高职高等数学 第四章 不定积分第四节 分部积分法
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
高等数学第4章
• 式(4-10)称为分部积分公式。这个公式把积分∫udv转化成了积分∫vdu， 如图4-5所示，当积分∫udv不易计算，而积分∫vdu比较容易计算时， 就可以使用这个公式。
• 例4-46 求∫xsinxdx。 • 解 设u=x，dv=sinxdx=d(-cosx)，则 • ∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx-∫(-cosx)dx • =-xcosx+∫cosxdx • =-xcosx+sinx+C • 当运算比较熟练以后，可以不写出u和dv，而直接应用分部积分
•
=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx
• 4.1.4 基本积分运算
• 因为求不定积分的运算是求导数的逆运算，所以，导数公式表中的 每个公式反转过来就得到表4-1的不定积分公式。
表4-1 基本积分公式
1。∫0dx=C
2。∫1dx43;C
6。∫sinxdx=-cosx+C
• 换元积分法包括:第一类换元积分法(凑微分法)和第二类换元积分法。
• 4.2.1 第一类换元积分法(凑微分法) • 定理 如果∫f(x)dx=F(x)+C，则
• ∫f(u)du=F(u)+C • 其中u=φ(x)是x的任一个可微函数。 • 上述定理表明:可以将基本积分公式中的积分变量换成任一可微函数，
(把u还原为φ(x))
• 由于积分过程中有凑微分(φ'(x)dx=d(φ(x)))的步骤，因此第一类换元积 分法又称为凑微分法。
• 用第一类换元积分法求不定积分的过程是:凑微分、换元、积分、回 代。
• 4.2.2 第二类换元积分法
• 第一类换元积分法是通过变量代换u=φ(x)，将积分∫f(φ(x))φ'(x)dx化 为∫f(u)du。计算中常常遇到与第一类换元积分法相反的情形，即 ∫f(x)dx不易求出，但适当选择变量代换x=φ(t)后，得 ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt，而新的被积函数f(φ(t))φ'(t)的原函数容易求出。 设
不定积分的分部积分法
不定积分的分部积分法不定积分是高等数学中一个重要的概念，它可以用来求解各种形式的积分问题。
在求解不定积分的过程中，有一种常见的方法被称为“分部积分法”。
本文将从以下几个方面介绍不定积分的分部积分法：基本概念和原理、具体步骤、应用案例和进一步拓展。
一、基本概念和原理分部积分法的思想来源于乘法公式：$$(uv)'=u'v+uv'$$将乘法公式中的导数符号替换成积分符号，可得到分部积分公式：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$其中，$u$和$v$都是函数，$du$和$dv$分别是$u$和$v$的导数。
二、具体步骤以下为分部积分法的具体求解步骤：1. 将被积函数拆分成两个函数的乘积形式：$f(x) = u(x)v(x)$。
2. 选择其中一个函数作为$u$，另一个函数的导数作为$dv$。
常见的选择方式有按照函数的复杂程度或者按照它们的导数是否容易求解。
3. 对$u$求导数，得到$du$。
4. 对$v$求导数，得到$dv$。
5. 将$u$和$v$的导数代入分部积分公式中，即得到：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$6. 将上式中的各项代入，得到原式的新的积分式子，即：$$\int f(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$$7. 对于分部积分法所得的新式子，如果它的形式更为简单，那么就可以再次运用分部积分法进行求解。
三、应用案例以下为使用分部积分法解决典型积分问题的案例：1. 求解$\int x\ln x dx$解法：设$u=\ln x,dv=xdx$，则$du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$，代入分部积分公式可得：$$\int x\ln x \,dx=x\frac{x^2}{2}\,-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} \,dx=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$2. 求解$\int e^x\cos x dx$解法：设$u=e^x,dv=\cos xdx$，则$du=e^x,dv=\sin x$，代入分部积分公式可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-\int e^x\sin x \,dx$$再次应用分部积分法，可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\cos x \,dx$$两边移项，得到：$$\int e^x\cos x \,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$$四、进一步拓展分部积分法是求解不定积分的常见方法之一，在实践中可以根据具体问题灵活运用。
不定积分分部积分法
解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
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分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章 不定积分
分部积分法
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x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2， 令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.
分部积分法
第四节、分部积分法
前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题， 但有些积分，如∫xex dx,∫xcos xdx 等，利用换元积分法就无法求
解.本节要介绍另一种基本积分法——分部积分法. 设函数u=ux,v=vx具有连续导数,则两个函数乘积的微分公式为
duv=udv+vdu, 移项，得
第四节、分部积分法
由此可见，如果u和dv选取不当，就求不出 结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u和dv 是关键.通常选择顺序是：对反幂三指（对数函 数、反三角函数、幂函数、三角函数和指数函 数），两者之间排在前面的设为u.
