16总复习：导数的概念和运算知识梳理
数学导数知识点高中总结
数学导数知识点高中总结一、导数的定义及几何意义1. 导数的定义导数的定义是陈述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点的切线的斜率。
对于函数f(x)，它在 x 点处的导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 几何意义导数的几何意义即为函数在某一点处的切线斜率。
导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数曲线在该点的切线的斜率。
二、导数的求法1. 导数的基本求导公式常见的导数的求法包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本求导公式。
例如：- (常数函数)' = 0- (x^n)' = nx^(n-1)- (e^x)' = e^x- (lnx)' = 1/x- (sinx)' = cosx- (cosx)' = -sinx- (tanx)' = sec^2x2. 导数的高阶导数高阶导数即为对函数进行多次求导得到的结果，表示函数的多次变化率。
例如二阶导数表示函数的二阶变化率，表示函数斜率的变化率。
3. 隐函数求导隐函数求导即为对含有变量的方程进行求导，通过对方程两边求导，可以求得所求的变量的导数。
4. 参数方程求导参数方程求导即为对由参数方程表示的函数进行求导，通过对参数方程中的各个方程分别求导，可以得到参数方程对应的函数的导数。
三、导数的应用1. 函数的极值导数可以用来判断函数的极值，即通过求导得到函数的导数，再令导数等于零求得函数的极值点。
2. 函数的凹凸性与拐点通过对函数的二阶导数求解，可以判断函数的凹凸性和拐点，即确定函数的临界点和拐点的位置。
3. 切线与法线通过函数的导数可以求得函数在某一点处的切线斜率，再通过函数的导数的倒数求得法线的斜率。
4. 最优化问题导数可以用来解决最优化问题，即通过求导得到函数的导数，再通过求导等于零的条件求得函数的最大值或最小值。
四、常见的导数公式1. 常数函数的导数常数函数 f(x) = C 的导数为 f'(x) = 0。
总结导数的知识点归纳
总结导数的知识点归纳一、导数的概念1. 导数的定义导数是描述函数在某一点处的变化率的概念。
如果函数f(x)在点x处可导，那么它的导数表示为f'(x)，即函数f(x)在点x处的导数为f'(x)。
导数可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率，它描述了函数在该点附近的变化情况。
2. 函数的可导性函数在某一点可导，意味着该点处函数曲线存在切线，并且切线的斜率存在有限值。
如果函数在某一点处可导，那么该点也称为函数的导数存在的点。
函数在某一点处可导的充分必要条件是该点处函数的左极限和右极限存在且相等。
3. 导数的图像解释函数的导数可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
当函数曲线上升时，导数为正；当函数曲线下降时，导数为负；当函数曲线水平时，导数为零。
函数曲线的凸凹性可以通过导数的正负来判断。
二、导数的性质1. 可导函数与连续函数可导函数必定是连续函数，但是连续函数不一定可导。
可导函数的导数在其定义域内连续，也就是说，可导函数的导数也是连续函数。
2. 导数的四则运算函数的导数满足四则运算的性质。
设函数f(x)和g(x)在点x处可导，那么它们的和、差、积、商的导数分别为(f+g)' = f' + g'，(f-g)' = f'-g'，(fg)' = f'g + fg'，(f/g)' = (f'g - fg') / g^2。
3. 复合函数的导数复合函数的导数可以通过链式法则来求导。
设函数y=f(u)和u=g(x)都可导，那么复合函数y=f(g(x))的导数为f'(g(x))g'(x)。
4. 高阶导数函数的导数也可以再求导，得到的导数称为原函数的高阶导数。
高阶导数的符号表示一阶导数的凸凹性。
三、导数的计算方法1. 导数的基本求导法则导数的基本求导法则包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数以及反三角函数的导数等。
导数基础知识点总结
导数基础知识点总结一、导数的定义1.1 导数的定义函数f(x)在点x处的导数可以理解为函数在该点处的变化率。
导数表示了函数变化的速度。
导数的定义如下：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
1.2 导数的几何意义导数在几何上的意义可以理解为函数图像在某一点处的切线的斜率。
切线的斜率即为函数在该点处的导数。
导数也可以理解为曲线在该点处的瞬时斜率。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也具有重要的物理意义。
比如，位移函数对时间的导数表示速度；速度对时间的导数表示加速度。
二、导数的计算方法2.1 使用导数的定义进行计算通过导数的定义可以计算函数在某一点处的导数。
需要注意的是，导数的计算中需要考虑极限的计算，因此需要对函数进行分析和运算。
2.2 常见函数的导数常见函数的导数计算可以通过一些基本的导数规则进行计算。
常见函数的导数如下：- 常数函数的导数为0- 幂函数的导数为x^n的导数是nx^(n-1) （n为任意实数）- 指数函数的导数为e^x的导数为e^x- 对数函数的导数为lnx的导数为1/x- 三角函数的导数为sinx的导数为cosx，cosx的导数为-sinx，tanx的导数为sec^2x2.3 复合函数的导数对于复合函数的导数，可以使用链式法则进行计算。
链式法则是导数计算中的一个重要的规则，可以应用于复合函数的导数计算。
2.4 隐函数的导数对于隐函数的导数计算，可以通过求导的方式进行计算。
