北京市海淀区2007-2008学年第一学期期末练习高三数学(文科)

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北京市西城区2007—2008学年度第一学期高三年级期末抽样测试(数学理)

北京市西城区2007—2008学年度第一学期高三年级期末抽样测试数学（理科）2008．1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|40}A x x x =->，{||1|2}B x x =-≤，那么集合A B 等于A ．{|10}x x -≤<B ．{|34}x x ≤<C ．{|03}x x <≤D ．{|10,34}x x x -≤<≤<或2．已知3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，那么2sin 2cos αα的值等于 A ．34- B ．32- C ．34D ．323．平面α⊥平面β的一个充分条件是A ．存在一条直线l l l αβ⊥⊥，，B ．存在一个平面////γγαγβ，，C ．存在一个平面γγαγβ⊥⊥，，D ．存在一条直线//l l l αβ⊥，，4．设函数2 2()2 2.3x x f x x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩，，，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A ．(0,2)(3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(0,1)(2,)+∞D ．(0,2)5．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于A ．1B ．2C ．3D ．46．将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为A ．40种B ．30种C ．20种D ．10种7．经过椭圆2212xy +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA OB等于A ．3-B ．13-C ．13-或3- D ．13±8．某水库建有10个泄洪闸．现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在按照一个不变的速度增加．为了防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用3个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上． 9．已知(2)n x +的展开式中共有5项，则=n _______，展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 10．已知双曲线22221 (0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线方程为43y x =，那么双曲线的离心率为_____ ．11．在A B C ∆中，已知2A C =，3BC =，5cos 13A =-，则sin B =_________ ．12．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______，最小值等于__________ ．13．已知点(0,0)A，0)B ，(0,1)C ．设AD BC ⊥于D ，那么有C D C B λ=，其中λ=________ ．14．对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,}, .a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩ 设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是__________ ．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos 2cos 1f x a x x x =-+的图象经过点,08π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求实数a 的值；（2）若[0,)x π∈，且()1f x =，求x 的值．16．（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35．假设两人投球命中与否相互之间没有影响．（1）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；（2）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点．（1）求证：11//AC CDB 平面；（2）求点B 到1CDB 平面的距离；（3）求二面角1B B C D --的大小．A BCDA 1B 1C 118．（本小题满分14分）已知函数()|2|f x x x =-．（1）写出()f x 的单调区间；（2）解不等式()3f x <；（3）设0a >，求()f x 在[0]a ，上的最大值．19．（本小题满分14分）设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切．记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W ．（1）求曲线W 的方程；（2）过点F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交曲线W 于,A B 和,C D ．求四边形A C B D 面积的最小值．20．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1a a =，156n n na a a +-=，1,2,3,.n =（1）若对于*n ∈N ，均有1n n a a +=成立，求a 的值；（2）若对于*n ∈N ，均有1n n a a +>成立，求a 的取值范围；（3）请你构造一个无穷数列{}n b ，使其满足下列两个条件，并加以证明： ①1, 1,2,3,n n b b n +<= ；②当a 为{}n b 中的任意一项时，{}n a 中必有某一项的值为1．西城区抽样测试高三数学（理科）参考答案2008．1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9．416； 10．5311．81312；213．1414．1注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分． 15．（本小题满分12分）（1）2()sin cos 2cos 1sin 2cos 22a f x a x x x x x =-+=-． …………3分依题意得08f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即sin cos 0244a ππ-=，解得2a =． …………6分（2）由（1）得()sin 2cos 22.4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭依题意得sin 242x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． …………9分因为0,x π≤< 所以72444x πππ-≤-<，所以32.444x πππ-=或解得.42x ππ=或…………12分16．（本小题满分12分）（1）记 “甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B ．根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是13131()()()()()()1125252P A B P B A P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．…6分（2）事件“两人各投球2次均不命中”的概率为11221225525P =⨯⨯⨯=， …………9分∴ 两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为1241.2525-=…12分17．（本小题满分14分）解法一：（1）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结D E ．D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 1 //.DE AC ∴ …………3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面， 11 //.AC CDB ∴平面 …………．．4分（2）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h在三棱锥1B BCD -中，11B BCD B B CD V V --= ，且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅． …………6分易求得1111 2BC D B C D S S C D B D ∆∆==⋅=，，11 3BCD B CDS B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面3…………9分（3）解：在平面A B C 内作D F B C ⊥于点F ，过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.D G易证明 11DF BCC B ⊥平面，从而G F 是D G 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥D G F ∴∠是二面角1B B C D --的平面角． …………12分易求得112D F AC ==，122G F B E ==在R t D FG ∆中， tan D F D G F G F== ，∴ 二面角1B B C D --的大小是 …………14分ABCDA 1B 1C 1EFG解法二：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===， AC BC ⊥，1 AC BC CC ∴、、两两垂直．如图，以C 为原点，直线1,,CA CB CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，(1 1 0).D ，，（1）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，，1(1 0 1)(2 0 2)D E AC =-=-，，，，，，111//2D E AC D E AC ∴=∴，…………3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面 …………4分（2）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h在三棱锥1B BCD -中，11B BCD B B CD V V --= ，且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅． …………6分易求得1111 2BC D B C D S S C D B D ∆∆==⋅=，，11 3BCD B CDS B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面3…………9分（3）解：在平面A B C 内作D F B C ⊥于点F ，过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.D G易证明 11DF BCC B ⊥平面，从而G F 是D G 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥D G F ∴∠是二面角1B B C D --的平面角． …………12分易知11(0 1 0)0 22F G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，11 2222GF GD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 110，，-，1，，-，cos G F G D G F G D G F G D∴〈〉==，3318．（本小题满分14分）（1）解：22222(1)1 2()|2|2(1)1 2.x x x x f x x x x x x x ⎧-=--≥⎪=-=⎨-+=--+<⎪⎩，，， ∴ ()f x 的单调递增区间是(1] [2)-∞+∞，和，；单调递减区间是[1 2]，………3分（2）解：2222 |2| 3 2 3 2230230x x x x x x x x x x ≥<⎧⎧-<⇔⇔≤<<⎨⎨--<-+>⎩⎩，，或或，，， ∴ 不等式()3f x <的解集为{|3}.x x < …………8分（3）解：①当10≤<a 时，()f x 是[0]a ，上的增函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-；…………9分②当21≤<a 时，()f x 在[0 1]，上是增函数，在[1]a ，上是减函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =；…………10分（3）当2a >时，令2()(1)(2)1210f af a a a a -=--=-->，解得1a >+11分①当21a <≤+()(1)f a f ≤，()fx 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =； ②当1a >+此时()(1)f a f >，()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =- 综上，当01a <<时，()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -；当11a ≤≤+()fx 在[0]a ，上的最大值是1；当1a >+时，()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -． …………14分19．（本小题满分14分）（1）过点P 作P N 垂直直线32y =-于点.N 依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线，…4分即曲线W 的方程是26.x y = …………5分（2）依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为32y kx =+，由12l l ⊥ 得2l 的方程为132y x k=-+．将32y kx =+代入26x y =，化简得2690x kx --=．…………8分设1122() () A x y B x y ，，，，则12126 9.x x k x x +==-，2||6(1)AB k ∴==+，10分同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+⎪⎝⎭…………11分∴四边形A C B D 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 221k k=，即1k =±时，min 72.S = 故四边形A C B D 面积的最小值是72. …………14分20．（本小题满分14分）（1）解：依题意，1n n a a a +==，1,2,3,.n =所以56a a a-=，解得2a =，或3a =，符合题意． …………3分（2）解：解不等式1n n a a +>，即56n n na a a ->，得02 3.n n a a <<<，或所以，要使21a a >成立，则1102 3.a a <<<，或 …………4分 ①当10a <时，12111566()55a a f a a a -===->，而222322222256(2)(3)()0a a a a a f a a a a a ----=-=-=-<，即32a a <，不满足题意． …………6分 ②当123a <<时，12111566()5(2 3)a a f a a a -===-∈，，3265(2 3)a a =-∈，，，满足题意．综上，(2 3)a ∈，． …………8分（3）解：构造数列{}n b ：132b =，165n n b b +=- *()n ∈N ． …………10分那么 165n n b b +=-．不妨设a 取n b ，那么2116655n n a b a b -=-=-=，32216655n n a b a b --=-=-=，，112663552n n a b a b -=-=-==， 1166551n n a a b +=-=-=． …………12分由1322b =<，可得1625n n b b -=<-，（1n >，*n ∈N ）．因为16(2)(3)055n n n n n n n b b b b b b b +---=-=>--，所以1, 1,2,3,n n b b n +<= ．又25n b <≠，所以数列{}n b 是无穷数列，因此构造的数列{}n b 符合题意． …………14分。

