高三第一学期期末数学试题(附答案)
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷含答案
丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。
高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)
高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．给出如下几个结论:①命题“R,cos sin 2x x x ∃∈+=”的否定是“R,cos sin 2x x x ∃∈+≠”; ②命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<”; ③对于π10,,tan 22tan x x x⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭;④R x ∃∈，使sin cos x x +=其中正确的是（ ） A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④4．已知a 、b 为正实数，a+b=1，则2134a b+的最小值是（ ） A ．1112 B ．116C ．1112+D ．1112+5．函数2441()2x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．当()0,x ∈+∞时幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ≠7．若0.110a =与lg0.8b =和5log 3.5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>8．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有12123f x f x x x ,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 11．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A．2,3π-B．2,6π-C．4,6π-D．4,3π12．已知函数()2ln,01,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩若函数()()g x f x k=-有三个零点，则（）A．1ek<≤B．1ek-<<C．1e<<k D．11ek<<二、填空题13．若22x x a++≥对Rx∈恒成立，则实数a的取值范围为___.14．已知实数0a≠，函数2,1()2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a-=+，则a的值为________ 15．已知1cos63πα⎛⎫⎪⎝=⎭+，则5cos6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为______．三、双空题四、解答题17．已知幂函数()2()294mf x m m x=+-在(,0)-∞上为减函数.(1)试求函数()f x解析式；(2)判断函数()f x的奇偶性并写出其单调区间.18．已知函数()e ln exf x a x=--.（1）当1a=时讨论函数()f x的零点存在情况；（2）当1a>时证明：当0x>时()2ef x>-.19．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.20．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值． 21．已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时试写出函数()()g x f x x =-的单调区间； (2)当1a >时求函数()f x 在[1,3]上的最大值.22．已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.参考答案与解析1．C【详解】1A ∈12log (1)0a ∴-> 011a ∴<-<，即12a <<则实数a 的取值范围是(1,2) 故选:C. 2．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时()=()f x f x -对任意的x 恒成立()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 3．B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 知①不正确 命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<或sin 0x = ”,故②不正确；因为π10,,tan 22tan x x x ⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭当且仅当1tan tan x x=即π0,2π4x ⎛=∈⎫ ⎪⎝⎭ 时取等号，③正确；由πsin cos [4x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，比如π4x =时π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故R x ∃∈，使sin cos x x += 故选：B 4．D 【分析】将2134a b +与a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2134a b+的最小值.【详解】由已知条件可得()2118318311111113412121212b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=时等号成立.因此，2134a b +的最小值是1112+故选：D. 5．D【分析】判断函数的奇偶性可排除B ，C ；利用特殊值可判断A,D,即得答案.【详解】因为函数2441()2x f x x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且2441()()2x f x f x x -+-== 故2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A 故选：D. 6．A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数()2531m y m m x --=--既是幂函数又是()0,+∞的减函数所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩解得：m=2.故选：A. 7．D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=a cb ∴>>故选:D 8．C【解析】因为等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案.【详解】 不等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦ ∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-< ∴2433x <<不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题. 9．A【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，由此得出正确结论.【详解】有()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+sin cos cos sin cos αβαβα-= ()πsin cos sin 2αβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，由于0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,222αβααβ-=--=，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后 可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当6x π=时()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误； 当6x π=-时()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=所以22Tπω== 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈ 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A. 12．C【分析】将问题转化为()y f x =与y k =图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出()f x 图象，即可确定k 的范围.【详解】由题意，()y f x =与y k =图象有三个交点 当0x >时()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=∴在()0,e 上0fx，()f x 递增，在()e,+∞上0fx，()f x 递减∴0x >时()ln x f x x =有最大值()1e ef =，且在()0,e 上()1(,)e f x ∈-∞，在()e,+∞上()1(0,)ef x ∈.当0x ≤时()21f x x =-+单调递增∴()f x 图象如下∴由图知：要使函数()g x 有三个零点，则10e<<k . 故选：C. 13．94a ≥【分析】根据一元二次不等式对R x ∈恒成立，可得Δ14(2)0a =--≤ ，即可求得答案. 【详解】220x x a ++-≥对R x ∈恒成立，9Δ14(2)0,4a a ∴=--≤∴≥ 故答案为：94a ≥14．34-【解析】分当0a >时和当a<0时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】当0a >时11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+ ()()211+2,a a a a -+=--解得302a =-<，不满足，舍去；当a<0时1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得304a =-<，满足.故答案为34-.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．15．13-【分析】由已知条件，利用诱导公式化简5cos cos 66ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：因为1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+所以51cos cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 故答案为：13-.16． sin x - 【分析】对()cos f x x '=求导可得()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立 根据函数的性质123123sin sin sin 3sin 3x x x x x x ++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即可求得123sin sin sin x x x ++的最大值. 【详解】设()sin f x x =，()0,πx ∈则()cos f x x '= 则()sin f x x ''=-，()0,πx ∈由于()0f x ''<恒成立 故()f x 有如下性质()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭.则123123πsin sin sin 3sin 3sin 33x x x x x x ++⎛⎫++≤=⨯= ⎪⎝⎭∴123sin sin sin x x x ++故答案为 sin x -17．