在求导的过程中，需要利用隐函数的特定性质和求导的基本规则进行计算。
2.5 参数方程的导数对于参数方程描述的函数，可以通过参数消去的方法进行计算。
参数消去是求导的一种特殊方法，可以将参数方程描述的函数转化为一个常规的函数形式，从而通过基本导数规则进行计算。
三、导数的性质3.1 导数存在的条件函数在某一点处的导数存在的条件是函数在该点处可导。
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
导数知识点概念归纳总结
导数知识点概念归纳总结1. 导数的定义导数的定义是建立在函数的极限概念上的。
设函数y = f(x)，在点x处的导数定义为：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]其中，Δx表示x的增量，当Δx趋于0时，上式的极限存在则称函数在点x处可导，这个极限的值就是函数在点x处的导数。
导数表示了函数在某一点处的变化率，可以理解为函数在这一点处的斜率。
2. 导数的性质导数具有一些基本性质，例如：（1）可导函数一定是连续函数，但连续函数不一定可导。
（2）导数存在的充要条件是函数在该点处有切线。
（3）可导函数在一点的导数等于该点的切线的斜率。
（4）导数具有线性运算性质，即\[ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \]，\[ (k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x) \]，其中f(x)和g(x)都是可导函数，k是常数。
（5）复合函数的导数公式，如果y = f(u)，u = g(x)，则\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]。
3. 导数的计算方法对于简单的函数，可以通过导数的定义进行计算。
但是对于一些复杂的函数，使用导数的定义进行计算过于繁琐，因此需要借助一些常用的导数公式和方法来进行计算。
（1）常用函数的导数公式常用函数的导数公式包括：- 幂函数的导数：\[ (x^n)' = nx^{n-1} \]，其中n是常数。
- 指数函数的导数：\[ (a^x)' = a^x \ln a \]，其中a是常数。
- 对数函数的导数：\[ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \]，其中a是常数。
- 三角函数的导数：\[ (\sin x)' = \cos x \]，\[ (\cos x)' = -\sin x \]，\[ (\tan x)' = \sec^2 x \]。
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
高中导数知识点归纳一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
导数专题知识点总结
导数专题知识点总结导数是微积分中的重要概念，它是函数在某一点的变化率，描述了函数曲线的切线斜率。
在实际应用中，导数有着广泛的应用，如在物理学、经济学、工程学等领域中都有着重要的作用。
本文将对导数的相关知识点进行总结，包括导数的定义、性质、常见函数的导数计算、导数的应用等方面。
一、导数的定义1. 函数的变化率导数是描述函数在某一点的变化率，即函数在该点的瞬时速度。
通俗地讲，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。
2. 导数的定义设函数y=f(x)，当自变量x在x=a的某个邻域内有增量Δx时，对应的函数值的增量Δy=f(a+Δx)－f(a)，当Δx趋向于0时，相应的Δy也趋向于0，则称函数f(x)在点x=a处可导，并称导数为f'(a)，即f'(a)＝lim[Δx→0]{f(a+Δx)－f(a)}/Δx，如果该极限存在，则称f(x)在点x=a处可导。
3. 几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率。
当函数在某一点可导时，该点的切线斜率就是该点的导数值。
4. 导数的算符表示导数也可以表示为算符的形式，如y＝f(x)，则y'＝dy/dx表示导数，其中dy表示y的微小增量，dx表示x的微小增量。
二、导数的性质1. 导数的加法性设函数y=f(x)和y=g(x)在点x=a处可导，则有(f(x)±g(x))'|a=f'(a)±g'(a)。
2. 导数的乘法性设函数y=f(x)和y=g(x)在点x=a处可导，则有(f(x)·g(x))'|a=f'(a)·g(a)+f(a)·g'(a)。
3. 导数的复合函数设函数y=f(g(x))和y=f(x)在点x=a处可导，则有(f(g(x)))'|a=f'(g(a))·g'(a)。
4. 导数的倒数设函数y=1/f(x)在点x=a处可导且f(a)≠0，则有(1/f(x))'|a=-f'(a)/[f(a)]^2。
导数定义运算知识点总结
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
导数的概念与运算知识点及题型归纳总结
