分析测试中的数理统计
数理统计理论与数据分析
数理统计理论与数据分析是统计学的重要分支，它研究如何从实际数据中获取有用的信息，并进行可靠的推断和预测。
数理统计理论主要研究统计推断、假设检验、置信区间等基本概念和方法。
数据分析则是利用统计学方法和计算机技术对数据进行整理、分析和解释，从而得出结论和发现规律。
在数理统计理论中，主要涉及的内容包括概率分布、抽样理论、参数估计、假
设检验等。
通过概率分布和抽样理论的研究，我们可以把实际观测到的数据与理论模型进行比较，得出统计量的分布，从而进行参数估计和假设检验等。
数据分析则是利用统计学理论和方法对实际数据进行分析和解释。
数据分析的
过程包括数据清洗、数据可视化、统计模型建立和参数估计等。
通过对数据的整理和分析，我们可以发现数据中的规律和趋势，从而对现象进行解释和预测。
数理统计理论和数据分析在实际应用中有着广泛的应用，包括经济学、金融学、生物学、医学、社会学等领域。
它们能够帮助我们从海量的数据中提取有用的信息，为决策和预测提供科学的依据。
数理统计及其工程应用
数理统计及其工程应用数理统计是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
它在各个领域都有着广泛的应用，特别是在工程领域。
本文将探讨数理统计及其在工程应用方面的重要性和实际应用案例。
数理统计的核心概念之一是概率。
概率是描述事件发生可能性的数值。
在工程应用中，概率可以用来评估风险和确定可靠性。
例如，在设计桥梁或建筑物时，工程师需要评估各种不确定因素对结构安全性的影响，通过使用数理统计中的概率理论，可以对结构的可靠性进行定量分析和评估。
数理统计还包括描述统计和推断统计两个方面。
描述统计是对数据进行整理、总结和展示的方法，以便更好地理解数据的特征和趋势。
在工程领域中，描述统计可以用于分析实验数据、测量数据和调查数据，从而为工程师提供决策依据。
推断统计则是通过对样本数据进行分析和推断，得出对总体的结论。
在工程应用中，推断统计可以用于进行质量控制、产品测试和工艺改进等方面的决策。
数理统计还涉及到统计模型和回归分析。
统计模型是对观测数据背后的概率过程进行建模的方法。
通过建立合适的统计模型，可以对未来的数据进行预测和推断。
在工程应用中，统计模型可以用于预测产品的寿命、市场需求的变化和资源的分配等问题。
回归分析则是研究自变量和因变量之间关系的方法。
在工程领域中，回归分析可以用于确定影响产品性能的因素，从而优化产品设计和工艺流程。
数理统计在风险评估和决策分析方面也具有重要作用。
在工程项目中，存在着各种潜在的风险和不确定性。
通过使用数理统计方法，可以对这些风险进行定量评估，并制定相应的风险管理策略。
同时，数理统计还可以用于决策分析，帮助工程师在多个可选方案中进行选择，并评估每个方案的风险和收益。
让我们看一些实际的工程应用案例。
在电力系统中，数理统计可以用于分析电力负荷数据，预测未来的负荷需求，并优化电力供应方案。
在交通工程中，数理统计可以用于分析交通流量数据，研究交通拥堵的原因，并提出改善交通流动性的措施。
在制造业中，数理统计可以用于进行质量控制，检测产品的缺陷，并提高生产效率。
数理统计方法
数理统计方法是环境质量评价的最基本方法。
通过其对原始监测数据的整理分析，可以获得环境质量的空间分布及其变化趋势，其得到的统计值可作为其它评价方法的基础资料。
因此，一般来讲其作用是不可取代的。
数理统计方法是对环境监测数据进行统计分析，求出有代表性的统计值，然后对照卫生标准，做出环境质量评价。
数理统计方法得出的统计值可以反映各污染物的平均水平及其离散程度、超标倍数和频率、浓度的时空变化等。
平均值表示一组监测数据的平均水平，是常用的统计值之一。
当监测数据呈正态分布时，医学教|育网搜集整理采用算术均数较合理。
如监测数据呈对数正态分布，则宜用几何均数表示。
如监测数据呈偏态分布，则宜用中位数。
此外，还可计算算术标准差或几何标准差、各百分位数、以及监测浓度超过卫生标准的频率（超标样品百分率）等统计指标。
监测数据经统计整理后可绘制监测浓度频数分布直方图，各季、各月或一日中各小时浓度变化曲线，各城市（或各监测点）各时期（年、季、月、日）的监测数据统计值的比较等图。
异常值outlier：一组测定值中与平均值的偏差超过两倍标准差的测定值。
与平均值的偏差超过三倍标准差的测定值，称为高度异常的异常值。
在处理数据时，应剔除高度异常的异常值。
异常值是否剔除，视具体情况而定。
在统计检验时，指定为检出异常值的显著性水平α=0.05，称为检出水平；指定为检出高度异常的异常值的显著性水平α=0.01，称为舍弃水平，又称剔除水平(reject level)。
编辑本段准确性在回弹法检测砼强度中,按批抽样检测的测区数量往往很多,这就不可避免出现较多的检测异常值,怎样判断和处理这些异常值,对于提高检测结果的准确性意义重大。
