随机过程课堂例题
(解答)《随机过程》第二章习题
第二章 Markov 过程 习题解答1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
随机过程例题
s h X (t) n}
P{s Wk s h, X (t) n} P{X (t) n}
P{s Wk s h, X (t) X (s h) n k} P{X (t) n}
P{s Wk s h} P{X (t) X (s h) n k} P{X (t) n}
[解] E[X (t)] E[Y (t)] 0
RX (t,t )
a2 2
cos
RX ( )
RY (t,t
)
b2 2
cos
RY ( )
故 X (t)和 Y (t)均是平稳过程。
RXY (t, t ) E[ X (t)Y (t )] E{a cos(t )b sin[(t ) ]}
4谱 分析
例2
• 已知平稳过程的相关函数为 RX ( ) ea cos，(其0中) a
> 0, 0 为常数，求谱密度 GX () .
[解]
GX
()
2
0
e a
c os (0
) cos(
) d
0
e a
[c os (0
)
c os (0
)
]d
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
[解] (1) 随机过程 X (t) 是平稳过程，
相关函数：
RX
( )
a2 2
cos(0 )
平均功率： P RX (0) a2 2
(2)
E[ X
2 (t)]
E[a 2
cos2 (0t
)]
a2 2
a2
s in(2 0t )
X (t) 是非平稳过程
平均功率： P lim 1 T E[ X 2 (t)]dt a2 2 T 2T T
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程习题
习题一1. 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？2. 设随机变量X 的概率密度为f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≤>+0012x x x A求：（1）常数A; (2)分布函数F （x ）；（3）随机变量Y ＝lnX 的分布函数及概率分布。
3. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为 f (x , y) = Asin (x + y ), 0≤x ,y ≤2π 求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX ，EY ； （3） 方差DX ，DY ；(4) 协方差及相关系数。
4. 设随机变量X 服从指数分布⎩⎨⎧<≥=-0)(x x ke x f kx()0>k 求特征函数)(x ϕ,并求数学期望和方差。
5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为λ1 和λ2的泊松分布，试用特征函数求Z = X ＋Y 随机变量的概率分布。
6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。
第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。
第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。
第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。
假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X 的矩母函数。
7． 设 （X ， Y ） 的分布密度为（1） ⎩⎨⎧<<<<=其他，,010,10xy 4),(y x y x φ（2）⎩⎨⎧<<<<=其他，,010,10xy 8),(y x y x φ问X ，Y 是否相互独立？8. 设（X ，Y ）的联合分布密度为问： （1）α， β取何值时X ，Y 不相关； （2）α，β取何值时相互独立。
习题二１．设有两个随机变量X 、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为)(x f X 和)(y f Y ，定义如下随机过程：Yt X t Z +=)(，R t ∈试求)(t Z 的均值函数)(t m 和相关函数),(21t t R 。
随机过程习题及部分解答【直接打印】
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
(完整word版)随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1．为it(e-1)e λ。
2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．(n)nP P =。
【最新精选】随机过程习题
随机过程复习一、回答：1、什么是宽平稳随机过程？2、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3、窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4、什么是白噪声？性质？二、计算：1、随机过程t A t X ωcos )(=+t B ωsin ，其中ω是常数，A 、B 是相互独立统计的高斯变量，并且E[A]=E[B]=0，E[2A ]=E[2B ]=2σ。
求：)(t X 的数学期望和自相关函数？2、判断随机过程)cos()(φω+=t A t X 是否平稳？其中ω是常数，A 、φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。
πϕφ21)(=f πϕ20 ； 222)(σσa A eaa f -=0 a3、求随机相位正弦函数)cos()(0φω+=t A t X 的功率谱密度，其中A 、0ω是常数，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量。
4、求用)(t X 自相关函数及功率谱表示的)cos()()(0φω+=t t X t Y 的自相关函数及谱密度。
其中，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量，)(t X 是与φ相互独立的随机过程。
5、设随机过程}),cos()({0+∞<<-∞+=t Y t A t X ω，其中0ω是常数，A 与Y 是相互独立的随机变量，Y 服从区间)2,0(π上的均匀分布，A 服从瑞利分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000)(2222x x ex x f x A σσ试证明)(t X 为宽平稳过程。
