2010年上海高考数学试题及答案(理科)
2010年高考数学（理科）上海试题一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．不等式204xx ->+的解集是_______________． 2．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ⋅+=_______________．3．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．4．行列式cossin 36sincos36ππππ的值是_______________．5．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________．6．随机变量ξ的概率分布由下表给出：7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________．8．对于不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (x +3)的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标为_______________．9．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率()P A B =______________(结果用最简分数表示)．10．在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n nn n n n --⎛⎫ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,···,n )．当n =9时，a 11+a 22+a 33+···+a 99=_______________．11．将直线l 1：nx +y -n =0、l 2：x +ny -n =0(n ∈N *)、x 轴、y 轴围成的封闭区域的面积记为S n ，则lim n n S →∞=_______________．12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD相交于点O ，剪去∆AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A (B )、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积是_______________．13．如图所示，直线2x =与双曲线22:14x y Γ-=的渐近线交于1E 、2E 两点，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P ，若12(,)OP ae be a b R =+∈，则a 、b 满足的一个等式是_______________．14．从集合{,,,}U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1) ,U ∅都要选出；(2)对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇． 那么，共有___________种不同的选择．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．“24x k ππ=+(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．直线l 的参数方程是12()2x tt y t =+⎧∈⎨=-⎩R ，则l 的方向向量d 可以是 （ ）（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(-2,1)D ．(1,-2) 17．若x 0是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则x 0属于区间（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭18．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 （ ） A ．不能作出满足要求的三角形 B ．作出一个锐角三角形 C ．作出一个直角三角形 D ．作出一个钝角三角形三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+．20．（本题满分13分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n -5a n -85,n ∈N *． (1) 证明：{a n -1}是等比数列；(2) 求数列{S n }的通项公式，并指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由． 20．（本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．A 1 A 2A 3 A 4A 5A 6A 7A 8B 1B 2B 3 B 4 B 5B 6 B 7 B 822．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．若实数x 、y 、m 满足|x -m |﹥|y -m |，则称x 比y 远离m ． (1) 若x 2-1比1远离0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2(3) 已知函数f (x )的定义域{|,,}24k D x x k x ππ=≠+∈∈Z R ．任取x ∈D ，f (x )等于sin x 和cos x 中远离0的那个值．写出函数f (x )的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）23．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为(-a ,b )．(1) 若直角坐标平面上的点M 、A (0,-b )、B (a ,0)满足1()2PM PA PB =+，求点M 的坐标；(2) 设直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2:y =k 2x 于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；(3) 对于椭圆Γ上的点Q (a cos θ ,b sin θ )(0<θ <π)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P 1、P 2使12PP PP PQ +=，写出求作点P 1、P 2的步骤，并求出使P 1、P 2存在的θ 的取值范围．理科参考答案一、填空题1．(-4,2)； 2．6-2i ； 3．y 2=8x ； 4．0；5．3；6．8.2；7．S ←S +a ；8．(0,-2)； 9．726；10．45； 11．1； 12 13．4ab =1； 14．36． 二、选择题 15．A ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题19．原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．20．(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；解不等式S n <S n +1，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，当n ≥15时，数列{S n }单调递增； 同理可得，当n ≤15时，数列{S n }单调递减；故当n =15时，S n 取得最小值．21．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r =0.3时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-，35(0.3,0.3,0.6)A B =--，设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352cos 3||||A B A B A B A B θ⋅==⋅， 所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为2arccos 3．22．(1) (,( 2.)x ∈-∞+∞；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b+>222a b ab +>， 因为33222|2|2()()0a b ab ab a b a b +--+-=+->，所以3322|2|2a ba b ab +->+-，即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2；(3) 3sin ,(,)44()cos ,(,)44x x k k f x x x k k ππππππππ⎧∈++⎪⎪=⎨⎪∈-+⎪⎩，性质：1︒f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2︒f (x )是周期函数，最小正周期2T π=，3︒函数f (x )在区间(,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224k k πππ+单调递减，k ∈Z ， 4︒函数f (x )的值域为． 