第四节、分部积分法
【例2】
求∫xsin x dx. 解 由于幂函数在“前”,三角函数在“后”,故设 u=x,dv=sin xdx，所以 ∫xsin xdx =∫xd－cos x =－xcos x+∫cos x dx=－xcos x+sin x+C.
【例6】
例6说明，有的不定积分不能直接求出，但可以通过两 次分部积分得一个关于不定积分的方程，从而解得不定积分.
第四节、分部积分法
【例7】
到目前为止，前面介绍了求不定积分的三种最基本的方 法，记住方法本身固然重要，但更重要的是能够灵活地运用 它们求解不同类型的题目.同时，还应当注意到某些不定积分 的求解需要将几种方法结合起来应用，才能有效地解决问题.
第四节、分部积分法
【例8】
第四节】
求∫x2ln xdx. 解 幂函数在“后”,对数函数在“前”，故设u=ln x,dv=x2dx，所以 ∫x2ln xdx =∫ln xd13x3 =13x3ln x－13∫x3dln x =13x3ln x－13∫x2dx 分部积分法运用熟练后，选取u,dv的步骤不必写出.
不定积分分部积分法教学小记
不定积分分部积分法教学小记分部积分法是求解不定积分的一种常用方法，它利用乘积函数的求导和积分性质，通过适当的分解和选择，将不定积分转化为一个更简单的形式，从而得到原函数。
本文将重点介绍分部积分法的原理和应用。
一、分部积分法的原理分部积分法是基于积分的乘法法则推导得出的，乘法法则表明两个函数的乘积的导数可以通过其中一个函数的导数和另一个函数的积分来表示。
其具体公式为：∫ u·v dx = u·∫ v dx - ∫ u'·∫ v dx dx其中 u 和 v 是可导的函数，u' 表示 u 的导数。
根据分部积分法的原理，我们可以通过选择适当的 u 和 v 来将一个不定积分转化为一个更简单的形式，从而求得原函数。
通常情况下，选择 u 和 v 时可以选取具有以下特点的函数：1. u 是一个可以求导的函数，且 u' 的求导形式比较简单；2. v 是一个可以求积分的函数，且∫ v dx 的积分形式比较简单；3. 通过分部积分后，得到的新的不定积分能够比原不定积分更容易求解。
具体的分部积分过程如下：1. 选择合适的 u 和 v。
2. 对 u 求导，得到 u'。
3. 对 v 求积分，得到∫ v dx。
4. 将求导后的 u' 和求积分后的∫ v dx 带入分部积分的公式中，得到新的不定积分。
5. 如果新的不定积分可以通过已知的积分公式求解，则直接计算得到解；否则，可以再次应用分部积分法，或者尝试其他的积分方法来求解。
三、实例分析下面通过一个具体的实例来说明分部积分法的应用。
例题：求解不定积分∫ x·sin(x) dx。
解：根据分部积分法的原理，我们可以选择 u = x 和 v = -cos(x)，然后计算出 u' = 1 和∫ v dx = ∫(-cos(x)) dx = sin(x)，带入分部积分公式得到：∫ x·sin(x) dx = x·(-cos(x)) - ∫ 1·sin(x) dx其中 C 为常数。
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
高等数学课件 分部积分法
tan x ⋅ lncos x + ∫ tan2 xdx 原式 = = tan x ⋅ lncos x + ∫ (sec2 x −1) dx
= tan x ⋅ lncos x +tan x − x + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例7 求 解 令 x= t , 则 x = t 2 , dx = 2t d t 原式 = 2∫ t e d t
− xsin x − cos x x2
说明: 说明 此题若先求出
− cos x + 2sin x + 2cos x d x ∫ x f ′(x) dx = ∫ 2 x x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例12 求 I = ∫
e
arctan x
2 32 (1+ x )
t
令 u = t , v′ = et
= 2( te − ∫ e dt )
t
t
= 2(t et − et ) + C
= 2e x ( x −1) + C
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第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例8 求 解 令 u = x2 + a2 , v′ =1, 则 x u′ = 2 2 , v = x
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第三节 分部积分法
例3 求 ∫ x arctan x dx. 解 令 u = arctanx, v′ = x 1 1 2 ′= 则 u , v= x 2 2 1+ x 1 2 1 x2 ∴ 原式 = x arctan x − ∫ dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 1 = x arctan x − ∫ (1− ) dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 = x arctan x − (x − arctan x) + C 2 2
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
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沈阳工程学院第四节分部积分法（Integral by Parts ）
教学目的：掌握不定积分的分部积分法。
教学内容：分部积分法
教学重点：不定积分的分部积分法。
教学难点:分部积分法中u 与dv 的选取。
教具：多媒体课件
教学方法：精讲多练
教学过程：
1.引入新课：
换元法可以解决一些不定积分，但仍有一些不定积分用换元法也难以求解，本节将介绍分部积分法
2.教学内容：
问题：⎰=?