解：（1）)}{cos()()}cos({)(00Y t E A E Y t A E t m X +=+=ωω⎰⎰=+=∞+-πσωσ20002220)cos(22dy y t dx exx 与t 无关（2） )()}({cos )()}cos({)}({)(20222022A E Y t E A E Y t A E t X E t X ≤+=+==ωωψdt e tdx e xA E t x ⎰⎰∞+-∞+-==0222223222221)(σσσσσ，202202022|2|222σσσσσ=-=+-=∞+-∞+-∞+-⎰t t tedt ete所以+∞<=)}({)(22t X E t X ψ（3）)]}cos()][cos({[),(201021Y t A Y t A E t t R X ++=ωω )}cos(){cos(][20102Y t Y t E A E ++=ωω dy t t y t t πωωωσπ21)](cos )[cos(2121202010202--++=⎰ )(cos 1202t t -=ωσ 只与时间间隔有关，所以)(t X 为宽平稳过程。
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f
(n) 00
1 n, 2
f 00
1 n 1, n 1 2
可见状态0为正常返，且是非周期，因而是遍历的。 因为 i 0 ，故 i 也是遍历的。
[例] （例4.11）设马氏链 { Xn } 的状态空间 I = { 1, 2, 3, 4,
5 } ，转移矩阵为P，试分析其闭集及不可约性。
③
1
⑤ ①
1
1/3
可见1为正常返且周期等于3.含1的基本闭集 C1={k:1→k}={1,3,5}
④
1/3
1/3
1
从而3及5为正常返且周期等于3.同理可知6为 正常返状态。μ6=3/2,其周期为1，含6的基本闭 集为 C2={k:6→k}={2,6}
②
1/2
⑥
1/2
[例] （例4.13）设状态空间 I = { 1, 2, … , 6 } ，转移矩阵为
4
马尔可夫链
[例] 设{ Xn , nT }是一个马尔可夫链，其状态空
间 I = {a, b, c}，转移矩阵为 1 / 2 1 / 4 1 / 4
P 2 / 3 0 1 / 3 3 / 5 2 / 5 0 (1) P{ X 1 b, X 2 c, X 3 a, X 4 c X 0 c};
E[ X (t )] D[ X (t )] 0.5(1 coss)ds
0 t
1 0.5 t sin t
[例7] 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。
乘客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘 客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均 到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为 200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互 独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并 求出这两小时内乘客人数的数学期望。
[例4] 设{X1(t), t 0 }和{X2(t), t 0 }是两个相互独立的泊松过程，它们在单
位时间内平均出现的事件数分别为 1和2。记Wk(1)为过程X1(t)的第k次事件
到达时间， W1(2)为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求 P{Wk(1)<W1(2)}，即 第一个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1次事件发生 的 概率。
(2) P{ X n 2 c X n b}
求：
解：
1 / 2 1 / 4 1 / 4 P 2 / 3 0 1 / 3 3 / 5 2 / 5 0
(1) P{X1 b, X 2 c, X 3 a, X 4 c X 0 c} P{X 0 c, X1 b, X 2 c, X 3 a, X 4 c} / P{X 0 c} P{ X 4 c X 3 a} P{ X 3 a X 2 c} P{ X 2 c X 1 b}
m X (t ) 0 a2 a2 R X ( s, t ) cos[ (t s )] cos , ( t s ) 2 2
例2
• 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令 W (t) = X (t) + Y (t)，
则 W (t) 的均值函数为
其相关函数为
1 6
P ( 2)
17 30 2 8 P 15 17 30
9 40 3 10 3 20
5 24 1 6 17 90
[例] （例4.8）设马尔可夫链的状态空间 I = {1, 2, 3}，其转移概率矩阵为
0 P q2 p3
p1 0 q3
P{ X 1 b X 0 c} P{ X 0 c} / P{ X 0 c} Pac P P P ca bc cb 1 3 1 2 1 二步转移概率矩阵： 4 5 3 5 50
(2) P{X n2 c X n b}
P
( 2) bc
mZ (t ) 0
2 RZ ( s, t ) k eik ( s t ) k 1 n
3、泊松过程
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有
参数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障， 求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。
[解] 仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ，则T 的概率分 布为 分布:
6 }，转移矩阵为P，试对其状态空间进行分解。
0 1 / 3 0 P 0 0 0
0 1/ 2 0 1 0 1 0
0 0 1 / 3 0 1 / 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1/ 4 0 3 / 4 0 0 1/ 2
P{ X ( s) k , X (t ) X ( s) n k} P{ X (t ) n}
(s ) k e s [ (t s )]n k e ( t s ) k! ( n k )! n! s k (t s) nk n t (t ) e k!(n k )! tn n!