(1)5()f x x -=(2)奇函数，其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞【分析】（1）根据幂函数的定义，令22941m m +-=，求解即可； （2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得22941m m +-=，解得12m =或5m =- 经检验当12m =时函数12()f x x =在区间(,0)-∞上无意义所以5m =-，则5()f x x -=. （2）551()f x x x -==，∴要使函数有意义，则0x ≠ 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x-==-=--∴该幂函数为奇函数.当0x >时根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数故其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞.18．（1）两个零点；（2）证明见解析.【分析】(1)将1a =代入可得(1)0f =，求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；(2)根据已知条件构造函数()e ln 2x g x x =--，证明()0g x >在0x >时恒成立即可得解.【详解】(1)当1a =时()e ln e x f x x =--，显然(1)0f =，即1是()f x 的一个零点求导得()1e x f x x '=-，()f x '在(0,)+∞上单调递增，且131e 303f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭(1)e 10f '=-> 则()f x '在1(,1)3上存在唯一零点0x ，当00x x <<时()0f x '<，当0x x >时()0f x '> 因此，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，而()0(1)0f x f <= 31e 31e 3e 0ef ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭ 从而得在()00,x 上函数()f x 存在一个零点所以函数()f x 存在两个零点；(2)令()e ln 2x g x x =--，x>0，则1()e x g x x'=-，由(1)知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且在1(,1)3上存在唯一零点0x ，即001x e x = 当()00,x x ∈时()g x 单调递减，当()0,x +∞时()g x 单调递增因此()000000011()e ln 2e ln 220e x x x g x g x x x x ≥=--=--=+->，即ln 2x e x ->，则e ln e 2e x x -->- 而1a >，有e e x x a >，于是得()e ln e>e ln e 2e x x f x a x x =---->-所以当1a >，0x >时()2e f x >-.19．（1）最小正周期为π，最大值为1（2）在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值；（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 的单调性. 【详解】（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos x x x =11cos 2sin 222x x +=sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期为22T ππ== 当22,32x k k Z πππ-=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时()f x取得最大值为1； （2）当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时[]20,3x ππ-∈ 则当20,32x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为增函数； 当2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为减函数 f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.20．（1）3()4=max f x()min f x =；（2）2325 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．()1由x 的范围求得相位的范围，则函数最值可求；()2由已知求得145sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及倍角公式求2sin α的值． 【详解】解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111622222222sin x cos x cos x cos x x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦23sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦ 则3()4max f x =()min f x = ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．21．(1)单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)()()max 1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当2a =时求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间； （2）作出函数()f x 的大致图象，数形结合，分类讨论，比较()f x 在[1,3]上的函数值(1)f (3)f ()f a 的大小关系，即可求得答案.（1）当2a =时()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩当2x <时2()31g x x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当2x ≥时2()1g x x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =所以()g x 在[2,)+∞上单调递减. 综上可知，()g x 的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意知1a >，()()2211()x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩作出大致图象如图：易得(0)()1f f a == 2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以可判断()f x 在[1,3]上的最大值在(1)f (3)f ()f a 中取得.当13a 时max ()()1f x f a ==.当3a >时()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,32a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增 又13422a a a ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，若34a <<，则max ()(3)103f x f a ==-；若4a ≥，则max ()(1)2f x f a ==-.综上可知，在区间[1,3]上()()max1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ . 22．(1)在3π[0,]4上，()f x 为增函数；在3π[,π]4上时()f x 为减函数. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负，从而判断函数单调性；（2）当1a =时结合（1）可得πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，整理为e sin 1sin cos x x x x +≥-，然后构造函数()πsin g x x x =--，利用其导数证明结论.【详解】（1）因为π()e sin sin ,[0,π]4x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以()π()e sin e cos cos()e sin cos )(cos sin )e (sin (cos )4x x x x f x x x x x x a x x a x x '=+-=+-+=-+因为1a ≤，所以在()0,π上e 0x a ->由()0f x '=，解得3π4x =. 当3π04x <<时()0f x '>，故()f x 在3π[0,]4上为增函数； 当3ππ4x <<时()0f x '<，()f x 在3π[,π]4上为减函数. （2）证明：由（1）知，当1a =时π()e sin 4x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π[0,]4上为增函数，在3π[,π]4上为减函数. 因为(0)1,(π)1f f ==-所以()(π)f x f ≥故πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以e sin sin cos 1x x x x ≥--所以e sin 1sin cos x x x x +≥-.设()πsin ,()1cos 0g x x x g x x '=--=--≤所以()g x 在[0,π]上为减函数.又(π)0g =，则()(π)0g x g ≥=，所以πsin x x -≥所以e (π)1e sin 1sin cos x x x x x x -+≥+≥-.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是根据题中要证明的不等式合理变式，构造函数，利用导数判断单调性进而进行证明.。
福建省高中名校2024学年高三年级第一学期期末数学试卷(附答案)
福建省高中名校2024学年高三年级第一学期期末试卷数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（ ）A 2B. 2i -C. 2-D. 2i2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （ ） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D. (4,)+∞3. 已知向量(3,5)a =r，(1,21)b m m =-+，若//a b，则m =（ ）A. 8B.8- C. 213-D. 87-4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（ ） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（ ） A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ）A 4B. 8C. 6D. 107. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 52π3 C. 208π3D.103π38. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的..取值范围为（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D. (,4]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +的最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 9295 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（ ）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（ ）A. 