北京市海淀区2007届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)

北京市海淀区2007年高三年级第一学期期末练习数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． =︒600tan（）A ．3-B ．3C ．33 D ．33-2．椭圆13422=+y x 的准线方程是（）A ．x =4B ．41±=x C ．x =±4 D ．41=x 3．已知=-=αα2cos ,53cos 则（）A ．257 B ．257-C ．2524 D ．2524-设集合 4．若直线0164202)1(=++=-+++y mx m y m x 与直线平行，则实数m 的值等于（）A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－1或－25．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题，其中正确的命题是（） A ．βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n mB ．ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,,C ．αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,,D ．αα//,//m n n m ⇒⊂6．设a 、b 是两个非零向量，则“222||||)(b a b a +=+”是“b a ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y 且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是（）A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π8．设A 、B 、C 、D 是半径为r 的球面上的四点，且满足AB ⊥AC 、AD ⊥AC 、AB ⊥AD ，则ACD ABD ABC S S S ∆∆∆++ 的最大值是（）A ．r 2B ．2 r 2C ．3 r 2D ．4 r 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知双曲线1422=-x y ，则其渐近线方程是，离心率e= .10．已知向量,//),1,(),2,13(b a k b k a 且=+=则实数k = .11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值是 .12．设实数x 、y 满足y x z y x y x x 2,030223-=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤则的最小值为 .13．三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=2，AB ⊥BC ，AB=1，BC=3，则点P 到平面ABC的距离为 .14．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C 上，则平面区域C 1的面积为，|PQ|的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且.si n si n si n 2c o s c o s BCA B C -= （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）圆C 上一动点M （),0(),,000y y x =若向量OM +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥A 1C（Ⅰ）求异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：AM ⊥平面A 1BC ；（Ⅲ）求二面角M —AB —C 的正切值.已知向量)sin ,(sin ),cos ,(sin ),sin ,0(),cos ,cos 3x x d x x c x b x x a ====（Ⅰ）当4π=x 时，求向量a 、b 的夹角；（Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求c ²d 的最大值；（Ⅲ）设函数)(),()()(x f d c b a x f 将函数+⋅-=的图象按向量m 平移得到函数g （x ）的图象，且||,12sin 2)(m x x g 求+=的最小值.19．（本小题共14分）已知函数,,,31)(23R c b cx bx x x f ∈++=且函数f （x ）在区间（－1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减. （Ⅰ）若b =－2，求c 的值；（Ⅱ）求证：c ≥3；（Ⅲ）设函数)(]3,1[),()('x g x x f x g 时，当-∈=的最小值是－1，求b 、c 的值.如图，设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 两点坐标为（P y y y x y x ,0,0),,(),,212211<>是此抛物线的准线上的一点，O 是坐标原点.（Ⅰ）求证：221p y y -=；（Ⅱ）直线PA 、PF 、PB 的方向向量为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ），求证：实数a 、b 、c成等差数列；（Ⅲ）若||,,,,0βαθθβα-==∠=∠=∠=⋅求证：PFO BPF APF PB PA .参考答案二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分第二空2分，共30分）9．x y 21±=（缺一扣1分）， 25 10．－1 11．2212．－5 13．3 14．122,48-+π 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分）解：（Ⅰ）由已知得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………1分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )……………………………………2分又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………3分 ∵0＜B ＜π∴3π=B ………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+== =ac c a -+22①………………………8分 ac c a c a 216)(222++==+ ②由①，②可得3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆ 43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分 16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），这两点的距离为32 满足题意……………………………1分②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分1|2|12++-=∴k k ，43=k ，………………………………………………………4分故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设Q 点的坐标为（x ，y ），M 点坐标是),(00y x ，),,0(0y =,ON OM OQ +=0002,)2,(),(y y x x y x y x ===∴………………………………………………9分4)4(,4222020=+=+y x y x 即116422=+y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是116422=+y x ………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆. ……………13分 17．（共13分）解法一：（Ⅰ）在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中， AC//A 1C 1 ∴∠BA 1C 1是异面直线A 1B 与AC 所成的角……………………2分连接BC 1∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1 ∴CC 1⊥A 1C 1又∠A 1C 1B 1=∠ACB=90° 即A 1C 1⊥B 1C 1∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ∴BC 1⊂平面BB 1C 1C ∴A 1C 1⊥BC 1在直角三角形BCC 1中，BC=1，CC 1=AA 1=672121=+=∴CC BC BC在直角三角形A 1BC 1中，7,3111==BC C A10212111=+=∴BC C A B A1030cos 11111==∴B A C A C BA ………………………………………………4分（Ⅱ）由（I ）可知，BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又AM ⊂平面ACC 1A 1，则BC ⊥AM ∵AM ⊥A 1C ，∴AM ⊥平面A 1BC（Ⅲ）在三角形ABC 中，作AB 边上的高CH ，垂足为H ，连接MH ，显然CH 是MH 在平面ABC 上的射影 ∴MH ⊥AB∴∠MHC 是二面角M —AB —C 的平面角 …………………………11分 ∵AM ⊥A 1C∴∠MAC=∠AA 1C ，则 tanMAC=tanAA 1C 即3,6,11===AC AA ACMCAA AC 又中，，故在直角三角形又MCH CH MC 2326==∴22326tan ===CH MCMHC ………………………………………………13分解法二：（I ）如图，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 C （0，0，0）)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A),6,1,3(1--=∴A)0,0,3(=……………………2分设异面直线A 1B 与AC 所成的角为1θ，则1030303||||cos 111==⋅=CA B A θ ……………………………………4分（Ⅱ）同解法一…………………………………………………………9分（Ⅲ）设M （0，0，z 1） ∵AM ⊥A 1C 01=⋅∴A即－3+0)26,0,0(,26,0611M z z 所以故==+………………10分设向量m=（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m m ⊥⊥,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅030263,00y x z x AB m m 即，令x=1，则平面AMB 的一个法向量为 ),2,3,1(=m显然向量n=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量，设所求二面角的大小为2θ 则3362||||||cos 2==⋅⋅=n m n m θ 2tan 2=∴θ…………………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）4π=x)22,0(),22,26(==b a ……………………………………………………………1分则2122221||||,cos ,21)22,0()22,26(=⋅=⋅>=<=⋅=⋅b a ba b a b a ∴向量a ，b 的夹角为3π………………………………………………………………3分（Ⅱ）x x x x x x x d c cos sin sin )sin ,(sin )cos ,(sin 2+=⋅=⋅=)42sin(2221)2cos 2(sin 212122sin 22cos 1π-+=-+=+-x x x x x ……5分43424]2,0[ππππ≤-≤-∴∈x x …………………………………………6分当212·83,242+==-取最大值时，即d c x x πππ…………………………8分（Ⅲ）)cos sin ,sin 2()sin cos ,cos 3()()()(x x x x x x d c b a x f +⋅-=+⋅-==x x x x x x 2cos 2sin 3sin cos cos sin 3222+=-+=)62sin(2π+x ……………………………………………………10分设m=（s ，t ），则12sin 2)622sin(2]6)(2sin[2)()(+=++-=++-=+-=x t s x t s x t s x f x g ππ)(12,1Z k k s t ∈+==∴ππ易知当k=0时，1144||2min +=πm …………………………………………14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由已知可得f ‘（1）=0…………………………………………………………1分又c bx x x f ++=2)(2'f ‘（1）=1+2b+c=0，………………………………………………………………2分将b=－2代入，可得c=3………………………………………………………………3分（Ⅱ）可知c x c x x f x f c b ++-=+-=)1()()(,212'可得代入‘ 令c x x x f ===21',10)(，则……………………………………………………4分又当－1＜x ＜1时，时，当31,0)('<<≥x x f 0)('≤x f如图所示；易知c ≥3…………………………8分（Ⅲ）若1≤－b ≤3，则.12)()(22m in -=+-=-=c b b b g x g又1+2b+c=0，得b=－2或b=0（舍），c=3，若－b ≥3，则)3()(m in g x g = =9+6b+c=－1，又1+2b+c=0 得49-=b （舍）综上所述，b=－2，c=3…………………………………………14分 20．（共14分）证明：（I ）（1）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为：2px =，则),,2(),,2(p pB p p A - 221p y y -=∴……………………………………………………1分（2）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 方程为：),2(px k y -=则由 )0(02,2)2(222≠=--⎪⎩⎪⎨⎧=-=k kp py ky px y p x k y 可得 221p y y -=∴……………………………………………………3分（Ⅱ）由已知PB PF PA k c k b k a ===,,，设)0,2(),,2(p F t p P -p y x p y x p x t y c p tb p x t y a 2,2;2,,22222112211==+-=-=+-=∴且故222222112222112211)(2)(2222222p y t y p p y t y p p p y t y p p y t y p x t y p x t y c a +-++-=+-++-=+-++-=+ = ))(())(())((222222122122221p y p y p y t y p y t y p +++-++-⋅ b ptp y y p p y y t p p y y p y y tp ty p y y y tp ty p y y y p 22)2()2(2)(22222122222142221222212212221222221221=-=++++-⋅=+++--++--+⋅=∴a 、b 、c 成等差数列……………………………………………………8分（Ⅲ）解法一：1,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA PB PA 故由（Ⅱ）可知c b b a b c a -=-=+即,2 ①若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβαβαθ-=∴②若,0>AB k 则c ac b a b a ab ac b a ab b a -==--=+--=+-=1)(1tan α同理可得αβ=tanb ca a c a c -=+-=-+--=⋅+-=-∴2)(1tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα即θβαtan |||)tan(|==-b易知∠PFO ，∠BPF ，∠APF 都是锐角||βαθ-=∴③若,0<AB k 类似的也可证明||βαθ-=总上所述，||βαθ-=……………………………………………………14分解法二：1,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA 故①如图，若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβαβαθ-=∴②若,0>AB k ∵A 、B 在抛物线上，||||,|||BD BF AC AF ==∴设AB 中点为M ，则2||||AB PM ==2||||2||||BD AC BF AF +=+ 所以PM 是梯形ABDC 的中位线，故P 是CD 中点2)(),(),2,()0,2(,2),2,2(2122121212212121y y x x p y y x x y y p p F y y t y y p P ---=⋅∴--=+-=+=+-∴又β=∠=∠∴∆≅∆∴⊥∴=---=DPB BPF PBF PDB x x p x x p .02)(2)(1212βαθβαβθ-=∴+=︒=+∴,902③若,0<AB k 类似②可证αβθ-=∴||βαθ-=……………………………………………………14分。