格拉布斯检验法是土木工程中常用的一种检验异常值的方法,其应用于回弹法检测砼强度，能有效提高按批抽样检测结果的准确性。
编辑本段判断处理检验批中异常数据的判断处理1、依据标准《计数抽样检验程序》（GB2828）、《正态样本异常值的判断和处理》（GB4883）。
数理统计平均数、中位数、众数,极差、标准差、方差
平均数、中位数和众数的知识归纳与梳理：（一）平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
即x=（x1+x2+……+xn）÷n中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
平均数：一组数据的平均值平均水平平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小。
平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的相应变动平均数一般的计算方法为：用一组数据的总和除以这组数据的个数．平均数的优点。
反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定．平均数的缺点。
平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算，计算的工作量也较大。
平均数易受极端数据的影响，从而使人对平均数产生怀疑。
中位数：在有序排列的一组数据中最居中的那个数据中等水平中位数是描述数据的另一种指标，如果将一组数按从小到大排列那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。
中位数仅与数据的大小排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．中位数是将数据按大小顺序依次排列（相等的数也要全部参加排序）后“找”到的．当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数据；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数据的平均数作为中位数．中位数的优点。
简单明了，很少受一组数据的极端值的影响。
中位数的缺点。
中位数不受其数据分布两端数据的影响，因此中位数缺乏灵敏性，不能充分利用所有数据的信息。
当观测数据已经分组或靠近中位数附近有重复数据出现时，则难以用简单的方法确定中位数。
众数一组数据中出现次数最多的那个数据。
集中趋势众数告诉我们，这个值出现次数最多，一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。
众数着眼于对各数据出现的频数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关．一组数据中的众数不止一个．当一组数据中有相同数据多次出现时，其众数往往是我们关心的．众数的优点比较容易了解一组数据的大致情况，不受极端数据的影响，并且求法简便。
数理统计的基本概念
样本k阶原点矩 样本 阶原点矩 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
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1 Ak = n 1 Bk = n
∑ ∑
n
n
i =1
X ik ( k = 1, 2 , L )
i =1
( X i − X ) k ( k = 1, 2 , L )
概率论与数理统计
说明 (修正 样本方差还可表示为 修正)样本方差还可表示为 修正
n 1 S2 = [ ∑ X i2 − n X 2 ] n − 1 i =1
1 n 推导】 【推导】 S 2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1 = = = =
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1 n ( X i2 − 2 X i X + X 2 ) ∑ n − 1 i =1 n n n 1 [ ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + ∑ X 2 ] n − 1 i =1 i =1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 − 2 n X 2 + n X 2 ] n − 1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 −n X 2 ] n − 1 i =1
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
做法
