微积分(第四章)常微分方程复习
常微分方程基本知识
一个不亲自检查桥梁每一个部分的坚固性就不过桥的旅行者，是不可能走远的；甚至在数学中，有些事情亦须冒险。
-----Horace Lamb------题记概述：数学家谋求用微积分解决越来越多的问题，他们很快发现不得不对付一类新的问题，他们做的比他们有意识去探求的还多。
比较简单的问题引导到可以用初等函数计算的积分，而某些比较困难的问题则引起不能如此表达的积分，如椭圆积分就是实例。
这两类问题属于微积分范围，然而没解决更为复杂的问题，就需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应时兴起了。
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
下面就对常微分方程加以介绍常微分方程基本的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
一个常微分方程(ODE)是未知函数的微分方程(亦称因变量)是一个唯一独立变量的作用。
以简单形式，未知函数是一个真正或复杂明度函数，但更加一般，它也许传染媒介被重视或矩阵被重视：这对应于考虑常微分方程系统为一个唯一作用。
常微分方程根据因变量的最高的衍生物的命令进一步被分类关于出现于等式的独立变量。
最重要的论点为应用是优先处理和第二级次的微分方程。
在古典文学也被区分在微分方程之间明确地解决关于最高的衍生物和微分方程以含蓄形式。
常微分方程的内容定义1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下：F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解.一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。
考研数学备考如何做好常微分方程的复习
考研数学备考如何做好常微分方程的复习一、常微分方程复习的重要性考研数学中，常微分方程作为数学分析的重要内容之一，是考生必须掌握的知识点。
在备考阶段，合理安排并有效地进行常微分方程的复习，对于提高数学成绩和应对考试具有重要意义。
二、制定复习计划1.了解考纲和大纲：在复习之前，先仔细研读考纲和大纲，明确常微分方程在考试中所占的比重和重点内容。
2.合理安排时间：根据考研数学的复习进度和常微分方程的重要性，制定详细的复习计划。
根据自身时间安排，合理分配每天的复习时间，确保每个知识点都能充分复习。
三、掌握基本知识1. 基本概念与术语：复习常微分方程的基础知识，包括方程的阶、线性与非线性方程、初值问题与边值问题等。
2. 解的存在唯一性理论：复习解的存在唯一性定理的相关概念和证明过程。
3. 常见常微分方程类型：复习常见常微分方程的解法，包括一阶线性常微分方程、一阶齐次线性常微分方程、二阶常系数线性常微分方程等。
四、掌握解题技巧1. 转化与标准化：对于复杂的常微分方程，可以尝试进行变量替换或标准化处理，将其转化为易于求解的形式。
2. 配对与消去：对于一些特殊形式的常微分方程，可以采用配对方法或消去法，将方程简化，再进行解题。
3. 常微分方程与其他数学知识的结合：常微分方程与微积分、线性代数等数学知识有密切联系。
在解题过程中，可以运用相关的数学知识，简化计算或加快解题速度。
五、刷题与总结1. 做题是检验并巩固知识的有效方法。
在复习过程中，刷题是必不可少的环节。
通过大量的真题和模拟题的练习，提高解题的技巧和速度。
2. 多做错题与难题的总结与分析。
将解题过程中遇到的错误和难点进行总结，查找错误原因，将解题思路和方法进行梳理。
六、注重实际应用常微分方程作为数学在实际问题中的应用之一，了解常微分方程在物理、工程等领域的具体应用。
在复习过程中，可以结合实际问题，应用所学知识，提高解决实际问题的能力。
七、定期复习与自我评估1. 复习要持续、定期进行，每隔一段时间复习前面已经学过的内容，巩固知识。
常微分方程学习指导
微 积 分 下 册第四章 常微分方程一、学习要求与内容提要（一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法。
难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法。
（二）内容提要10.⒈ 微分方程的基本概念微分方程的定义，微分方程的阶、解与通解，初始条件与特解。
10.2 一阶微分方程变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。
10.3高阶微分方程二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程，几类特殊的高阶微分方程的降阶法。
二、主要解题方法1．一阶微分方程的解法例1 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 x x y y y d 11d 12-=- 两边积分，得 =-⎰y y y d 12⎰-x x d 11求积分得 121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=- 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C记 0e 12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可 以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）.代入初始条件 20==x y 得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .例2 求下列微分方程的通解：（1）x y y y +='； （2） x xy y x cos e 22=-'. （1）解一 原方程可化为1d d +=xy x yx y 令 x y u =，则 1d d +=+u u x u x u 即x x u u u d d 12-=+ 两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2 积分得 C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 y x C y e = （C 为任意常数）解二 原方程可化为 11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x 得其通解为 y C x =.