北京市东城区2008届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)

北京市东城区2007-2008学年度第一学期期末教学目标检测高三数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

１．已知集合{}{}512,0342<+=<+-=x x N x x x M ，则N M 等于（ B ） A ．{}31<<x x B ．{}21<<x x C ．{}3<x x D ．{}32<<x x 2．“34πα=”是“23sin -=α”的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数)()(3R x x x x f ∈+= ( A ) A ．是奇函数且在),(+∞-∞上是增函数 B ．是奇函数且在),(+∞-∞上是减函数 C ．是偶函数且在),(+∞-∞上是增函数 D ．是偶函数且在),(+∞-∞上是减函数4． 5)2(-x 的展开式中含3x 项的系数是（ C ）A ．10B ．10-C ．40D ．40- 5．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个命题： ①若α⊂n n m ,//，则α//m ②若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα// ③若αα⊂n m ,//，则n m // ④若βα//，α⊂m ，则β//m 其中正确命题的个数是（ A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ D ）A ．9个B ．24个C ．3６个D ．54个7．如图，在ABC RT ∆中，2,4==CB CA ，M 为斜边AB 的中点，则MC AB ⋅的值为( B )A ．1B ．6C ．5D ． 108．如图，在平面直角坐标系xOy 中，)1,1(,)0,1(B A ，映射f 将xOy 的点),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点),2('22y x xy P -例如xOy 平面上的点)1,2(P 在映射f 的作用下对应到v uO '平面上的点)3,4('P ，则当点P 在线段AB 上运动时，在映射f 的作用下，动点'P 迹是（ B ）A. B ． C ． D ．北京市东城区2007-2008学年度第一学期期末教学目标检测高三数学（文科）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

北京市朝阳区2008届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)

