第十一章 无穷级数(已改)
高等数学第11章 无穷级数
un
=
lim
n→∞
1 n
=
0.
∞
推论3 若 un →/ 0, 则级数 ∑ un必发散 .
n=1
小结:
un → 0
un →/ 0
∞
∑ u n 收敛
n=1 ∞
∑ u n 发散
n=1
二、典型例题
例1
判别级数
∞
∑
ln
n
+
1
的敛散性.
n=1 n
解 部分和
Sn
= ln 2 1
+ ln 3 2
+ ln 4 3
第十一章 无穷级数
本章基本要求
1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了 解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件。
2．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与 p—级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。
3．了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错 级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概 念及二者的关系。
设收敛级数
S=
∞
∑ un,σ =
∞
∑ vn，则
n=1
n=1
∞
∑(un ±vn) 也收敛, 其和为 S ± σ .
n=1
注 1º 收敛级数可逐项相加（减） .
2o
∞
∑ ( un ± vn ) 的敛散性规律：
n=1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1, 而 un + vn = 0
+
L
+
ln
n
+ n
1
拆项相消
第十一章 无穷级数
第十一章 无穷级数一、常数项级数1. 基本概念（1）无穷级数的定义： +++++=∑∞=n n n u u u u u 3211（2）级数的收敛与发散如果 s s n n =∞→lim ，则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, s 叫做级数∑∞=1n n u 的和，且1n n s u ∞==∑；如果n s 没有极限，则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.（3）性质性质1线性性质：设级数1n n u s ∞==∑，1n n v σ∞==∑，,αβ为常数，则1()n n n u v s αβαβσ∞=+=+∑.性质2 （级数收敛的必要条件）级数∑∞=1n n u 收敛.0lim =⇒∞→n n u如果级数的一般项不趋于零, 则级数发散。
（4）柯西审敛原理级数∑∞=1n n u 收敛⇔对任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n >N 时，对任意的自然数p ，有 12n n n p n p n u u u s s ε+++++++=-< 成立（5）几个典型常数项级数的敛散性 ① 等比级数 (几何级数)2n n n aq a aq aq aq ∞==+++++=∑ ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥∞+)( 1||,1)( 1||,收敛发散q q a q② 调和级数：=∑∞=11n n+++++n 131211 (发散)③ P-级数： ++++++=∑∞=pp p p n p n n1413121111 ⎩⎨⎧≤>发散时当收敛时当,1,1p p 【例1】判别级数1213nn n ∞=-∑的收敛性，并求级数的和。
解：由于12131133333n n n n n n n n n n n u --++==-=-，由定义2231223341(1)()()()3333333n n n n n S -+=-+-+-++-113nn +=- ∴1lim lim(1)13n n n n n S S →∞→∞+==-=所以原级数收敛，且和为1。
【2019年整理】(同济大学)高等数学课件D11_1常数项级数
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Skn Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
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引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减
少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
由自由落体运动方程
s
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
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一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
