随机过程作业(2)
随机过程——泊松过程(习题讲解)
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
随机过程习题及部分解答【直接打印】
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
《随机过程概论》第2章 随机信号的基本概念 作业
第2章 随机信号的基本概念 作业
2-1、已知随机信号()0cos X t A t ω=，其中0ω 为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。
求00
0,,32t ππωω=三个时刻()X t 的一维概率密度。
2-2、已知随机信号()X
t A Bt =+，其中,A B 皆为已知的随机变量。
①求随机信号()X t 的期望()E X t ⎡⎤⎣⎦和自相关函数()12,X R t t ；②若已知随机变量,A B 相互独立，试用,A B 的概率密度()A f a 和()B f b 来表示()X t 的一维概率密度();X f x t 。
2-3、两个随机信号()()0sin X
t t ω=+Φ与()()0cos Y t t ω=+Φ，其中0ω为常数，随机变量Φ服从[]0,2π的均匀分布；试求：
①两个随机信号的互相关函数()12,XY
R t t ； ②讨论两个随机信号的正交的条件，并且判定正交条件下它们的互不相关性与统计独立性。
2-4、设随机信号()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω为常数，,A B 是两个
线性无关的高斯随机变量，且期望都为0，方差为2σ，求()X
t 的一维概率密度函数。
随机过程作业和答案第一二章
随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。
求X(t)的一维和二维分布。
解 先求一维分布。
当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。
这亦是随机过程X(t)的一维分布。
再求二维分布。
当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。
则其线性变换也服从正态分布。
且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。
P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。
X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。
清华大学随机过程作业 答案
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3
参考答案:
(1) |X1|, |X2|, |X3|, ... 满足 Markov 性，可以严格证明：P (|Xn+1| = xn+1||X1| = x1, ..., |Xn| = xn) = P (|Xn+1| = xn+1||Xn| = xn)。 当 |Xn| = 0 时，必有：|Xn+1| = 1,P (|Xn+1| = 1||X1| = x1, ..., |Xn| = 0) = 1 = P (|Xn+1| = 1||Xn| = 0) 当 |Xn| = xn ̸= 0 ∨ m 时，则 |Xn+1| = xn+1 必须取值为 |Xn| ± 1
=
(i1,
i2),
Zt−1
=
(xt−1,
yt−1),
·
·
·
,
Z1
=
(x1,
y1)}
=
2
0
0 < i1 = i2 < m 其他
1
P {Zt+1
=
(i1,
i2)|Zt
=
(i1,
i2),
Zt−1
=
(xt−1,
yt−1),
·
·
·
,
Z1
=
(x1,
y1)}
=
2
0
i1 = i2 = m 其他
2. 设一个离散时间、离散状态的随机过程 {Xn, n ⩾ 1} 满足
X1, · · · , Xn−1⊥Xn+1|Xn, ∀n > 1
则成立
随机过程作业
0
1
0
平稳分布,且证明其唯一性.
第三章 平稳随机过程 第五次作业
9
学号
专业
姓名
作业号
3.2
设 U 是 随机变量 , 随机过程 X (t= ) U , −∞ < t < ∞ .(1) X (t ) 是严平稳过程吗 ? 为什么 ?(2) 如果
3.4
设 随 机 过 程 X (t )=U cos ωt + V sin ωt , −∞ < t < ∞ , 其 中 , U 与 V 相 互 独 立 , 且 都 服 从 正 态 分 布
1.20
设 { X n , n ≥ 1} 是参数为 p 的贝努利过程.试求协方差 Cov( X 2 − X 1 , X 3 − X 2 ) ,并由此证明 X n 不是独
立增量过程.
2 2 2 1.16 设复随机过程 Z = (t ) X (t ) + iY (t ) .试证 σ = σX (t ) + σ Y (t ) , RZ (t1 , t2 ) = [ RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 )] −i [ RXY (t1 , t2 ) − Z (t )
= EU µ = , DU σ 2 , 试证 X (t ) 的相关函数是常数.
N (0,1) .(1) X (t ) 是平稳过程吗?为什么?(2) X (t ) 是严平稳过程吗?为什么?