北京市朝阳区2007～2008学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(文科) 2008.1(考试时间120分钟, 满分150分)第Ⅰ卷 (选择题共40分)一.选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的 4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知a =（-2，3），b =（x ，-6）, 若a ∥b ，则x 的值是（）A .4B .5C . 6D .7 (2)函数2log (1)(1)y x x =->的反函数的表达式为（）A . 12x y += ()x ÎR B . 12x y -=()x ÎRC . 21x y =- ()x ÎRD . 21xy =+()x ÎR (3)函数()cos f x x x =-的值域是（）A.- B . []0,2 C . []1,1- D . []2,2- (4) 在等差数列｛a n ｝中，若a 1+ a 2+…+ a 49=0，且公差0d ¹，则有（）A .1490a a +>B . 1490a a +<C . 1490a a +=D . 500a = (5)要从其中含有40个黄球的800个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取60个进行质量检验，则应抽取黄球的个数为（）A ．3个B ．5个C ．6个D ．9个 (6) 已知点P 是曲线321y x x =++上的一点，过点P 与此曲线的相切的直线l 平行于直线23y x =-，则切线l 的方程是（） A . 112y x =-+ B . 21y x =+ C . 2y x = D . 21y x =+或2y x =(7) 已知点P 是以1F 、2F 为左、右焦点的双曲线x a y ba b 2222100-=>>()，的右支上一点，且满足121210tan 3PF PF PF F ·，∠== ，则此双曲线的离心率为（） A .2 B .C .2D .(8) 设0A >，0ω>，02φπ≤<，函数()sin(),f x A x ωφ=+()sin(2),g x A x ωφ=+ 则函数()f x 在区间(,)32ππ内为增函数是函数()g x 在区间(,)64ππ内为增函数的（）A .既不充分也不必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 充分必要条件第II 卷（非选择题共110分）二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.(9)函数sin cos y x x =的最小正周期是 .(10) 若5()x a -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .(11)由数字1，2，3，4这四个数字，组成个位数字不为2的没有重复数字的四位数，共有个.（用数字作答）(12)在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，AB =uu u r a ，AD =uuu r b ，用a 、b 表示BE uur为 .(13)已知曲线C 的参数方程为1cos ()1sin x y q q q í=-+ïïìï=+ïî为参数，则曲线C 的普通方程是；点A 是曲线C 的对称中心，点(,)P x y 在不等式2x y + 所表示的平面区域内，则AP 的取值范围是 .(14) 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在1,12骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递增，且满足()(1)f x f x -=-，给出下列结论：①(1)0f =；②函数()f x 的周期是2；③函数()f x 在 1,02骣÷ç-÷ç÷ç桫上单调递增；④函数(1)f x +是奇函数. 其中正确的命题的序号是 .三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本小题满分13分）已知集合A ={}2,0x x a a -<>，集合B =2213x x x 禳-镲镲<睚镲+镲铪.（Ⅰ）若1a =，求A B Ç；（Ⅱ）若A ⊂≠B ，求实数a 的取值范围.(16)（本小题满分13分）某班要从5名男生和3名女生中任选4名同学参加奥运知识竞赛. （I ）求所选的4人中恰有2名女生的概率；（Ⅱ）求所选的4人中至少有1名女生的概率；（Ⅲ）若参加奥运知识竞赛的选手获奖的概率均为13，则恰有2名选手获奖的概率是多少?(17) （本小题满分13分）在ABC D 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 5C =. （Ⅰ）求sin()4C p+的值；（Ⅱ）若1CA CB?uu r uu r，a b +=c 的值及ABC D 的面积.(18)（本小题满分13分）设函数3221()31(0)3f x x ax a x a =--+>. （I ）求()f x ¢的表达式；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间、极大值和极小值. （Ⅲ）若[]1,2x a a ?+时，恒有()3f x a ¢>-，求实数a 的取值范围.(19)（本小题满分14分）设动点M 的坐标为(,)x y （x y ÎR 、），且动点M 到定点1(2,0)F -，2(2,0)F 的距离之和为8.（I ）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)N 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OP OA OB =+uu u r uu r uu u r（O 为坐标原点），是否存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，若存在,求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：111,21,.n n a a a n n N *+==++∈ （Ⅰ）设2n n b a n =++，证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n a 和n S ；（Ⅲ）试比较n a 与()22n +的大小.北京市朝阳区2007-2008学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷答案(文科) 2008.19. p 10. ± 11. 1812. BE uur =b 12-a 13. 22(1)(1)1x y ++-= ，)+14. ①②④三.解答题15. 解：（Ⅰ）当1a =时，21x -<，解得13x <<. ……………………2分则A ={}13x x <<.由2213x x -<+，得35x -<<. 则B ={}35x x -<<. ………………………………………………5分所以{}13A Bx x ?<<.………………………………………………7分（Ⅱ）由2(0)x a a -<>，得22a x a -<<+.………………………9分若A ⊂≠B ，则2325.0a a a í-?ïïï+ ìïï>ïïî解得03a < .…………………………………………12分所以实数a 的取值范围是{}03a a < . ………………………………13分16. 解：（I ）设所选的4人中恰有2名女生为事件A ，则2235483()7C C P A C ==.…………………………………………………4分（Ⅱ）设所选的4人中至少有1名女生为事件B，则454813()1()114C P B P B C =-=-=. ………………………………8分（Ⅲ）设参加奥运知识竞赛恰有2名选手获奖为事件C ，则2224128()()()3327P C C ==. …………………………………13分17. 解：（Ⅰ）由22sin cos 1C C +=，得sin 5C =.………………2分则sin()sin coscossin 444C C C p p p+=? 15=?…………………………6分（Ⅱ）因为cos 1CA CB CA CB C ?=uu r uu r uu r uu r，则5ab =. ………………8分又a b +=222()227a b a b ab +=+-=.…………9分所以2222cos 25c a b ab C =+-=.则 5c =. ……………………………………………………………11分所以1sin 2ABC S ab C D ==……………………………………13分18. 解: （I ）22()23f x x ax a ¢=--. ……………………………………3分（Ⅱ）22()230f x x ax a ¢=--=令,3x a x a =-=得或. …………5分则当x 变化时，()f x 与()f x ¢的变化情况如下表：:(,),()x a f x ??可知当时函数为增函数，(3,),()x a f x ? 当时函数也为增函数. ……………………………6分(,3),()x a a f x ?当时函数为减函数. ………………………………7分35,()13x a f x a =-+当时的极大值为；………………………………8分33,()x a f x a =当时的极小值为-9+1. ………………………………9分（Ⅲ）因为22()23f x x ax a ¢=--的对称轴为x a =，且其图象的开口向上，所以()f x ¢在区间[]1,2a a ++上是增函数.……10分则在区间[]1,2a a ++上恒有()3f x a ¢>-等价于()f x ¢的最小值大于－a 3成立.所以222(1)(1)2(1)3413f a a a a a a a ¢+=+-+-=-+>-. ………12分解得114a -<<. 又0a >，则a 的取值范围是()0,1. ……………………………………………………13分 19. 解：（I ）由已知可得，动点M 的轨迹是到定点1(2,0)F -，2(2,0)F 的距离之和为8的椭圆.则曲线C 的方程是2211612x y +=. ………………………………………3分（Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)N ，若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为0x =，与椭圆的两个交点A 、B 为椭圆的顶点.由OP OA OB =+uu u r uu r uu u r，则P 与O 重合，与OAPB 为四边形矛盾.………………………………………………………………………………5分若直线l 的斜率存在，设方程为2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y .由222,1,1612y kx x y í=+ïïïìï+=ïïî 得22(43)16320k x kx ++-=. ………………………7分 22256128(43)0k k D =++>恒成立.由根与系数关系得：1221643k x x k +=-+，1223243x x k -=+. …………………9分因为OP OA OB =+uu u r uu r uu u r，所以四边形OAPB 为平行四边形.若存在直线l 使四边形OAPB 为矩形，则OA OB ^uu r uu u r ，即0OA OB?uu r uu u r.所以12120x x y y +=. ………………………………………………………11分所以21212(1)2()40k x x k x x ++++=. 即2223216(1)()2404343kk k k k +--?=++.化简得： 21250k +=. 与斜率存在矛盾.……………………………13分则不存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形. …………………………14分 20.（Ⅰ）证明：由2n n b a n =++，则11122112222n n n n n n b a n a n n b a n a n ++++++++++===++++. 所以数列{}n b 是以11124b a =++=为首项，公比为2的等比数列.…………………………………………………………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得11422n n n b -+=?. ……………………5分则122n n a n +=--. ……………………………………………7分所以12n n S a a a =+++L231222(342)n n +=+++-++++L L22(21)(5)212n n n -+=-- 225242n n n++=--. ………………………………………8分（Ⅲ）解：当1n =时，11a =，2(12)9+=，则19a <；当2n =时，24a =，2(22)16+=，则216a <；当3n = 时，311a =，2(32)25+=，则325a <；当4n = 时，426a =，2(42)36+=，则436a <；当5n = 时，557a =，2(52)49+=，则549a >；…………10分当5n ≥时，要证()()22112222225 6.n n n a n n n n n ++>+⇔-->+⇔>++而()1012101231111111122n n n n n n n n n n C C C C C C C C ++++++++++=++++≥+++()()()()()()()()()()221122116221111656325 6.n n n n n n n n n n n n n n n n n n -⋅⋅+=+++++≥+++++-⋅+≥=+++-->++⎡⎤⎣⎦所以当5n ≥时，()22.n a n >+………………………………………13分因此当14n＃（n N *Î）时,2(2)n a n <+；当5n ≥(n N *Î)时，()22.n a n >+ ……………………………………………………14分注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.。