直线AB 截圆C 所得的弦长为B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB 的P 点位置共有3个D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（ ）的A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 等差中项D.20241()2024i f i ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 14. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC所成角的余弦值为10，则1CC =_________.15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.16. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且的()320D X >，求K 的最小值.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =，求b c +.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.22. 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由.的答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（ ）A. 2B. 2i -C. 2-D. 2i【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据条件，利用复数的运算即可求出结果. 【答案详解】因为2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，所以1i z =-，故2i z z -=， 故选：D.2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （ ） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D.(4,)+∞【答案】C 【答案解析】【详细分析】解一元二次不等式化简集合A ，结合交集的概念即可得解.【答案详解】因为{4A x x =>或}2x <，{}3B x x =<，所以{}2A B x x ⋂=<. 故选：C.3. 已知向量(3,5)a =r ，(1,21)b m m =-+ ，若//a b ，则m =（ ）A. 8B.8- C. 213-D. 87-【答案】B 【答案解析】【详细分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.【答案详解】因为//a b ，所以3(21)5(1)m m +=-，所以8m =-.故选：B.4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（ ） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】A 【答案解析】【详细分析】引入中间量，利用函数的单调性，进行大小的比较.【答案详解】因为0.30.3log 2log 10a =<=，0.20331b =>=，0.30.2(0,1)=∈c ，所以b c a >>.故选：A5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度【答案】D 【答案解析】【详细分析】先把()f x ，()g x 的答案解析式都化成()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，再用图象的平移解决问题.【答案详解】()πππππcos sin 2244442f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2π3πsin 22cos 1sin 2cos 22244g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故将()f x 的图象向右平移38π个单位长度可得3π3π2284y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即为()g x 的图象. 故选：C6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ） A. 4 B. 8C. 6D. 10【答案】B 【答案解析】【详细分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案. 【答案详解】因为OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6， 又因为圆心在OF 的垂直平分线上，||2pOF =， 所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离624p p+=，可得8p =.故选：B.7. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（ ） A. 52πB. 52π3 C. 208π3D.103π3【答案解析】【详细分析】根据给定条件，结合球的截面圆性质确定球心位置，再求出球半径即得. 【答案详解】在三棱锥C ABD -中，,,,,BD AD BD CD AD CD D AD CD ⊥⊥=⊂ 平面ACD ，由二面角A BD C --为π3，4AD CD ==，得ACD 是正三角形，令其外接圆圆心为O '，则2πsin 333O D AD '==，令三棱锥C ABD -外接球的球心为O ，球半径为R ， 则OO '⊥平面ACD ，即有//OO BD '，显然球心O 在线段BD 的中垂面上，令线段BD 的中垂面交BD 于E ，则OE BD ⊥，显然O D BD '⊥，于是//OE O D '，四边形OEDO '是平行四边形，且是矩形，而12==DE BD22222252(33R OD OE DE ==+=+=， 所以三棱锥C ABD -外接球的表面积22084ππ3S R ==. 故选：C8. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的取值范围为（ ） A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D.(,4]-∞【答案解析】【详细分析】先根据递推关系得到111n n na a a +-=-，把条件转化为22λ≤，从而可得答案. 【答案详解】因为1n n a a n +=，11a =，所以21a =，且当2n ≥时，11n n a a n -=-， 所以111n n n n a a a a +--=，所以111n n na a a +-=-， 所以3142531123111n n na a a a a a a a a a a +-+++=-+-+-++-= 12112n n n n a a a a a a ++--++=+-.因为1231112n n na a a a a λ++++≤+- ， 所以1122n n n n a a a a λ+++-≤+-，所以22λ≤，故1λ≤. 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 【答案】AD 【答案解析】【详细分析】利用作差法比较大小判断A ，利用基本（均值）不等式判断BCD ，要注意“一正二定三相等”.【答案详解】因为2()0a ab a a b -=->，所以2a ab >， 的因为2()0=->-b a b ab b ，所以2ab b >，所以22a ab b >>，故A 正确； 因为221222x x ++≥+的等号成立条件22122x x +=+不成立，所以B 错误； 因为222122a b a b ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以222a b +≥，故C 错误；因为11111121(2)2(22)2222222xx x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当112x x=-，即1x =时，等号成立，所以D 正确. 故选：AD10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 92 95 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（ ）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小 【答案】BD 【答案解析】【详细分析】由样本数据可判断A ；样本数据的集中程度可判断D ；由众数的概念可判断B ；由百分位数的概念可判断C.【答案详解】因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A 错误； 因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B 正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为6668672+=，所以C 错误； 由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D 正确. 故选：BD. 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（ ）A. 直线AB 截圆C所得的弦长为 B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB的P 点位置共有3个 D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣【答案】BCD 【答案解析】【详细分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A ，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B ，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C ，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D.【答案详解】对于A ，因为()0,5A ，()5,0B -，所以直线AB 的方程为50x y -+=，圆心()3,4C -到直线AB 的距离为d ==，又因为圆C 的半径r =所以直线AB 截圆C所得的弦长为2=A 错误．对于B，易知AB =PAB 的面积最大，只需点P 到直线AB 的距离最大，而点P到直线AB的距离的最大值为r d +==， 所以PAB的面积的最大值为1152⨯=，B 正确． 对于C ，当点P 在直线AB 上方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r +，即(，由对称性可知，此时满足到直线AB 的P 点位置有2个．当点P 在直线AB 下方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r，即(，此时满足到直线AB的P 点位置只有1个．综上所述，满足到直线AB的P 点位置共有3个，C 正确．对于D ，由题意知()()()2PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅．又因为()0,5A ，()5,0B -，()3,4C -，所以()3,1CA = ，()2,4CB =--， 故()()321410CA CB ⋅=⨯-+⨯-=- ，()1,3CA CB +=-．设点()00,D x y 满足CA CB CD +=，则()003,4CD x y =+- ，故0031,43,x y +=⎧⎨-=-⎩解得002,1,x y =-⎧⎨=⎩即()2,1D -，CD =所以()28cos ,10PA PB PC PC CA CB CA CB PC CD PC CD ⋅=+⋅++⋅=+⋅⋅-2,2,PC CD PC CD =-+=-+ ．又因为,PC CD ⎡∈-⎣，所以2,22PC CD ⎡-+∈---+⎣ ，即PA PB ⋅取值范围为[2--，2-+，D 正确．故选：BCD12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（ ）A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=的C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项D.20241()2024i f i ==∑【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】由(2)()(2026)f x f x f ++=，可推出()f x 的周期为4，由(1)1f x +-是奇函数可推出(1)1f =，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项. 