1.2
通过丢一颗骰子定义一个随机过程 { X (t ), −∞ < t < ∞} ,其中 X (t ) =
U Pr
1 2 3 1/3 1/3 1/3
t , 出现点数六 ; 试求随机过 2 否则 . t ,
（解答）《随机过程》第二章习题
（解答）《随机过程》第二章习题第二章 Markov 过程习题解答1、设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323=== =========?======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====?========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ?====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
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要求：
前六个题每人选3个，第7题到第14题每人任选1个。
第三章Poisson 过程
1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。
2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，
(()|())()(1),0,1,,k k n k n s s P N s k N t n C k n t t
-===-= 3、设有两个相互独立，强度分别为12,λλ的Poisson 过程12{(),0},{(),0}N t t N t t ≥≥，证明在过程1{(),0}N t t ≥中两个相邻事件间，过程2{(),0}N t t ≥出现k 个事件的概率为
1
21212(),0,1,2,k p k λλλλλλ==++
4、设{(),0}X t t ≥复合Poisson 过程，证明{(),0}X t t ≥也是平稳独立增量过程。
5、对于齐次泊松过程，计算123,t t t ，的联合分布。
6、产生一个泊松随机变量。
设随机变量列12,,U U L 服从（0，1）上的的均匀分 布，且相互独立：
()a 若ln i i U X l
-=,证明i X 服从参数为l 的指数分布； ()b 若N 定义为满足下式之n 值：
111n n i i i i U e U l +-==吵照
，其中0
11i i U =ºÕ 利用()a 证明N 服从均值为λ的泊松分布。
7、考虑一个从底层起动上升的电梯。
以i N 记在第i 层进入电梯的人数。
设i N 相互独立，且i N 是均值为i l 的泊松变量。
在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯。
ij j i
p >å=1，令j O 为第j 层离开电梯的人数。
()a 求()j E O ；()b j O 的分布是什么？()c ,j k O O 的联合分布是什么？
8、考虑一个具有r 个面的骰子，且假定每掷一次只呈现其一面，第i 面以概率i p 出现，11r
i i p ==å。
给定数1,,r n n L ，以i N 记直到第i 面出现i n 次时所需掷次
数，1,2,,i r =L 。
令1,..,m i n i i r
N N ==,于是N 是对某个1,2,,i r =L ,第i 面出现i n 次时所需掷次数.
()a i N 的分布是什么?
()b 诸i N 独立吗?
设抛掷是在参数为λ=1的泊松过程所产生的随机来到时刻进行的。
以i T 记直到第i 面出现i n 次所需要时间，1,2,,i r =L ，令1,,min i i r
T T ==L ， ()c i T 的分布是什么?
()d 诸i T 独立吗?
()e 导出][T E 的表达式。
()f 用()e 导出][N E 的表达式。
9、个体按照参数为λ的泊松过程进入系统。
每个来到的个体相互独立地经历系统的状态。
以()i s a 记一个体来到后经过时间s 处于状态i 的概率。
以()i N t 记在时刻t 处于状态i 的个体数。
证明(),1,2,i N t i =L 相互独立且()i N t 服从均值为λE [一个体从进入系统到t 时止处于状态i 的时间]。
10、证明非齐次泊松过程的增量)()(t N s t N -+服从均值为)()(s m s t m -+的泊松分布。
11、一个二维泊松过程是在平面上随机发生的事件构成的过程，使得
（i ）对于任一面积为A 的区域，其中的事件数服从均值为A λ的泊松分布； （ii ）不相交的区域中的事件数是相互独立的。
对此过程，考虑平面上任意一点，以X 记它与最近的事件间的距离，此处的距离是指通常的欧氏距离。
证明 ()a 2()t P X t e l p ->=；()b ()
E X =。
12、设{(),0}X t t ≥是复合泊松过程，计算))(),(cov(t X s X 。
13、对一个条件泊松过程：
（a ） 解释为什么条件泊松过程有平稳增量但无独立增量。
（b ） 在已知}0),({t s s N ≤≤,即过程直到t 时的历史资料条件下，计算Λ的
条件分布，并且证明它只依赖于)(t N 。
解释为什么会是这样的。
（c ） 在已知)(t N =n 的条件下，计算t 之后第一个事件发生的时刻的条件
分布。
（d ） 计算h
h N P h }1)({lim 0≥→ （e ） 以12,,X X L 表示来到间隔，它们独立吗？它们同分布吗？
14、考虑一个条件泊松过程，其中Λ服从参数为m 与α的τ分布，即密度为
1()(),0(1)!
m e g m l a
a l a l l --=<< - (a)证明1(())()(),0n m n m n t P N t n C n t t a a a +-==壮++；
(b)证明在已知()N t n =的条件下，Λ的条件分布仍是τ分布，参数为n m +,α+t . (c)0(()()1())lim h P N t h N t N t n h ®+-==是什么？。