2012-2013年海淀区高三年级第一学期期末试题(文科)讲评

2012-2013学年第一学期期末考试文科数学蓝图2013.01知识板块能力板块知识用起来，问题串起来，思维动起来，能力提起来海淀区高三年级第一学期期末数学（文科）试卷分析2013.1下阶段复习教学现状：时间紧、任务重、学生基础各不相同，既要突出重点又要关注细节，既要让高层次的学生提高能力，还要面对基础差又想在高考数学考察中有所收获的学生，差异性教学如何实现……本次试卷讲评目的：1认识和体会本次考题设计、编排思路及所设计的问题价值、意义2如何进行试卷讲评，加强考察的深度作用，探寻教学方向3反思考察结果与预期差距，安排下阶段复习的方向和重心4纵观高考题的发生、发展和演变，利用区模拟题说明本次试卷要让各种不同水平学生，在知识增长与能力提高上:1、体验“知行合一”学过的知识用得上，知识用后有成就；遇到的问题有线索，抓住线索的问题能解决。

——试题的舒适性（1）基于具体数学事实和记忆性知识的问题，不设计“路障”，计算上不“插曲”，选项上不迷惑，不拖泥带水；（2）为考察知识板块特有的数学思维模式而设计的问题，不在问题条件上晦涩难懂，不强扯硬拽等价转化。

2、恪守“格物致知”不轻易否定学生的数学直觉，不妄断正确结果的获取过程。

只有在推究出特殊中蕴含的一般的原理和方法才能够到达理性的彼岸。

——试题的科学严谨性（1）在问题解决的道路上，合情推理的价值突出体现如（14）题（2）问；（2）考察的问题不仅需对数学结论进行合理猜想，更要有严谨论证的数学知识和能力。

3、最后“道法自然”。

顺其自然，水到渠成，思路起点与问题解决完美契合。

——试题的数学思维性（1）变量；（2）数形；（3）本次考试是高三复习阶段性检测练习，既要突出考察期中之后复习内容，也要着眼于高考，从部分知识的复习到所有数学知识的整合。

期中之后，根据区里安排的教学进度，重点复习了解析几何、立体几何和统计概率、不等式与推理证明、复数框图内容。

本次考察以上知识版块所占分值也体现了重点复习内容重点考察的目的，同时对期中以前所复习的函数导数、数列、平面向量也进行了阶段性滚动性质的考察，从所占分值和能力考察层级中可窥一斑。

北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案

海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。

北京市丰台区2007—2008学年度第一学期期末练习高三数学(文科)

丰台区2007—2008学年度第一学期期末练习高三数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改法，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合B A B A ⋃==那么},,7,5,3,2{},,6,5,4,3{等于（）A ．{2，3，4，5，6，7}B ．{3，5}C ．{3，4，5，6}D ．{2，3，5，7，} 2．函数12-=x y 的反函数是（）A ．)1)(1(log 2>-=x x yB ．)0(log 12>+=x x yC ．)(121R x y x∈+=D ．)1(121≠=-x y x3．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0）、（4，0），则双曲线方程为（）A ．110622=-y xB ．161022=-y x C ．112422=-y xD ．141222=-y x 4．若平面向量与则),5,4(),4,5(--=-=（）A ．平行且同向B ．平行且反向C ．垂直D ．不垂直也不平行5．26)12(x x 的展开式中+的系数为（）A ．15B ．60C ．120D ．2406．过坐点原点且与0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为（）A ．x y x y 313=-=或 B ．x y x y 313-=-=或C ．x y x y 313-==或D ．x y x y 313==或7．若函数ϕωϕω和则如图部分的图象,)()sin()(+=x x f 的取值是（）A ．3,1πϕω-== B ．3,1πϕω==C ．6,21πϕω-==D ．6,21πϕω== 8．把数列}12{+n 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，……，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第60个括号内各数之和为（） A ．1112 B ．1168 C ．1176 D ．1192第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2007-2008学年海淀区高三年级第一学期期末练习数学试题文

海淀区高三年级第一学期期末练习数学试题（文科）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项•1. sin930”的值是B .二22.过两点（-1,1）和（0,3）的直线在x轴上的截距为3 3A. B .-2 21 .3.已知函数y=log2X的反函数是y = f （x），那么函数y = f （x） 1的图象是1= （1「sinv,1）, b 二（一,1 sin 旳，且a// b，则锐角等于2其中真命题的序号是D. -3A . 30B . 45C . 60D . 755.设m、n是不同的直线, 是不同的平面，有以下四个命题:①若〉//：」// , 则］// ②若：■ _ : , m/r ,则m _ ：③若m _〉，m // ：，则-.1-- ④若m〃n, n ,贝U m//:4.已知向量aA.①④B.②③C.②④D.①③6.在等差数列:a n ?中, 若a1 ■ ay a8- a!2=12，则此数列的前13项之和为A . 39 B. 52 C . 78 D . 1047.已知点A 0,b , B为椭圆=1 a b 0的左准线与x轴的交点，若线段AB的整数数对(a,b)共有 D •无数个、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上2 x9•双曲线一 9 2 --1的一个焦点到一条渐近线的距离是410.把函数y 二sin 2x 的图象按向量a = (,0)平移得到的函数图象的解析式为 _________ . 6 11•在正方体ABCD -AB I GD I 中，若M 为的棱BB i 的中点，则异面直线 BQ 与AM 所成角的余弦值是 __________________________ .j|x+1|(x < 0),12•已知函数f(x)=< 2 那么不等式f(x)c0的解集为 __________________ . |x 2-1(x>0), |x|-2< 013. ______________________________________________________________ 设不等式组“ y-3< 0所表示的平面区域为 S 则S 的面积为 _________________________________ ；若A , B 为Sx _2y < 2内的两个点，则| AB |的最大值为 _______________ .14. __________________________________________________________________________ 平面〉内有四个点，平面：内有五个点•从这九个点中，任取三点最多可确定 ___________________ 个平面；任取四点最多可确定 ___________ 个四面体.(用数字作答)三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程•15. (本小题共13分)已知函数f(x^cos 2x 2.3 sin xcosx -sin 2 x(I) 求f (x)的最小正周期和值域；(II) 在 ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，若f (A) -2且a^bc ，试判断中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为&已知函数f (x) - 1的定义域是 |x| +2a,b 〕(a,b ・Z )，值域是0,11,那么满足条件的ABC的形状•16. (本小题共13分)设数列｛a n｝的前n项和为S n , a^1，且数列｛S.｝是以2为公比的等比数列.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(II)求a i • a? Tl( - a?n i.17. (本小题共14分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA_底面ABCD , SA二AB，点M是SD的中点，AN _ SC，且交SC于点N •B(I)求证：SB//平面ACM ；(II)求二面角D - AC -M的大小；(III)求证：平面SAC丄平面AMN .18. (本小题共12分)某城市有30%的家庭订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报，有20%的家庭同时订阅了A 报和B报，从该城市中任取4个家庭.(I)求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；(n)求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；(出) 求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率19.(本小题共14分)已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，ABC的三个顶点都在抛物线上，且ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x • y-20 = 0.(I)求抛物线S的方程;(II)若O是坐标原点，P, Q是抛物线S上的两动点，且满足PO — OQ .试说明动直线PQ是否过定点•20.(本小题共14分)已知二次函数f(x)=ax2・bx的图象过点(Vn,0) , f (x)是f(x)的导函数，且f (0) =2n, (n N*).(I)求a的值；A A(II)若数列满足——二f (一)，且a^4，求数列 /的通项公式；a n 舟a n(III)对于(II)中的数列，求证：a, ■ a2■ a^r a k：：：5 (k = 1,2,3 山).。