23．(1) (,)22a bM -；(2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)， 则212102221201022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x ya kb ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 求作点P 1、P 2的步骤：1︒求出PQ 的中点(1cos )(1sin )(,)22a b E θθ-+-， 2︒求出直线OE 的斜率2(1sin )(1cos )b k a θθ+=--，3︒由12PP PP PQ +=知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率2122(1cos )(1sin )b b k a k a θθ-=-=+， 4︒从而得直线CD 的方程：(1sin )(1cos )(1cos )()2(1sin )2b b a y x a θθθθ+---=++， 5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P 1、P 2的坐标．欲使P 1、P 2存在，必须点E 在椭圆内，所以22(1cos )(1sin )144θθ-++<，化简得1sin cos 2θθ-<，sin()4πθ-<又0<θ <π，即3444πππθ-<-<，所以arcsin 444ππθ-<-<，故θ的取值范围是(0,4π+．。
上海高考数学理科含答案.doc
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。
8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。
10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=______。
2010高考理科数学试题及答案`
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）（数学理）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理..（1）复数231i i -⎛⎫=⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +（2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是A211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+>（C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式261x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种(7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =u u r，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =uu u r（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b +（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A ）1 （B（C ）2 （D ）3（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B（C（D ）2（13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ．（14）若9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)Ml 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN =三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+ ． （Ⅰ）求limnn n a S →∞； （Ⅱ）证明：12222312n n a a a n +++…＞（19）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．（20）（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b -=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ．（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF = ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．（22）（本小题满分12分） 设函数()1xf x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．参考答案1【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦.2【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
2010年上海高考数学试题及答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、 不等式042>+-xx 的解集为_______________； 2、 若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3、 若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4、 行列式6cos 3sin6sin3cosππππ的值为_________； 5、 圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________；6、 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x7 8 9 10 P(x =ξ) 0.3 0.35 0.2 0.15则随机变量ξ的均值是__________；7、2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
8、对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 。
9、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P （结果用最简分数表示）。
10、在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)及解析
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨1p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣210．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa211．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•宁夏）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．2．（5分）（2010•宁夏）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．3．（5分）（2010•宁夏）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．5．（5分）（2010•宁夏）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．6．（5分）（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．8．（5分）（2010•新课标）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f （|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x ﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．9．