高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用

高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用

拉格朗日MJ 兰三中

摘要：从凸函数出发证明cauchy不等式、radon不等式等一系列常用不等式，并举例应用。

关键词：cauchy不等式、radon不等式。

一、不等式的引入

数学教育的理论研究在近二十年中经历了非常重要的转变。自90年代以来，数学教育的现代研究明显表现出多样化、多方位的新特点，而且还表现出多学科的相互渗透与整合这一趋势，与国际教育界的现代发展潮流也完全吻合。其中不等式的学习也变得尤为重要。近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。对于不等式的证明问题，由于各类题型非常多变，而方法又十分灵活多样，具有极强的技巧性，通常也没有固定的程序可循，这不是单单用一种方法就可以解决的，它需要多种方法的巧妙应用。不等式的概念和性质是证明不等式和解决不等式问题的主要依据，同时也是各类数学思想方法的集中体现。要提高证明不等式的能力，必须熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式并能灵活运用不等式的各种常用的证明方法。还有一些大学中相对比较常用的不等式，如Radon不等式，Jensen不等式等等。在实际的问题解决过程中，综合法和分析法往往是交织起来使用的，利用分析法试误证明思路和方法，用综合法整理或形成证明过程。有时候，上述的各种方法往往相互结合起来，再配上一些特殊技巧和策略来证明不等式的相关问题。

二、不等式在数学问题中求解的重要性

不等式这个知识模块是数学竞赛的热门考点之一，从国际数学奥林匹克竞赛来看，到现在为止已经举行了47届，几乎每届都有不等式的题目，此外还有不少题涉及到不等式。

不等式一直是非常活跃而又有吸引力的研究领域，其研究的深度和广度都在迅速扩大。高等数学中又接触了各式各样的“穿马甲”的不等式。从数学分析到初等数学研究，从竞赛数学到相似微积分，我们都能看到不等式的身影。其中较常用的不等式有均值不等式、Jensen不等式、Cauchy不等式、排序不等式、Radon 不等式、伯努利不等式、young不等式、加权幂平均不等式等等。

不等式一直是非常活跃的研究领域，这里我主要选了Jensen不等式、Cauchy 不等式、Radon不等式这三类不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。从凸函数的性质我们知道Jensen不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。而Cauchy不等式的推导从简单的初等数学中得来又应用到初等数学中解决了许多用普通几何和代数也许碰得头破血流也无法解决的问题。Radon不等式则是指数函数的Jensen不等式的特例而已。利用凸函数的jensen不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。

2.1 主要结论

凸函数的定义：设f （x ）是定义在开区间（a ，b ）的函数，如果对于任意x 1，x 2∈（a ，b ），有)x x f(221+≤2

)()(21x f x f +（≥2)()(21x f x f +），则称f （x ）是（a ，b ）内的下凸函数（上凸函数）。若上述不等式当且仅当x 1=x 2时取等号，

则称f （x)为严格下凸函数（严格上凸函数）。

如果对任意的x ∈（a ，b ），有)()(''00<>x f ，则f （x ）是区间（a ，b)上的严格下（上）凸函数。

2.1.1 Cauchy 不等式

设a 1,a 2,...,a n ,及b 1,b 2,...,b n 为实数，则∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 12122

1)(，

等号当且仅当b i =ka i ，（k 为常数，i=1,2,...,n)时成立。

2.1.2 Radon 不等式

若x i > 0 , y i > 0 (i=1,2,...,n), m>0, 则∑∑∑==+=+≥n i m i n i m i n i m i m i y x y x 11111)

()(， 当且仅当n

n y x y x y x ===...2211时等号成立。 2.2 定理证明

2.2.1 Cauchy 不等式的证明

证明：记),...,,(n a a a 21=α ),...,,(n b b b 21=β

由向量的数量积≤•得 ， ∑∑∑===≤

n i i n i i n i i i b a b a 12121

即

∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 12122

1)(

2.2.2 Radon 不等式的证明

证明：设m t t f +=1)(，

由Jensen 不等式知，

1i 111)()(+=+=•≥∑∑∑∑m i n i i i m i i n

i i y x y y y x yi y

即 ∑∑∑==+=+≥n i m

i n

i m i n

i m i m i y x y x 11111)()(

三、不等式在求解竞赛数学中的实例应用

数学竞赛是数学学科的延伸，是一个由浅入深、循序渐进的发展过程。大部分国家的数学竞赛活动，一般来说，是由一些著名的数学家提倡组织的，试题取材于中学课本的内容，接着慢慢深入，会有一大批数学家花大部分的精力从事试题的精选及竞赛组织的工作，这些试题一般来说往往会高于中学课本范围的内容，虽然这些试题仍然可以用初等数学的知识来求解，但如果我们采用高等数学的知识来解答，将会使问题变得显而易见。上述重要不等式的应用较为广泛，下面分别举一些例子来说明这些不等式在解数学竞赛中的应用。纵观历届数学奥林匹克竞赛中，都存在着不同类型的数学问题应用不等式的思想来解答及证明，在数学竞赛中有着广泛的应用。在竞赛中，有些问题生疏隐晦，按其本来面目无从入手。这时，我们应对问题提炼抽象纯化，在高等数学的思想的引导下去研究初等数学问题，并根据对应同构原理，结合具体的情境，构建出合适的数学模型，再利用不等式的知识进行求解。

3.1 Cauchy 不等式在初等数学研究中的应用

例3.1.1：设有n 个正数a 1，a 2, ... ,a n ,则22221221n n a a a n

a a a +++≤+++...)...( 证 对)...(2

2221n a a a n +++应用柯西不等式有

22122221222)...()...)(1...11(n n a a a a a a +++≥++++++ 即 22221221n n a a a n

a a a +++≤+++...)...( 证毕 例3.1.2:已知n a a a ,...,,21为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n ，有不等式

.1...211...2122221n

n a a a n +++≥+++ 证 由柯西不等式