北京市海淀区2008届高三上学期期末考试数学(理)试题(WORD精校版)

北京市海淀区2007-2008学年高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2008.01学校：班级：姓名：一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）设集合{|12},{|A x x B x x a ==≤≤≥若A B ⊆，则a 的范围是( )（A ）1a < （B ）1a ≤ （C ）2a < （D ）2a ≤（2）函数⎪⎭⎫⎝⎛+=34c o s πx y 图象的两条相邻对称轴间的距离为（）（A ）8π （B ） 4π （C ）2π（D ）π （3ABC 中，设,,,AB BC CA ===c a b 则⋅⋅⋅a b+b c +c a 等于（）(A) 3-(B) 0(C)1 (D) 3（4）设i为虚数单位，则()41i +展开式中的第三项为（）（A ）4 i （B ）4i - (C) 6(D) 6-（5）设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是（）(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③（6）已知点()0,A b ，B 为椭圆22x a +22y b=1()0a b >>的左准线与x 轴的交点，若线段AB的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为( )（A（B ）（C ）（D（A ）（B ）（C ）（D ）(8) 已知函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,0.a b b a ∈<<-R,且设函数22()[()][()]F x f x f x =--，且()F x 不恒等于0，则对于()F x 有如下说法：①定义域为[,]b b - ②是奇函数 ③最小值为0 ④在定义域内单调递增其中正确说法的个数有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 .（10）在ABC ∆中， 2A C B +=，5,BC =且ABC ∆的面积为B = ；AB = .（11）已知函数2|1|(0),()1(0),x x f x x x -+⎧=⎨->⎩≤ 那么不等式()0f x <的解集为 .（12）设不等式组||203022x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≤所表示的平面区域为S ,则S 的面积为；若A ，B 为S 内的两个点，则||AB 的最大值为 .（13）已知,,,P A B C 是以O 为球心的球面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则球O 的半径为；球心O 到平面ABC 的距离为（14）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是个. 把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第____个数. （用数字作答）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知向量(cos 2sin ,sin ),(cos sin ,2cos ),x x x x x x =+=-a b 设函数()f x =⋅a b . (I) 求函数)(x f 的单调递增区间；(II) 求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合. （16）（本小题共14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N .（I ）求证： //SB 平面ACM ；（II ）求二面角D AC M --的大小；（III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .（17）（本小题共12分）某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭.（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率；（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率；（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.（18）（本小题共14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-=SNMD CBA（I ）求抛物线S 的方程；（II ）若O 是坐标原点，P 、Q 是抛物线S 上的两动点，且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过一个定点.（19）（本小题共14分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. （I ）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式；（II ）若22||||21=+x x ，求b 的最大值;（III ）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时，求证：21()(32)12g x a a +≤.（20）（本小题共14分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：，5(1)2f =，且对于任意实数,x y ，总有 ()()()()f x f y f x y f x y =++-成立.（I ）求(0)f 的值，并证明函数()f x 为偶函数；（II ）定义数列{}n a ：2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-= ，求证：{}n a 为等比数列；（III ）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2008.01二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）2 （10）3π，8 （11）(,1)(1,1)-∞-- （12）16（13 （14） 204 ，53三、解答题（本大题共6小题,共80分.） (15) （共12分）解: (I)由已知可得xx x x x x x f cos sin 2)sin )(cos sin 2(cos )(+-+=1分x x x x x x x x cos sin 2sin 2cos sin 2cos sin cos 22+-+-= x x x x 22sin 2cos sin 3cos -+= )12(cos 2sin 23)2cos 1(21-+++=x x x 21)42sin(22321)2cos 2(sin 23-+=-+=πx x x 6分由224222πππππ+<+<-k x k 得：883ππππ+<<-k x k 8分即函数)(x f 的单调递增区间为)8,83(ππππ+-k k ()k ∈Z . 9分 (II) 由(I) 有21)42sin(223)(-+=πx x f ， ∴2123)(max -=x f . 10分所求x 的集合为{|,}8x x k k ππ=+∈Z . 12分(16) （共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME . 1分ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点. M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB.2分又∵ME ⊂平面ACM ， SB ⊄平面ACM ， 3分∴SB //平面A.4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . 5分∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影.∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC . ∴FQM∠为二面角D A C --的平面角.7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,222a MF SA FQ DE ====，∴tan aFQM ==∴二面角D AC M--的大小为.9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 10分又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.S D11分∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN 又SC ⊂平面,S A C∴平面S A C ⊥平面.A M N14分方法二：解：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M .SA ⊥底面ABCD ， ∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=．设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM == ,7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .8分∴cos ,3||||AS AS AS ⋅<>===-⋅n n n ,∴二面角D A--的大小为arccos3． 9分（III）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,1CS =--，10分11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS∴⊥12分又SC AN ⊥ 且AN AM A = .SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC⊥平面A.14分（17）（共12分）解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ， 1分334()(0.3)(0.7)0.0756P A C ==4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率为0.0756. （Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ， 5分8704.01296.01)6.0(1)(4=-=-=B P8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率为0.8704. （III ）设“这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅”的事件为C ， 9分因为有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪. 所以()()2224()0.30.70.2646P C C ==12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅的概率为0.2646.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到10分.（18）（共14分）解：(I)设抛物线S的方程为22.y px =1分由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得2220y p y p +-=3分由0∆>，有0p >，或160.p <-设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2py y +=- 121212(5)(5)1010.4448y y y y px x +∴+=-+-=-=+5分设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2p F 则123123,0323x x x y y y p ++++==， 331110,.82p px y ∴=-=6分∵点A 在抛物线S上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p =7分∴抛物线S 的方程为216.y x =8分（II ）当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ方程为y k x =+，显然0,k b ≠≠9分∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQ k k ⋅=- 设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ∴1,QP P Qy y x x ⋅=- ∴0.P Q P Q x x y y +=10分将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k= 从而22222,16P Q P Q y y b x x k ⋅==∴22160.b b k k+= ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =-∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-，此时动直线PQ过定点(16,0).12分当PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴，又PO OQ ⊥，∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩得到(16,16),(16,16)P Q -，此时直线PQ亦过点(16,0).13分综上所述，动直线PQ过定点(16M .14分（19）（共14分）解（I ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f1分依题意有⎩⎨⎧='=-'0)2(0)1(f f ，∴)0(041202322>⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--a a b a a b a .2分解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23-+=. . 4分（II ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，且22||||21=+x x ，∴8||22)(2121221=+-+x x x x x x . ∴8|3|2)3(2)32(2=-+-⋅--aa ab ，∴)6(322a a b -=. ∵20b ≥，∴06a <≤.6分设2()3(6)p a a a =-，则2()936p a a a '=-+. 由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a .即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数， ∴当4=a 时，()p a 有极大值为96，∴()p a 在]6,0(上的最大值是96， ∴b的最大值为64.9分（III ）证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，∴))((3)('21x x x x a x f --=.10分∵321a x x -=⋅，a x =2，∴311-=x . ∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g∵21x x x <<，即1.3x a -<<∴)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g12分∴|()|g x )313)(31(3+-+-=a x x a a a a a x a 3143)2(3232+++--= 323143a a a ++≤12)23(2+=a a . 14分∴|()|g x 2(32)12a a +≤成立. （20）（共14分）解：(I) 令1,0x y ==()()()()1011f f f f ∴⋅=+ 5(1)2f =，()02f ∴=.1分令0x =，∴(0)()()()f f y f y f y =+-即2()()()f y f y f y =+-∴()()f y f y =-，对任意的实数y 总成立。