（5分）（2010•宁夏）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．10．（5分）（2010•宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．11．（5分）（2010•新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．12．（5分）（2010•宁夏）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B 点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a 和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．（5分）（2010•宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．（5分）（2010•宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．16．（5分）（2010•宁夏）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n）+…+（a2﹣a1）]+a1﹣1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．18．（12分）（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．19．（12分）（2010•新课标）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x 1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．21．（12分）（2010•宁夏）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．22．（10分）（2010•新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）23．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．（10分）（2010•新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．。
2010年上海市高考理科数学试卷及答案（打印版）
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.不等式204xx ->+的解集是 。
2.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。
3. 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 。
4.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是 。
5. 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l:3440x y ++=的距离d = 。
6. 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是 7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
8.对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是 9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”， 事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P （A ⋃B ）= （结果用最简分数表示）10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
当9n =时，112233a a a a +++⋅⋅⋅+= 。
11. 将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥） x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= 。
2010年上海高考真题(含答案)数学理
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。
8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。
10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=______。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
(1)已知集合A{xR|x |2}},B{xZ|x4},则AB(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,1,2} (2)已知复数 z3i2 (13i) ，z 是z 的共轭复数，则zz=(A)1 4(B)1 2(C)1(D)2x在点(1,1)处的切线方程为 (3)曲线yx2(A)y2x1(B)y2x1(C)y2x3(D)y2x2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2,2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为d 2 tOπ 4ABCD(5)已知命题xxp ：函数y22在R 为增函数， 1xxp ：函数y22在R 为减函数， 2则在命题 q ：p 1p 2，q 2：p 1p 2，q 3：p 1p 2和q 4：p 1p 2中，真命1 题是（A ） q ，1 q （B ） 3 q ， 2 q （C ） 3 q ， 1 q （D ） 4q ， 2 q4(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再 补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 开始 (A)100（B ）200 输入N (C)300（D ）400k=1,S=0 (7)如果执行右面的框图，输入N5，则输出的数等于(A) 5 4 （B ）4 5(C) 6 5 （D ）5 61S=S+k(k+1) k<N 否 输出Sk=k+1 是(8)设偶函数f(x)满足 3 f(x)x8(x0)，结束则{x|f(x 2)0}(A){x |x2或x4}(B){x |x0或x4} (C){x |x0或x6}(D){x |x2或x2}(9)若cos 45 ，是第三象限的角，则 1tan 1tan2 2(A)1 2(B)1 2(C)2(D)2(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2 a(B)7 3 2 a(C)11 3 2 a(D)2 5a|lgx|,0x10,(11)已知函数 f x ()12x6,x10.若a,b,c 互不相等，且f(a)f(b)f(c),则abc 的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，P(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15),则E 的方程式为(A) 22 xy 36 1 (B) 22 xy 45 1 (C) 22 xy 63 1 (D) 22 xy 541第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试求做答。
2010年高考数学(理)试题及答案(新课标全国卷)
3 3 ，则 BAC=_______
三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 （17） （本小题满分 12 分）
2 n 1 设数列 an 满足 a1 2, an 1 an 32
（1） 求数列 an 的通项公式； （2） 令 bn nan ，求数列的前 n 项和 S n (18)（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形， AB CD,AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，E 为 AD 中点
即 （18）解：
。
1 Sn [(3n 1)22 n 1 2] 9
以 H 为原点， HA, HB, HP 分别为 x, y, z 轴，线段 HA 的长为单位长， 建立空间直角坐
[键入文字]
标系如图， 则 A(1,0,0), B(0,1,0) （Ⅰ）设 C (m,0,0), P(0,0, n)(m 0, n 0)
[键入文字]
（1） 证明：PE BC （2） 若 APB= ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值