导数的概念与运算知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1、导数的概念设函数()x f y =在0x x =附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数()x f y = 在0x x =处的导数，记作()0x f '或.0x x y ='即()()()()().0000000lim lim lim0x x x f x f x x f x x f x yx f x x x x --=∆-∆+=∆∆='→→∆→∆ 2、导数的几何意义函数()x f y =在0x 处的导数()0x f '，表示曲线()x f y =在点()()00,x f x P 处的切线PT 的斜率，即()0tan x f '=α，其中α为切线的倾斜角，如图3—1所示，过点P 的切线方程为()().000x x x f y y -'=-同样，可以定义曲线()x f y =在0x x =的法线为过点()()00,x f x P 与曲线()x f y =在0x x =的切线垂直的直线.过点P 的法线方程为=-0y y()()()().010≠'-'-x f x x x f3、导数的物理意义:设0=t 时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离().t S S =在10~t t 时刻，车走了()(),01t S t S -这一段时间里车的平均速度为()(),0101t t t S t S --当1t 与0t 很接近时，该平均速度近似于0t 时刻的瞬时速度.若令~1t 0t ，则可以认为()()0101lim1t t t S t S t t --→，即()0t S '就是0t 时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表3—1表3—1注：()().1ln ,11,212x x x x x x ='-='⎪⎭⎫ ⎝⎛='三、导数的运算法则（和、差、积、商） 设()()x v v x u u ==,均可导，则（1）();v u v u '±'='± （2）()();R k u k ku ∈'='（3）();v u v u uv '+'='（4）().02≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 注：()()()().R c x f c x cf ∈'='四、复合函数的导数复合函数()[]x g f y =的导数与函数()()x g u u f y ==,的导数之间具有关系,x u x u y y '⋅'='该关系用语言表述就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是先把()x g 当作一个整体，把()[]x g f y =对()x g 求导，再把()x g 对x 求导，这两者的乘积就是复合函数()[]x g f y =对x 的导数，即()[]()()[]()x g x g f x g f '⋅'='.题型归纳及思路提示题型1 导数的定义思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.例3.1 设()0x f '存在，求下列各极限. (1)()();3000limx x f x x f x ∆-∆+→∆ (2) ()();000lim h x f h x f h --→分析 ()()()xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆0000lim0，导数的定义中，增量x ∆的形式是多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆必须选择相应的形式.利用函数()x f 在点0x 处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式. 解析 （1）()()()()().333330000000lim limx f x x f x x f x x f x x f x x '=⋅∆-∆+=∆-∆+→∆→∆（2）()()()()()()00000001lim limx f h x f h x f h x f h x f h h '-=-•---=--→→评注 ()()()xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆0000lim0的几种等价形式：()()()=--='→000limx x x f x f x f x x ()()=-+→hx f h x f h 000lim()()hh x f x f h --→000lim等.变式1 若()(),132000lim0=∆-∆+→∆xx f x x f x 则()='0x f （ ）Ａ、32 B 、23C 、3D 、2 变式2 设()x f 在0x 处可导，则()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆3000lim0=（ ）A 、2()0x f 'B 、()0x f 'C 、()03x f 'D 、()04x f '题型2 求函数的导数思路提示 ：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.例3.2 求下列函数的导数.(1);5x y = (2);14xy =(3);53x y = (4);10x y = (5);log 2x y = (6)x y sin =. 解析 （1）;55415x x y =='- （2）();44455144xx x x y -=-=-='='----（3）;5353525253x x x y =='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='- （4）;10ln 10xy =' （5）;2ln 1x y =' （6）().cos sin x x y ='=' 评注 对于基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数），可以直接根据导数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.根式一般化成分数指数幂求导. 变式1 求下列函数的导数.（1）;3x y = （2）;21xy ⎪⎭⎫⎝⎛= （3）;log 3x y = （4）.cos x y =（3）3log y x =； （4）cos y x =. 