【答案详解】因为(2)()(2026)f x f x f ++=， 所以(4)(2)(2026)f x f x f +++=， 两式相减得(4)()f x f x +=， 所以()f x 的周期为4. 因为(1)1f x +-是奇函数，所以(1)1(1)1f x f x -+-=-++，所以(1)(1)2f x f x -+++=， 即()(2)2f x f x -++=， 令=1x -，得(1)1f =.因为(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==， 令2x =，得(4)(2)(2)f f f +=， 所以(4)0f =，即(0)0f =. 因为()(2)2f x f x -++=， 令0x =，得(0)(2)2f f +=， 所以(2)2f =，所以(2)()2f x f x ++=， 所以(3)(1)2f f +=，故A 正确. 因为()(2)2f x f x -++=，所以(1)(3)2f f -+=，即(3)(3)2f f +=，所以(3)1f =.因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误. 因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==， 所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确故选：ACD【点评】关键点评：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一详细分析选项即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 【答案】2- 【答案解析】【详细分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【答案详解】由题意得()2e x f x x a '=--， 由函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴， 可得(0)20f a '=--=，得2a =-， 故答案为：-214. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为10，则1CC =_________. .【答案】【答案解析】【详细分析】利用直线的平移，把两条异面直线所成的角转化为平面角，再解三角形求角. 【答案详解】连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点E ，连接OE ，BE . 因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为∠BOE （或其补角）. 令EC x =，在BEO △中，由8AB =，6AD =，得5OB =.又OE =，BE =cos 10BOE ∠=， 由余弦定理得22222225536210x x OE OB BE OE OB ++-++-==⋅，解得x =1CC =.故答案为：15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种. 【答案】60 【答案解析】【详细分析】先选菜品，再选饮品，结合分步计数原理可得答案.【答案详解】由题意可知凉菜选择方案共有24C 6=种，饮品选择方案共有2144C C10+=种，因此该套餐的供餐方案共有61060⨯=种. 故答案为：6016. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________. 【答案】12##0.5 【答案解析】【详细分析】根据蒙日圆的定义得出点(,)a b 一定在其蒙日圆上，从而可得离心率. 【答案详解】由题意可知点(,)a b 一定在其蒙日圆上，所以22273a b b +=， 所以234b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故椭圆C的离心率为12c e a ===. 故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）91n nT n =+ 【答案解析】【详细分析】（1）根据条件，利用n a 与n S 间的关系，得到13n n a a -=，从而得出数列{}n a 为等比数列，即可求出结果；（2）由（1）得出3n nb =-，从而得出111191n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再利用裂项相消法即可求出结果.【小问1答案详解】因为210n n S a +-=，所以当1n =时，113a =， 当2n ≥时，11210n n S a --+-=，两式相减得13n n a a -=，又1103=≠a ， 所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列， 则1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问2答案详解】因为27271log log (33nn n n b a ===-， 所以119119(1)1n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以1111111119991122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率； （2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且()320D X >，求K 的最小值. 【答案】（1）0.243 （2）2001 【答案解析】【详细分析】（1）根据正态分布的性质求出(248)P M ≥的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；（2）根据正态分布的对称性求出(248252)P M <<的值，确定~(,0.8)X B K ，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案. 【小问1答案详解】由题意知每包牛肉干的质量M （单位：g）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=， 所以(248)10.10.9P M ≥=-=，则这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率为223C 0.90.10.243⨯⨯=.【小问2答案详解】因为(248)0.1P M <=，所以(248252)(0.50.1)20.8P M <<=-⨯=， 依题意可得~(,0.8)X B K ，所以()0.8(10.8)0.16D X K K =⨯⨯-=， 因为()320D X >，所以0.16320,2000K K >>， 又K 为正整数，所以K 的最小值为2001.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D，且AD =，求b c +.【答案】（1）π3（2）6 【答案解析】【详细分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得. 【小问1答案详解】 因πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin cos sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠，则有1cos sin 22A A =，即tan A =， 因(0,π)A ∈，故π3A =. 【小问2答案详解】因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ， 所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠. 因π3BAC ∠=，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =，则444AB AC AB AC +=⋅， 即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=. 又由余弦定理可得：2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-，把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=， 解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见答案解析（2）17． 【答案解析】【详细分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得//OF AD ，线线垂直可求证线面垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1答案详解】证明：取CD 的中点F ，连接EF ，PF ，OF ，因为E 为PC 的中点，所以//EF PD ． 又EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面APD ． 因为//OE 平面PAD ，OE EF E = ，,OE EF ⊂平面OEF ， 所以平面//OEF 平面PAD ．因为平面ABCD ⋂平面OEF OF =，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以//OF AD ． 因为AD CD ⊥，所以OF CD ⊥．由PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，可得PO CD ⊥．又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ,所以CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF , 从而PF CD ⊥．因为PF 是CD 的中垂线，所以PC PD =．【小问2答案详解】因为PO ⊥平面ABCD ，所以PC 与平面ABCD 所成的角为60PCO ∠=︒， 又OC OD ⊥，OC OD =,2AB CD ==，所以OC OD PO ====．作OG BC ⊥，垂足为G ，分别以OG，OF ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0D -，()1,3,0B -，()1,1,0C，(P ，()0,4,0BC =，(1,1,PC = ，()2,0,0DC =uuu r ．设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则111140,0,m BC y m PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11z =，得)m = ．设平面PCD 的法向量为()222,,x n y z =，则222220,0,n DC x n PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令2y =，得()n = ．所以1cos ,7m n m n n m ⋅===，即平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为17．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.【答案】（1）2216x y -=（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解. （2）当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±.动直线l 与C 相切可得Δ0=即2261k m =+，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合2261k m =+即可得解.【小问1答案详解】设右焦点为(),0F c ，一条渐近线方程为0bx ay -=，1b ==.因为222,6c e c a b a ===+，所以a c ==. 故C 的方程为2216x y -=.【小问2答案详解】当直线l 的斜率不存在时，l的方程为x =，此时12,22OPQ PQ S ==⨯= . 