是△ABC的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使△ACD ∽△ABC，则这个条件不可以是（）A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠B C．D．【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．【解答】解：若∠ADC＝∠ACB，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项A不符合题意；若∠ACD＝∠B，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项B不符合题意；若，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项D不符合题意；若，且∠A＝∠A，则无法证明△ACD∽△ABC，故选项C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．6．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．它的图象分布在第二、第四象限B．点（﹣1，4）在它的图象上C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析即可．【解答】解：A、k＝4＞0，则图象位于第一、三象限，故不符合题意；B、当x＝﹣1时，y＝﹣4，所以图象经过点（﹣1，﹣4），故不符合题意；C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于基础题．7．（2分）已知．如图，（1）连接AB；（2）作弦AB的垂直平分线l1，分别交，弦AB于C，D两点；（3）作线段AD，DB的垂直平分线l2，l3，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H 两点；（4）连接EF．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．AG＝GD＝DH＝HB B．C．l1∥l2∥l3D．EF＝GH【分析】理由图象信息判断即可．【解答】解：由作图可知，AG＝DG＝DH＝BH，l1∥l2∥l3，四边形EFGH是矩形，∴EF＝GH，故选项A，C，D正确，故选：B．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．8．（2分）学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，解这个直角三角形．从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（）A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①【分析】根据题中所给的条件，得出可求出未知量的步骤即可解决问题．【解答】解：因为题中给出AC和BC的长，所以可先用勾股定理求出AB的长，或求出∠A（∠B）的正切值，进而得出∠A（∠B）的度数．B选项将④放在第一步，此时还未求出AB的值，所以B选项的排序错误．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，熟知解直角三角形的一般步骤是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．10．（2分）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为y＝2（x﹣2）2．【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为y＝2（x ﹣2）2．故答案为：y＝2（x﹣2）2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．11．（2分）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为．【分析】由CD∥EF，利用平行线分线段成比例，可得出＝，结合OC＝OA+AC ＝3，CE＝4，即可求出结论．【解答】解：∵CD∥EF，∴＝，又∵OA＝1，AC＝2，CE＝4，∴OC＝OA+AC＝1+2＝3，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．12．（2分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB 与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为cm．【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∵AB的高为15cm，BE为32cm，DE为8cm，∴＝，∴CD＝（cm），故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝76°，则∠ACB＝52°．【分析】连接OA，OB，由切线的性质推出∠PAO＝∠PBO＝90°，又∠P＝76°，即可求出∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°由圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB＝52°．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝76°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°∴∠ACB＝∠AOB＝52°．故答案为：52．【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，关键是由切线的性质推出∠PAO＝∠PBO ＝90°，由圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB．14．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c ＜﹣1的x的值，这个值可以是1．【分析】先求出y＝﹣1时的x的值，然后结合图象求解即可．【解答】解：由图象可知，当y＝﹣1时，x1＝0，x2＝2.8，∴当0＜x＜2.8时，y＜﹣1．∴不等式ax2+bx+c＜﹣1的解为0＜x＜2.8，∴满足不等式ax2+bx+c＜﹣1的x的值可以是1，故答案为：1．【点评】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，则m+n的值为0．【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得m＝ab，由点B（﹣b，a）在双曲线上，可得n＝﹣ab，然后得出答案．【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，∴m＝ab，n＝﹣ab，∴m+n＝ab+（﹣ab）＝0；故答案为：0．【点评】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，熟知反比例函数y＝（k≠0）的系数k＝xy是解题的关键．16．（2分）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：①该抛物线与x轴有两个交点；②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．所有正确推断的序号是①③④．【分析】依据题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，从而．解得b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a，再求出Δ＝b2﹣4ac＝1+16a2，进而可以判断①；依据题意，a＜0，从而c＝﹣1﹣3a＞﹣1，则它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方，故可判断②；又b＝1﹣2a，从而＝﹣1，进而﹣＝﹣+1，再结合a＜0，可以判断③；若a＞0，从而对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＜1，再分B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧或左侧，结合增减性可以判断④．【解答】解：由题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，∴．∴b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a．∴Δ＝b2﹣4ac＝（1﹣2a）2﹣4a（﹣1﹣3a）＝1﹣4a+4a2+4a+12a2＝1+16a2．∵对于任意a都有a2≥0，∴Δ＝1+16a2≥1＞0．∴该抛物线与x轴有两个交点，故①正确．∵a＜0，∴3a＜0．∴﹣3a＞0．∴﹣1﹣3a＞﹣1．∴c＝﹣1﹣3a＞﹣1．∴它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方．∴②错误．∵b＝1﹣2a，∴＝﹣1．∴﹣＝﹣+1．∵a＜0，∴对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＞1．∴它的对称轴在直线x＝1右侧，故③正确．若a＞0，∴对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＜1．∴当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧，y随x的增大而增大，显然B到它的对称轴距离较小；当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴两侧，又B关于直线x＝﹣对称的点﹣+1＜3，故B到它的对称轴距离较小．∴④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分,第23-4题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每7分)17．（5分）解不等式组：．【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣1和x＜1，然后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣1＜x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．18．（5分）计算：|﹣2|﹣2tan60°．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：|﹣2|﹣2tan60°＝4×+1+2﹣2＝2+1+2﹣2＝3．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．19．（6分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，合并同类项，求出x2﹣3x＝1，最后代入求出答案即可．【解答】解：（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2＝2x2﹣2x+x﹣1﹣x2﹣2x﹣1＝x2﹣3x﹣2，∵x2﹣3x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝1，∴原式＝1﹣2＝﹣1．【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．20．（5分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝6，AC＝4，求AD的长．【分析】（1）利用两角法证得结论；（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD．∵∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝．∵AB＝6，AC＝4，∴AD＝．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0），进而代入求出a，b即可得解；（2）依据题意，由抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，与x轴交点为A（﹣1，0），B（2，0），从而y＞0时，x的取值范围是图象在x轴上方部分对应的自变量的范围，进而可以判断得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0），∴．∴a＝1，b＝﹣1．∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2．（2）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，与x轴交点为A（﹣1，0），B（2，0），∴y＞0时，x的取值范围是图象在x轴上方部分对应的自变量的范围．∴x＜﹣1或x＞2．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．22．（6分）在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E 的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cos22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）【分析】延长AC交EG于点H，根据三角形的外角性质得到∠CEA＝22.5°，得到∠CEA ＝∠EAH，根据等腰三角形的判定求出EC，再根据中正弦的定义求出EH，进而求出EG．【解答】解：如图，延长AC交EG于点H，由题意得：AH⊥EG，∵EG⊥BG，CD⊥BG，∴四边形FGDC为矩形，∴HG＝CD＝1.7m，HC＝GD，∵∠ECH＝45°，∠EAH＝22.5°，∴∠CEA＝∠ECH﹣∠EAH＝22.5°，∴∠CEA＝∠EAH，∴EC＝AC＝20m，∵∠ECH＝45°，∴EH＝EC•sin∠ECH＝20×＝10（m），∴EG＝EH+HG＝10+1.7≈15.8（m），答：小山EG的高度约为15.8m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，．（1）求证：∠COB＝∠DOB；（2）若⊙O的半径为2，求OE，的长．【分析】（1）由垂径定理推出＝，由圆心角、弧、弦的关系推出∠COB＝∠DOB；（2）由垂径定理推出＝，而＝，得到∠COD＝120°，由等腰三角形的性质求出∠C＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得到OE＝OC＝1，由弧长公式即可求出的长．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥CD，∴＝，∴∠COB＝∠DOB；（2）解：∵直径AB⊥CD，∴＝，∵＝，∴的度数＝×360°＝120°，∴∠COD＝120°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠D＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠OEC＝90°，∴OE＝OC＝×2＝1，∵⊙O的半径为2，∠COD＝120°，∴的长＝＝π．【点评】本题考查垂径定理，弧长的计算，圆心角、弧、弦的关系，关键是由垂径定理推出＝，＝，掌握弧长公式．24．（5分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小明进行了三次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456789竖直高度y/m2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 3.72 1.1根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并求出实心球着地点的水平距离d1；（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为d2，d3，则d1，d2，d3的大小关系为d2＜d1＜d3．【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；选出表格中的数据，利用待定系数法即可求出函数解析式；再令y＝0求出x的值即可；（2）根据三次投掷实心球所得抛物线的对称轴和抛物线都过点（0，2），由函数的对称性得出结论．【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为（4，3.6），∴抛物线的解析式可表示为：y＝a（x﹣4）2+3.6，∵当x＝0时，y＝2，∴2＝a（0﹣4）2+3.6，解得a＝﹣，∴函数解析式为y＝﹣（x﹣4）2+3.6；令y＝0，则﹣（x﹣4）2+3.6＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），∴d1＝10，∴实心球着地点的水平距离d1为10米；（2）根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线x＝3.83和直线x＝4.07，∵三次抛物线都过点（0，2），3.83＜4＜4.07，∴小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离d2＜d1＜d3，故答案为：d2＜d1＜d3．【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式．25．