从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、 从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男
生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过 ),测试其所需数据 寿命、身高), 测试其所需数据( ),最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身 高)的分布情况,从而了解整体情况. 的分布情况,从而了解整体情况. 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X是一个随 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此, 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此,对总体的研 究,就是对相应的随机变量X的研究。 就是对相应的随机变量X的研究。 今后,我们称X 今后,我们称X的分布函数和数字特征分别为总体的 分布函数和数字特征, 分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量 X.对总体的称呼 总体,总体X 总体F X.对总体的称呼:总体,总体X与总体F. 对总体的称呼:
概率论与数理统计案例分析
概率论与数理统计案例分析概率论与数理统计作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
本文将通过一些具体案例来分析概率论和数理统计在实际中的应用。
案例一：市场营销中的A/B测试在市场营销领域，A/B测试是一种常见的实验设计方法，用于比较两种不同的营销策略、广告设计或产品设计等。
假设某电商公司希望提高其网站用户的转化率，他们可以设计一个A/B测试来比较两种不同的促销活动对用户购买行为的影响。
首先，将用户随机分为两组，一组接受A方案，另一组接受B方案。
然后通过收集和分析用户的购买数据，可以利用概率论和数理统计方法来评估两种方案的效果。
通过统计显著性检验和置信区间分析，可以得出结论，哪种方案对用户购买行为影响更大，从而指导公司的营销策略。
案例二：医学研究中的双盲试验在医学研究领域，双盲试验是一种常用的研究设计，用于评估新药物的疗效。
在一次双盲试验中，研究者和参与者都不知道哪些人接受了治疗，哪些人接受了安慰剂。
通过随机分组和盲法设计，可以最大程度地减少实验结果的偏倚。
利用概率论和数理统计方法，研究人员可以对试验数据进行分析，来评估新药物的疗效是否显著，以及是否出现不良反应等情况。
通过以上案例分析，可以看出概率论和数理统计在实际中的重要性和应用价值。
无论是市场营销领域还是医学研究领域，都离不开对数据的收集、分析和解释。
掌握好概率论和数理统计知识，对于提高决策的科学性和准确性有着重要的意义。
希望本文的案例分析能够让读者更深入地理解概率论和数理统计的实际应用，为他们在相关领域的工作和研究提供一定的启发和帮助。
第六章 数理统计的基本概念(1)
XK
1 n
n i 1
X
k i
（4）样本k阶中心矩：
1 n
n i 1
(Xi
X )k
（5）顺序统计量： X(1) X(2) X(n) . 其中 X(k) 为将 X1, X2 , , Xn 从小到大排列第 k 位值.
18 September 2020
概率论与数理统计
理学院数学系
2、离散型 设总体X的分布律为 P{ X x} p( x)
则样本X1, X2 ,的, 联Xn合分布律为 P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn } p( x1 ) p{ x2 ) p( xn )
18 September 2020
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理学院数学系
样本分布
第六章 数理统计的基本概念
（1）样本均值：
X
1 n
n i 1
Xi
（2）样本方差：
Sn2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
修正样本方差：
Sn*2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
nSn2 (n 1)Sn*2
18 September 2020
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理学院数学系
第六章 数理统计的基本概念
第22页
（3）样本k阶原点矩：
第13页
1、样本的联合分布函数 设总体 X 的分布函数为 FX (., ), (X1, X2 ,
则样本的联合分布函数为
, Xn ) 为样本.