dx xe x 解决思路：利用两个函数乘积的求导法则.定理设函数)(x u u =，)(x v v =，简写为,u v ，由微分公式得
dv u du v v u d +=)(移项得du v v u d dv u -=)(，两边积分，则有
⎰⎰-=du
v v u dv u 这个公式称为不定积分的分部积分公式。
举例说明
例1求⎰xdx
x cos 解（一）令,cos x u =dv dx xdx ==221，⎰xdx x cos ⎰+=xdx x x x sin 2
cos 22
2显然，v u ',选择不当，积分更难进行.
沈阳工程学院（二）令,x u =dv
x d xdx ==sin cos ⎰xdx x cos ⎰=x xd sin ⎰-=xdx x x sin sin .
cos sin C x x x ++=例2求2x xe dx
-⎰解设221,2x x u x dv e dx d e --⎛⎫===- ⎪⎝⎭，于是21,,2x du dx v e -==-则2222211112224
x x x x x xe dx xe e dx xe e C -----=-+=--+⎰⎰总结：若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u ,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)。
例3求ln xdx
⎰解设ln ,u x dv dx
==ln ln ln x xdx x x dx x x x C
x =-=-+⎰⎰例4求.
arctan ⎰xdx x 解()
2arctan 21arctan x xd xdx x ⎰⎰=)(arctan 2arctan 222x d x x x ⎰-=dx x x x x 222112arctan 2+⋅-=⎰dx x
x x )111(21arctan 222+-⋅-=⎰.)arctan (21arctan 22C x x x x +--=总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u.
例5求2sin 3
x x dx ⎰解
222sin 3cos 3cos 6cos 3333x x x x x dx x d x x dx ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰cos 3
x x dx ⎰仍不能立即求出，需再次运用分部积分公式。
cos 3sin 3sin 3sin 3sin 9cos 333333x x x x x x x dx xd x dx x C ⎛⎫==-=++ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰所以22sin 3cos 18sin 54cos 3333x x x x x dx x x C =-+++⎰
阳
工
程
学
院例6求.
sin
⎰xdx
e x
解⎰
⎰=x
x xde
xdx
e sin
sin
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
-
-
=
-
-
=
-
=
-
=
-
=
xdx
e
x
e
x
e
x
d
e
x
e
x
e
xde
x
e
xdx
e
x
e
x
d
e
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
sin
cos
sin
)
cos
cos
(
sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin
因此得
⎰-
=)
cos
(sin
sin
2x
x
e
xdx
e x
x
即
C
x
x
e
xdx
e x
x+
-
=
⎰)
cos
(sin
2
1
sin
说明：(1)在例6中，连续两次应用分部积分公式，而且第一次取sin
u x
=，第二
次必须取cos
u x
=，即两次所取的()
u x一定要是同类函数；假若第二次取的()
u x
为x e，即()x
u x e
=，则计算结果将回到原题。
(2)分部积分公式中()x
v
x
u'
),
(的选择是以积分运算简便易求为原则的，即选择的()x
v'要容易找到一个原函数，且()()
v x u x dx
'
⎰要比()()
u x v x dx
'
⎰容易求积分。
总结：
()()()
x x
P x e dx P x d e
=
()()()()
sin cos cos sin
P x xdx P x xdx P x d x P x d x
-
或凑为或
()()()
ln arcsin
P x xdx P x x P x dx
或把凑成微分
cos sin cos,sin
ax ax ax
e bxdx e bxdx e dx bxdx bxdx
或把凑成微分或把凑成微分都可以
例7求⎰
解t=，则32
,3,
x t dx t dt
==于是有
沈阳工程学
院()()222223336366366t t t t t t t t t t t e dt t d e t e td e t e te e dt t e te e C
===-=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰
代回原变量，得
(
)2133322x x C
=-++⎰课堂练习：
求不定积分：()1x xe dx -⎰()22cos x xdx ⎰()3arcsin xdx ⎰小结：
合理选择v u ',，正确使用分部积分公式dx v u uv dx v u ⎰⎰'-='课后作业：
P88：(1)(3)(5)(7)。