（6分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质推出OC⊥AB，由切线的性质得到OD⊥DE，即可证明DE∥AB；（2）由tan∠ADC＝＝，令AC＝x，CD＝2x，得到OC＝2x﹣3，由勾股定理得到（2x﹣3）2+x2＝32，求出x＝，得到AC＝，OC＝2x﹣3＝，由锐角的正切定义得到＝，代入有关数据即可求出DE长．【解答】（1）证明：连接OB，∵OB＝OA，点C为AB的中点，∴OC⊥AB，∵DE切圆于D，∴OD⊥DE，∴DE∥AB；（2）解：∵tan∠ADC＝＝，∴令AC＝x，CD＝2x，∵⊙O的半径为3，∴OA＝OD＝3，∴OC＝2x﹣3，∵OA2＝OC2+AC2，∴（2x﹣3）2+x2＝32，∴x＝，∴AC＝，OC＝2x﹣3＝，∵∠DOE＝∠AOC，∴tan∠DOE＝tan∠AOC，∴＝，∴＝＝，∴DE＝4．【点评】本题考查切线是性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由勾股定理得到（2x ﹣3）2+x2＝32，求出AC，OC的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）若a＝1，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；（2）已知点（3﹣a，y1），（a+1，y2），（﹣a，y3）在该抛物线上，若y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．【分析】利用对称轴的公式x＝﹣求出对称轴，再令y＝0，求出A、B坐标；把x的值代入y中，得到y1大于0，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线的对称轴是：直线x＝﹣＝1，当x2﹣2x﹣3＝0时，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），故答案为：对称轴是：直线x＝1，A（﹣1，0），B（3，0）．（2）当x＝3﹣a时，y1＝4a2﹣12a+5；当x＝a+1时，y2＝﹣3＜0；当x＝﹣a时，y3＝4a2﹣4；∵y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，∴分两种情况：①当y1＝4a2﹣12a+5＞0，而y3＝4a2﹣4＜0时，∵y1＝4a2﹣12a+5＞0，令4a2﹣12a+5＝0，∴（2a﹣5）（2a﹣1）＝0，∴a1＝，a2＝，∴a的取值范围是：a＜或a＞．∵y3＝4a2﹣4＜0，令4a2﹣4＝0，∴a1＝1，a2＝﹣1，∴a的取值范围是：﹣1＜a＜1，故﹣1＜a＜；②当y1＝4a2﹣12a+5＜0，而y3＝4a2﹣4＞0时，∵y1＝4a2﹣12a+5＜0，令4a2﹣12a+5＝0，∴（2a﹣5）（2a﹣1）＝0，∴a1＝，a2＝，∴a的取值范围是：＜a＜．∵y3＝4a2﹣4＞0，令4a2﹣4＝0，∴a1＝1，a2＝﹣1，∴a的取值范围是：a＜﹣1或a＞1，故1＜a＜．综上所述，a的取值范围是：﹣1＜a＜或1＜a＜．故答案为：﹣1＜a＜或1＜a＜．【点评】本题考查了抛物线的对称轴的求法，抛物线与坐标轴交点的坐标，以及抛物线大于0的求法，掌握解题方法是解题关键．27．（7分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．【分析】（1）由点P与C重合，且PA平分∠EPF，得∠ACE＝∠ACF，由菱形的性质得AB＝CB＝AD＝CD，∠D＝∠B＝60°，所以△ABC和△ADC都是等边三角形，则∠BAC ＝∠DAC＝60°，所以∠CAM＝∠CAN＝120°，而AC＝AC，即可根据“ASA”证明△ACM≌△ACN，得AM＝AN；（2）①按题中所给条件补全图形即可；②作PH∠AB于点H，由∠BAC＝∠DAC＝60°，得∠PAM＝∠NAP＝120°，∠N+∠APF＝∠BAC＝60°，而∠APM+∠APF＝∠EPF＝60°，可证明∠APM＝∠N，所以△PAM ∽△NAP，则＝，所以AM•AN＝AP2，因为∠ABP＝45°，BP＝3，所以＝sin45°＝，则HP＝BP，因为＝sin60°＝，所以AP＝＝BP＝，即可证明AM•AN＝6．【解答】（1）证明：如图1，∵点P与C重合，且PA平分∠EPF，∴∠ACE＝∠ACF，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝CB＝AD＝CD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠CAM＝180°﹣∠DAC＝120°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠CAM＝∠CAN，在△ACM和△ACN中，，∴△ACM≌△ACN（ASA），∴AM＝AN．（2）解：①补全图形，如图2所示.②AM•AN＝6，证明：如图2，作PH∠AB于点H，则∠AHP＝∠BHP＝90°，∵∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠PAM＝∠NAP＝180°﹣60°＝120°，∠N+∠APF＝∠BAC＝60°，∵∠APM+∠APF＝∠EPF＝60°，∴∠APM+∠APF＝∠N+∠APF，∴∠APM＝∠N，∴△PAM∽△NAP，∴＝，∴AM•AN＝AP2，∵∠ABP＝45°，BP＝3，∴＝sin∠ABP＝sin45°＝，∴HP＝BP，∵＝sin∠BAC＝sin60°＝，∴AP＝＝＝BP＝×3＝，∴AP2＝（）2＝6，∴AM•AN＝6．【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：对于图形G1、G2，若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，d是G1关于G2的“映距”．（1）如图，点A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（﹣1，0），D（0，﹣1），E（4，0），F（0，4），G（5，0），H（0，5）．在线段CD，EF，GH中，线段AB的映图是EF，GH．（2）⊙O的半径为1．②若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用“映图”的定义解答即可；（2）①由题意画出图形，利用映距d的定义和圆的有关性质解答即可；②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，利用①的方法求得⊙O关于直线y＝﹣x+m的映距d的最小值，再利用⊙O上的点到端点A，B的最小距离不小于d的最小值列式解答即可；Ⅱ．当m＜0时，同理解答即可．【解答】解：（1）由题意：AB∥CD∥EF∥GH，平行线之间的距离相等，∵若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，∴线段AB的映图大于或等于AB，且映距d的最小值为两条平行线段的距离，∴线段AB的映图是：EF，GH．故答案为：EF，GH；（2）①过点O作直线l⊥直线，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，如图，设直线与坐标轴交于点A，B，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∵OK⊥AB，∴△OAK为等腰直角三角形，∴OK＝OA＝3，∴NK＝ON+OK＝1+3＝4，∴⊙O关于直线的映距d的最小值为4．②Ⅰ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图，则⊙O关于直线y＝﹣x+m的映距d的最小值为NK，设直线与坐标轴交于点A，B，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，∴A（m，0），B（0，m），∴OA＝OB＝m，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∵OK⊥AB，∴△OAK为等腰直角三角形，∴OK＝OA＝m．∴NK＝ON+OK＝m+1．∵直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，⊙O上的点到端点A，B 的最小距离为CA＝EB＝m﹣1，∴m﹣1≥m+1，∴m≥4+2．Ⅱ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图，用同样的方法计算可得：m≤﹣4﹣2．综上，若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，m的取值范围m≥4+2或m≤﹣4﹣2．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键。

江苏省南京市秦淮区2023-2024学年上学期期末检测九年级数学试卷(含解析)

江苏省南京市秦淮区2023-2024学年上学期期末检测九年级数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg 4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）A．0B．C．D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是 ．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数 ．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝ °．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 ．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 cm2．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 环．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为 ．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为 ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为 ．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是 ；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是 ．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是 ．2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣3x3，x的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意；B、y＝x2﹣5x，是二次函数，符合题意；C、y＝x4+2x2﹣1，x的最高次数是4，不是二次函数，不符合题意；D、y＝，不是二次函数，不符合题意．故选：B．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，1＜2，∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O内，故选：C．3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中51出现了1次，次数最多，故众数是51kg；将这组数据从小到大的顺序排列为：47，51，51，53，60，处于中间位置的那个数是51，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是51kg．4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D．5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．【解答】解：一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0可化为﹣8x2﹣8x+a2﹣2＝0，∵a＝﹣8，b＝﹣8，c＝a2﹣2，a≠0，∴Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣8）×（a2﹣2）＝64+32a2﹣64＝32a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）A．0B．C．D．2【分析】先用a，b表示出二次函数图象的顶点坐标，再结合该顶点在线段AB上即可解【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数），∴顶点坐标为（a，﹣a2+b）．又∵A（2，0），B（0，2），∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+2．∵二次函数图象的顶点在线段AB上，∴﹣a2+b＝﹣a+2，且0≤a≤2，则b＝a2﹣a+2＝（）2+，∴当a＝时，b有最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是　x1＝0，x2＝1　．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝．故答案为：．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数　60°或120°　．【分析】分点C在优弧和劣弧上两种情况，当点C在优弧上时，可直接利用圆周角定理得到∠ACB是∠AOB的一半，当点C在劣弧上时，可以优弧上找点D，则可求得∠ADB 是∠AOB的一半，再利用圆内接四边形的性质可求得∠ACB【解答】解：如图1，当点C在优弧上时，则∠ACB＝∠AOB＝60°；如图2，当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接DA、DB，则可得∠ADB＝∠AOB＝60°，又∵四边形ACBD为圆的内接四边形，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ACB的度数是60°或120°；故答案为：60°或120°．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝　80　°．【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°∴∠DCE＝∠A＝80°故答案为：80．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程　36（1﹣x）2＝25　．【分析】根据某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，36（1﹣x）2＝25，故答案为：36（1﹣x）2＝25．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为　15π　cm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．故答案为：15π．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为　8　环．【分析】根据前3箭的平均成绩为7环，可以得到前三箭的总环数，从而可以得到这六箭的总环数，从而可以得到平均成绩．【解答】解：由题意可得，x1+x2+x3＝3×7＝21，∴（x1+x2+x3+x1+1+x2+2+x3+3）÷6＝48÷6＝8（环），即这6箭的平均成绩为8环，故答案为：8．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为　3﹣　．【分析】连接OB，根据圆心角、弦、弧的关系推出AD⊥BC，根据垂径定理求出BE＝BC＝，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OB，∵D为的中点，直径AD交BC于点E，∴AD⊥BC，∴BE＝BC＝，∵AD＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，∴32＝OE2+，∴OE＝或OE＝﹣（舍去），∴DE＝OD﹣OE＝3﹣，故答案为：3﹣．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为　y＝x2﹣2x　．【分析】先解方程x2﹣2x﹣3＝0得到A（﹣1，0），B（3，0），则AB＝4，所以CD＝2，由于函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线x＝1，而C、D关于直线x＝1对称，所以C（0，0），D（2，0），然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∵AB＝2CD，∴CD＝2，∵函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线x＝1，∴C（0，0），D（2，0），∴平移后抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．故答案为：y＝x2﹣2x．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为　13　．【分析】过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，根据切线长定理得到AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，ME＝HE，MD＝GD，由△CDE的周长是4求出CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，根据勾股定理得到xy＝2（x+y）+4①，根据三角形的面积公式得到xy＝60﹣2（x+y）②，①②求得x+y即可．