mW (t ) mX (t ) mY (t )
RW (t ) E{[ X ( s) Y ( s)][X (t ) Y (t )]} E[ X ( s) X (t )] E[ X ( s)Y (t )] E[Y ( s) X (t )] E[Y ( s)Y (t )] RX ( s, t ) RXY ( s, t ) RYX ( s, t ) RY ( s, t )
因为 I 含有闭子集，故马氏链 { Xn }不是不可约链。
[例] （例4.13）设状态空间 I = { 1, 2, … , 6 } ，转移矩阵为
P，试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。
1
由图知f11(3)=1,f11(n)=0,n≠3,所以
( 1 nf11n ) 3 n 1
t (t ) k 1 e , t0 fT (t ) (k 1)! 0 , t0
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
(t ) k 1 P P(T t0 ) e t dt t0 (k 1)! n k 1 t0 (t0 ) P[ X (t0 ) k ] e n! n 0
[例] （例4.9）设马氏链的状态空间 I = {0, 1, 2, …}，
其转移概率为
1 1 1 p00 , pi ,i 1 , pi 0 , i I 2 2 2 分析各状态的类型。
解：
f
(1) 00
先考查状态0，
1 , 2
f
( 2) 00
1 1 1 , 2 2 4
s C t
k n
k
s 1 t
nk
参数为 n 和 s/t 的二项 分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n)
事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h X (t ) n}
P{s Wk s h, X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
P，试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。
1
可见2是遍历状态。 由于f44(1)=1/3,f44(n)=0,n≠1,故4为非常返，周期 为1，于是I可分解为
③
1
⑤ ①
1
1/3
I D C1 C2
1/3
1
④
1/3
{4} {1, 3, 5} {2, 6}
②
1/2
⑥
1/2
[例] （例4.14）设不可约马氏链的状态空间 C = { 1, 2, 3, 4, 5,
fWk X (t ) (s n)
lim
h 0
n! s s 1 k (k 1)!(n k )! t t
h
k 1
nk
Beta分布பைடு நூலகம்
P{s Wk s h X (t ) n}
fWk (s) P{ X (t ) X (s) n k} P{ X (t ) n}
0t 3 200 400t , (t ) 1400, 3 t 13 1400 400(t 13) , 13 t 16
mX (9) mX (7) (t )dt 1400d 2800 t
7 7
9
9
28002000 2800 P[ X (9) X (7) 2000 ] e 2000 !
( p1q2 ) m 1 p1 p2 , n 2m, m 1 m n 2m 1, m 0 ( p1q2 ) q1 ,
( f11n )
n 1 0, p1 ( p2 q3 ) m 1 q2 q1 (q3 p2 ) m 1 p3 , n 2m, m 1 p ( p q ) m 1 p p q (q p ) m 1 q q , n 2m 1, m 0 2 3 1 3 2 2 3 1 2 3
[例2] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s < t，对
于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率。
P{X (s) k X (t ) n}
P{ X ( s) k , X (t ) n} P{ X (t ) n}