设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C y y C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x =，即y xC y e = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程 02d d =-xy xy 分离变量得xy x y 2d d =， x x yy d 2d = 两边积分，得 x x y y ⎰⎰=d 2d ，2ln ln y x C =+)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='即 x x C cos )(='两边积分，得 C x x x x C +==⎰sin d cos )(故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）.解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y x x x x x =)d e cos e (e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）. 小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式C x x Q y x x P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(）求通解. 因此求曲线)(x y y =的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-'=1111x y y x y ，的特解. 由公式 C x x Q y x x P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(，得 )d e )1((ed 1d 1C x y x x x x +⎰-⎰=-⎰=ln x x Cx -+ 代入11==x y 得 1=C ，故所求曲线方程为 (1ln )y x x =-.三、学法建议1．本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性 微分方程的常数变易法.2．本章中所讲的一些微分方程，它们的求解方法和步骤都已规范化，要掌握这些求解法，读者首先要善于正确地识别方程的类型，所以必须熟悉本课程中讲了哪些标准型，每种标准型有什么特征，以便“对号入座”，还应熟记每一标准型的解法，即“对症下药”.同时，建议读者再做足够的习题加以巩固.。
常微分方程(
常微分方程(1前言微积分是现代数学不可或缺的一个分支。
其中，常微分方程是数学研究中的一个重要领域，它涉及到数学、物理、力学、经济和生物等多个学科，因此具有重要的理论和应用价值。
本文将介绍常微分方程的基本概念、求解方法以及在各个学科中的应用，以期能够为读者提供帮助。
2常微分方程的基本概念常微分方程，简称ODE，是指只涉及一个自变量的一阶或高阶微分方程。
其中，一阶ODE的一般形式为：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中，$y=y(x)$是未知函数，$f(x,y)$是已知函数，称为方程的“右端”。
求解这个方程就是要找到一个具有所给右端的解函数。
对于高阶ODE，它的一般形式为：$$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$$其中，$y=y(x)$是未知函数，$F$是已知函数，$y'=\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数，$y''$表示$y'$对$x$的导数，$y^{(n)}$表示$y^{(n-1)}$对$x$的导数。
求解这个方程就是要找到一个具有所给$F$的解函数$y=y(x)$。
3常微分方程的求解方法对于一阶ODE，我们可以使用分离变量法、齐次方程法、一阶线性ODE法等方式求解。
其中，最常见的是分离变量法，它的步骤如下：（1）将方程变形为$g(y)dy=f(x)dx$的形式，其中$g(y)$和$f(x)$是已知函数；（2）对两边同时积分，得到$\int g(y)dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是积分常数；（3）解出$y$的表达式$y=h(x,C)$。
对于高阶ODE，我们可以使用常数变易法、齐次方程法、非齐次线性ODE法等方式求解。
其中，最常见的是常数变易法，它的步骤如下：（1）将$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$变形为$y^{(n)} =p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+...+p_n(x)y+q(x)$的形式，其中$p_i(x)$和$q(x)$是已知函数；（2）猜测一个通解$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+...+C_ny_n(x)$，其中$y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$是$n$个线性无关的特解；（3）将上式代入$y^{(n)}=p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+...+p_n(x)y+q(x)$以求出$y_i(x)$。
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学中，常微分方程是研究微积分的一个重要分支，常微分方程解法是数学中常见的问题之一。
通过对常微分方程解法的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的微分方程。