【解答】解：过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，∵DE与⊙O相切，设切点为M，∴ME＝HE，MD＝GD，∵△CDE的周长是4，CG+CH＝4，∴CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，∴（x+y）2＝（x+2）2+（y+2）2，化简得xy＝2（x+y）+4①，∵△ABC的面积是30，∴BC•AC＝30，∴（x+2）（y+2）＝60，∴xy＝60﹣2（x+y）②，由①②得x+y＝13，∴AB＝13．故答案为：13．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝5，（x+1）2＝5，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）x（x﹣3）＝3﹣x，x（x﹣3）+x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1　＞　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．（2）分别求出y1和y2即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，将点（0，5），（1，2），（2，1）分别代入函数表达式得，，解得，所以该二次函数表达式为y＝x2﹣4x+5．（2）当x＝﹣1时，；当x＝4时，；∴y1＞y2．故答案为：＞．19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．【分析】设边AB边的长为x m，根据花圃的面积为45m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：设边AB边的长为x m，由题意得：x（24﹣3x）＝45，整理得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝5，答：边AB的长为5m．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为　3　．【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）解：∵∠CAD＝∠ABC，∴＝，∴AC＝CD，∵AD是⊙O的直径，AD＝6，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，2AC2＝AD2＝62，解得：AC＝3．故答案为：3．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是　2　；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及2次摸到的球颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：∵从袋中任意摸出1个球是白球的概率是，∴，解得a＝2，经检验，a＝2是原方程的解且符合题意．故答案为：2．（2）列表如下：白红红白（白，白）（白，红）（白，红）红（红，白）（红，红）（红，红）红（红，（红，（红，白）红）红）共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有4种，∴2次摸到的球颜色不同的概率为．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）【分析】（1）过O点画直线交⊙O于点A、B，则根据圆周角定理得到∠APB满足条件；（2）任取点A，以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点B，则△AOB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理得到∠APB满足条件．【解答】解：（1）如图①，∠APB为所作；（2）如图②，∠APB为所作；23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．【分析】（1）先求出Δ的值，再判断出其符号即可；（2）把x＝1代入方程，求出m的值即可．【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为1，∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，∴m＝±1．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是　⑤　．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．【分析】（1）根据平均数和方差的定义列式计算即可；（2）对照表格可得答案；（3）参照天气情况图可得答案．【解答】解：（1）这7天最低气温的平均数＝4（℃），方差为×[（17﹣4）2+（5﹣4）2+（0﹣4）2+（0﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2+（﹣2﹣4）2]＝；（2）由题意知，本次来临的冷空气的等级是⑤，故答案为：⑤；（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来雨雪．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）【分析】依据题意，设每件商品的售价是x元，先求出每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100（x﹣17）2+4900，再由二次函数的性质进行判断可以得解．【解答】解：由题意，设每件商品的售价是x元，∴每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100x2+3400x﹣24000＝﹣100（x﹣17）2+4900．∴当每件商品的售价是17元时，利润最大为4900元．∴每月最大利润为147000元．答：当每件商品的售价是17元时，该商家捐赠的金额最大，最大捐赠金额是147000元．26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．【分析】（1）根据点P（a，b）在反比例函数的图象上，得ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，则xy＝4ab＝8，由此可得出答案；（2）根据点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，得b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，进而得得，由此可得出结论．【解答】解：（1）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，∴ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，∴xy＝4ab，将ab＝2代入xy＝4ab，得xy＝8，即，∴点（2a，2b）一定在这个函数的图象上；如下图所示：（2）点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上，理由如下：∵点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，∴b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，∵x＝3a，∴，∴．∴点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是　0≤d＜2　．【分析】（1）当点C运动到优弧AB的中点时，连接AD，AE，BE，利用同圆中等弧所对的圆周角相等可以推导出DE∥AB，再证明四边形ABED是矩形可以得出DE＝AB；（2）在条件（1）下，连接CE，根据圆周角相等和等腰三角形可以推导出BG＝2FG，最后推导出FG+AB＝AF+BG；（3）根据点C的运动轨迹就可以推导出d的取值范围．【解答】解：（1）当点C运动到优弧AB的中点时，DE∥AB且DE＝AB，连接AD，BE，AE，CE，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴＝＝，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，又∵D，E分别是，的中点，∴＝＝＝，∴∠DEA＝∠EAB＝∠DEC＝∠CBE＝∠DAC＝∠CED＝∠ECB＝30°，∴DE∥AB，∴∠DAB＝∠EBA＝90°，∴DA⊥AB，EB⊥AB，∴四边形ABED是矩形，∴AB＝DE；证明：（2）在（1）的条件下，∵∠ACB＝60°，FG∥AB，∴∠CFG＝∠CGF＝60°，∴△CFG为等边三角形，∴CF＝FG＝CG，又∵∠CED＝∠ECB＝30°，∴CG＝GE，∵在△GEB中，∠GBE＝30°，∠GEB＝90°，∴BG＝2GE＝2FG，∵AB＝AF+CF，∴AB+FG＝AF+CF+FG＝AF+BG；解：（3）连接OB，作OM⊥AB，∵当点C运动到优弧AB的中点时，此时AE，BD的交点I与圆心O重回，∴点O与点I的距离d为0，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴劣弧对的圆心角为120°，∴∠OBM＝30°，又∵AB＝6，∴OB＝2，∵OI≤OB+IB，∴当点C运动到点A或点B时，OI＝OB＝2，∵点C不与A，B两点重合，∴OI＜2，∴0≤d＜2，故答案为：0≤d＜2．。

浙教版九年级上册数学期末考试试卷附答案

浙教版九年级上册数学期末考试试卷附答案

浙教版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．若32y x =，则x yx +的值为（）A ．32B ．5C ．52D ．122．在一个不透明的盒子中有1个白球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．153．将抛物线2y x =-向左平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为（）A ．2(3)5y x =-++B ．2(3)5y x =-+-C ．2(3)5y x =--+D ．2(3)5y x =---4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=6，DB=3，AE=4，则EC 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．往直径为26cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为8cm ，则水面AB 的宽度为（）A ．12cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则tan ADC ∠的值为（）A ．21313B ．31313C ．23D ．327．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心（）A ．AEDB ．ABD △C ．BCD △D ．ACD△8．如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为弧AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．若图中阴影部分的面积为10π，则CDE ∠=（）A ．30°B ．36︒C ．54︒D ．45︒9．如图，CD 是Rt ABC 斜边AB 上的高，8AC =，6BC =，点O 是CD 上的动点，以O 为圆心作半径为1的圆，若该圆与ABC 重叠部分的面积为π，则OC 的最小值为（）A ．54B ．43C ．75D ．5310．已知ABC 为直角三角形，且30A ∠=︒，若ABC 的三个顶点均在双曲线(0)ky k x=>上，斜边AB 经过坐标原点，且B 点的纵坐标比横坐标少3个单位长度，C 点的纵坐标与B 点横坐标相等，则k =（）A ．4B ．92C ．32D ．5二、填空题11．正五边形每个内角的度数是_______．12．在一个有10万人的小镇随机调查了1000人，其中有100人看中央电视台的早间新闻．在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大约是_______．13．如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，切线PA 交OC 延长线于点P ，若2OP OC =，则ABC ∠=_______．14．如图所示，正方形的顶点A 在矩形DEFG 的边EF 上，矩形DEFG 的顶点G 在正方形的边BC 上．已知正方形的边长为4，DG 的长为6，则DE 的长为_______．15．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同两点，与y 轴的交点在y 轴正半轴，它的对称轴为直线1x =．有以下结论：①0abc >，②0a c ->，③若点()11,y -和()22,y 在该图象上，则12y y <，④设1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，若2am bm c p ++=，则()()120p m x m x --≤．其中正确的结论是____________（填入正确结论的序号）．16．如图，直角ABC 的直角边长4AB BC ==，D 是AB 中点，线段PQ 在边AC 上运动，322PQ =PDBQ 面积的最大值为_______，周长的最小值为_______．三、解答题17．（1）计算：022sin 30(2021)tan 60π︒+--︒．（2）已知线段4a =，9b =，求线段a ，b 的比例中项．18．在一个不透明的盒子中有3个颜色、大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有1，2，3这3个号码．（1）搅匀后从中随机抽出1个小球，抽到1号球的概率是_______．（2）搅匀后先从中随机抽出1个小球（不放回），再从余下的2个球中随机抽出1个球，求抽到的2个小球的号码的和为奇数的概率．19．如图，某海防哨所（O ）发现在它的北偏西30°，距离哨所500m 的A 处有一艘船，该船向正东方向航行，经过3分钟到达哨所东北方向的B 处，求该船的航速．（精确到1/km h ）20．如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，//DE AC ，//EF AB ．（1）求证：BDE EFC :△△．（2）若35AF FC =，EFC 的面积是25，求ABC 的面积．21．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x （元/千克）55606570销售量y （千克）70605040（1）求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？22．如图，在ABC 中，点O 是BC 中点，以O 为圆心，BC 为直径作圆刚好经过A 点，延长BC 于点D ，连接AD ．已知CAD B ∠=∠．（1）求证：①AD 是⊙O 的切线；②ACD BAD :△△；（2）若8BD =，1tan 2B =，求⊙O 的半径．23．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD ，若2AD BD CD =⋅，则称点D 是ABC 中BC 边上的“好点”．（1）如图2，ABC 的顶点是43⨯网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB 边上的“好点”；（2）ABC 中，14BC =，3tan 4B =，tan 1C =，点D 是BC 边上的“好点”，求线段BD 的长；（3）如图3，ABC 是⊙O 的内接三角形，点H 在AB 上，连结CH 并延长交⊙O 于点D ．若点H 是BCD △中CD 边上的“好点”．①求证：OH AB ⊥；②若//OH BD ，⊙O 的半径为r ，且3r OH =，求CHDH的值．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，且∠OBC ＝30°，OB ＝3OA ．（1）求抛物线y ＝ax 2+bx +3的解析式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，P 点横坐标为m ，过点P 作PF //y 轴交直线BC 于点F ，写出线段PF 的长度l 关于m 的函数关系式；（3）过点P 作PD ⊥BC 于点D ，当 PDF 的周长最大时，求出 PDF 周长的最大值及此时点P 的坐标．参考答案【分析】由32y x =，设()30,y k k =≠则2,x k =再代入求值即可得到答案．【详解】解：32y x =，∴设()30,y k k =≠则2,x k =∴2355.222x y k k k x k k ++===故选：.C 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数的方法解决有关比例的问题是解题的关键．2．C 【分析】先求出总球的个数，再用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．【详解】解： 不透明的口袋里装有1个白球、3个红球，共有4个球，∴现随机从袋里摸出1个球是白球的概率为14；故选：C ．【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．3．A 【分析】根据图象向左平移加，向上平移加，可得答案．【详解】解：将抛物线y=-x 2向左平移3个单位，再向上平移5个单位，平移后抛物线的解析式是y=-（x+3）2+5，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得AD AEDB EC =，代入计算可得：643EC=，即可解EC=2，故选B ．