例3.3 求下列函数的导数（1）432432x x x y x =+-+；（2）1ln y x x =+；（3）(21)xy x e =+⋅；（4）cos x x y e=. 分析 按照导数的运算法则计算即可，注意常用导数公式的正确使用.解析 （1）()432432321432432x x x x x x y x x x x x ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+-+=+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()22111111ln ln y x x x x x x x x''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）(21)(21)(21)()2(21)(23)x x x x x xy x e x e x e e x e x e ''''⎡⎤=+⋅=+⋅++⋅=++⋅=+⋅⎣⎦； （4）22cos (cos )cos ()sin cos sin cos ()()x x x x x x x xx x e x e x e x e x x y e e e e '''⋅-⋅-⋅-⋅+⎛⎫'====- ⎪⎝⎭. 评注 利用导数的运算法则求导数时，要根据法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程.变式1 求下列函数的导数.（1）41y x x =-；（2）ln y x x =；（3）x x y e=； （4）sin xy e x =⋅；（5）sin 2y x =；（6）231x y x -=+.变式2 求下列函数的导数. （1）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）2cos y x x =；（3）sin x y x=；（4）tan y x =. 例3.4 求下列函数的导数. （1）32x y e+=；（2）2log (21)y x =+；（3）sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π；（4）11y x=-. 分析 设出中间变量，按照复合函数求导法则进行.解析 （1）设32u x =+，则uy e =，由复合函数求导法则，有()(32)3u u y e x e '''=+=，再把32u x =+代入得323x y e+'=；（2）设21u x =+，则2log y u =，所以22(log )(21)ln 2y u x u '''=+=，再把21u x =+代入，可得2(21)ln 2y x =+；（3）设23u x =+π，则sin y u =，所以(sin )22cos 2cos 233y u x u x '⎛⎫⎛⎫''=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ；（4）设1u x =-，则1y u =，所以2221111(1)(1)(1)y x u u u x '⎛⎫''=-=-⨯-== ⎪-⎝⎭. 评注 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数()y f ax b =+型的求导.这里设中间变量u ax b =+，按照复合函数求导法则，()()()y f ax b ax b af ax b ''''=+⨯+=+，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.变式1 求下列函数的导数.（1）ln(21)y x =+；（2）sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π； （3）212ln(35)x y x +=++；（4）22(21)xy x x e -=+-.题型3 导数的几何意义思路提示函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.例 3.5 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．[]0,1 D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦分析 根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线C 在P 处切线的斜率的范围是[]0,1，根据导数的几何意义，只要函数223y x x =++的导数在这个范围即可.解析 22y x '=+，由于曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，所以其切线的斜率的范围为[]0,1，根据导数的几何意义，得0221x ≤+≤，即112x -≤≤-.故选A. 评注 函数()y f x =在某点处的导数、曲线()y f x =在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.变式1 设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的斜率为1，则该曲线在点(1,(1))f --处的切线的斜率为 .例3.6 （1）曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程为 ；过点(1,1)的切线方程为 .（2）过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-分析 若求曲线在点00(,())x f x 处的切线方程，则点00(,())x f x 为切点；若求曲线过点00(,())x f x 处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入00(,())x f x ，求其切点坐标.