在本文中，我们将探讨一些常见的常微分方程解法方法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。
常微分方程的定义在开始讨论常微分方程的解法之前，我们首先来了解一下常微分方程的定义。
常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程，其中未知函数是一个变量，其导数是这个变量的函数。
通常常微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y′,y″,...,y(n))=0其中，y是未知函数，y′是y的一阶导数，y″是y的二阶导数，n是常微分方程的阶数。
常微分方程的解法方法常微分方程的解法方法包括但不限于以下几种常见方法：1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(x)g(y)时，就可以使用分离变量法。
2. 含参微分法含参微分法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，就可以使用含参微分法。
3. 齐次方程法齐次方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(y/x)时，就可以使用齐次方程法。
4. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，可以使用一阶线性微分方程法。
5. 求解高阶微分方程除了以上几种方法外，还有很多其他方法可以用来求解高阶常微分方程，例如特征方程法、常数变易法等。
结语通过本文的介绍，相信读者对常微分方程的解法有了更深入的了解。
常微分方程解法作为数学中一个重要的研究领域，有着广泛的应用。
希望读者通过学习本文，可以更好地掌握常微分方程的解法方法，提升自己在数学领域的能力。
如果读者对常微分方程解法还有其他疑问或想要了解更多相关知识，可以继续深入学习或咨询数学相关的专业人士。
常微分方程主要内容
常微分方程主要内容
摘要：
1.常微分方程的概述
2.常微分方程的主要内容
3.常微分方程的应用
4.学习常微分方程的方法和技巧
正文：
一、常微分方程的概述
常微分方程是微分方程的一个分支，主要研究变量随时间变化的规律。
它在数学、物理、化学、生物学等领域有着广泛的应用，是解决许多实际问题的关键工具。
二、常微分方程的主要内容
1.基本概念：常微分方程涉及的基本概念包括导数、微分、积分等，这些概念是理解常微分方程的基础。
2.基本定理：常微分方程的基本定理包括解的存在唯一性定理、解的延展定理等，这些定理是研究常微分方程的关键。
3.解法：常微分方程的解法包括初等基分法、线性微分方程组解法、n 阶线性微分方程解法等，这些解法是求解常微分方程的具体方法。
4.特殊类型：常微分方程中的特殊类型包括线性微分方程、非线性微分方程、隐式微分方程、显式微分方程等，这些特殊类型需要特殊的处理方法。
三、常微分方程的应用
常微分方程在实际应用中具有广泛的应用，包括数值计算、微分方程建模等。
例如，在物理学中，常微分方程可以用来描述物体的运动规律；在生物学中，常微分方程可以用来描述生物种群的演化规律等。
四、学习常微分方程的方法和技巧
学习常微分方程需要掌握一定的数学基础，包括微积分、线性代数等。
此外，学习常微分方程还需要掌握一些基本的数学分析方法，如极限、连续、导数、微分等。
在解决常微分方程问题时，需要灵活运用这些方法和技巧，以求得问题的解决。
总之，常微分方程是数学中的一个重要分支，它在实际应用中具有广泛的应用。
常微分方程讲义和作业
第四章 常微分方程与数学模型微积分最主要的应用可能就是微分方程了，在物理学、力学、工程技术、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用。
一、什么是微分方程例1：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，例如()dyu x dx=，其中()y f x =为未知函数，()u x 为已知函数。
满足上述方程的函数()y f x =称为微分方程的解。
求下列微分方程满足所给条件的解： （1）2(2)dyx dx=-，20x y ==； （2）2232d x dt t =，11t dx dt ==，11t x ==。
二、分离变量法※例2：求微分方程y xy '=的通解。
解： 变形为：dy xy dx =， 分离变量：1dy xdx y=（此时漏掉解0y =）， 两边同时积分：1dy xdx y =⎰⎰， 得：211ln 2y x C =+， 22111122x C x C y ee e+==，从而22111222x x C y e eC e =±=，其中12CC e =±，为任意非零常数，但0y =亦是方程的解，统一起来，方程的通解为：212x y Ce=，C 为任意常数。
上述求解过程比较繁琐，由于经常出现，为方便计，从分离变量后开始将求解过程简写为：两边同时积分：1dy xdx y =⎰⎰， 得：21ln ln 2y x C =+， 从而 2211ln 22xx C y e e Ce==这个过程严格说是有问题的，但比较简洁，又能得到正确的结果，所以常被采用。
例3：(1)牛顿冷却定律指出：如果物体和周围环境之间的温度相差不是很大的话，物体冷却速度与温差成正比（同样可用于加热的情况）。
命()T t 表示在时刻t 物体的温度，c T 表示周围环境的温度（假定是常数），建立微分方程并求解，得出()T t 的变化规律。