考点：平行线分线段成比例5．D 【分析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交圆O 于点C ，由题意可知CD 为8，然后根据勾股定理求出BD 的长，进而可得出AB 的长．【详解】如图，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交圆O 于点C ，则AB=2BD ，∵圆的直径为26cm ，∴圆的半径r=OB=13cm ，由题意可知，CD=8cm ，∴OD=13-8=5（cm ），∴()12BD cm ==，∴AB=24cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键．6．C 【分析】根据圆周角定理可知，∠ABC＝∠ADC．在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义即可求出∠ABC的正切值，从而得出答案．【详解】连接BC、AC．∵∠ADC和∠ABC所对的弧都是 AC，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝∠ADC，∴在Rt△ACB中，2 tan3ACABCBC∠==，∴tan∠ADC=2 3，故选C．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正切值转化成求∠ABC的正切值．7．D【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O 到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．8．B【分析】连接OC ，易得四边形CDOE 是矩形，△DOE ≌△CEO ，根据扇形的面积公式得∠COE=36°，进而即可求解．【详解】解：连接OC ，∵∠AOB ＝90°，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴四边形CDOE 是矩形，∴CD ∥OE ，∴∠DEO ＝∠CDE ，由矩形CDOE 易得到△DOE ≌△CEO ，∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC 的面积，∵S 扇形OBC ＝210360n π⨯＝10π，解得：n=36，∴CDE ∠=∠DEO=∠COE=36°．故选B ．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用扇形OBC 的面积等于阴影的面积是解题的关键．9．D【分析】根据勾股定理求出AB=10，由OC 取最小值时，O 与BC 相切，证明△OCP ∽△BCD ∽△BAC 得出::3:4:5OP PC CO =，从而求出OC 的最小值．【详解】解：2S r ππ==∵圆O 的半径为1，且圆与ABC 重叠部分的面积为π，∴此圆全部在△ABC 内，如图，在Rt ABC 中，8AC =，6BC =，∴10AB =若OC 取最小值时，O 与BC 相切，设切点为P ，连接OP ，则OP ⊥BC∵CD ⊥AB∴∠OPC=∠CDB∵∠OCP=∠BCD∴△OCP ∽△BCD同理可证△BAC ∽△BCD∴△OCP ∽△BCD ∽△BAC∵::6:8:103:4:5BC AC AB ==∴::3:4:5OP PC CO =又∵OP=1∴OC=15533⨯=故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及直线与圆的位置关系，证明△OCP ∽△BCD ∽△BAC 是解答此题的关键．10．B【分析】设(,)(0)k B x k x>，再分别表示出B ，C ，由直角三角形的性质得出BC OB =，联立方程组求出k 的值即可．【详解】解：在k y x =中，设(,)(0)k B x k x >，则3k x x+=，(,)k C x x ∵AB 经过坐标原点，∴(,)k A x x--∵ABC 为直角三角形，且30A ∠=︒，∴∠60B =︒∴1,22BC AB AB BC ==又∵2AB OB=∴BC OB=∴3k x x ⎪+=⎪⎩解得，92=k 故选：B ．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，中心对称的性质等知识，解题的关键是学会利用中心对称的性质解决问题．11．108︒【分析】先求出正n 边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：∵正多边形的内角和为2180()n -⨯︒，∴正五边形的内角和是5218540(0)-⨯︒=︒，则每个内角的度数是5405108︒÷=︒．故答案为：108︒【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．12．10%【分析】由随机调查了1000人，其中100人看中央电视台的早间新闻，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵随机调查了1000人，其中100人看中央电视台的早间新闻，∴在该镇随便问一个人，他看中央电视台早间新闻的概率大约是：10=10%100，故答案为：10%．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．30︒【分析】如图，连接,OA 先证明2,OP OA =再证明90,OAP ∠=︒利用三角函数求解60AOP ∠=︒，从而可得答案．【详解】解：如图，连接,OA ,2,OA OC OP OC == 2,OP OA ∴=PA 是O 的切线，90,OAP ∴∠=︒1cos ,2OA AOP OP ∴∠==60AOP ∴∠=︒，,AC AC= 11603022ABC AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒，故答案为：30.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的切线的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．14．83【分析】根据两角对应相等得出 AED CGD ，再根据相似三角形的性质得出=AD DE DG DC，从而得出DE 的长；【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC=4，∠ADC=∠C=90°，∴∠GDC+∠ADG=90°，∵四边形DEFG 是矩形，∴∠EDG=∠E =90°，∴∠EDA+∠ADG=90°，∴∠GDC=∠EDA∴ AED CGD ，∴=AD DE DG DC ，∵DG=6∴4=64DE ∴83DE =【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键15．③④【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1，∴12ba -=，∴b=-2a ；∵c+a+b ＞0，∴c-a ＞0，∴a-c ＜0，∴结论②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，∵点()11,y -和()22,y 在该图象上，∴()11,y -与x=1的距离比()22,y 与x=1的距离远；∴12y y <，∴结论③正确；∵2am bm c p ++=，1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，当0p a+b+c ＜≤时，12m ≤≤x x ；∴()()120＜--p m x m x ；当p=0时，()()12=0--p m x m x 当p ＜0时，()()120＜--p m x m x ∴()()120p m x m x --≤∴结论④正确；③④故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．16．11222+【分析】（1）连接DQ ，则可得四边形PDBQ DPQ BDQ S S S =+△△，根据已知条件分别表示出DPQ S 和BDQ S ，再根据AC 和PQ 的值求得四边形PDBQ 面积的最大值；（2）如图，作D 关于AC 的对称点1D ，连接1DD 交AC 于点G ，作1E//D AC ，1=D E AC ，设1BH D E ⊥于点H ，交AC 于点F ，据此可得，四边形1PD EQ 为平行四边形，因为四边形PDBQ的周长2BD PQ DP BQ EQ BQ =+++=++，周长最小，则EQ BQ +的值最小，即这三点共线时，EQ BQ +的值最小，此时EQ BQ BE +=，再根据勾股定理求得BE 的长即可．【详解】（1）如图，连接DQ ，∴四边形PDBQ DPQ BDQ S S S =+△△，∵直角ABC 的直角边长4AB BC ==，D 是AB 中点，∴ABC 为等腰直角三角形，122BD AD AB ===，∴AC =设AP x =，∴AQ AP PQ x =+=+，∴CQ AC AQ x x =-==，设DPQ V 底边PQ 上的高为1h ，∴2h ===∴113222DPQ S PQ h =⨯⨯=⨯△，设BDQ △底边PQ 上的高为2h ，∴22h AQ ==，∴2113222222BDQ S BD h x x =⨯⨯=⨯⨯=+△，∴四边形PDBQ 3332222S x x =++=+，∴当x 最大时，四边形PDBQ 的面积最大，∵x 的最大值AC PQ =-=∴四边形PDBQ 的面积最大值1132=；（2）如图，作D 关于AC 的对称点1D ，连接1DD 交AC 于点G ，作1E//D AC ，1=D E AC ，∴四边形1PD EQ 为平行四边形，1DG AG D G ==，∴1DP D P EQ ==，又∵四边形PDBQ 的周长2BD PQ DP BQ EQ BQ =+++=++，∴周长最小，则EQ BQ +的值最小，即这三点共线时，EQ BQ +的值最小，∴此时EQ BQ BE +=，设1BH D E ⊥于点H ，交AC 于点F ，∴BF AC ⊥，∴1DG AG D G FH ===∴BF AF ==∴BH BF FH =+==∴1FG D H AF AG ==-==∴112EH D E D H =-==，∴在Rt BEH 中，BE ==∴四边形PDBQ 的周长最小值2=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积、四边形面积、四边形周长等知识，解答本题的关键是正确的作出辅助线．17．（1）1-；（2）6．【分析】（1）先计算特殊角的正弦与正切值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得；（2）根据比例中项的定义列出式子计算即可得．【详解】（1）原式21212⨯+-=113=+-1=-；（2）设线段a ，b 的比例中项为x ，则::a x x b =，4a = ，9b =，4::9x x ∴=，解得6x =或6x =-（不符题意，舍去），即线段a ，b 的比例中项为6．【点睛】本题考查了特殊角的正弦与正切值、零指数幂、比例中项，熟记各定义和运算法则是解题关键．18．（1）13；（2）23【分析】（1）用列举法列出所有可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，即可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．【详解】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号球”的有1种，∴“抽到1号球”的概率为13；（2）用列表法表示出所有可能出现的结果情况如下：∴由表可知，共有6种等可能结果，其中其中“和为奇数”的有4种，∴4263P ==．【点睛】本题考查了列举法、列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解答本题的关键．19．14/km h【分析】设AB 与正北方向线交于点C ，根据已知及三角函数求得AC 、OC 的长，再根据等腰直角三角形的性质求得BC 的长，利用AB=AC+BC 求出AB 的长，再除以该船航行的时间即可求解；【详解】如图所示：设AB 与正北方向线交于点C ，∵在Rt △AOC 中，∠AOC=30°，OA=500m ，∴sin 30250AC OA m =︒= ，cos30OC OA =︒= ，∵△OBC 是等腰直角三角形，∴BC OC ==，∴250AB AC BC =+=+，∴该船的航速为：2503=5100060+÷+【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决方法为构造直角三角形，难度一般；20．（1）见解析；（2）64【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEB=∠FCE ，∠DBE=∠FEC ，再根据相似三角形的判定可得结论；（2）先根据35AF FC =得出58CF AC =，再根据相似三角形的判定与性质即可得出答案．【详解】（1）∵DE ∥AC ，∴∠DEB=∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE=∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；（2）∵35AF FC =，∴58CF AC =，∵//EF AB ，∴△BAC ∽△EFC ，∴22564⎛⎫== ⎪⎝⎭ EFC ABC CF AC S S ，∵25= EFC S ，∴64= ABC S ，即△ABC 的面积为64．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是本题的关键．21．（1）2180y x =+﹣；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2180k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+；（2）由题意得：()()502180600x x --+=，整理得214048000x x -+=：，解得126080x x ==，，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；（3）设当天的销售利润为w 元，则：()()502180w x x =--+22(70)800x =-+﹣，∵﹣2＜0，∴当70x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．22．（1）①见解析；②见解析；（2）3r =【分析】（1）①直接用直径所对圆周角是90°进行解题即可；②找到∠CAD=∠ABD 和∠ADC=∠BDA ，两个角相等即可证明两个三角形相似；（2）利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可求出半径的长度；【详解】（1）①如图所示，连接AO ，由BC 是直径得90BAC ∠= ，∵OB=OA ，∴∠B=∠OAB ，∵∠CAD=∠B ，∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠OAC+∠OAB=90°，∴AD 为圆的切线；②在△ACD 和△BAD 中，∠CAD=∠ABD ，∠ADC=∠BDA ，∴△ACD ∽△BAD（2）由（1）知△ACD ∽△BAD ∴DA DC AC DB DA AB==，∵1tan 2B =，∴1tan 2AC B AB ==，∴12DA DC DB DA ==，则2AD CD =，即182AD AD BD ==，得AD=4，∴122CD AD ==，∴BC=BD-CD=8-2=6，∴半径3r =；【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90°，相似三角形的判定以及锐角三角函数，正确掌握知识点是解题的关键；23．（1）见解析；（2）5或10；（3）①见解析；②23．【分析】（1）分两种情况讨论，如图①，取格点,,E F 且2,3,EF AC CE CB ====连接CF 交AB 于,D 如图②，取格点,N 且//,,CA BN BN CA =连接CN 交AB 于,D 则两种情况都满足2.CD AD BD = 从而可作出图形；（2）作BC 边上的高AH ，由3tan 4AH B BH ==tan 1,AH C CH ==可得：4,,3BH AH CH AH ==再列方程414,3AH AH +=求解6,8,6,AH BH CH ===设BD x =，则由222,AD AH DH =+2AD BD CD =⋅可得22(8)6(14)x x x -+=-，解方程可得答案；（3）①首先证得,AHC DHB ∽则该相似三角形的对应边成比例：,AH CH DH BH=即••AH BH CH DH =，由点H 是BCD △中CD 边上的“好点”,可得2•,BH CH DH =再证明,AH BH =再利用垂径定理的推论可得结论；②如图④，连接,AD 证明90,ABD ∠=︒可得AD 是直径，所以,,A O D 共线，设,OH x =则3,OA OD x ==2,BD x =再分别求解,,CH DH 从而可得答案．【详解】解：（1）如图①，取格点,,E F 且2,3,EF AC CE CB ====连接CF 交AB 于,D 如图②，取格点,N 且//,,CA BN BN CA =连接CN 交AB 于,D 则两种情况都满足2,CD AD BD = 即D 为ABC 中边AB 上的“好点”．