解析 （1）曲线3y x =在点(1,1)处的切线的斜率为1|3x y ='=，切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=.设过点(1,1)的切线的切点坐标为300(,)x x ，则切线方程为320003()y x x x x -=-，代入点(1,1)得，3200013(1)x x x -=-，即2000(1)(1)x x x -++= 2003(1)x x -，得200(1)(21)0x x --+=，解得01x =或012x =-，所以切线方程为13(1)y x -=-或131()()842y x --=+，即320x y --=或3410x y -+=.（2）依题意，设切点坐标为320000(,21)x x x x --+，则切线方程为32000(21)y x x x ---+2000(322)()x x x x =---，代入点(1,1)-，得3220000001(21)(322)(1)x x x x x x ---+=----，即200(1)(1)0x x +-=，得01x =-或01x =，又01x ≠-，所以01x =，直线l 的斜率为01|1x y ='=-，故选C.变式1 （2012安徽理19）设函数1()(0)x x f x ae b a ae=++>，设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 变式2 （2012北京理18）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值.变式3 已知函数32()3611f x ax x ax =+--，2()3612g x x x =++和直线:9m y kx =+，又(1)0f '-=.（1）求a 的值；（2）是否存在k ，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是曲线()y g x =的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.例3.7 在平面直线坐标系xOy 中，已知点P 是函数()(0)xf x e x =>的图像上的动点，该图像在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 .分析 先设切点坐标00(,)xx e ，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，从而求出M 的纵坐标，同理可求出N 的纵坐标，将t 表示成0x 的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值. 解析 设00(,)xP x e ，00()|x x x k f x e='==，l 的方程为000()x x y ee x x -=-，令0x =，得00(0,(1))x M e x -.PN 的方程为0001()x x y e x x e -=--，令0x =，得0000,x x x N e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故00001(2)2x x x t e x e ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，设()(2)(0)x x g x x e xe x -=-+>，则()(1)()x xg x x e e -'=-+，令()0g x '=，得1x =，当01x <<时，()0()g x g x '>⇒在(0,1)上单调递增；当1x >时，()0()g x g x '<⇒在(1,)+∞上单调递减，故2max1()(1)e g x g e +==，所以的最大值是212e e+.评注 利用切点横坐标0x 可以表示曲线上任一点处切线的方程为：000()()()y f x f x x x '-=-. 变式1 （2012新课标理12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A ．1ln2-B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+最有效训练题1．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2e B ．ln 2 C ．ln 22D ．e 2．若函数()f x 满足321()(1)3f x x f x x '=-⋅-，则(1)f '的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．1-3．曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．14．()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(4,0)(0,4)-⋃C ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃5．正弦曲线sin y x =上一点P ，以点P 为切点的切线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ） A ．30,,44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭πππ B ．[)0,π C ．3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ D ．30,,424⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πππ 6．