(2)清晨，警察局接到报案，街头发现一具死尸，6:30时测量体温为18℃，7:30时再测一次为16℃，室外温度为10℃（假定不变），人正常体温为37℃，请估计被害人何时死亡？（死亡时刻记为0t ，则0()37T t =，时刻6:30计算时看成6.5）例4：人口预测记时刻t 的人口为()P t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()P t 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将()P t 视为连续、可微函数．记初始时刻(0)t =的人口为0P ，假设人口增长的速度（即增长率）与t 时刻的人口数量()P t 成正比，利用下表中数据为20世纪世界人口建模，增长率是多少，建立的模型与数据相符合吗？解：设比例系数为μ（即增长率），则()P t 满足的微分方程为：0,(0)dPP P P dtμ==. 解出 0()tP t Pe μ= ， 表明人口将按指数规律随时间无限增长(0μ>)．上式称为人口指数增长模型，也称为马尔萨斯人口模型．以1900年为初始时刻，0(0)=1650P P =，得()1650tP t e μ=， 以1910年数据估计μ，即10(10)16501750P e μ==，解11750l n .0584101650μ=≈，即增长率约为0.6%，增长模型为0.005884()1650t P t e =若以1950年为初始时刻，为20世纪后50年建模，则0=2560P ，得()2560tP t e μ=，以1960年数据估计μ，即10(10)25603040P e μ==，解13040l n 0.017185102560μ=≈，即增长率约为1.7%，增长模型为0.017185()2560t P t e =但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小．看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设．2．人口阻滞增长模型（Logistic 模型）分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大．所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的．阻滞作用体现在对人口增长率μ的影响上，使得μ随着人口数量P 的增加而下降。
微积分中的微分方程和常微分方程
微积分中的微分方程和常微分方程微积分是数学的一个分支，是数学中最基础的一门课程。
它的主要内容是微积分，微积分中有很多重要的概念和方法，其中最重要的概念之一就是微分方程和常微分方程。
一、微分方程微分方程是微积分中重要的概念之一，它是描述自然现象中变化的规律的数学语言。
它包括基本形式和常见的特殊形式，如：$$\frac{dy}{dx}=f(x)$$其中 $y$ 为一个函数，$f(x)$ 为一些已知函数。
这个方程的意义是求出函数 $y$，使得 $y$ 对 $x$ 取导数后等于 $f(x)$。
还有另外一种形式的微分方程，称为二阶线性微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数（称为非齐次项）等于另一个已知的函数（称为齐次项）。
二、常微分方程常微分方程又称为ODE（Ordinary Differential Equation），是微积分的一个分支，其主要研究关于未知函数 $y$ 的微分方程。
常微分方程通常分为两大类：一类是一阶线性常微分方程，如：$$y'+p(x)y=q(x)$$其中 $p(x),q(x)$ 为已知函数，$y$ 是未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
还有另外一类常微分方程，称为二阶线性常微分方程，如：$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
三、微分方程在实际问题中的应用微分方程在实际问题中的应用非常广泛，大部分自然科学的问题都可以归结为微分方程。
微积分内容总结
《微积分》考试大纲第一章：函数与Mathematica入门1.1 集合掌握集合运算，理解邻域的概念。
1.2 函数理解函数的概念,掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。
理解复合函数和反函数的概念。
熟悉基本初等函数的性质及其图形。
1.3 经济学中常用的函数掌握常用的经济函数,会建立简单的经济问题的函数关系式。
第二章：极限与连续2.1 极限了解数列极限及函数极限的概念和性质，掌握极限的四则运算法则,会用变量代换求简单复合函数的极限，了解极限存在的两个准则(夹逼准则和单调有界准则)，连续性掌握两个重要极限,并会用它们求相关的极限。
2.2 函数的连续性理解函数的连续性的概念，了解函数间断点的概念，会判断函数的连续性及间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和有界性理、零点定理和介值定理)。
2.3 无穷小的比较了解无穷大量和无穷小量的有关概念及性质，了解无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第三章：导数与微分3.1 导数的概念理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
3.2 求导法则和基本初等函数导数公式掌握基本初等函数的求导公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，了解反函数的求导法则，会求隐函数的导数。
了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶,二阶导数的求法,了解几个常见的函数( )的n阶导数的一般表达式。
3.3 微分的概念理解微分的概念,理解函数的可微性,可导性及连续性的关系,了解微分四则运算法和一阶微分的形式不变性。
第四章：中值定理及导数应用4.1 中值定理了解罗尔(Rolle)中值定理,拉格朗日(Lagrange) 中值定理及柯西(Cauchy)中值定理。
4.2 导数的应用会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限，理解函数的极值的概念,掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
4.3 泰勒公式了解泰勒(Taylor)定理及用多项式逼近函数的思想。
常微分方程总复习
常微分方程复习总结初等积分法一、主要概念常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数（或微分）构成的等式。
方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。
微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。
通解：n 阶方程，其解中含有n 个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。