理由如下：如图①，90ACB CEF ∠=∠=︒，2,4,EF AC CE CB ====(),CEF BCA SAS ∴ ≌,ECF CBA ∴∠=∠90,ECF BCD ∠+∠=︒ 90BCD CBA ∴∠+∠=︒，90CDB ∴∠=︒，∴90CDA CDB ∠=∠=︒，,ACD CBD ∴ ∽,CDADBD CD ∴=2,CD AD BD ∴= 如图②， 矩形,ANBC ,CD ND AD BD ∴===2.CD AD BD ∴= （2）如图③，作BC 边上的高AH ，3tan 4AHB BH ==tan 1,AHC CH ==4,,3BH AH CH AH ∴==14,BC BH CH =+= ∴414,3AH AH +=6,8,6,AH BH CH ∴===设BD x =，则8,14,DH x CD x =-=- 222,AD AH DH =+2AD BD CD =⋅，∴22(8)6(14)x x x -+=-，215500,x x ∴-+=()()5100,x x ∴--=∴5x =或10x =，经检验：5x =或10x =都符合题意，所以BD 的长为5或10.（3）①∵,,CHA BHD ACH DBH ∠=∠∠=∠∴,AHC DHB ∽∴,AH CH DH BH =即••AH BH CH DH =，∵点H 是BCD △中CD 边上的“好点”,2•,BH CH DH ∴=2•,BH AH BH ∴=,BH AH ∴=.OH AB ∴⊥②2.3CH DH =理由如下：如图④，连接,AD //,OH BD ,OH AB ⊥∴90,ABD ∠=︒∴AD 是直径，所以,,A O D 共线，3,r OH = ∴设,OH x =则3,OA OD x ==2,BD x ∴=22223642,AB AD BD x x x ∴=-=-=,OH AB ⊥ 22222,483,AH BH x HD BD HB x x x ∴===+=+=2•,BH CH DH =22,3BH CH x DH ∴==2.3x CH DH ∴=【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂径定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．24．（1）y ＝﹣13x 2+3；（2）l＝＝213m -+；（3，P 15)4【分析】（1）由抛物线y ＝ax 2+bx +3的表达式知：C （0，3），根据∠OBC ＝30°，得B （0），而OB ＝3OA ，得A0），再用待定系数法即可得y ＝﹣13x 2+3；（2）延长PF 交x 轴于点E ，先由B （0），C （0，3）得直线BC 的表达式为y＝3-x +3，设点P （m，21333m -++），则点F （m，3-m +3），故PF ＝l＝213m -+；（3）先证明∠OBC ＝30°＝∠P ，在Rt △PDF 中，PD ＝cos30°⋅PF，DF ＝sin30°⋅PF ＝12PF ，故△PDF 的周长＝PD +PF +DF+1+12）PF，可知PF 最大时，△PDF 的周长最大，而当m＝2时，l 最大＝94，即PF 最大为94，即可得到答案．【详解】解：（1）由抛物线y ＝ax 2+bx +3的表达式知：C （0，3），∴OC ＝3，∵∠OBC ＝30°，∴OB＝tan 30°OC∴B（0），又OB ＝3OA，即3OA ，∴OA∴A（0），将A（0），B（0）代入y ＝ax 2+bx +3，得：0330273a a ⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩，解得：13a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y ＝﹣13x 2+3；（2）延长PF 交x 轴于点E，如图：设直线BC 表达式为y ＝sx +t ，将B（0），C （0，3）代入得：3t t ⎧+⎪⎨=⎪⎩，解得3s t ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的表达式为y＝3-x +3，设点P （m，2133m -++），则点F （m，+3），∴PF ＝l＝21(3)(3)3m -++--+＝213m -；（3）∵∠OBC ＝30°，∴∠BFE ＝60°＝∠PFD ，∵PD ⊥BC ，∴∠P ＝30°，在Rt △PDF 中，PD ＝cos 30°⋅PFPF ，DF ＝sin 30°⋅PF ＝12PF，∴△PDF 的周长＝PD +PF +DF 12）PF PF ，∴PF 最大时，△PDF 的周长最大，而由（2）知：PF ＝l ＝213m -＝219()324x --+，∴当m l 最大＝94，即PF 最大为94，此时，△PDF∴点P 的坐标为15()24，△PDF 的周长最大值为278+．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、解直角三角形、三角形周长等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．。

人教版九年级(上)期末数学试卷(解析版)

人教版九年级(上)期末数学试卷(解析版)

人教版九年级第一学期期末数学试卷及答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．15．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.58．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．811．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+512．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．413．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．414．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜015．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为，m的值是．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？参考答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称【分析】直接利用关于原点对称点的性质可得答案．解：因为点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1）的横坐标和纵坐标均互为相反数，所以A、B两点关于原点对称．故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）【分析】根据二次函数的顶点式解析式解答即可．解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．解：观察这个图可知：黑砖（4块）的面积占总面积（9块）的．故选：B．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．5．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．解：∵a＝1，b＝0，c＝﹣3，∴Δ＝02﹣4×1×（﹣3）＝12＞0，则方程x2﹣3＝0有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等【分析】根据直径的定义，等圆的定义，等弧的定义，弧和圆心角的关系定理解答即可．解：A．过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故A选项说法错误；B．面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故B选项说法正确；C．在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，故C选项说法错误；D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项说法错误；故选：B．【点评】本题主要考查了对圆的认识和弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握相关定义和定理是解答本题的关键．7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.5【分析】利用2023年顺平县森林覆盖率＝2021年顺平县森林覆盖率×（1+这两年顺平县的森林覆盖年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：根据题意得39.7%（1+x）2＝50%，即0.397（1+x）2＝0.5，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．【分析】根据题意得到xy＝200（定值），故y与x之间的函数解析式，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论．解：∵根据题意xy＝200，∴y＝（x＞0，y＞0）．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点【分析】把解析式化为顶点式，利用二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，1），∴抛物线与x轴没有交点．故A，C，D正确；B不正确．故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，然后利用相似多边形的性质可得＝，进行计算即可解答．解：设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴＝，解得：x＝6，故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．11．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+5【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．解：A、y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，符合题意；B、y＝2x﹣1，y随x的增大与增大，不合题意；C、y＝﹣3x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，不合题意；D、y＝x2+4x+5，当x＜0时，y随x先减小，然后增大，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．12．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．4【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等边三角形的性质求出OH即可．解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，∵⊙O的直径为4cm，∴OB＝OA＝2cm，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵OH⊥AB，∴BH＝AB＝×2＝1（cm），∴OH＝＝（cm），∴正六边形纸片的边心距是cm，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．13．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．4【分析】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM 长的最小值．解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′＝×8＝4，∴在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3，∴线段OM长的最小值为3．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜0【分析】根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴交点位置确定a、b、c的取值范围，结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，求得a+b+c＜0，从而求解．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A错误；∵﹣＜0，∴b＜0，故B错误；∵与y轴的交点在正半轴，∴c＞0；故C错误；由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，∴a+b+c＜0，故D正确；故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．15．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．解：∵反比例函数y＝﹣，∴该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确；当x＞0时，y随x的增大而增大，故②正确；当x＝﹣2时，y＝3，故③正确；若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y1＜y2，点A在第二象限，点B在第四象限时y1＞y2，故④错误；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为3，m的值是6．【分析】设另一个根为x1，则根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m，求出即可．解：设另一个根为x1，则x1+2＝5，2x1＝m，解得：x1＝3，m＝6．故答案为：3，6．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝BC，∴BD＝sin60°×OB＝，∴BC＝2BD＝，劣弧BC＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝﹣2；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是0≤t＜4．【分析】（1）通过抛物线对称轴为直线x＝﹣求解；（2）将抛物线解析式化为顶点式，通过﹣3≤x≤1时y的取值范围求解．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴函数最大值为y＝4，∵（﹣1）﹣（﹣3）＞1﹣（﹣1），∴x＝1时，y＝﹣1﹣2+3＝0为﹣3≤x≤1的函数最小值，∴0≤t＜4时，直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，故答案为：0≤t＜4．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线顶点坐标公式，掌握二次函数与方程的关系．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．【分析】（1）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．解：（1）x2+4x＝5，x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x+5＝0，x1＝1，x2＝﹣5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2，x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣2＝0或2x﹣1＝0，x1＝2，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于0.25，据此可得答案；（2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．解：（1）由频率统计表知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25，从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为1﹣0.25＝0.75＝，故答案为：0.25，；（2）由（1）知，袋中白球的个数约为4×0.25＝1，红球的个数为4﹣1＝3，列表如下：白红1红2红3白白红1白红2白红3红1红1白红1红2红1红3红2红2白红2红1红2红3红3红3白红3红1红3红2由表可知共有12种情况，其中一红一白的有6种，所以摸到一个红球一个白球的概率为＝．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为（22﹣2x）m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．【分析】（1）由题意即可得出结论；（2）由题意：建造一个面积为60m2的长方形花坛，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．解：（1）由题意得：花坛DE边的长为（22﹣2x）m，故答案为：（22﹣2x），（2）根据题意得：x（22﹣2x）＝60，整理得：x2﹣11x+30＝0，解得：x1＝5，x2＝6，当x＝5时，DE＝22﹣2×5＝12＞11（不符合题意，舍去）；当x＝6时，DE＝22﹣2×6＝10＜11，符合题意；答：CD边的长为6m，DE边的长为10m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，由等腰直角三角形的性质可求解；（2）由勾股定理的逆定理可求∠EFC＝90°，即可求解．解：（1）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形，设BE＝BF＝x，则x2+x2＝（2）2，解得：x＝2，∴BF的长为2；（2）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF＝1，在△CEF中，EF＝2，CF＝1，EC＝3，∵CF2+EF2＝12+（2）2＝9，CE2＝9，∴CF2+EF2＝CE2，∴△CEF为直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝135°．