FX1,X2 , ,Xn ( x1, x2 , , xn ; ) FX ( x1, )FX ( x2 , ) FX ( xn , )
数理统计在生产质量中的应用
数理统计在生产质量中的应用数理统计是研究统计概率的数学原理及其应用的一门学科，通过对现象进行观测、收集数据、总结、分析和推断等方法，帮助人们更好地理解和解读数据。
在生产质量中，数理统计能够帮助企业评估产品的质量水平，并为改进生产过程提供依据。
本文将介绍数理统计在生产质量中的应用。
1. 抽样调查抽样调查是数理统计在生产质量中最常见的应用之一。
通过抽取一定数量的样本进行观察和调查，统计学家可以基于样本数据对总体的特征进行推断。
在生产质量中，抽样调查可以用来评估产品的质量水平，以及找出可能的问题和改进的方向。
一个电子产品制造商希望了解他们生产的电视机的质量水平。
为了节省成本和时间，他们可以通过随机抽取一定数量的电视机来进行测试。
通过统计所得的样本数据，他们可以估计整个批次电视机的平均故障率，并评估产品的质量水平。
2. 数据分析数据分析是数理统计在生产质量中的另一个重要应用。
通过对大量的生产数据进行统计分析，企业可以了解生产过程中存在的问题，找出影响产品质量的因素，并制定相应的改进措施。
一个汽车制造商希望改进其生产线上某一零部件的质量。
他们可以收集该零部件的相关数据，如尺寸、重量、硬度等，并采用数理统计方法分析这些数据。
通过对数据的均值、方差、相关性等指标进行计算，他们可以确定生产过程中可能存在的问题，如设备偏差、操作不规范等，并采取相应的改进措施。
3. 假设检验假设检验是数理统计中用来检验某一假设是否成立的方法。
在生产质量中，假设检验可以用来验证某一生产过程是否符合规范，或者两个生产过程是否有显著差异。
一个药品制造商在新生产线上使用了一种新的生产方法。
为了评估这种方法是否有效，他们可以将新的生产线和原有的生产线进行对比。
通过采样测试并进行假设检验，他们可以判断新的生产方法是否能够显著提高产品的质量。
4. 控制图控制图是一种图形统计法，用来监控和管理生产过程。
通过统计过程中的数据，控制图可以帮助企业随时了解生产过程的偏差情况，并采取相应的措施进行调整和改进。
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1数理统计在分析测试中应用的必要性
1.1分析测试的基本特点－抽样检验 分析测试是通过实验测量以获取欲测物质的
“有什么？”、“有多少？”，以及更多更全 面的信息。“信息”通过“数据”来表述。
“数据”是分析测试的“产品”。 (1)分析测试的对象有时是“大量”的，不可能
进行整体检测。 (2)大多数分析手段属于“破坏性”技术，消耗
计的s的不可靠程度约为0.24，可靠程度达76%。
2.14 精密度(precision)－在相同条件下，对被测
量进行多次重复测量，测得值之间的一致
（符合）程度。
精密度仅仅依赖于随机误差。精密度高，不一 定准确度高。即测得值的随机误差小，不一定其系统 误差亦小。
2.15 准确度(accuracy)－－被测量的测得值与其 “真值”的接近程度。
2.5 随机误差(random error) －在实际测量条件下， 多次测量同一量时，误差的绝对值 和符号以 不可预定方式变化着的误差。旧称偶然误差。
随机误差性质：由随机因素产生，其大小与正 负号都不定，是随机变量，“单次测定的随机误差” 没有什么规律，但随着测量次数的增加，导致其总 和有正负相消的机会，当测定次数足够多时，最后 其平均值趋近于零，因此多次测量的平均值的随机 误差要比单个测量值的随机误差小。
欲很好地解决这三个问题，都需要正确运用数理统 计理论，是“数理统计”具有的“功能”。本讲座主 要讨论数理统计在解决第三个问题方面的应用。
1.2 分析测试结果总是带有误差
人、机、料、法、环等因素造成
美国旧金山湾污泥分析:不同实验室测定结果之间存在很大 差异，难以判断污染真实情况，难以对污染进行有效治理。
分析测试中的 数理统计
臧慕文
北京有色金属研究总院分析测试技术研究所 国家有色金属及电子材料分析测试中心