(19)(本小题 12 分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助， 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 年人，结果如下： 是否需要志愿 需要 不需要 性别 男 40 160 女 30 270
abc 的取值范围是
(A) (1,10) (B) (5, 6) (C) (10,12) (D) (20, 24)
（12）已知双曲线 E 的中心为原点， P(3, 0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N (12, 15) ,则 E 的方程式为
则在命题 q1 ： p1 p2 ， q 2 ： p1 p2 ， q3 ： p1 p2 和 q 4 ： p1 p2 中，真命 题是 （A） q1 ， q3 （B） q 2 ， q3 （C） q1 ， q 4 （D） q 2 ， q 4
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解上海理
2010年上海理一、填空题（共14小题；共70分）>0的解集是．1. 不等式2−xx+42. 若复数z=1−2i，i为虚数单位，则z⋅z+z=．3. 动点P到点F2,0的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为．4. 行列式 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）的值是．5. 圆C:x2+y2−2x−4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=．6. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：x78910Pξ=x0.30.350.20.15则该随机变量ξ的均值是．7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．8. 对于不等于1的正数a，函数f x=log a x+3的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标为．9. 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为"抽得红桃K "，事件B为"抽得黑桃"，则概率P A∪B=（结果用最简分数表示）．10. 在n行n列矩阵123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n−3n−2n−1中，记位于第i行第j列的数为a ij i,j=1,2,⋯,n ．当n=9时，a11+a22+a33+⋯+a99=．11. 将直线l1:nx+y−n=0，l2:x+ny−n=0n∈N∗，x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S n，则limn→∞S n=．12. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．13. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ:x24−y2=1的渐近线交于E1、E2两点，记OE1=e1，OE2=e2，任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2a,b∈R，则a、b满足的一个等式是．14. 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B．那么，共有种不同的选法．二、选择题（共4小题；共20分）15. " x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2−t t∈R，则l的方向向量d可以是 A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. 1,−217. 若x0是方程12x=x1的解，则x0属于区间 A. 23,1 B. 12,23C. 0,13D. 13,1218. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 A. 不能作出满足要求的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题；共65分）19. 已知0<x<π2，化简：lg cos x⋅tan x+1−2sin2x2+lg2cos x−π4−lg1+sin2x．20. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85,n∈N∗．（1）证明：a n−1是等比数列；（2）求数列S n的通项公式，并指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．21. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．22. 若实数x、y、m满足∣x−m∣>∣y−m∣，则称x比y远离m．（1）若x2−1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab ab；（3）已知函数f x的定义域D= x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R ．任取x∈D，f x等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．23. 已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点P的坐标为−a,b．（1）若直角坐标平面上的点M、A0,−b、B a,0满足PM=12PA+PB，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=−b2a，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆Γ上的点Q a cosθ,b sinθ0<θ<π，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使PP1+PP2=PQ，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ满足的条件．答案第一部分1. −4,22. 6−2i【解析】由z=1−2i，知z=1+2i，那么zz+z=1−2i1+2i+1−2i=5+1−2i=6−2i．3. y2=8x4. 12【解析】由于 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）=sinπ3cosπ6−cosπ3sinπ6=sinπ3−π6=sinπ6=12．5. 3【解析】配方得圆C:x−12+y−22=1，得圆心1,2，那么圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=32+42=3．6. 8.2【解析】由随机变量ξ的概率分布列知，ξ的均值为Eξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2．7. S←S+a8. 0,−29. 726【解析】从一副混合后的扑克牌中随机抽取1张的基本事件总数为52种，而事件A∪B为"抽得红桃K或抽得黑桃"，其对应的事件数为14，那么相应的概率为P=1452=726．10. 45【解析】由矩阵的特点知a11=1,a22=3,a33=5,a44=7,a55=9,a66=2,a77=4,a88=6,a99=8,那么，a11+a22+a33+⋯+a99=45．11. 1【解析】l1、l2分别变形为l1:n x−1+y=0、l2:n y−1+x=0，所以直线l1、l2分别过定点A1,0、B0,1，联立nx+y−n=0,x+ny−n=0解得x=nn+1y=nn+1，即直线l1、l2的交点为C nn+1,nn+1；可知S n=S四边形OACB =nn+1，那么limn→∞S n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1n=11+0=1．12. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．13. 4ab=1【解析】依题意可知：E12,1,E22,−1，所以OP=ae1+be2=2a+2b,a−b.因为点P在双曲线上，所以2a+2b 24−a−b2=1，化简得4ab=1．14. 36【解析】由题可知，另外两个集合均为全集U的非空真子集，不妨设，两个集合分别为A、B，且A⊆B，则选法可分为以下两类：（1）当集合A中含有一个元素时，集合A共有4种选法，此时集合B的所有选法为23−2=6种；（2）当集合A中含有两个元素时，集合A共有C42种选法，此时集合B的所有选法为22−2=2种；综上，不同的选法共有36种．