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠BAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠ACO，则∠EAC＝∠ACO，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．（2）通过证明△AEC∽△ACB，进而根据比例式求得半径．【解答】（1）连OC（如图），∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠OAC，∵∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴OC⊥DE，∵点C在⊙O上，∴OC＝r，∴DE为⊙O的切线．（2）连BC（如上图），∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠AEC，又∵∠EAC＝∠BAC，∴△AEC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝r＝，∴r＝．【点评】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k＝6×2＝12，进而可得反比例函数解析式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得mn＝12，再根据△ABC面积为9，可得×BC×（6﹣n）＝9，解可得m的值，进而可得n的值，从而可得点B的坐标；（3）根据函数图象即可得到结论．【解答】解；（1）把A点坐标为（2，6）代入反比例函数y＝得，k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设点B坐标为（m，n），分三种情况：①当B点在第一象限且在A点的上方时，（y B﹣y A）×CB＝9 即（n﹣6）×m＝9，×（﹣6）×m＝9，解得m＝﹣1（不符合题意，舍去），②当B点在第一象限且在A点的下方时，（y A﹣y B）×CB＝9 即（6﹣n）×m＝9，（6﹣）×m＝9，解得m＝5，∴点B坐标为（5，）；③当B点在第三象限时，（y A﹣y B）×CB＝9，（6﹣n）×（﹣m）＝9 （6）×（﹣m）＝9，解得m＝﹣1，∴点B坐标为（﹣1，﹣12），所以点B的坐标为（5，）或（﹣1，﹣12）；（3）由图象知，当y＜3时，自变量x的取值范围为x＞4 或x＜0．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【分析】（1）①当0≤x≤30时由顶点坐标为（10，1800），可设y＝a（x﹣30）2+1800，再将（0，0）代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；②当30＜x≤40时，根据等候的人数不变得出函数解析式；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w＝y﹣40x及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w 关于x的二次函数和一次函数，按照二次函数和一次函数的性质可得答案；（3）设从一开始就应该增加m个监测点，根据在10分钟内让全部学生完成体温检测得到关于m的不等式解不等式即可．解：（1）①当0≤x≤30时，∴设y＝a（x﹣30）2+1800，将（0，0）代入，得：900a+1800＝0，解得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣30）2+1800＝﹣2x2+120x（0≤x≤30），②当30＜x≤40时，y＝1800（30＜x≤40），∴y与x之间的函数表达式为y＝；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w＝y﹣40x，①0≤x≤30时，w＝﹣2x2+120x﹣40x＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＝20时，w的最大值是800；②当30＜x≤40时，w＝1800﹣40x，∵﹣4＜0，∴w随x的增大而减小，∴200≤w＜600，∴排队人数最多是600人，要全部学生都完成体温检测：1800﹣40x＝0，解得：x＝45，∴要全部学生都完成体温检测需要45分钟，（3）设从一开始就应该增加m个监测点，由题意得：10×20（m+2）≥1800，解得：m≥7，∴从一开始就应该增加7个监测点．【点评】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．。

九年级(上)期末数学试卷(解析版) (4)

九年级(上)期末数学试卷(解析版) (4)

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．方程x（x﹣2）=0的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=﹣2 D．x=0或x=22．下列事件中是必然事件的是（）A．实心铁球投入水中会沉入水底B．某投篮高手投篮一次就投中C．打开电视机，正在播放足球比赛D．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°5．若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（）A．1：2 B．1：C．2：1 D．1：46．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+37．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289 8．如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，将△ABO 绕点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O（点A对应点A′），则点A′的坐标是（）A．（2，0）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣2）9．已知m＜0，则函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，圆内接四边形ABCD，AB=3，∠C=135°，若AB⊥BD，则圆的直径是（）A．6 B．5 C．3D．311．已知Rt△ABC的一条直角边AB=8cm，另一条直角边BC=6cm，以AB为轴将Rt△ABC旋转一周，所得到的圆锥的侧面积是（）A．120πcm2B．60πcm2C．160πcm2D．80πcm212．已知关于x的方程只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为一切实数二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．已知一元二次方程x2﹣x﹣c=0有一个根为2，则常数c的值是．14．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于4的概率是．15．点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为20m，那么这根旗杆的高度是m．17．如图所示，一个半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的弧长是．18．如图，点A，B分别在函数y=（k1＞0）与y=（k2＜0）的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是．三、解答题（共9小题，满分90分）19．已知关于x的一元二次方程x2+x+a=0有两个相等的实数根，求a的值．20．解方程：x2﹣2x=1．21．如图，正方形的边长为2，边OA，OC分别在x轴与y轴上，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过正方形的中心D．（1）直接写出点D的坐标；（2）求反比例函数的解析式．22．一个不透明的口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1，2，3，从袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机摸出一个小球．（1）请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；（2）求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．23．如图，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′=30°，求∠B的度数．24．某商场销售一种笔记本，进价为每本10元，试营销阶段发现：当销售单价为12元时，每天可卖出100本．如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10本．（1）写出该商场销售这种笔记本，每天所得的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（x＞10）；（2）若该笔记本的销售单价高于进价且不超过15元，求销售单价为多少元时，该笔记本每天的销售利润最大？并求出最大值．25．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明DE是⊙O的切线；（2）若OA=，CE=1，求△ABC的面积．26．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P以每秒一个单位的速度从点A出发，沿对角线AC向点C移动，同时动点Q以相同的速度从点C出发，沿边CB向点B移动．设P，Q两点移动时间为t秒（0≤t≤4）．（1）用含t的代数式表示线段PC的长是；（2）当△PCQ为等腰三角形时，求t的值；（3）以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，求t的值．27．如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H．（1）求A，B两点的坐标；（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；（3）以OB为边最第四象限内作等边△OBM．设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．2017-2018学年福建省福州市长乐市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．方程x（x﹣2）=0的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=﹣2 D．x=0或x=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】原方程已化为了方程左边为两个一次因式的乘积，方程的右边为0的形式；可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，从而求出原方程的解．【解答】解：由题意，得：x=0或x﹣2=0，解得x=0或x=2；故选D．【点评】在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．2．下列事件中是必然事件的是（）A．实心铁球投入水中会沉入水底B．某投篮高手投篮一次就投中C．打开电视机，正在播放足球比赛D．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上【考点】随机事件．【分析】根据理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【解答】解：实心铁球投入水中会沉入水底是必然事件，A正确；某投篮高手投篮一次就投中是随机事件，B错误；打开电视机，正在播放足球比赛是随机事件，C错误；抛掷一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，D错误，故选：A．【点评】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°【考点】圆周角定理．【专题】探究型．【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=45°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（）A．1：2 B．1：C．2：1 D．1：4【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是1：2，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴它们的面积之比是：1：4，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y=（x+2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．7．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，∴方程为289（1﹣x）2=256．故选答：A．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a 是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答案错看成B．8．如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，将△ABO 绕点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O（点A对应点A′），则点A′的坐标是（）A．（2，0）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣2）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化-旋转．【专题】计算题．【分析】通过解方程组可得A（1，2），则AB=2，OB=1，再根据旋转的性质得AB=A′B′=2，OB=OB′=1，∠A′B′O=∠ABO=90°，∠BOB′=90°，所以点B′在y轴的正半轴上，A′B′⊥y轴，然后利用第二象限点的坐标特征写出A′点的坐标．【解答】解：解方程组得或，则A（1，2），∵AB⊥x轴，∴B（1，0），∴AB=2，OB=1，∵△ABO绕点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O（点A对应点A′），如图，∴AB=A′B′=2，OB=OB′=1，∠A′B′O=∠ABO=90°，∠BOB′=90°，∴点B′在y轴的正半轴上，A′B′⊥y轴，∴A′点的坐标为（﹣2，1）．故选C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了旋转的性质．9．已知m＜0，则函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数的性质，分别分析x＞0和x＜0时图象所在象限．【解答】解：当x＞0时，y==，∵m＜0，∴图象在第四象限；当x＜0时，y==﹣，∵m＜0，∴﹣m＞0，∴图象在第三象限；故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．10．如图，圆内接四边形ABCD，AB=3，∠C=135°，若AB⊥BD，则圆的直径是（）A．6 B．5 C．3D．3【考点】圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据等腰直角三角形的性质和圆周角定理解得即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=45°，又AB⊥BD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AD=AB=3，∵AB⊥BD，∴线段AD为圆的直径，∴圆的直径为3，故选：D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质和圆周角定理的应用，掌握相关的定理、灵活运用性质是解题的关键．11．已知Rt△ABC的一条直角边AB=8cm，另一条直角边BC=6cm，以AB为轴将Rt△ABC旋转一周，所得到的圆锥的侧面积是（）A．120πcm2B．60πcm2C．160πcm2D．80πcm2【考点】圆锥的计算．【分析】根据勾股定理求出Rt△ABC的斜边长，根据题意求出圆锥的底面周长，根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵Rt△ABC的一条直角边AB=8cm，另一条直角边BC=6cm，∴斜边AC==10cm，圆锥的底面周长为：2π×6=12πcm，则圆锥的侧面积为：×12π×10=60πcm2．故选：B．【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．已知关于x的方程只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为一切实数【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】方程只有一个实数根，则函数y=和函数y=x2﹣2x+3只有一个交点，根据二次函数所处的象限，即可确定出a的范围．【解答】解：∵方程只有一个实数根，∴函数y=和函数y=x2﹣2x+3只有一个交点，∵函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，开口向上，对称轴x=1，顶点为（1，2），抛物线交y轴的正半轴，∴反比例函数y=应该在一、三象限，∴a＞0，故选A．