由隐式表出的通解称为通积分。
特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。
初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。
变量可分离方程： 形如 )()(d d y g x f xy=或 y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211= 的方程称为变量可分离方程。
齐次微分方程：形如)(d d xyx y ϕ=的方程，称为齐次微分方程。
线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。
一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是 )()(d d x f y x p x y =+ 如果0)(≡x f ,即0)(d d =+y x p xy称为一阶线性齐次方程。
如果)(x f 不恒为零，则称)()(d d x f y x p x y=+为一阶线性非齐次方程。
伯努利（Bernoulli ）方程：形如 n y x f y x p xy)()(d d =+ (1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程。
全微分方程：如果微分形式的一阶方程0d ),(d ),(=+y y x N x y x M (1.1)的左端恰好是一个二元函数),(y x U 的全微分，即y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d += (1.2)则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程，而函数),(y x U 称为微分式(1.2)的原函数。
积分因子：假如存在这样的连续可微函数0),(≠y x μ，使方程0d ),(),(d ),(),(=+y y x N y x x y x M y x μμ成为全微分方程，我们就把),(y x μ称为方程(1.1)的一个积分因子。
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将初始条件 y() = 1 代入，得 C = ， 所以，
所求的特解，即初值问题的解为
1 y ( sin x ). x
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第七章 微 分 方 程
二阶常系数线性微分方程
第四节
一、二阶线性微分方程解的结构
二、二阶常系数线性微分方程的解法 三、应用举例
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y = C1 y1 + C2 y2
是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
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定义
设函数 y1(x) 和 y2(x) 是定义在某区间 I 上
的两个函数， 使 如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2，
k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0
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且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程 20 y P ( x ) y Q( x ) 的通解
在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为 P ( x ) dx y e ,
1
于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：
C Q ( x )e P ( x )dx dx . 上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定 函数 C(x)， 再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法， 称为常数变易法. ye
x 2
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于是，有
1 2 C ( x ) e dx e 2 C , 2
x x
因此，原方程的通解为
y C ( x )e Ce e x .
解法二 运用通解公式求解．
1 1 x y y e , 2 2
x 2
x 2
将所给的方程改写成下列形式：
则
1 1 x P ( x ) , Q( x ) e , 2 2
有 将 y，y 及 y 代入原方程的左边， (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程， 所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
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2y 的通解 为 y = Cx2 (C 为 4 例 2 验证方程 y x
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2y 阶微分方程 y 的通解. x
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一般地，微分方程的每一个解都是一个一元
函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称 它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的
一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分 曲线族中的一条确定的曲线. 这 就 是 微 分 方 程 的 通解与特解的几何意义.