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+7．已知函数()2ln(3)8f x x x =+，则0(12)(1)lim x f x f x∆→-∆-∆的值为 ．8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为2270.45s t t =-米，则列车刹车后 秒内停下来，期间列车前进了米．9．如图3-2所示，函数()f x 的图像是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(4,4)，那么(3)(3)limx f x f x∆→+∆-∆ （用数字作答）．10．已知()(1)(2)(3)()(2,)f x x x x x n n n N *=+++⋅⋅⋅+≥∈，其导函数为()f x '，设(2)(0)n f a f '-=，则100a = ．11．已知曲线32:32C y x x x =-+. （1）求曲线在1x =处的切线1l 的方程；（2）若2:l y kx =，且直线2l 与曲线C 相切于点000(,)(0)x y x ≠，求直线2l 的方程及切点坐标； （3）在（1），（2）条件下，设1l 与2l 相交于A ，1l 与x 轴的交点为B ，求ABO ∆的面积. 12．已知三次曲线32:C y x bx cx d =+++的图像关于点(1,0)A 中心对称. （1）求常数b ；（2）若曲线C 与直线:412l y x =+相切，求曲线C 的方程.图3-2。
导数知识点总结高中数学
导数知识点总结高中数学一、导数的基本概念1. 函数的导数在高中数学中，我们通常将导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的斜率。
设函数y=f(x)，若极限f'(x) = lim (f(x+Δx) - f(x)) / ΔxΔx→0存在，则称其为函数f(x)在点x处的导数，记为f'(x)。
导数也可以解释为函数在该点处的瞬时速度。
2. 导数的几何意义导数的几何意义即为函数图像在某一点处的切线斜率。
对于函数y=f(x)，其导数f'(x)就代表了函数图像在点(x, f(x))处的切线斜率。
因此，导数可以帮助我们研究函数在不同点处的变化情况，进而揭示函数的一些规律和特性。
3. 导数的符号表示通常情况下，我们使用f'(x)来表示函数f(x)在点x处的导数。
如果导数存在，那么函数在该点处是可导的；如果导数不存在，那么函数在该点处是不可导的。
导数的存在与否将决定函数在该点的一些性质和特性。
二、求导法则1. 导数的基本概念在求导法则中，有一些基本的导数公式需要掌握。
这些基本公式包括：（1）常数函数的导数：若y=c，则y'=0；（2）幂函数的导数：若y=x^n，则y'=nx^(n-1)；（3）指数函数的导数：若y=a^x，则y'=a^x * ln(a)；（4）三角函数的导数：sin'x=cosx，cos'x=-sinx，tan'x=sec^2x；（5）对数函数的导数：(lnx)'=1/x。
2. 导数的四则运算法则对于任意可导函数u(x)和v(x)，其和、差、积、商的导数分别为：（1）(u(x)±v(x))'=u'(x)±v'(x)（2）(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)（3）(u(x)/v(x))'=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2以上是常用的导数的基本概念和求导法则，掌握这些知识对于解题和理解导数的应用是非常重要的。
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导数的概念和运算【考纲要求】1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
2.掌握常函数y=C ，幂函数y=x n （n 为有理数），三角函数y=sinx ，y=cosx ，指数函数y=e x ，y=a x，对数函数y=lnx ，y=log a x 的导数公式；3.掌握导数的四则运算法则；并能解决一些简单的数学问题。
4.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数。
【知识网络】【考点梳理】考点一：导数的概念： 1．导数的定义：对函数()y f x =，在点0x x =处给自变量x 以增量x ∆，函数y 相应有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-。
若极限0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则此极限称为()f x 在点0x 处的导数，记作0'()f x 或0'|x x y =，此时也称()f x 在点0x 处可导。
即：00000()()()x x f x x -f x yf 'x limlim x x∆→∆→+∆∆==∆∆（或0000()()()x x f x -f x f 'x lim x -x →=）要点诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负数；②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数。
函数的导数与在点0x 处的导数不是同一概念，0'()f x 是常数，是函数'()f x 在0x x =处的函数值，反映函数()f x 在0x x =附近的变化情况。
要点诠释：函数的导数与在点0x 处的导数不是同一概念，0'()f x 是常数，是函数'()f x 在0x x =处的函数值，反映函数()f x 在0x x =附近的变化情况。