【点评】本题考查了二次函数的图象和反比例函数的图象，确定二次函数的图象所处的位置是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．已知一元二次方程x2﹣x﹣c=0有一个根为2，则常数c的值是2．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=2代入方程x2﹣x﹣c=0，得出一个关于c的方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x=2代入方程x2﹣x﹣c=0得：4﹣2﹣c=0，解得：c=2，故答案为：2．【点评】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解得应用，能得出关于c的方程是解此题的关键．14．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于4的概率是．【考点】概率公式．【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为1、2、3、4、5、6，共有6种可能，大于4的点数有5、6，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数大于4的概率．【解答】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有6种可能，而只有出现点数为5、6才大于4，所以这个骰子向上的一面点数大于4的概率是=．故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．15．点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣1）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】计算题．【分析】根据点P（a，b）关于原点对称的点P′的坐标为（﹣a，﹣b）即可得到点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标．【解答】解：点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣1）．故答案为（2，﹣1）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点P（a，b）关于原点对称的点P′的坐标为（﹣a，﹣b）．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为20m，那么这根旗杆的高度是12m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为xm，由题意得，=，解得：x=12．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．17．如图所示，一个半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的弧长是π．【考点】相切两圆的性质．【分析】连接OA、CB，则CB⊥OB，由切线长定理得出∠BOC=×60°=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OC=2CB=2，求出OA=OC+CA=3，扇形的弧长公式即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接CB，则CB⊥OB，∴∠OBC=90°，∠BOC=×60°=30°，∵CA=CB=1，∴OC=2CB=2，∴OA=OC+CA=3，∴扇形的弧长==π．故答案为：π．【点评】本题考查了相切两圆的性质、切线长定理、含30°角的直角三角形的性质、弧长公式；熟练掌握相切两圆的性质，求出扇形的半径是解决问题的关键．18．如图，点A，B分别在函数y=（k1＞0）与y=（k2＜0）的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是4．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】设A（a，b），B（﹣a，d），代入双曲线得到k1=ab，k2=﹣ad，根据三角形的面积公式求出ad+ad=4，即可得出答案．【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∴AC∥BD∥y轴，∵M是AB的中点，∴OC=OD，设A（a，b），B（﹣a，d），代入得：k1=ab，k2=﹣ad，∵S△AOB=2，∴（b+d）•2a﹣ab﹣ad=2，∴ab+ad=4，∴k1﹣k2=4，故选：4．【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出ab+ad=4，4是解此题的关键．三、解答题（共9小题，满分90分）19．已知关于x的一元二次方程x2+x+a=0有两个相等的实数根，求a的值．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于a的等式，求出a的值即可．【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×a=1﹣4a=0，解得a=．【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．解方程：x2﹣2x=1．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：∵x2﹣2x=1∴（x﹣1）2=2∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．如图，正方形的边长为2，边OA，OC分别在x轴与y轴上，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过正方形的中心D．（1）直接写出点D的坐标；（2）求反比例函数的解析式．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】（1）根据正方形的性质即可求得D的坐标；（2）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式．【解答】解：（1）∵正方形的边长为2，边OA，OC分别在x轴与y轴上，∴A（2，0），C（0，2），B（2，2），∵点D是正方形的中心，∴D（1，1）；（2）设反比例函数的解析式为y=，且该函数图象过点D（1，1），∴=1，∴k=1，∴反比例函数的解析式为y=．【点评】本题考查了正方形的性质和待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．一个不透明的口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1，2，3，从袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机摸出一个小球．（1）请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；（2）求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字积为奇数有4种情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）根据题意，可以画如下的树状图：由树状图可以看出，所有可能的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等；（2）由（1）得：其中两次摸出的球上的数字积为奇数的有4种情况，场P（两次摸出的球上的数字积为奇数）=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．如图，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′=30°，求∠B的度数．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可得△ABC≌△AB′C′，根据全等三角形的性质可得AC=AC′，∠B=∠AB′C′，则△ACC′是等腰直角三角形，然后根据三角形的外角的性质求得∠AB′C′即可．【解答】解：由旋转的性质可得：△ABC≌△AB′C′，点B′在AC上，∴AC=AC′，∠B=∠AB′C′．又∵∠BAC=∠CAC′=90°，∴∠ACC′=∠AC′C=45°．∴∠AB′C′=∠ACC′+∠CC′B′=45°+30°=75°，∴∠B=∠AB′C′=75°．【点评】本题考查了旋转的性质以及全等三角形的性质和三角形的外角的性质，注意到△ACC′是等腰直角三角形是关键．24．某商场销售一种笔记本，进价为每本10元，试营销阶段发现：当销售单价为12元时，每天可卖出100本．如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10本．（1）写出该商场销售这种笔记本，每天所得的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（x＞10）；（2）若该笔记本的销售单价高于进价且不超过15元，求销售单价为多少元时，该笔记本每天的销售利润最大？并求出最大值．【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）把y=﹣10x2+320x﹣2200化为y=﹣10（x﹣16）2+360，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）y=（x﹣10）[100﹣10（x﹣12）=（x﹣10）（100﹣10x+120）=﹣10x2+320x﹣2200；（2）y=﹣10x2+320x﹣2200=﹣10（x﹣16）2+360，由题意可得：10＜x≤15，∵a=﹣10＜0，对称轴为直线x=16，∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴当x=15时，y取最大值为350元，答：销售单价为15元时，该文具每天的销售利润最大，最大值是350元．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣时取得．25．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明DE是⊙O的切线；（2）若OA=，CE=1，求△ABC的面积．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）连接AE，OE，∠AEB=90°，∠BAC=90°，在Rt△ACE中，D为AC的中点，则DE=AD=CD=AC，得出∠DEA=∠DAE，由OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，则∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，即可得出结论；（2）AB=2AO=2，由△BCA∽△BAE，得出=，求出BE=3，BC=4，由勾股定理得AC==2，则S△ABC=AB•AC代入即可得出结果．【解答】（1）证明：连接AE，OE，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC=90°，∵在Rt△ACE中，D为AC的中点，∴DE=AD=CD=AC，∴∠DEA=∠DAE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，∴OE⊥DE，∵OE为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AO=，∴AB=2AO=2，∵∠CAB=∠AEB=90°，∠B=∠B，∴△BCA∽△BAE，∴=，即AB2=BE•BC=BE（BE+EC），∴（2）2=BE2+BE，解得：BE=3或BE=﹣4（不合题意，舍去），∴BE=3，∴BC=BE+CE=3+1=4，∴在Rt△ABC中，AC===2，∴S△ABC=AB•AC=×2×2=2．【点评】本题考查了切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．26．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P以每秒一个单位的速度从点A出发，沿对角线AC向点C移动，同时动点Q以相同的速度从点C出发，沿边CB向点B移动．设P，Q两点移动时间为t秒（0≤t≤4）．（1）用含t的代数式表示线段PC的长是5﹣t；（2）当△PCQ为等腰三角形时，求t的值；（3）以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，求t的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，根据题意用t表示出AP，结合图形计算即可；（2）分CP=CQ、QP=QC、PQ=PC三种情况，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质计算即可；（3）连接BP、BM，根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一得到BP=BQ，根据勾股定理用t表示出BP、BQ，列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵点P的速度是每秒一个单位，移动时间为t秒，∴AP=t，则PC=AC﹣AP=5﹣t，故答案为：5﹣t；（2）当CP=CQ时，t=5﹣t，解得t=，当QP=QC时，过点Q作QH⊥AC于H，如图1，则PH=HC=PC=（5﹣t），QC=t，∵QH⊥AC，∠B=90°，∴△CHQ∽△CBA，∴=，即=，解得t=，当PQ=PC时，如图2，过点P作PN⊥QC于N，则NC=NQ=QC=t，∵△CPN∽△CAB，得=，即=，解得t=，综上所述，当t=或t=或t=时，△PCQ为等腰三角形；（3）连接BP、BM，如图3，则∠BMQ=90°，∵M为PQ的中点，∴BP=BQ，过点P作PK⊥AB于K，∵AP=t，∴PK=t，AK=t，∴BK=3﹣t，在Rt△BPK中，PB2=PK2+BK2=（3﹣t）2+（t）2，又BQ=4﹣t，∴（4﹣t）2=（3﹣t）2+（t）2，解得t=．∴以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，t的值为．【点评】本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用数形结合思想、正确作出辅助线是解题的关键．27．如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H．（1）求A，B两点的坐标；（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；（3）以OB为边最第四象限内作等边△OBM．设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）令y=0，求得关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即为点A、B的横坐标；（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），根据抛物线解析式求得点D的坐标为D（1，﹣4）；结合坐标与图形的性质求得线段CD=，CB=3，BD=2；所以根据勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°，则易推知相似三角形△BCD∽△PNB，由该相似三角形的对应边成比例来求x的值，易得点P的坐标；（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．构建全等三角形：△EOM≌△FBM，由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系得到：∠OBF=120°为定值，即BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足线段DF的长的最小值即为DK的长度．【解答】解：（1）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），如图1，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．连接BP，设∠NBP=∠CDB．令x=0，得y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴C（0，﹣3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）．由勾股定理，得CD=，CB=3，BD=2．∴BD2=BC2+CD2，∴∠BCD=90°．∵∠BCD=∠PNB=90°，∠NBP=∠CDB．∴△BCD∽△PNB．∴=，=，即x2﹣5x+6=0，解得x1=2，x2=3（不合题意，舍去）．∴当x=2时，y=﹣3∴P（2，﹣3）；（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．由题意可得：，∴△EOM≌△FBM，∴∠MBF=∠MOB=60°．∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°为定值，∴BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足．在Rt△BGH中，∠HBG=180°﹣120°=60°，∴∠HGB=30°．∵HB=3，∴BG=4，HG=2．∵D（1，﹣4），∴DH=4，∴DG=2+4．在Rt△DGK中，∠DGK=30°．∴DK=DG=2+．∵当点E与点H重合时，这时BF=OH=1，则GF=4+1=5．而GK=DK=3+2＞5，即点K在点F运动的路径上，所以线段DF的长的最小值存在，最小值是2+．。