当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±. 联立方程组22,1,6y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221612660k x mkx m ----=. 由()()2222Δ144416660m k km=+-+=，得2261k m =+.联立方程组6y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得x =. 不妨设l与,66y x y x ==-的交点分别为,P Q，则P x =同理可求Q x =P Q PQ x =-=因为原点O 到l的距离d =，所以221216OPQS PQ d k=⋅=- . 因为2261k m =+，所以OPQ S =.故OPQ △.22 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件的1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见答案解析 （2）14x =，22x = 【答案解析】【详细分析】（1）求得()f x '，分 1a ≥，1a <讨论()f x 的单调性. （2）将问题转化为()121212ln ln ln x x x x x x -=+，根据ln ()x f x x=的值域确定122x x -=，分别就13,4,x =⋅⋅⋅详细分析是否满足题意. 【小问1答案详解】21ln ()a xf x x'--=， 当1a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[1,)+∞上单调递减. 当1a <时，令()0f x '=，得1e a x -=.)11,e a x -⎡∈⎣，()0f x '>，则()f x 在)11,e a-⎡⎣上单调递增， ()1e ,a x ∞-∈+，()0f x '<，则()f x 在()1e ,a ∞-+上单调递减.【小问2答案详解】由（1）知，令0a =，得ln ()xf x x=在[1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则11()(e)e 2f x f ≤=<. 因为121x x >≥，所以()12211212x x x x x x x x -=，即()12122112ln ln ln x x x x x x x x -=+， 即()121212ln ln ln x x x x x x -=+， .因为1x ，2x 为正整数，所以121x x -≥.当121x x -=时，21121x xx x =，因为21x ≥，12x ≥，所以21121x x x x >，这与21121x xx x =矛盾，不符合题意.当121x x ->时，因11ln 12x x <，22ln 12x x <，所以()121212ln ln ln 1x x x x x x -=+<， 所以12e x x -<，得122x x -=，即1212ln ln ln 2x x x x =+. 经检验，当21x =，13x =时，不符合题意， 当22x =，14x =时，符合题意，当23x =，15=x 时，因为53153037532763528<==⨯，所以ln3ln5ln 235+<， 当24x ≥时，11ln ln 6ln565x x ≤<，22ln ln 4ln343x x ≤<， 所以1212ln ln ln5ln3ln 253x x x x +<+<. 综上，仅存在14x =，22x =满足条件.【点评】关键点评：本题关键点在于根据ln ()xf x x =的值域确定12x x -的范围，再根据12,x x 为正整数得122x x -=，从而就12,x x 的取值讨论即可为。
山东省潍坊市2024届高三上学期期末数学含答案解析
潍坊市2023-2024学年上学期期末考试高三数学本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前、考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2P x x =<，12xQ y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则P Q = （）A.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,2 D.∅【答案】C【解析】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数的值域为()0,∞+，所以{}0Q y y =>，又因为{}2P x x =<，所以()0,2P Q = .故选：C 2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则43iz=+（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-【答案】A【解析】复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则34i z =-+，则()()()()34i 43i 34i 25ii 43i 43i 43i 43i 25z -+--+====+++-，故选：A3.已知角ϕ的终边落在()0y x =>上，下列区间中，函数()()2sin f x x ϕ=+单调递增的区间是（）A.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭C.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭D.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为角ϕ的终边落在()0y x =>上，可取一点(，则sin 2ϕ=，则ϕ与π3的终边相同，可令π3ϕ=，则()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+2π,Z 232k x k k π-+≤≤+∈,所以5ππ2π2π,Z 66k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，只有π5ππ,02π,2πZ 266k k k ⎛⎫⎡⎤-⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 正确，B,C,D 错误，故选：A.4.已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（）A.B. C.3πD.9π【答案】C【解析】由圆锥的侧面展开图是半径为l =，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ，解之得r =，则圆锥的高3h ==则该圆锥的体积为211ππ333π33r h =⨯⨯=，故选：C 5.如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明.它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构.它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯.则前n 次操作共抠除图形的面积为（）A.1889n⎛⎫⎪⎝⎭B.819n⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1189n⎛⎫- ⎪⎝⎭D.111889n⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】观察图形的变化可知：图①中，第一次操作涂黑部分正方形的面积为89，图②中，第二次操作涂黑部分正方形的面积为289⎛⎫ ⎪⎝⎭，图③中，第三次操作涂黑部分正方形的面积为389⎛⎫ ⎪⎝⎭，依次类推，可得第n 次操作涂黑部分正方形的面积为89n⎛⎫ ⎪⎝⎭，故前n 次操作共抠除图形的面积为819n⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 6.若函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，则实数m =（）A.1B.1-C.12D.12-【答案】C【解析】由函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，可得()()11f f -=，即1ln e 1ln e 1m m --+=--，解之得12m =，则()1ln e 1(0)2x f x x x =--≠，()()111ln e 1ln e 1ln e 1222x x x f x x x x x f x --=-+=--+=--=故()1ln e 12x f x x =--为偶函数，符合题意.故选：C 7.已知甲：1x ≥，乙：关于x 的不等式()01x aa x a -<∈--R ，若甲是乙的必要不充分条件，则a 的取值范围是（）A.1a ≥B.1a > C.a<0D.0a ≤【答案】A【解析】甲：1x ≥，设此范围对应集合[)1,A =+∞；由1a a <+，则乙：()()01011x ax a x a a x a x a -<⇔---<⇔<<+--，设此范围对应集合(,1)B a a =+，若甲是乙的必要不充分条件，则B A ⊆，其中A B =必不成立；则(,1)a a +[)1,⊆+∞，所以1a ≥.故选：A.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，点P 在C 上，且112PF AF =，2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A.2B.2C.33D.12【答案】D【解析】由题意可得1AF a c =-，则11222PF AF a c ==-，则1222PF a PF c =-=，又212F F c =，2160PF F ∠=︒，则21PF F 为等边三角形，则222a c c -=，即2a c =，故C 的离心率12c e a ==.故选：D 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.57.57.87.88.08.0乙：7.57.87.87.88.08.0则下列说法正确的是（）A.评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B.评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C.评委对甲评分的40%分位数为7.8D.评委对乙评分的众数为7.8【答案】ACD【解析】选项A ，评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲，评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙，所以x x <甲乙，故A 正确；选项B ，由A 知，两组数据平均数均约为7.8，且纵向看，甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同，其余数据相同，又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差，且差距较大，故与平均数比较，甲组数据波动程度明显大些，即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差，故B 错误；选项C ，由640% 2.4⨯=不是整数，则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据，即：7.8，故C 正确；选项D ，评委对乙评分中最多的数据，即众数为7.8，故D 正确.故选：ACD.10.双曲线22:1E mx ny +=（0m >，0n <）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，则（）A.12PF PF -=B.12F F =C.ED.E的渐近线方程为y =【答案】ABD【解析】221mx ny +=（0m >，0n <），所以双曲线的标准方程为22111x y m n -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线为焦点在x 轴，所以21a m =，a =21b n =-，b =，22211c a b m n=+=-，c =122PF PF a -==A正确；122F F c ==，所以B 正确；E的离心率为e ==，所以C 错误；双曲线的渐近线方程为b y x a =±=，所以D 正确.