3．导数几何意义： 导数的概念和运算导数的概念导数的运算初等函数的求导公式 导数的运算法则 复合函数求导（1）曲线的切线曲线上一点P(x 0，y 0)及其附近一点Q(x 0+△x,y 0+△y)，经过点P 、Q 作曲线的割线PQ ，其倾斜角为==.PQ yk tan xββ∆∆，则有当点Q(x 0+△x,y 0+△y)沿曲线无限接近于点P(x 0，y 0)，即△x →0时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。
若切线的倾斜角为α，则当△x →0时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。
即：0000y==x x x f (x x )-f (x )tan limlimxα∆→∆→+∆∆∆∆。
(2)导数的几何意义：函数()y f x =在点x 0的导数0'()f x 是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
要点诠释：①若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直。
②0'()0f x >，切线与x 轴正向夹角为锐角；0'()0f x <，切线与x 轴正向夹角为钝角；0'()0f x =，切线与x 轴平行。
(3)曲线的切线方程如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为：))(()(00/0x x x f x f y -=-。
考点二：常见基本函数的导数公式 （1）()f x C =（C 为常数），'()0f x = （2）()nf x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =- （5）()xf x e =，'()xf x e =（6）()xf x a =，'()ln xf x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x=（8）()log a f x x =，1'()log a f x e x=考点三：函数四则运算求导法则 设()f x ，()g x 均可导（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=± （2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+（3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f xg x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） 考点四：复合函数的求导法则'''x u x y y y =⋅或'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅即复合函数[()]y f x ϕ=对自变量x 的导数'x y ，等于已知函数y 对中间变量()u x ϕ=的导数'u y ，乘以中间变量u 对自变量x 的导数'x u 。
要点诠释：选择中间变量是复合函数求导的关键。
求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。
求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【典型例题】类型一：导数概念的应用例1、用导数的定义，求函数()y f x==x=1处的导数。
【解析】∵(1)(1)1y f x f ∆=+∆-=-===∴y x ∆=∆ ∴01'(1)lim 2x y f x ∆→∆==-∆。
举一反三：【变式】已知函数1y x=（1）求函数在x=4处的导数.（2）求曲线1y x =7(4,)4P -处的切线方程。
【答案】（1）0011(2)(4)(4)44'(4)lim lim x x f x f x f x x∆→∆→-+∆-+∆==∆∆0112)44lim x x x ∆→⎛⎫-- ⎪+∆⎝⎭=∆0lim x ∆→=15lim 4(4)16x x ∆→⎛-==- +∆⎝， （2）由导数的几何意义知，曲线在点7(4,)4P -处的切线斜率为'(4)f ，∴所求切线的斜率为516-。
∴所求切线方程为75(4)416y x +=--，整理得5x+16y+8=0。
例2、求曲线y=x 3+2x 在x=1处的切线方程. 【解析】设3()2f x x x =+.0(1)(1)'(1)limx f x f f x∆→+∆-=∆330(1)2(1)(121)lim x x x x ∆→+∆++∆-+⨯=∆ 20[()35]lim x x x x x∆→∆∆+∆+=∆20lim[()35]x x x ∆→=∆+∆+5= 由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y ―3=5(x ―1)，即y=5x ―2. 举一反三：【高清课堂：导数的概念和运算394565 典型例题五】【变式】过(1,0)点，曲线3y x =的切线方程为 。