第二部分15. A【解析】由题知，当x=2kπ+π4k∈Z时，可得tan x=1；而当tan x=1时，可得x=kπ+π4k∈Z．故" x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的充分不必要条件．16. C 【解析】提示：该直线方程的一般形式为x+2y−5=0．17. D 【解析】设函数f x=12x−x13，结合各选项有：f0=1>0，由幂函数的性质，得f13=121−131>0，由指数函数的性质，得f12=121−121<0，因此，根据函数零点的意义知，x0属于的区间为13,12．18. D 【解析】设三角形的对应三条边长分别为a、b、c，利用等积法有1 13a=111b=15c=k,从而a=13k,b=11k,c=5k,那么角A为最大角，从而有cos A=b2+c2−a2=−23<0,故△ABC一定是钝角三角形．第三部分19. 因为0<x<π2，所以原式=lg sin x+cos x+lg cos x+sin x−2lg sin x+cos x=0.20. （1）当n=1时，a1=−14;当n≥2时，a n=S n−S n−1=−5a n+5a n−1+1,可化为a n−1=56a n−1−1,又a1−1=−15≠0，则数列a n−1是等比数列；（2）由（1）知a n−1=−15⋅56n−1,解得a n=1−15⋅56n−1,从而S n=75⋅56n−1+n−90n∈N∗,由不等式S n<S n+1，得5 6n−1<225,即n>log562+1≈14.9,于是当n≥15时，数列S n单调递增；同理可得，当n≤15时，数列S n单调递减；故当n=15时，S n取得最小值．21. （1）设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2−2r0<r<0.6,S=−3πr−0.42+0.48π,所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．（2）当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得A 1B 3 = 0.3,0.3,0.6 ，A 3B 5 = −0.3,0.3,0.6 ， 设向量A 1B 3 与A 3B 5 的夹角为θ，则cos θ=A 1B 3 ⋅A 3B 5∣∣A 1B 3 ∣∣⋅∣∣A 3B 5 ∣∣=23,所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的余弦值为23． 22. （1）由题意得∣x 2−1∣>1，即x 2−1>1 或 x 2−1<−1.由x 2−1>1，得x <− 2 或 x > 2;由x 2−1<−1，得x ∈∅．综上可知x 的取值范围为 −∞,− ∪ +∞ ． （2）由题意，即证∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣>∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣.因为a ≠b ，且a 、b 都为正数，所以∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣=∣∣∣ a 3 2+ b 3 2−2 a 3b 3∣∣∣=∣∣∣ a − b 2∣∣∣= a a −b b 2,∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣=∣∣ab a +b −2 ab ∣∣=ab a − b 2= a b −b a 2,即证a a −b b 2− a b −b a 2>0,即证a a −b b −a b +b a a a −b b +a b −b a >0,需证a −b a +b a −b a + b >0,即证a +b a −b 2>0.因为a、b都为正数且a≠b，所以上式成立．故命题成立．（3）因为x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R，所以当∣sin x∣>∣cos x∣时，得sin2x>cos2x，即cos2x<0，解得kπ+π4<x<kπ+3π4,k∈Z，此时f x=sin x；当∣sin x∣<∣cos x∣时，得sin2x<cos2x，即cos2x>0，解得kπ−π4<x<kπ+π4,k∈Z，此时f x=cos x．综上可得f x=sin x,x∈ kπ+π,kπ+3πk∈Z,cos x,x∈ kπ−π4,kπ+π4k∈Z.性质如下：非奇非偶函数；值域为 −1,−22∪22,1；函数最小正周期为2π；函数的单调增区间为2kπ−π4,2kπ ，2kπ+π4,2kπ+π2，2kπ+π,2kπ+5π4和2kπ+3π2,2kπ+7π4,k∈Z；函数的单调减区间为2kπ,2kπ+π4，2kπ+π2,2kπ+3π4，2kπ+3π4,2kπ+π 和2kπ+5π4,2kπ+3π2，k∈Z．23. （1）设M x0,y0，则PM=x0+a,y0−b,PA=a,−2b,PB=2a,−b.由PM=12PA+PB得x0+a,y0−b=12a,−2b+2a,−b.所以x0=a,y0=−b,所以M a2,−b2．（2）由方程组y=k1x+p,x2 2+y22=1,消去y得方程a2k12+b2x2+2a2k1px+a2p2−b2=0,因为直线l1交椭圆Γ于C、D两点，所以Δ>0，即a2k12+b2−p2>0,设C x1,y1、D x2,y2，CD中点坐标为x0,y0，则x0=x1+x2=−a2k1p12,y0=k1x0+p=b2pa2k12+b2,由方程组y=k1x+p,y=k2x,消去y得方程k2−k1x=p,又因为k2=−b2a2k1，所以x=p21=−a2k1p12=x0,y=k2x=b2pa2k12+b2=y0,故E为CD的中点．（3）如果椭圆Γ上存在不同的两个点P1、P2满足PP1+PP2=PQ，则四边形PP1QP2是平行四边形，因而P1P2的中点应与PQ的中点重合，故只需据此求出直线P1P2的斜率即可．设P1 x P1,y P1，P2 x P2,y P2，PQ中点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2．因为P1、P2在椭圆上，所以x P1 2 a2+y P12b2=1. ⋯⋯①①−②并整理得y P1−y P2x P1−x P2=−b2 x P1+x P2a2 y P1+y P2=−b2⋅a cosθ−1a2⋅b1+sinθ=b1−cosθa1+sinθ.求作点P1、P2的步骤如下：1）连接PQ，作出线段PQ的中点R；2）过点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2作斜率为k=b1−cosθa1+sinθ的直线l，交椭圆Γ于P1、P2点，则点P1、P2就是所求作的点．当0<θ<π时，只需PQ的中点在椭圆内部，则由作法可知满足条件的点P1、P2就存在，所以有−a+a cosθ22 2+b+b sinθ222<1a>b>0,化简得sinθ−cosθ<1 2 ,即sin θ−π4<24且0<θ<π．。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
x2 y2
(A)
1
36
x2
(B)
4
y2 1
5
x2
(C)
6
y2 1
3
x2
(D)
5
y2 1
4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（ 13）题 ~第（ 21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（ 22）题 ~第（ 24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
y
（
sin
为参数）．
（Ⅰ）当 = 3 时，求 C1 与 C2 的交点坐标： （Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 A 、 P 为 OA 的中点，当
变化时，求
P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分 10 分）选修 4— 5：不等式选讲
设函数 f ( x) = 2 x 4 1． （Ⅰ）画出函数 y f ( x) 的图像： （Ⅱ）若不等式 f (x) , ax 的解集非空，求 a 的取值范围
（ 3）根据（ 2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助
的老年人的比例？说明理由
附： K 2
n(ad bc)2
(a b)( c d)( a c)(b d)
P(K 2 …k)
0.050 0.010
0.001
k
3.841 6.635 10.828
（20）（本小题满分 12 分）
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）令 bn nan ，求数列的前 n 项和 Sn
(18)（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB ∥ CD ， AC BD ，垂足为 H ， PH 是四棱锥的高 ， E 为 AD 中点 （ 1）证明： PE BC