1数理统计在分析测试中应用的必要性 2数理统计中的一些基本概念 3分析测试数据的基本特性 4分析测试数据的可靠性检验 5分析测试方法的灵敏度、检出限、定量限 6回归分析－校正曲线 7数值修约规则及数据运算规则
2 x2 x , …… 因此，和的项数即为残差的个数n，而
i 0 是一个约束条件，即限制数为1。由此可得自由度
=n-1。
自由度反映了相应实验标准偏差的可靠程度。用贝塞尔 公式估计实验标准偏差s时，s的不可靠程度为 1/ 2 ，n越
大，s的可靠程度越大。若测量次数为10，则=9，表明估
1.7利用控制图管理常规分析质量
影响分析测试质量的五大因素是：人、机 、料、法、 环。正常的情况下，应该对五方面有良好的管理和控 制，使测试质量获得重要保证。统计分析测试数据的 可靠性也是测试质量的重要保证。除了精密度、准确 度的计算并检验保证测试质量的“离线”的、“静态” 的办法外，还可以应用“统计过程控制（Statistical Process Control）”即SPC概念。SPC是利用统计技术 （控制图）对生产（管理）过程中的各个阶段进行 “全过程的监控”， 科学地区分出生产过程中产品质 量的偶然波动与异常波动。常规分析质量管理也可采 用控制图，如均值－极差控制图、均值－标准偏差控 制图等。
in Metrology）简称《VIM》以及1968年第三届国际法制计 量大会通过的《法制计量学基本名词》(Vocabulary of Legal Metrology)简称《VIML》中均未将“正确度”作 为一个正式术语列入；国际理论化学和应用化学联合会 (IUPAC)的文件中、全国自然科学名词审定委员会公布 的化学名词中1991年版(科学出版社)和2009年重新修订 版中也无这一术语。
2.16正态分布(normal distribution)－连续性随 机变量的概率分布。
其随机变量x的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
实验室
A B C
DDT
（二氯二苯 三氯乙烷）
0.80×10-6
0.68×10-6
0.14×10-6
污染物 w/%
DDE
(二氯联苯 二氯乙烯)
2.80×10-6
1.2×10-6
0.47×10-6
Hg
0.80×10-6 0.10×10-6 0.10×10-6
Pb
3.3×10-6 21×10-6 50×10-6
重复性限；再现性限
实验室间比对 能力验证
稳健统计量；统计方法；结果的判别
1.4分析测试方法可靠性的评价
一个分析测试方法研究建立后，需要进行评 价和检验，有多项衡量测定结果可靠性、可比 性的指标，如灵敏度、精密度、准确度、不确 定度、检测能力（检出限、定量限、校准曲线 的线性范围）、多元素测定能力以及抗干扰水 平等。各项指标的计算、比对等，都涉及到数 理统计。
R.E. x 0 100% 0
根据误差的来源和性质不同，误差分为 3类：系统误差、随机误差、过失误差。
2.4系统误差(systematic error) －在同一条件下 多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保 持恒定，或在条件改变时，按某一确定的规 律变化的误差。系统误差也称偏倚。
系统误差性质：在多次测定中重复出现；具有 单向性，即如果测定有系统误差，则所有的测定 值或者都偏高，或者都偏低；数值基本是恒定不 变的，如果误差来源于某一个固定的原因，这个 误差的数值是恒定的。
准确度所反映的是测得值的系统误差。准确度 高，不一定精密度高。即测得值的系统误差小，不一 定其随机误差亦小。
精密度与准确度的关系
精密度和准确度关系的示意图
设图中的圆心O为被测量的“真值”，黑点为其测得值，则 图(a)：系统误差小，而随机误差大，即准确度较高、精密度较低； 图(b)：系统误差大，而随机误差小，即准确度较低、精密度较高； 图(c)：系统误差和随机误差均小，即准确度和精密度都较高。
掉样品后才能获得数据，逐个检测无意义。 分析测试的基本方式是“抽样检验”。
对于“抽检”，应该解决三个基本问题：