故选：ABD 11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱11D C 的中点，N 为棱1CC 上的动点（不与端点重合），则（）A.直线AM 与BN 为异面直线B.存在点N ，使得MN ⊥平面BDNC.当//AM 平面BDN 时，23CN =D.当N 为1CC 的中点时，点C 到平面BDN的距离为3【答案】AD【解析】如图：以D 为原点，建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2M ，()0,2,N t （02t <<）.对A ：假设A ，B ，M ，N 共面，则存在,,R x y z ∈，使得DA xDB yDM zDN =++，且1x y z ++=，即()()()()2,0,02,2,00,1,20,2,x y z t =++⇒2202021x x y y tz x y z =⎧⎪=+⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，解得：1222x y z t =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，即()0,2,2N .故只有N ，1C 重合时，才有直线AM 与BN 共面.而条件N 不与线段1CC 端点重合，所以AM 与BN 必为异面直线，故A 对；对B ：若MN ⊥平面BDN ，则MN DB ⊥⇒()()0,1,2·2,2,00t -=⇒20=，故B 错误；对C ：当23CN =时，设平面DBN 的一个法向量(),,n x y z = ，则n DB n DN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()(),,·2,2,002,,·0,2,03x y z x y z ⎧=⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒003x y z y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1x =可得：()1,1,3n =- ，此时()()·2,1,2·1,1,33AM n =--= ，所以AM 与n 不垂直，即AM 平面BDN 不成立，故C 错误；对D ：当N 为1CC 中点时，设C 到平面BDN 的距离为h ，则··BDC BDN S CN S h = .而·2BDC S CN = ，在BDN 中，22DB =，5DN BN ==，所以DB 523-=122362BDN S =⨯= 636h ==，故D 正确.故选：AD 12.已知函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，则（）A.当1a =-时，()f x 为增函数B.若()f x 有唯一的极值点，则0a >C.当2a ≤-时，()f x 的零点为1±D.()f x 最多有2个零点【答案】ACD【解析】函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，对于A 中，当1a =-时，()1f x x =+单调递增，所以A 正确；对于B 中，当0a =时，()221f x x x =++，此时函数()f x 只有一个极大值点，所以B 错误；对于C 中，当2a ≤-时，设210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-≥，121=x x ，所以1201,1x x <≤≥，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a +=-<-=+，当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a -=>=-，如图所示，所以C 正确；对于D 中，由选项C 可知，当2a ≤-时，函数()f x 有两个零点，当22a -<≤时，240a ∆=-<，可得()2(1)(2)1f x a x a x =++++至多有两个零点；当2a >时，设方程210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-<，121=x x ，所以122,10x x <--<<，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时图象开口向上，对称轴为()21,01,(1)02(1)2a x f f a -+=<-=-=+；当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时图象开口向上，对称轴为()2(0,1),10,(0)12(1)a x f f a -=∈==--，(1)2(2)0f a -=->，如图所示，所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -=r r ___.【答案】2【解析】向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -==r r2===，14.已知函数()()()ln e ,021,0x x f x f x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2f =_________.【答案】4【解析】由题意()()()221404ln e=4f f f ===.故答案为：4.15.无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为__________.【答案】24【解析】分两类：第一类不含数字0，有以下几种组合125++和134++，结果为332A 12=；第二类含数字0，有以下几种组合017++、026++和035++，结果为12223C A 12=；综上，无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数是24.故答案是：24.16.已知1n a n=，若对任意的()*n n ∈N ，都有()()()212222n a a a kn +++ ≥，则实数k 的最大值为___.【答案】158【解析】由题意可得：()()()122222n a a a k n +++≤对*n ∈N 恒成立.设()()()122222n n a a a b n +++=，令11n n b b +≥，得()2212111n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭≥+⇒331n n ≥+⇒2n ≥，又11231b +==，()2112215248b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，所以158k ≤.故答案为：158四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 满足112a =，246a a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由已知得()23511a q a q ⋅=⋅，……………………………………………………2分所以112q =，2q =，…………………………………………………………3分所以121222n n n a --=⨯=.………………………………………………………4分（2）22n n na n -=⋅设数列{}n na 的前n 项和为n S ，则10121222322n n S n --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，①所以()012121222122n n n S n n --=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②……………………………6分①-②得1121121212122n n n S n ----=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ ，()11122212n n n --=-⋅-……………………………………………………8分()11122n n -=-⋅-……………………………………………………9分所以()11122n n S n -=-⋅+.…………………………………………………………10分18.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E ，F 在边BC ，AD 上，且2CE DF ==.将矩形CDFE 沿EF 折起至C D FE ''，使得60C EB '∠=︒，M ，N 分别为AB ，C D ''的中点.（1）证明：EN ⊥平面MNF ；（2）求EN 与平面C AE '所成角的正弦值.【解析】（1）在矩形C D FE ''中，2C N C E ''==，90C '∠=︒，所以45C NE '∠=︒，同理45D NF '∠=︒，故EN NF ⊥，①…………………………………………2分连结BC '、ME ，在BEC '△中，由余弦定理知：2222cos 164812BC EB EC EB EC C EB =+-⋅⋅∠=+-''=''，所以BC '=MN =，又因为NE ===ME ===所以222ME MN NE =+，所以90ENM ∠=︒，即EN MN ⊥，②………………………5分由①，②及MN NF N = ，,MN NF ⊂平面MNF ，可得EN ⊥平面MNF .………………6分（2）以E 为坐标原点，EF ，EB 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则()0,0,0E，(C '，()4,4,0A，(N，(EC '= ，()4,4,0EA =，设平面C AE '的法向量(),,n x y z =，则0440n EC y n EA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=⎪⎩'+=，令x =y =，1z =，所以)n =.…………………………………………………………9分因为(EN =，所以42cos ,14n EN n EN n EN⋅===，………………………………………………………11分所以EN 与平面C AE '所成角的正弦值为14.…………………………………………………………12分19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a c +=，3A C π-=.（1）求cosB ；（2）若b =ABC 的面积.【解析】（1）因为a c +=，所以由正弦定理得sin sin A C B +=，…………………………………………………………1分因为3A C π-=，且A B C π++=，所以32B C π=-，232B A π=-，…………………………………………………………2分所以2sin sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22sin cos cos sin sin cos cos sin 32323232B B B B B ππππ-+-=，…………………………4分2B B =，所以cos4sin cos 222B B B =，因为022B π<<，所以1sin 24B =，…………………………………………………………5分所以27cos 12sin 28B B =-=；…………………………………………………………6分（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………7分即()27524a c ac ac =+--，得()21554ac =-，得443ac =，…………………………………………………………9分因为7cos 8B =，所以sin 8B =，………………………………………………………10分所以1sin 212ABC S ac B ==△…………………………………………………………12分20.已知函数()()()e 2ln 0x f x a a x a =+->，()f x 的导函数为()f x '.（1）当1a =时，解不等式()e xf x >；（2）判断()f x '的零点个数；（3）证明：()224ln 4a f x a ++≥.【解析】（1）当1a =时，()e 12ln e x x f x x =+->，所以1ln 2x <，所以0x <<，所以不等式的解集为(.…………………………………………………………3分（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2e 2e x xax f x a x x ='-=-.………………………………4分令()e 2x g x ax =-，则()()1e 0xg x a x =+>'，所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增.