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．．1. 已知 m B ． A初三数学第一学期期末试卷附参考答案一、选择题 （本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.n= ，那么下列式子中一定成立的是3 4A ． 4m = 3nB ． 3m = 4nC ． m = 4nD ． mn = 122.如图，△ ABC 中, DE ∥ BC ，AD 1= ， AE = 2cm ， AB 3则 AC 的长是A ． 2cmB ． 4cmC ． 6cmD ． 8cm3. 如图，⊙ O 是 ∆ABC 的外接圆， ∠A = 50︒ ，则 ∠BOC 的度数为A ． 40︒B ． 50︒C ． 80︒D ．100︒AO CB4. 将抛物线 y = 2 x 2 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线是A ． y = 2( x + 1)2 + 3B ． y = 2( x - 1)2 + 3C ． y = 2( x + 1)2 - 3D ． y = 2( x - 1)2 - 35.如图，在 Rt ∆ABC ， ∠C = 90︒ ， AC = 8 ， BC = 6 ，则 sin B 的值等于A ． 3 44 3B4 3 C ． D ．5 5C6. 如图， AB 是 O 的直径， C 、D 是圆上两点， ∠CBA = 70︒ ，则 ∠D 的度数为CA ．10︒B ． 20︒ AOBC ． 70︒D ． 90︒7. 在平面直角坐标系 xOy中，以 M (3,4) 为圆心，半径为 5 的圆与x 轴的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定8. 如图， ∆ABC 中， AB = AC = 4 ， ∠BAC = 120︒ .D点 O 是 BC 中点，点 D 沿 B →A →C 方向从 B 运动A到 C .设点 D 经过的路径长为 x ， OD 长为 y .则函数D y 的图象大致为BO Cy y y yO x O x O x O xA B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.若两个相似三角形对应边的比是3：2，那么这两个相似三角形面积的比是.10.若反比例函数y=m-1x的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是______.11.若扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是____cm2.12.如图，边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，顶点A与坐标原点O重合，点B在x轴上.将正方形ABCD沿x轴正方向作无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时，D点的坐标是________,D点经过的路径的总长度是________；当点D第2014次落在x轴上时，D点经过的路径的总长度是_______.三、解答题（本题共50分，每小题5分）13.计算：sin60︒cos30︒+2sin45︒-tan45︒yDCAO B x14.如图，在∆ABC中，点D在边AB上，∠ACD=∠ABC,AD=1,AB=3.求AC的长.15.已知二次函数y=x2-4x+3.（1）求二次函数与x轴的交点坐标；（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围.ADB C16.如图，在∆DEF中，EF=2,DE=4,∠DEF=120︒，求DF的长.FD E1017. 如 图 ， AB是⊙ O 的 弦 ， CD 是⊙ O 的直径，CD ⊥ AB ，垂足为 E . CE = 1, E D = 3 ，求 AB 长.CAEOBD18. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30︒ ，然后沿 AD 方向前行 10m ，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60︒ （ A 、 B 、 D 三点在同一直线上）。

请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到 0.1m ）.（参考数据： 3 ≈1.732）A30° m19. 在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y = - x + b 和函数4y = ( x > 0) 都经过 A(1,m ) .xB 60°y5 4 3CD（1）求 m 值和一次函数的解析式；4（2）点 B 在函数 y = ( x > 0) 的图象上，x21 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2O1 2 3 4 5x且位于直线 y = - x + b 下方.若点 B 的横纵坐标都为整数，直接写出点 B 的坐标.-3 -4 -520. 在 ABCD 中，tan A = 2 ，AD = 2 5 ，BD = 4 2 , O 是 BD 中点，OE ⊥ DC 于E .(1)求 ∠DBA 的度数.(2)求四边形 O BCE 的面积.D E COAB（2）若 = ， PD = ，求 O 的半径.= D 321. 如图， AB 是 O 的直径， C 是圆周上一点， O D ⊥ AC 于点 D .过 C 作 O 的切线，交 OD 的延长线于点 P ,连接 AP .P（1）求证： AP 是 O 的切线.CAC 4 16AB 5 3DAO B22. 阅读下面材料:小明遇到下面一个问题：BD 如图 1 所示， AD 是 ∆ABC 的角平分线， AB = m , AC = n ，求的值.DC小明发现，分别过 B ，C 作直线 AD 的垂线，垂足分别为E, F .通过推理计算，可以解决问题（如图 2）.请回答，BDDC= ________.A AFBD图1C B DE 图2C参考小明思考问题的方法，解决问题：如 图 3 ， 四 边 形 ABCD 中 ， A B = 2 , B C = 6 ,∠ A B C 6 0︒ , B 平 分 ∠ABC ，CD ⊥ BD . AC 与 BD 相交于点 O .DAO（1） =______.OC（2） tan ∠DCO =__________.AOB图 C四、解答题（本题共22分，23题、24题各7分，25题8分）23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点，（B在C左侧）.点A的纵坐标是3.（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G.若直线y=kx+n(n<0)与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围.y54321O-5-4-3-2-1-1-2-3-4-512345x24.∆ABC中，AB=AC，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转α得到线段AD,其中0︒<α<180︒.连结BD，CD，∠DAC=m∠DBC.新|课|标|第|一|网（1）若∠BAC=60︒，α=30︒,在图1中补全图形，并写出m值.（2）如图2，当∠BAC为钝角，∠BAC<α时，m值是否发生改变？证明你的猜想.AD(3)如图3，∠BAC=90︒，∠DBC+∠DAC=45︒，OB C图2ABD与AC相交于点O，求∆COD与∆AOB的面积比.o DB图C3M25. 如 图 1 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 . 直 线 y = k x + b 与 抛 物 线y = mx 2 - 19 4x + n 同时经过 A(0,3)、B(4,0) .（1）求 m , n 的值.（2）点 M 是二次函数图象上一点， (点 M 在 AB 下方)，过 M 作 MN ⊥x 轴，与AB 交于点 N ，与 x 轴交于点 Q .求 MN 的最大值.（3）在（2）的条件下，是否存在点 N ,使 ∆AOB 和 ∆NOQ 相似？若存在，求出 N点坐标，不存在，说明理由.yAAyN NQQOB xOB xM备用图新 课标 第 一 网⨯+2⨯-1…………………….4分（写对一个三角函数值给1分）,…………………………………3分=密云县2014-2015学年度第一学期期末初三数学试卷参考答案一、选择题（共32分，每小题4分）2015．1题号选项1A2C3D4B5C6B7B8A二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.9：410.m<111.3π12.(3,0),2+12π；(10072+40272)π.三、解答题（本题共50分，每小题5分）13.计算：sin60︒cos30︒+2sin45︒-tan45︒解：原式==33222233+1-1=………………………………………………….5分4414.证明：∠ACD=∠ABC，∠B=∠B∴∆ACD∽∆ABC………………………………2分AD AC∴=AC AB DAAD=1,AB=3B CAC=3……………………………………5分15.解：（1）由（1）可得二次函数的解析式为y=x2-4x+3.令y=0，解得x=1或x=3...........................1分∴二次函数与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)…………………2分（2）y=x2-4x+3=x2-4x+22-4+3…………………………………………3分（x-2)2-1∴对称轴是x=2，顶点坐标是(2,-1)……………………………4分(3)x<2…………………………………………………………………………….5分16.解：过F作FG⊥DE，交DE延长线于点G……………………………1分在Rt∆EGF中，∠EGF=90︒，∴cos∠GEF=EGEF，FRt ∆ACD 中， tan ∠CAD = CD10∠GEF = 180︒- 120︒ = 60︒ ， EF = 2EG∴ cos 60︒ =2解得： EG = 1， GF =EF 2 - EG 2 = 3 …………………………………….3 分∴ DG = EG + DE = 5在 Rt ∆DGF 中， ∠DGF = 90︒, DG = 5, FG = 3 .∴ DF = DG 2 + FG 2 = 2 7 ………………………………………………………5 分17. 解：CE = 1, DE = 3 ∴CD = CE + DE = 4∴ r = 2 ………………………………………………..1 分∴OE = DE - OB = 1 ………………………………………2 分 连结 OB.在 Rt ∆OEB 中， EB = OB 2 - OE 2 = 3 …………………….3 分CD 是⊙ O 的直径， AB 是⊙ O 的弦， CD 是⊙ O 的直径， CD ⊥ AB ,垂足为 E∴ AB = BE ………………………………………………………………4 分∴ AB = 2EB = 2 3 ……………………………………………………..5 分18.解：由题意可知， C D ⊥ BD .设 BD = xm ,( x > 0) 则 CD = 3xm ，…………………….1 分ACEODBC3x 3= = ……….3 分AD x + 10 3A 30°mB 60°D解得： x = 5 ………………………………………………………….4 分∴ C D = 5 3 ≈ 8.7 ………………………………………………….5 分（其它解法酌情给分）19. 解： 4 （1）一次函数 y = - x + b 和函数 y =( x > 0) 都经过 A(1,m ) .x4∴ m = = 4 …………………………………………………………..1 分1∴ A(1,4) ∴- 1 + b = 4∴b = 5 …………………………………………2 分y5 4 3 2 1-5 -4 -3 -2 -1-1 -2O1 2 3 4 5x-3 -4 -5⎨∠AOP = ∠COP ∴∆AOP ≅ ∆COP ∴∠PCO = ∠P AO ……………1 分 ⎪OP = OP∴ m = 4 ，一次函数的表达式是 y = - x + 5 ……………………3 分（2）满足题意的点 B 的坐标是（2，2）…………………………..5 分20. 解：(1) 过 D 作 DF ⊥ AB 于 F.tan A = 2,D E COAFB∴DF= 2. DF = 2k , (k > 0) AF = k , AD = 5k. ………………………………………1 分AFAD = 2 5 ∴ k = 2.∴ AF = 2, DF = 4 , BF = 4 ……………………………………………………………………..2 分在 Rt ∆DFB 中， DF = BF∴∠DBA = 45︒ ……………………………………………………………………………………….3 分（2）可求： DC = AB = 6, ∴ S∆DBC1 = ⨯ 6 ⨯ 4 = 12 …………………………………….4 分2可求： DE = AE = 2, ∴ S∆ODE 1= ⨯ 2 ⨯ 2 = 22∴ 四边形 OBCE 的面积是 10.……………………………………………………………….5 分21.解：（1）证明：连结 OC.PCAC 是 O 的弦， O D ⊥ AC ，OA=OC D∴∠AOP = ∠COP在 ∆AOP 和 ∆COP 中，AOB⎧OA = OC⎪⎩PC 切 O 于点 C∴∠PCO = 90︒ ∴∠P AO = 90︒ 即 P A ⊥ AO又 OA 是 O 的半径，∴ AP 是 O 的切线……………………………2 分（2）连结 BC.AB 是 O 的直径，∴ AC ⊥ BC 又AD AC4 CD 4∴== ∴ = AOAB 5 CO 5OD ⊥ AC ∴ OD / / B C设 CD=4k,则 CO=5k,OD=3k.(k>0) 新 |课 |标| 第 |一| 网∠CPD + ∠COD = 90︒, ∠COD + ∠OCD = 90︒,∴∠CPD = ∠OCD∠PDC = ∠CDO = 90︒,PD =DC…………………………………………………………………………3 分 3 k ……………………………4 分3 ∴ k = 1 ∴OC = 5n ；（1）3 （2） 3⎩k = 3 ⎨ 2 =∴∆CPD ∽ ∆OCD∴ CD OD设 CD=4k,则 CO=5k,OD=3k.(k>0)∴ PD = 16PD = 16∴ O 的半径长为 5………………………5 分22. m 1 2四、解答题（本题共 22 分，23 题、24 题各 7 分，25 题 8 分）23. (1)抛物线 y = mx 2 +2x + m 2 + 1 与 y 轴的交点 A 的纵坐标是 3∴ m ⨯ 02 +2 ⨯ 0 + m 2 + 2 = 3 解得： m = ±1……………………………………………1 分抛物线开口向下 ∴ m = -1∴ 抛物线的解析式为 y = - x 2 +2x + 3 …………..……………………………………2 分(2) 由（1）可知 B(-1,0), C (3,0) .设 AB 的解析式为 y = kx + m .则 ⎧m = 3 ⎩-k + m = 0⎧m = 3解得: ⎨∴ A B 的解析式为： y = 3x + 3 ………………….………………………………………..4 分(3)当 y = 3x + n 经过 (3,0) 点时， n = -9 …………………………………………….5 分结合图象可知， n 的取值范围是 n < -9 .………………………………………………7 分24.（1） m = 2 ……………………………………….2 分 (图形正确 1 分，m 值 1 分)（2）解： ∠ABD = 180︒ - α2A∠ABC =180︒ - ∠BAC 180︒ - (α - ∠DAC )2B O CD∠DBC = ∠ABC -∠ ABD =∠DAC2∴ m = 2 ………………………………………………4 分(其它证明方法请酌情给分.)(3)S = ∆AOB 3 - 1 2…………………………………7 分10⎪⎪ 4 ⎧m = 1⎪m ⨯ 42 - 19 ⨯ 4 + n = 0 (2)可求经过 AB 两点的一次函数的解析式为 y = - x + 3 ..∴ N ( , ) ………………………………………6 分 . 1 图25. 解：（1）抛物线 y = mx 2-194x + n 经过两点 A(0,3), B(4,0)⎧19 m ⨯ 02 - ⨯ 0 + n = 3 ∴ ⎨ 解得 ⎨ ⎩n = 3⎪⎩ 4所以二次函数的表达式为 y = x 2 - 19 x + 3 . …………………………….2 分43 43 19MN = - x + 3 - ( x 2 - x + 3) = - x 2 + 4 x = -( x - 2)2 + 44 40 ≤ x ≤ 4 ∴ 当 x = 2 时， MN 取得最大值为 4.……………………………….4 分(3)存在.①当 ON ⊥ AB 时，（如图 1）可证： ∠NOQ = ∠OAB ， ∠OQN = ∠AOB = 90︒ ∴ ∆AOB ∽ ∆OQN .ON NQ OQ ∴ = =AB OB OA∴ OA = 3,OB = 4 ∴ AB = 5,yAONQB xON.AB = OAOB,∴ O N =48 36 36 48∴ NQ = , O Q =25 25 25 25125M图②当 N 为 AB 中点时，（如图 2）∠NO Q = ∠B ， ∠AOB = ∠NQO = 90︒3∴ ∆AOB ∽ ∆NQO .此时 N (2, ) .236 48 3∴ 满足条件的 N ( , ) 或 N (2, ) ……………………………………..8 分25 25 2yAONQM2Bx11。

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