(1)抽样和取样方法要科学合理，使所抽取的样品有足够的 代表性，并保证必要的抽样数量和最小取样量；
(2)在整个测试过程中要实施严格的质量控制，使测定结果 准确可靠；
(3)要通过科学的推理方法，将获得的测试样品的信息，以 一定的可靠性去推断和估计样品的全体。
差或变差。
d xx
通常用偏差(x x)作为误差(x 0)的估计量。
2.8 总体方差(population variance)－测量值对 总体均值的误差平方的统计平均。
2
1 n
n i 1
( xi
)2
(n )
2.9 样本方差(sample variance) －测量值对样本 平均值的偏差平方的统计平均。
1.6优化实验条件的实验设计方法
建立一个新的或改进已有的分析测试方法， 通常要做许多条件试验，以得到最佳测定步 骤。合理地安排试验，以科学的实验设计指导 实验工作，优化实验条件，以不多的试验次数 得到正确满意的试验结论，这也是数理统计的 一个重要内容。实验设计的方法有优选法、正 交法、单纯形法等。
测量值x带有误差 ，测量值x扣除误差ε后即等于真值
μ0。
x 0
亦即
x 0
误差有正负号，测量值大于真值时，误差为正 值，反之为负值。
真值通常是不知道的，因此实际上也不可能求得 真实误差，误差是一个理想概念。
误差还可用相对误差R.E.表示，相对误差是 误差在真值中所占的比例。 即
4 抵偿性：在实际测量条件下对同一量的测量，其 误差的算术平均值随着测量次数增加而趋于零。 由此，可以通过增加测定次数减小随机误差。
2.6 过失误差(mistake error)－由分析人员工作 粗心大意或不按规程操作而造成，应该而 又能够避免。但如果发现，只能弃去测定 结果。
2.7偏差(variance)－被测量的单次测量值 x与 多次测量的平均值 x 之间的差值。也称离
但是国际标准化组织(ISO)、国际电工委员会(IEC)、 国际计量局(BIPM)、国际法制计量组织(OIML)、国际临 床化学联合会(IFCC)、国际理论与应用化学联合会 (IUPAC)、国际理论与应用物理联合会(IUPAP)等七个组 织于1993年颁布的第二版《国际通用计量学基本名词》 （International Vocabulary of Basic and General Terms
构成总体的基本单位为个体。
对分析测试而言，总体是指“在指定条件下，作无 限次测量所得的无限多的数据的集合”。其中每个数 据就是一个个体。
2.2样本(sample)－从总体所包含的全部个体中 随机抽取的一部分。
对分析测试而言，样本是指“自总体中随机抽出的 一组测量值”。
2.3 误差(error)－被测量值与真值之间的差。
随机误差可用概率统计的方法来处理。如果 采用数理统计方法进行处理，就会发现随机 误差通常遵循正态分布规律：*
频率
O
－＋
随机误差值
随机误差具有几个特性：*
1 单峰性：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大 的误差出现的概率大；
2 对称性：绝对值相等的正误差和负误差，其出现 的概率相等；
3 有界性：绝对值很大的误差出现的概率近于零， 亦即误差有一定的实际限度；
差的平方的加和。差方和也称离差平方和。
n
Q (xi x )2 i 1
2.11 总体标准偏差 (population standard deviation) －总体方差平方根正值。
1 n
n i 1
( xi
)2
(n )
2.12样本标准偏差 (sample standard deviation) －样本方差平方根正值。
国家标准GB/T 6379.1－2004/ISO 5725-1：1994 测量方法与结果的准确度（正确度与精密度）第 一部分：总则与定义中，用两个术语“正确度” （trueness）与“精密度”来描述一种测量方法的 “准确度”。“正确度”指大量测试结果的(算术) 平均值与真值或接受参照值之间的一致程度； “精密度”指测试结果之间的一致程度；而“准 确度”是“精密度”和“正确度”的综合概念， 即测试结果的随机误差和系统误差的综合反映。