…………………………………………………………5分又因为()020g =-<，2222e 22e 10a a g a ⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x =，所以()f x '在区间()0,∞+上有且只有一个零点0x .……………………………………………………7分（3）证明：由（2）知，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '>，()f x 在()0,x ∞+上单调递增，所以()()()000e 2ln x f x f x a a x ≥=+-.…………………………………………………………9分因为00e 20x ax -=，所以002e x a x =，00ln ln 2ln a x x +=-.……………………………………10分所以()()()0200002e 2ln 2ln 2ln x f x a a x a a x x =+-=+---22220022ln 4ln 44a a x a a x =+++++≥，所以()224ln 4a f x a ≥++.…………………………………………………………12分21.某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口.（1）若2n =，2m =，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.（2）已知；随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X p ==-==，.则11n i i n i i E X p ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，且()2112,1,2,3,,n n i i i i i j i j E X p p p i j n ==<⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ .若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.【解析】（1）应选择第一条路线，…………………………………………………………1分理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量1X 、2X ，则10,1,2X =，20,1,2X =，()2111039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1122141C 339P X ==⨯⨯=，()2212242C 39P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以()1484993E X =+=；…………………………………………………………3分又()212104510P X ==⨯=，()2321391454520P X ==⨯+⨯=，()233924520P X ==⨯=，所以()299272202020E X =+⨯=；……………………………………………………5分因为427320<，所以应选择第一条路线.………………………………………………6分（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X ，所以()11n n i i i i E X E X p ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；()22112n n i i i j i i i j E X E X p p p ==<⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑，………………………………………………8分设随机变量Y ，Y 取值为()1,2,3,,i Y i n =L ，其概率分别为i q ，且11n i i q==∑，()(){}21n i i i D Y Y E Y q ==-⎡⎤⎣⎦∑()(){}2212n i i i i i i Y q E Y Y q E Y q ==⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦∑()()()()()22111222n n ni i i i i i i i Y q E Y Y q E Y q E Y E Y ====⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦∑∑∑所以()()()()22D X E X E X=-2112n n i i j i i i j i p p p p =<=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑21122n n i i j i i j i i j i i j p p p p p p =<=<⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()21ni i i p p ==-∑，………………………………………11分又因为12i i p =，所以()1111111111224411241124n n n n i i i i D X ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---∑∑2113342n n =+-⋅.…………………………………………………………12分22.在直角坐标系xOy 中，点P 到直线92y =的距离等于点P 到点70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设A ，B 是C 上位于y 轴两侧的两点，过A ，B 的C 的切线交于点Q ，直线QA ，QB 分别与x 轴交于点M ，N ，求QMN 面积的最小值.【解析】（1）设(),P x y ，92y =-，…………………………………………………………1分整理得282x y =-；…………………………………………………………3分（2）如图：设2,42a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,42b B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设0a b <<，因为242x y =-，所以y x '=-，…………………………………………………………4分所以过点A 的切线方程为()242a y a x a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即242a y ax =-++，同理可得过点B 的切线方程242b y bx =-++，………………………………………………………6分联立QA ，QB 方程，得8,22a b ab Q +-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y =，得4,02a M a ⎛⎫+⎪⎝⎭，4,02b N b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()42a b b a MN ab --=+，…………………………………………………………8分所以QMN 的面积()4181822222a b ab b a ab S MN ab ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫=⨯=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0a ->，所以()()418222b a b a ab S ab ⎧⎫⎡⎤+-+--⎪⎪⎛⎫⎣⎦=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭142284822222ab ab ab ab ⎛⎛⨯--⎛⎫⎛⎫≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………………………10分t =，得234816416224t t S t t t t ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以221643164S t t ⎛⎫=+- ⎝'⎪⎭，令0S '=，得283t =由0S '>⇒22643160t t +->⇒()()223880t t -+>⇒283t >；所以当2803t <<时，()S t 单调递减，当283t >时，()S t 单调递增；所以当283t =，即3t =时，9S =为最小值.…………………………………………………12分。
2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
第1套：浙江宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷与答案
镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2{560},{13},A x x x B x x =-+≤=-≤<则A B = （）A.{13}x x -≤<B.{13}x x -≤≤C.{23}x x ≤<D.{23}x x ≤≤2．函数3()29x f x x =+-的零点所在区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.(2,3)D.()3,45.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l m ⊥，l n ⊥，则下列说法中正确的是（）A.//l αB.l β⊥ C.若a αβ⋂=，则//a lD.αβ⊥e ．．C ．D ．8.设实数,x y 满足3,32x y >>，不等式3322(23)(3)8123k x y x y x y --≤+--恒成立，则实数k 的最大值为（）A.12B.24C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z ⋅=⋅ C.1212z z z z =⋅ D.1212z z z z +=+10.已知()f x ，()g x 的定义域为R ，且()()1f x g x a +-=（0a ≠），()()11g x g x +=-，若()2f x +为奇函数，则（）A.()g x 关于x =1对称B.()g x 为奇函数C.()02f = D.()f x 为偶函数11.已知O 为坐标原点，曲线()()22222:3x y ay x y Γ+=-，0a >，()00,P x y 为曲线Γ上动点，则（）A.曲线Γ关于y 轴对称B.曲线Γ的图象具有3条对称轴C.09,16y a a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.OP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年江苏省连云港市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足（1+i ）•z ＝i ，则此复数z 的虚部为（ ） A ．12B ．−12C ．12iD ．−12i2．已知集合S ＝{x |x ＝k −12，k ∈Z }，T ＝{x |x ＝2k +12，k ∈Z }，则S ∩T ＝（ ）A ．SB ．TC ．ZD ．R3．随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ≤1.5）＝m ，P （2≤X ≤2.5）＝1﹣3m ，则P （X ≤2.5）＝（ ） A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.854．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ∠ASB ＝（ ）A ．√22B ．√32 C ．13D ．2√235．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A ．108种B ．90种C ．72种D ．36种6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点，若∠AMB 为锐角，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．（1，√3）B ．（1，2）C ．（√3，+∞）D ．