无穷级数(课件)
∞
（1）
1
n1 (n 1)(n 4)
∞
（2）
1
n1 n(n 1)
解
（1）因为
(n
1 1)(n
＜1 4) n2
，而级数
∞ n 1
1 n2
收敛，所以根据比较审敛法，级数
∞ n1
(n
1 1)(n
4)
收敛。
（2）因为
1＞ n(n 1)
1 (n 1)2
1 n 1
，而级数
∞ n1
1 n+1
是级数
∞ n 1
1 n2
去掉
∞
第一项所成的级数，由第一节中的性质 6.3 可知级数
1
发散，所以根据比较审敛法，级
n1 n+1
∞
数
1 发散。
n1 n(n 1)
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第二节 常数项级数的审敛法
∞
∞
定理 6.3（比较审敛法的极限形式） 设 un 和 vn 都是正项级数，如果
n 1
n1
lim un l,(0＜l＜ ∞) ，
（3）当 ＝1时，级数可能收敛也可能发散。
【例
11】判断级数
∞ n1
n 2n
1
n
的敛散性。
解
lim
n∞
n
un
lim n n∞ 2n 1
1＜1 ，所以级数收敛。 2
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第二节 常数项级数的审敛法
二、交错级数及其审敛法
定义 6.5 设 un＞0 (n 1,2, ) ，形如
u1 u2 u3 u4 (1)n1un 或 u1+u2 u3 +u4 (1)n un 的级数称为交错级数。
高等数学第11章 无穷级数
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11.4 幂级数
幂级数是函数项级数的一种重要情形，我们首先介 绍函数项级数的几个基本概念。 11.4.1 函数项级数的一些基本概念设｛un（x）｝ 是定义在区间I上的一个函数列，则由这函数列所构成的 表达式
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11.4.2 幂级数的基本概念
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11.6 函数幂级数展开式的应用
11.6.1 近似计算 例11.28 计算ln2的近似值，误差不超过0.0001. 解 若用展开式
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பைடு நூலகம்
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11.7 傅立叶级数
11.7.1 三角级数 我们常会碰到周期运动，如描述简谐振动的正弦函 数
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11.5 函数展开成幂级数
前面已讨论了幂级数的性质以及求一个收敛的幂级 数的和函数.若给定一个函数，能否找一个幂级数来表示 此函数？如果能找到，函数的幂级数表示式是否唯一？ 11.5.1 泰勒级数 高等数学上册讲过泰勒公式，若f（x）在点x0的某 邻域内存在n+1阶的连续导数，则
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11.3 一般项级数
上节我们讨论了正项级数的敛散性，一般级数的敛 散性问题要比正项级数复杂，本节我们只讨论特殊类型 级数的敛散性问题。 11.3.1 交错级数
无穷级数
xn 例5 判定级数 ( x 0)的敛散性. n 1 n n 1 x u n 1 1 解： lim lim n n un n x n n n lim xx n n 1
x 级数 n 1 n
n
当0 x 1时收敛， 当x 1时发散; 当x 1时为调和级数，发散.
p
1 4p
1 5p
1 6p
1 7
) p
8 15 它的各项均不大于级数
p
)
1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) 2 2 4 4 4 4 1 1 ( p p ) 8 8 的对应项.
后一级数是几何级数，公比q 所以此级数收敛.
n 级数 n收敛，因此原级数也收敛. n1 2
例7 判别级数
1 1 2 1 2 3 n! 2 n 的收敛性. 3 10 10 10 10
解:
u n 1 (n 1)! 10 n 1 n 1 . un n! 10 10 u n 1 n 1 lim lim n un n 10
由定理的第一个条件：un un 1 , 由(1)式可知{s2n}是单调增加的；
由(2)式可知s2n<u1.
由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无 限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于
u1，即 lim s2n s u1
的敛散性.常数 p>0.