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一、二阶线性微分方程解的结构
二阶微分方程的如下形式 y + p(x)y + q(x)y = f (x)
称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次 微分方程， 简称二阶线性非齐次方程. 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，简称二阶线性 齐次方程. 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量 的已知连续函数. 这类方程的特点是：右边是已知 函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y， 且每项均为 例如 y + xy + y = x2 就是二 y 或 y 或 y 的一次项， 阶线性非齐次方程. 而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二 阶线性方程.
C1
C2 另外，y = 0 也是方程的解，所以 y 10 x 中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数．
这样，方程的通解是
C y . x
求解过程可简化为： 分离变量得
dy dx , y x
两边积分得
即通解为
1 C ln y ln ln C , ln y ln , x x C y , 其中 C 为任意常数. x
由通解公式即可得到方程的通解为
y Cecos x .
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例 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始 17 条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
dy 1 2 x y 0, 2 dx x 1 2x , 这是一个线性齐次方程， 且 P ( x ) 2 x 1 2 1 2 P ( x )dx 2 dx ln x , 则 x x x
x
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例
求解初值问题． xy y cos x , y() 1. 解 使用常数变易法求解． 将所给的方程改写成下列形式：
1 1 y y cos x , x x
则与其对应的线性齐次方程 1 y y 0 x 的通解为
C y . x
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第七章
微 分 方 程
第一节：常微分方程的基 本概念 第二节：一阶微分方程 第三节：二阶微分方程
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第一节
微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
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例 1验证函数 y = 3e – x – xe – x 是方程 y + 2y + y = 0
的解. 解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得 y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
ln y P ( x )dx ln C ,
所以，方程的通解公式为
y Ce
P ( x )dxFra bibliotek.2013-6-17
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例 解
求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 所给方程是一阶线性齐次方程，且
P(x) = sin x， 则
P ( x )dx sin xdx cos x ,
y P ( x ) y Q( x ).
则有
C ( x ) y1 C ( x ) y1 P( x)C ( x ) y1 Q( x),
即
C ( x ) y1 C ( x )( y1 P( x ) y1 ) Q( x ),
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故 因19 1 是对应的线性齐次方程的解， y1 P( x ) y1 0, y 因此有 C ( x ) y1 Q( x ),
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设所给线性非齐次方程的通解为
1 y C ( x) . x
将 y 及 y代入该方程，得
1 1 C ( x ) cos x , x x
于是，有
C ( x ) cos xdx sin x C .
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因此，原方程的通解为
1 C 1 y (sin x C ) sin x . x x x
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分
方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
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1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
y P ( x ) y 0
是可分离变量方程. 分离变量，得 dy P ( x )dx , y 两边积分，得
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第七章 微 分 方 程
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量方程
二、一阶线性微分方程
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一、可分离变量方程
例如：形如
y = f (x) g (y)
的微分方程，称为可分离变量方程.
(1) 分离变量
将方程整理为
1 dy f ( x )dx g( y )
的形式，使方程各边都只含有一个变量.
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y y 的通解. 例 求方程 9 x 解 分离变量，得 dy 1 dx , y x 1 ln | y | ln C1 , 两边积分，得 x 1 C1 | y | e , 化简得 x
y e C1 1 , x
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1 令 C 2 e , 则 y C 2 , C 2 0. x
y P ( x ) y Q( x )
①
称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中 它的特点 P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数. 是：右边是已知函数， 左边的每项中仅含 y 或 y， 且均为 y 或 y 的一次项.
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若 Q (x)
0，则方程成为
y P ( x ) y 0,
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得 Q( x ) C ( x) dx C , y1 代入 y = C (x)y1 中，得 Q( x ) y Cy1 y1 dx . y1 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程
y P ( x ) y Q( x ),
任意常数)，并求满足初始条件 y|x
解 由 y = Cx2 得 y = 2Cx,
= 1
= 2 的特解.
将 y 及 y 代入原方程的左、右两边， 左边有 y= 2Cx，
2y 而右边 2Cx , 所以函数 y = Cx 2 满足原方程. x
又因为该函数含有一个任意常数，所以 y = Cx2 是一 得 将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解， C = 2，故所 求特解为 y = 2x2 .
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定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的 两个解， 则函数
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y = C1 y1 + C2 y2