（2，+∞）7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，A =π3，且BE 为边AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD →•BE →的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣68．已知a ＝ln 3，b ＝log 2e ，c =6(2−ln2)e，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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康杰中学河东校区2006-2007年高三第一学期期末数学试题一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60 分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}512,,1,1M x x x R P x x Z x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则MP 等于（ ）A.{}03,x x x Z <≤∈B.{}03,x x x Z ≤≤∈C. {}10,x x x Z -≤≤∈D.{}10,x x x Z -≤<∈2．某地区第一天下雨的概率是0.7，第二天下雨的概率是0.3，那么这两天该地区可能下雨的概率是（ ）Ａ．1 Ｂ．79.0 Ｃ．58.0 Ｄ．21.03. 若曲线4y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直,则此切线方程为（ ） A. 430x y --= Ｂ.450x y +-= Ｃ.430x y -+= Ｄ. 430x y ++=4.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量(,0)6a π=-平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应的函数解析式是（ ） Ａ．sin()6y x π=+ Ｂ．sin()6y x π=-Ｃ．sin(2)3y x π=+ Ｄ．sin(2)3y x π=-5. 若互不相等的实数,,a b c 成等差数列, b a c ,,成等比数列,且310,a b c a ++==则（ ）A ．4 Ｂ．2 Ｃ．-2 Ｄ．-46.已知函数()为常数）m m x x x f (16223-++=在[-2，2]上有最大值2，则此函数在 [-2，2]上最小值为 （ ）A ．-38 Ｂ．-30 Ｃ．-6 Ｄ．-12 7. 若双曲线x 2-y 2=1的右支上一点P(m,n)到直线y=x 的距离为2, 则m+n 的值为( )A –1/2B 1/2C ±1/2D ±28．函数)0(>+=a xa x y 在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是（ ） A ．10≤<a B ．4≥a C ．410><<a a 或 D ．410≥≤<a a 或9．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当]5,3[∈x 时，|4|2)(--=x x f ，则)6(sin ),2(cos ),1(sin πf f f 的大小关系是（ ）A.)2(cos )1(sin )6(sin f f f <<π B.)2(cos )6(sin )1(sin f f f <<πC.)6(sin )1(sin )2(cos πf f f << D ．)6(sin )2(cos )1(sin πf f f <<10．对a,b ∈R ，记max{a,b}=⎩⎨⎧<≥ba b ba a ,,，函数)|}(2||,1max{|)(R x x x x f ∈-+=的最小值是（ ）A ．0B ．21C ．23 D ．311.已知椭圆的离心率为e ，两焦点分别为F 1、F 2,抛物线C 以F 1为顶点、F 2为焦点，点P 为抛物线和椭圆的一个交点，若e ｜PF 2｜=｜PF 1｜,则e 的值为( ) A.21 B.22 C.23 D.以上均不对12．设函数()f x x x bx c =++给出下列四个命题：①0c =时，()y f x =是奇函数②0,0b c =>时，方程()0f x = 只有一个实根 ③()y f x =的图象关于(0,)c 对称④方程()0f x =至多两个实根．其中正确的命题是( )A ．①、④B ．①、③C ．①、②、③D ．①、②、④二、填空题（每小题4分，共16分）13、圆（x+1）2+（y+2）2=R 2，（R>0）上到直线x+y+1=0的距离为1的点恰有两个，则R 的取值范围是 。
14、已知：y=f(x)与y=g(x)互为反函数，α是方程f(x)+x=10的一个根，β是方程g(x)+x=10的一个根，若f(x)=2x ,则α+β的值等于 。
15．设函数1,()0,1,f x ⎧⎪=⎨⎪-⎩0x x x >=<,若2()(1)(1)g x x f x =--，()y g x =的反函数1()y g x -=，则1(1)(4)g g --⋅-的值为 ．16．已知+∈N b a ,，抛物线1)(2++=bx ax x f 与x 轴有两个不同交点，且两交点到原点的距离均小于1，则b a +的最小值为 ．三. 解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）(理科) 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos B C ba c=-+2。
（I ）求角B 的大小；（II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积。
（文科）已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，A=2B ，cos B =63。
（1）求sinC 的值；（2）若角A 的内角平分线AD 的长为2，求b 的值。
18. （本小题满分12分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c 且满足f(-1)=0对于任意实数x都有f(x)-x≥0且当x∈(0,2),时有f(x)≤(x+1)2/41).求f(1)的值2).证明:a>0,c>03),当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx 是单调的.求m的范围19. （本小题满分12分）对某种赌博游戏调查后，发现其规则如下：摊主在口袋中装入8枚黑和8枚白的围棋子，参加者从中随意一次摸出5枚，摸一次交手续费1元，而中彩情况如下：现在我们试计算如下问题：（1）求一次获得20元彩金的概率；（结果用最简分数表示）（2）分别求一次获2元和纪念奖的概率；（结果用最简分数表示）（理科）（3）如果有1000次摸奖，摊主赔钱还是挣钱？是多少元？（精确到元）20．（本小题满分12分）（ 理科）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.（文科）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明.111112312<-++-+-+nn a a a a a a21.(本小题满分12分)（ 理科）已知函数0)1(,ln 2)(=--=f x xb ax x f ．（1）若函数f （x ）在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； （2） 若函数f （x ）的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知a 1 = 4，求证：a n ≥ 2n + 2；（3）在（2）的条件下，试比较n a a a a ++++++++11111111321 与52的大小，并说明你的理由．（文科）已知d cx x ax x f +++=23)(是定义在R 上的函数,其图象与x 轴上的一个交点为（2，0），若)(x f 在[－1，0]和[4，5]上是减函数，在[0，2]上是增函数. （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求d 的取值范围；（Ⅲ）在函数)(x f 的图象上是否存在一点M （00,y x ），使得曲线)(x f y =在点M 处的切线的斜率为3？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.22. （本小题满分14分）（ 理科） 已知A 、B 为椭圆x a y b a b 222210+=>>()和双曲线x a y b22221-=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且有()()+=+λ（，）λλ∈>R ||1，设AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为k k k k 1234，，，。
（1）求证：k k k k k k k k 123412340=-+++=且；（2）设F F '22、分别为双曲线和椭圆的一个焦点（均为两曲线的右焦点），若PF QF '//22，求k k k k 12223242+++的值。
(文科） 直线y ＝x ＋1与双曲线C x y bb ：222210-=>()恒有公共点。
（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（II ）若直线l ：y ＝x ＋m （m R ∈）过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于P 、Q 两点，并且满足FP FQ →=→15，求双曲线C 的方程。
康杰中学河东校区2006-2007年高三第一学期期末数学试题答案1----12 。
.BBACD A B DBC DC13,(2-1, 2+1) 14, 10。
15,4 。
16, 10。
17. （I ）(理科)解法一： 由正弦定理a Ab B cCR sin sin sin ===2得 a R A b R B c R C ===222s i ns i n s i n ，， 将上式代入已知cos cos cos cos sin sin sin B C b a c B C BA C=-+=-+22得 即20sin cos sin cos cos sin A B C B C B ++= 20s i n c o s s i n ()A B B C ++=∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20 ∵sin cos A B ≠，∴，012=- ∵B 为三角形的内角，∴B =23π 解法二：由余弦定理得：cos cos B a c b ac C a b c ab =+-=+-22222222， 将上式代入cos cos B C b a c a c b ac ab a b c ba c =-++-+-=-+2222222222得× 整理得a c b ac 222+-=-∴cos B a c b ac ac ac =+-=-=-2222212∵B 为三角形内角，∴B =23π（II ）将b a c B =+==13423，，π代入余弦定理b a c ac B 2222=+-cos 得 b a c ac ac B 2222=+--()cos ， ∴131621123=--=ac ac ()，∴∴S ac B ABC △==12343sin （文科） 解：（1） 026333<<=∴=B B B π，，cos sin ∴===s i n s i n s i n c o s A B B B 22223·，cos cos cos A B B ==-=221132∴=+=+=s i n s i n ()s i n c o s c o s s i n C A B A B A B ··539（）在中，，22∆ACD A B ADC A =∴∠= 由正弦定理得b ADC ADCsin sin ∠=即∴=⇒=b b 223253946518. 解：（1）f(1)=1（2）略（3） 0,1≤≥m m 或19. 解：（1）一次摸奖中20元彩金的概率P C C 2085165178==，可见可能性很小（2）一次中2元彩金的概率 P C C C 28481165539==；而中纪念奖概率纪P C C C ==83821651439（3）摊主赔钱还是挣钱由其支付完奖金余额决定，1000次收手续费1000元预计支付元奖需元；支付元奖需元；20178100020253910002202m m =⨯⨯=⨯⨯支付纪念奖需m 纪元=⨯⨯1439100005. 则余额 m m m m =---=1000308202纪元 答：摊主应挣钱308元。