解 (1)设p 1时, 1 1 p , 由比较判别法知 , n n
1 调和级数 是发散的 ; n 1 n 1 p 级数 p 也发散 . n 1 n
无穷级数(全)
无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。
无穷级数
第5章无穷级数无穷级数是研究函数的一个重要的工具，在许多抽象理论和应用学科中，都处于重要的地位. 无穷级数就其实质而言，是极限理论的深入，它包括常数项级数和函数项级数两部分. 利用级数不仅可表示初等函数，也可以表示很多有用的非初等函数，进而用级数来研究这些函数，例如可用幂级数来研究复杂函数的性质；还可以加深对中小学数学理论的理解，例如关于循环小数的理论，中学数学用表的制作等. 本章先讨论常数项级数，而后在函数项级数中重点介绍幂级数和三角级数.5.1常数项级数的概念和性质5.1.1 常数项级数的概念定义5.1设为无穷数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式，（5.4）称为常数项级数或无穷级数，简称为级数，其中称为常数项级数的通项或一般项. 此级数也常写作记称为级数的部分和，部分和构成的数列记为定义5.2若级数的部分和数列有极限，即，则称级数收敛，为其和，此时，如果不存在，则称级数发散．由于级数收敛等价于其部分和数列收敛，因此，级数收敛和数列收敛有着极为密切的关系：级数与数列同时收敛或同时发散. 如果级数收敛于，则部分和，它们之间的差称为级数的余项. 显然有，而是用近似代替所产生的误差.例1判断级数的收敛性.解，，所以，，即级数收敛，其和为1.例2证明发散．证此数项级数的部分和数列为显然这个部分和数列发散，因此由级数收敛的定义知，此数项级数发散．例3讨论等比级数（或称几何级数）（5.5）的收敛性，其中.解当时, 级数的部分和为.当时, 由于，故数列有极限，即级数(5.5)收敛，其和为.当> 1时, 由于, 故，即数列没有极限, 所以级数(5.5)发散.当时, ，数列没有极限, 所以级数(5.5)发散.当时, 级数为，由例2知，此级数发散，即级数(5.5)发散.由上面的讨论可知，等比级数当<1时收敛；当1时发散.例如级数是公比的等比级数，<1,故该级数收敛，且其和为=2 .而级数是公比的等比级数，，则级数发散.例4证明调和级数发散.证所以，调和级数发散.5.1.2 级数收敛的基本性质性质1 如果级数收敛于，则级数收敛于，其中是常数. 也就是说,当级数收敛时, 有= k.证设级数的部分和为，级数的部分和为，则，，这就说明级数收敛，且和为.由极限的性质知道，当0时，极限与必同时存在或同时不存在，故级数与级数具有相同的收敛性.性质2如果级数与级数均收敛，其和分别是与，则级数也收敛，且其和为，即== s.证设级数和级数的部分和分别是和，则级数部分和为于是所以，收敛。
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第十一章 无穷级数一、常数项级数（A:§11.1,§11.2; B:§10.1,§10.2） Ⅰ、内容要求：（ⅰ）理解无穷级数敛散及和的概念。
（ⅱ）记忆无穷级数收敛的必要条件，了解无穷级数的基本性质。
（ⅲ）记忆等比级数和p 级数的敛散性。
（ⅳ）掌握正项级数的比值审敛法，学会运用正项级数的比较审敛法及其极限形式，了解正项级数收敛的充要条件。
（ⅴ）掌握交错级数的莱布尼兹定理，了解一般项级数绝对收敛与条件收敛的概念及关系。
Ⅱ、基本题型：（ⅰ）无穷级数基本性质的客观题。
1．是非题：（每题4分）（1）∑∞=1n n u 收敛，则0lim =∞→n n u ，反之亦然。
（ ⨯ ）（2）∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=+1)(n n n v u 必发散。
（√ ）（ⅱ）涉及等比级数和p 级数敛散性的客观题。
2．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ C ）(A)∑∞=11n n(B))1(1∑∞=-n n(C)∑∞=--112)1(n nn (D)∑∞=11n n3．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∞=13n n（B ）∑∞=+131n n （C ）∑∞=+11n n n （D ）∑∞=+1311n n（ⅲ）运用比较审敛法及其极限形式判定简单正项级数的敛散性。
4．判别下列级数的敛散性：（每题6分）（1）∑∞=+121n n n （2）∑∞=12sinn nπ（3）∑∞=+1)11ln(n n（4）∑∞=+1)12(n nn n解：（1）解：111lim2=+∞→nn nn∑∞=11n n发散 ∴∑∞=+121n n n 发散。
（2）解：12121sinlim=∞→n nn∑∞=121n n收敛 ∴∑∞=12sinn nπ收敛 。
（3）解：11)11ln(lim=+∞→nnn∑∞=11n n发散 ∴∑∞=+1)11l n (n n发散。
（4）解：nnn n 21)12(≤+∑∞=121n n收敛 ∴∑∞=+1)12(n nn n 收敛 。