北京市海淀区2008届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)

北京市海淀区2007-2008学年高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2008.01学校班级姓名一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）sin930的值是（）11（A ）（B ）（C ）（D ）（4）已知向量1(1s i n ,1),(,1s i n ),2θθ=-=+a b 且//a b ，则锐角θ等于（）(A) 30︒ (B) 45︒(C)60︒ (D) 75︒（5）设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是（）(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③（6）在等差数列{}n a 中，若1781212a a a a +++=，则此数列的前13项之和为( )（A ）39 （B ）52 （C ）78（D ） 104（7）已知点()0,A b ，B 为椭圆22x a +22y b=1()0a b >>的左准线与x 轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为( )（A（B ）（C（D（8）已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,(,)a b ∈Z ，值域是[]1,0，那么满足条件的整数数对),(b a 共有（）（A ）2个（B ）3个（C ） 5个（D ）无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.（9）双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 . （10）把函数s i n 2y x =的图象按向量(,0)6π-a =平移得到的函数图象的解析式为 .（11）在正方体1111ABCD A BC D -中，若M 为的棱1BB 的中点，则异面直线1B D 与AM 所成角的余弦值是______________.（12）已知函数2|1|(0),()1(0),x x f x x x -+⎧=⎨->⎩≤ 那么不等式()0f x <的解集为 .（13）设不等式组||203022x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≤所表示的平面区域为S ,则S 的面积为；若A ，B 为S 内的两个点，则||AB 的最大值为 .（14）平面α内有四个点，平面β内有五个点.从这九个点中，任取三点最多可确定个平面；任取四点最多可确定个四面体. (用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. （15）（本小题共13分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （I ）求()f x 的最小正周期和值域；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.（16）（本小题共13分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且数列}{n S 是以2为公比的等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求1321n a a a ++++ .（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N .（I ）求证： //SB 平面ACM ；（II ）求二面角D AC M --的大小；（III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .（18）（本小题共12分）某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭.（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率；（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率；（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.（19）（本小题共14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-=（I ）求抛物线S 的方程；SNMDC BA（II ）若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线S 上的两动点，且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过定点.（20）（本小题共14分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，()f x '是()f x 的导函数，且(0)2,f n '=()n ∈*N .（I ）求a 的值；（II ）若数列{}n a 满足111()n nf a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；（III ）对于（II ）中的数列{}n a ，求证：1235k a a a a ++++< (1,2,3)k = .海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准 2008.01二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）(9) 2 (10) sin(2)3y x π=+(11)5(12) (,1)(1,1)-∞-- (13)(14) 72，120三.解答题（本大题共6小题,共80分） (15) （共13分）解：﹙Ⅰ﹚22()cos cos sin f x x x x x =+- s i n 2c o s 2x x =+4分2s i n (2)6x π=+5分∴,()[2,2]T f x π=∈-7分﹙Ⅱ﹚由()22A f =，有()2s i n ()26A f A π=+=，8分∴sin() 1.6A π+=∵0A π<<，∴62A ππ+=,即3A π=.10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及2a bc =，∴2()0bc -=.12分∴,b c = ∴3B C π==. ∴ABC∆为等边三角形.13分(16) （共13分）解：（I ）∵111==a S ，且数列}{n S 是以2为公比的等比数列， ∴12n n S -=.2分又当2n ≥时，2212(21)2.n n n n n a S S ---=-=-=.5分 ∴21 (1),2 (2).n n n a n -=⎧=⎨⎩≥ 7分（II ） 352,,,n a a a + 是以2为首项，以4为公比的等比数列，9分∴35212(14)2(41)(14)3n n n a a a +--+++==- .11分∴2113212(41)211+33n n n a a a ++-++++==13分(17) （共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E，连结ME.1分ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点.∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB.2分又∵ME ⊂平面A，3分又SB ⊄平面A C，∴SB //平面A C.4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . 5分∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影.∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC . ∴FQM∠为二面角D A C --的平面角.7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE ====，∴tan 4aFQM ==.∴二面角D AC M--的大小为.9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面S A D ，∴.AM DC ⊥ 10分又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.S D11分∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN又SC ⊂平面,S A C∴平面S A C ⊥平面.A M N14分方法二：解：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M .SA ⊥底面ABCD ， ∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=．设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM == , 7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .8分∴cos ,||||AS AS AS ⋅<>===⋅n n n , ∴二面角D A--的大小为arccos3． 9分（III）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,1CS =--，10分11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS∴⊥12分又SC AN ⊥ 且AN AM A =SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC⊥平面A.（18）（共12分）解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ， 1分334()(0.3)(0.7)0.0756P A C ==4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率为0.0756. （Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ， 5分8704.01296.01)6.0(1)(4=-=-=B P8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率为0.8704. （III ）设“这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅”的事件为C ， 9分因为有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪. 所以()()2224()0.30.70.2646P C C ==12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅的概率为0.2646. 注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到10分. （19）（共14分）解：(I) 设抛物线S 的方程为22.y px = 显然0,0.k b ≠≠ 1分由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得2220y p y p +-= 3分由0∆>，有0p >，或160.p <-设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2py y +=-121212(5)(5)1010.4448y y y y px x +∴+=-+-=-=+设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2pF 则123123,0323x x x y y y p ++++==， 331110,.82p p x y ∴=-=∵点A 在抛物线S 上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p = 6∴抛物线S 的方程为216.y x =7分（II ）当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ 方程为y kx b =+，显然0,0.k b ≠≠ 9分设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ，∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQ k k ⋅=- ∴1,QP P Qy y x x ⋅=- ∴0.P Q P Q x x y y +=10分将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k=从而22222,16P Q P Q y y b x x k⋅==∴22160.b b k k += ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =-∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-，此时动直线PQ过定点(112分当直线PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴，又PO OQ ⊥， ∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩得到(16,16),(16,16)P Q -，此时直线PQ 亦过点(16,0). 13分综上所述，动直线PQ过定点(16M .14分(20)(共14分)解：（I ）由已知，可得()2f x ax b '=+， 1分∴ 22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩ 解之得12a =.3分（II ）∵1112n n n a a +=+，∴1112n nn a a +-=.由211121a a -=⨯ 321122a a -=⨯ 431123a a -=⨯()11121n n n a a --=- ，累加得 2114n n n a -=- (2,3)n = .6分∴21(1)44(21)n n n a n -==-+(2,3)n = . 当 12414(21)n a n ===-时,7分∴24(21)n a n =-(1,2,3)n = .8分（III ）当1k =时，由已知145a =<显然成立； 9分当2k …时，11111(1)1(1)4k a k k k kk k =<=----+（2k …）11分则1231111114[(1)()()]552231k a a a a k k k++++<+-+-++-=-<-13分综上，1235k a a a a ++++< (1,2,3)k = 成立.14分说明：其他正确解法按相应步骤给分.。