【答案】设所求切线的切点坐标为P （x 0，y 0），则切线斜率为203k x = 则所求切线方程为230003()y x x x x =-+，又因为切线过(1,0)点，代入，00x =或032x =所以切线方程为0y =或274270x y --= 类型三：利用公式及运算法则求导数 例3．求下列函数的导数：（1）41y x=； （2）y （3）222log log y x x =-； （4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4【解析】 （1）44154514'()'()'44y x x x x x----===-=-=-.（2）332155533'()'55y x x x --=====（3）∵2222log log log y x x x =-=，∴21'(log )'ln 2y x x ==⋅. （4）322'2()'3()'5()'(4)'665y x x x x x =-++=-+ 举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）y = （2）22sin(12cos )24x x y =-- （3）y=6x 3―4x 2+9x ―6【答案】（1）331223'(()'2y x x -====（2）22sin(12cos )24x x y =--22sin (2cos 1)24x x =-2sin cos sin 22x xx == ∴'cos y x =.（3）322'6()'4()'9()'(6)'1889y x x x x x =-+-=-+ 例4．求下列各函数的导函数（1）2()(1)(23)f x x x =+-；（2）y=x 2sinx;（３）y=1e 1e -+x x ； （４）y=x x xx sin cos ++【解析】（1）法一：去掉括号后求导.32()2323f x x x x =-+- 2'()662f x x x =-+法二：利用两个函数乘积的求导法则22'()(1)'(23)(1)(23)'f x x x x x =+-++⋅-=2x(2x －3)+(x 2+1)×2=6x 2－6x+2 （2）y ′=（x 2）′sinx ＋x 2（sinx ）′=2xsinx ＋x 2cosx（３）2(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'(e 1)x x x x x y ''+--+-=-2)1(e e 2--x x（4）2(cos )(sin )(cos )(sin )'(sin )x x x x x x x x y x x ''++-++=+=2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+-=2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+-- 举一反三：【变式1】下列函数的导数（1）2(1)(231)y x x x =++-； （2）y =【答案】（1）法一：13232223-++-+=x x x x x y 125223-++=x x x∴26102y x x '=++法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x x x y =1322-+x x +)1(+x )34(+x 26102x x =++ （2）231212332----+-=x x xx y∴252232123233---+-+='x x x x y【变式2】求下列函数的导数.（1）2311()y x x x x =++； （2）1)y =-；（3）52sin x x y x =. 【答案】 （1）321y x x-=++，∴23'32y x x -=-.（2）1122y x x-===-，∴312211'22y x x --=--.（3）∵3322sin y x xx x --=++，∴522223'3()'sin (sin )'2y x x x x x x ---=-++52322332sin cos 2x x x x x x ---=--+.类型四：复合函数的求导问题 例5．求下列函数导数. （1）41(13)y x =-； （2）ln(2)y x =+；（3）21e x y +=； （4）cos(21)y x =+.【解析】（1）4y u -=，13u x =-.4'''()'(13)'x u x y y u u x -=⋅=⋅-5554(3)1212(13)u u x --=-⋅-==-. （2）ln y u =，2u x =+∴'''(ln )'(2)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 1112u x =⋅=+ （3）e uy =，21u x =+.∴'''(e )'(21)'ux u x y y u x =⋅=⋅+212e 2eu x +==（4）cos y u =，21u x =+，∴'''(cos )'(21)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 2sin 2sin(21)u x =-=-+. 举一反三：【变式1】求下列函数的导数：(1)82)21(x y +=； （2）33x x y +=（3）y=ln （x ＋21x +）； （4）()(cos sin )xf x e x x -=+【答案】(1)令212u x =+,8u y =,.)21(3248)21()(72728x x x u x u u y y x u x +=⋅='+'=''='∴（2）令,,3131u y x x u =+=.31131)311(31)()(32323132323131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅='+⋅'='∴----x x x x u x x u y x（3）221'(1)'1y x x x x=++++=221(1)11x x xx++++＝211x+（4）'()()'(cos sin )(cos sin )'xx f x ex x x e x x --=⋅-++⋅+(cos sin )(sin cos )xxe x x e x x --=-++-+ (sin cos cos sin )xe x x x x -=-+-- (2sin )x e x -=- 2sin x ex -=-⋅类型五：曲线的切线方程求解问题例6．（2016年新课标Ⅲ卷理）已知()f x 为偶函数，当0x <错误!未找到引用源。