（ⅳ）运用比值审敛法判别正项级数敛散性的题型。
5．判别下列级数的敛散性：（每题6分）（1）∑∞=-1)2(12n nn （2）∑∞=123n n n（3）∑∞=-1565n nnn（4）∑∞=+122sin)1(n nn π（5）∑∞=1!2n n nnn ,你能求nnn nn !2lim∞→吗？（1）解：122lim1<=+∞→nn n u u∴∑∞=-1)2(12n nn 收敛 。
（2）解：13lim1>=+∞→nn n u u∴∑∞=123n n n发散 。
（3）解：165lim1<=+∞→nn n u u∴∑∞=-1565n nnn收敛 。
（4）解：121lim1<=+∞→nn n u u∴∑∞=+122sin)1(n nn π收敛 。
（5）解：12)11lim(2!2)1()!1(2lim111<=+=⋅++⋅=∞→+++∞→ennn n n u u n nnnn n nn n∴∑∞=1!2n nnnn 收敛 ⇒ nnn nn !2lim∞→=0（Ⅴ）运用莱布尼兹定理判别交错级数敛散性的题型。
6．判别下列级数的敛散性。
若收敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛？（每题7分）（1）∑∞=--121)!2()!()1(n n n n （2）∑∞=-+-1111)1(n n n（3）∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n解：（1）141)!2()!()]!1(2[])!1[(lim22<==⋅++∞→n n n n n∴∑∞=--121)!2()!()1(n n n n 绝对收敛 。
（2）∑∞=-+-1111)1(n n n 条件收敛。
（3）∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n 条件收敛。
（ )11)1ln(1lim=+∞→nn nⅢ、提高题型：（ⅰ）综合运用审敛法判定具体级数敛散性的问题。
7．（4'）设α为常数，则∑∞=-12]1)sin([n nnn α的敛散性--------------------------------（ C ）（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性与α取值有关8．（4'）设0>λ，且∑∞=12n na 收敛，则∑∞=+-12||)1(n n nn a λ的敛散性-----------------（ A ）（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性与λ取值有关9．判别下列级数的敛散性：（每题7分）（1）)0(11ln >∑∞=a an n（2）∑∞=>+1)0(11n na a（3）∑∞=13sin 2n nn n （4）∑∞=+-132005)1(n nn n解：（1）∑∑∞=∞==11ln ln 11n n anna当e a >时，原级数收敛；当e a ≤<0时，原级数发散。
（2）当1>a 时， 111111lim1<=+++∞→aaann n 故∑∞=+111n na收敛；当10≤<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==+∞→10,11,2111lima a ann 故当10≤<a 时，原级数发散。
（3）nnn n n 2sin 233≤而 12122)1(lim313<=++∞→nn n n n故∑∞=132n nn 收敛，即原级数绝对收敛。
（4）∑∞=+-132005)1(n nn n条件收敛。
10．判别下列级数的敛散性：（每题7分）（1）∑∞=+-++1124124lnn nnn n （2）)1()(1111>-∑∞=+a a a n n n解：（1）1242~)12421ln(124124ln11+-+-+=+-++++nnn nnn nn nn12112421242lim 1112<=+-+-++++∞→nn n n n n n故∑∞=+-++1124124lnn nnnn 收敛。
（2）当1>a 时)(111∞→-→-=+n a a a s n n∴ 当1>a 时，原级数收敛。
（ⅱ）涉及抽象级数敛散性的证明。
11．（7'）设0,0>>n n b a ，且满足,...2,1,11=≤++n b b a a nn nn求证：若∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=1n n a 收敛；若∑∞=1n n a 发散，则∑∞=1n n b 发散。
证明：,...2,1,11=≤++n b b a a nn nn ∴,...2,1,11=≤++n b a b a n n n n∴ nn n n b a b a ≤++111111b a b a n n ≤≤≤--由比较审敛法易证：若∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=1n n a 收敛；若∑∞=1n n a 发散，则∑∞=1n n b 发散。