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北京市海淀区2007-2008学年第一学期期末练习高三数学（文科）2008.01学校班级姓名一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1（2（3（A ）（B ）（C ）（D ）（4）已知向量1(1sin ,1),(,1sin ),2θθ=-=+a b 且//a b ，则锐角θ等于（）(A) 30︒(B) 45︒(C)60︒ (D) 75︒（5）设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是（）(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③（6）在等差数列{}n a 中，若1781212a a a a +++=，则此数列的前13项之和为( ) （A ）39 （B ）52 （C ）78（D ） 104（7）已知点()0,A b ，B 为椭圆22x a +22y b=1()0a b >>的左准线与x 轴的交点，若线段AB的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ( ) （A（B ）（C（D（8）已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,(,)a b ∈Z ，值域是[]1,0，那么满足条件的整数数对),(b a 共有（）（A ）2个（B ）3个（C ） 5个（D ）无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.（9）双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 . （10）把函数sin 2y x =的图象按向量(,0)6π-a =平移得到的函数图象的解析式为 .（11）在正方体1111ABCD A BC D -中，若M 为的棱1BB 的中点，则异面直线1B D 与AM 所成角的余弦值是______________. （12）已知函数2|1|(0),()1(0),x x f x x x -+⎧=⎨->⎩≤ 那么不等式()0f x <的解集为 .（13）设不等式组||203022x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≤所表示的平面区域为S ,则S 的面积为；若A ，B 为S内的两个点，则||AB 的最大值为 .（14）平面α内有四个点，平面β内有五个点.从这九个点中，任取三点最多可确定个平面；任取四点最多可确定个四面体. (用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. （15）（本小题共13分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （I ）求()f x 的最小正周期和值域；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.（16）（本小题共13分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且数列}{n S 是以2为公比的等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求1321n a a a ++++.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N .（I ）求证： //SB 平面ACM ；（II ）求二面角D AC M --的大小；（III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .（18）（本小题共12分）某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭.（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率；（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率；（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.（19）（本小题共14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且SNMDC BAABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-=（I ）求抛物线S 的方程；（II ）若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线S 上的两动点，且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过定点.（20）（本小题共14分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，()f x '是()f x 的导函数，且(0)2,f n '=()n ∈*N .（I ）求a 的值；（II ）若数列{}n a 满足111()n nf a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；（III ）对于（II ）中的数列{}n a ，求证：1235k a a a a ++++<(1,2,3)k =.北京市海淀区2007-2008学年第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案及评分标准2008.01二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）(9) 2 (10)sin(2)3y x π=+ (11) (12) (,1)(1,1)-∞-- (13) (14) 72，120三.解答题（本大题共6小题,共80分） (15) （共13分）解：﹙Ⅰ﹚22()cos cos sin f x x x x x =+- s i n 2c o s 2x x =+4分2s i n (2)6x π=+5分∴,()[2,2]T f x π=∈-7分﹙Ⅱ﹚由()22Af =，有()2s i n (26Af A π=+=，8分∴sin() 1.6A π+=∵0A π<<，∴62A ππ+=,即3A π=.10分由余弦定理2222c o s a b c b c A =+-及2abc =，∴2()0b c -=. 12分∴,b c = ∴3B C π==. ∴ABC∆为等边三角形.13分(16) （共13分）解：（I ）∵111==a S ，且数列}{n S 是以2为公比的等比数列， ∴12n n S -=.2分又当2n ≥时，2212(21)2.n n n n n a S S ---=-=-=.5分 ∴21 (1),2 (2).n n n a n -=⎧=⎨⎩≥ 7分（II ） 3521,,,n a a a + 是以2为首项，以4为公比的等比数列， 9分∴35212(14)2(41)(14)3n n n a a a +--+++==-.11分∴2113212(41)211+33n n n a a a ++-++++==13分(17) （共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME . 1分 ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点.∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB.2分又∵ME ⊂平面A，3分又SB ⊄平面A C，∴SB //平面A C.4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . 5分∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影.∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC . ∴FQM∠为二面角D AC M--的平面角.7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE ====，∴tan aFQM ==.∴二面角D AC M--的大小为.9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 10分又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.S11分∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN 又SC ⊂平面,S A C∴平面S A C ⊥平面.A M N14分方法二：解：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M .SA ⊥底面ABCD ，∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=．设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==, 7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .8分∴cos ,3||||AS AS AS ⋅<>===⋅n n n, ∴二面角D A--的大小为ac c os ． 9分（III ）11,0,22AM ⎛⎫=⎪⎝⎭，()1,1,1CS =--， 10分11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS∴⊥12分又SC AN ⊥且ANAM A =SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC ∴平面S ⊥平面A .14分（18）（共12分）解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ， 1分334()(0.3)(0.7)0.0756P A C ==4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率为0.0756. （Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ， 5分8704.01296.01)6.0(1)(4=-=-=B P8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率为0.8704. （III ）设“这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅”的事件为C ， 9分因为有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪. 所以()()2224()0.30.70.2646P C C ==12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅的概率为0.2646. 注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到10分. （19）（共14分）解：(I) 设抛物线S 的方程为22.y px = 显然0,0.k b ≠≠ 1分由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得2220y p y+- 3分由0∆>，有0p >，或160.p <-设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2py y +=-121212(5)(5)1010.4448y y y y px x +∴+=-+-=-=+设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2pF 则123123,0323x x x y y y p ++++==， 331110,.82p p x y ∴=-=∵点A 在抛物线S 上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p = 6分∴抛物线S 的方程为216.y x = 7分（II ）当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ 方程为y kx b =+，显然0,0.k b ≠≠ 9分设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ，∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQ k k ⋅=- ∴1,QP P Qy y x x ⋅=- ∴0.P Q P Q x x y y +=10分将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k= 从而22222,16P Q P Q y y b x x k⋅==∴22160.b b k k += ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =-∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-，此时动直线PQ过定点(16,0).12分当直线PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴，又PO OQ ⊥， ∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩得到(16,16),(16,16)P Q -，此时直线PQ 亦过点(16,0).13分综上所述，动直线PQ过定点(16M .14分(20)(共14分)解：（I ）由已知，可得()2f x ax b '=+， 1分∴ 22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩ 解之得12a =.（II ）∵1112n n n a a +=+，∴1112n nn a a +-=. 由211121a a -=⨯ 321122a a -=⨯ 431123a a -=⨯ ()11121n n n a a --=- ，累加得2114n n n a -=- (2,3)n =. 6分 ∴211(1)44(21)n n n a n -==-+(2,3)n =. 当 12414(21)n a n ===-时,7分 ∴24(21)n a n =-(1,2,3)n =.8分（III ）当1k =时，由已知145a =<显然成立； 9分当2k …时，11111(1)1(1)4k a k k k kk k =<=----+（2k …） 11分则1231111114[(1)()()]552231k a a a a k k k++++<+-+-++-=-<-综上，1235 ka a a a++++<(1,2,3)k=成立. 14分说明：其他正确解法按相应步骤给分.。