12．（8'）设,...)2,1()1(21,211=+==+n a a a a nn n ，证明：（1）n n a ∞→lim 存在； （2）∑∞=+-11)1(n n n a a 收敛。
证明：（1）1221)1(211=⨯≥+=+nn n a a a 2),2(1=≥a n0)1(211≥-=-∴+nn n n a a a a故{}n a 递减且有下界，因此n n a ∞→lim 存在。
令n n a ∞→lim =A ，则1(1)1(21-==⇒+=A A AA A 舍去）（2）令n n n n n u a a a a =+-=-+1112211011141limlim22421<=+++-=∞→+∞→nn n n n nn n a a a a u u∑∞=+-11)1(n n n a a 收敛。
二、幂级数（A:§11.3,§11.4; B:§10.3,§10.4） Ⅰ、内容要求：（ⅰ）了解函数项级数的收敛域与和函数的概念。
（ⅱ）熟练掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法。
（ⅲ）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，学会计算一些简单幂级数的和函数。
（ⅳ）记忆xx x x e x±+11)1ln(,cos ,sin ,及的麦克劳林展开式。
（ⅴ）学会利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数。
（ⅵ）学会用幂级数进行一些近似计算（自学）。
Ⅱ、基本题型：（ⅰ）幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法。
13．（4'）设幂级数∑∞=-1)1(n n n x a 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该幂级数的收敛域为)2,0[14．求下列幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域：（每题7分）（1）∑∞=-12)1(n n nnx ]1,1[- （2）nn nx n ∑∞=+112)21,21[-（3）])4()21[(1nnn x x +∑∞= )41,41(- （4）nn x n n ∑∞=1ln )1,1[-15．求下列幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域：（每题7分）（1）nn n xn 2114⋅⋅∑∞=- )21,21(-（2）∑∞=+-1132)12(n nn n x)2,2[33-（3）nn n x nn )1(2112+∑∞=- )43,45[--（4）)0()1(11>-∑∞=p x nnn p⎩⎨⎧≤<>10),2,0[1],2,0[p p （ⅱ）利用xx x x e x±+11),1ln(,cos ,sin ,的麦克劳林展开式将一些简单的函数用初等方法展开成幂级数。
16．填空题： （1）（4'） 2xe 的麦克劳林展开式为∑∞=02!n nn x.（2）（4'） x 2cos 的麦克劳林展开式为∑∞=+-021)!2()2()1(n nn n x .17．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出展开式成立的区间：（每题7分） （1）6512+-x x （2）)2ln(x +（3）x 2sin （4）)23ln(2+-x x解：（1）6512+-x x =31131211213121x x xx-⋅--⋅=---∑∞==221n nn x ∑∞=-331n nn x ∑∞=++-=11)3121(n nn n x（2）)2ln(x +=+=++2ln )21ln(2ln x ]2,2(,2)1(11-∈⋅-∑∞=-x n xn nn n（3）x 2sin=∑∞=--=-02)!2()2()1(212122cos 1n nnn x xnn nn xn 211)!2(4)1(∑∞=+-=（4）)23ln(2+-x x =)1ln(x -)2ln(x -+ =)21ln()1ln(2ln x x -+-+=+2ln ∑∞=--11)1(n nn nx∑∞=-⋅-+112)1(n nn n n x=+2ln nn nn x n∑∞=---+11)211(1)1(18．将下列函数在指定点0x 处展开成)(0x x -的幂级数，并指出展开式成立的区间： （1）（7'）2312++x x ，40-=x （2）（7'）1ln+x x ，10=x解：（1）2312++x x =241121+-x 341131+--x)2,6(,)4)(3121(011--∈+-=∑∞=++x x n nn n（2）1ln +x x =)211ln(2ln )]1(1ln[-+---+x x=2ln -]2,0(,)1(212)1(11∈-⋅--+∑∞=-x x n nn nnnⅢ、综合题型：（ⅰ）求幂级数的收敛域，并利用逐项求导，逐项积分或初等方法求幂级数的和函数，并由此确定某些常数项级数的和。