大学高等数学经典课件2-4
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《大学高等数学经典》PPT课件
记作U
0
(a).
教 案
U 0 (a) {x | 0 x a }
注意：邻域总是开集。
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等 二、映射
数 学
1、概念
电 子
设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对
教 案
X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与
之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f ：X→Y .
高
等
数
学
电
子 教
(函 数与 极 限)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数
第一章 函数与极限
学
电 子
第一节 映射与函数
教 案
一、集合
1、概念 具有某种特定性质的事物的总体;
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
武
汉 科
元素a属于集合M, 记作 aM
技
学 院
元素a不属于集合M, 记作 aM
数
理
科
技
学 院
g[ f (x)] 1 (x2 1) 2 x2 1 x 2
数
理
系
高 等 三、函数 数 学 1、函数概念 电 子 定义1 设数集D R,则称映射 f : D→R为定义在D上的 教 案 函数，记作 y f (x), x D
其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自
数
理
系
高
等
数
2、区间
学
电
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个
子
教 案
实数叫做区间的端点.
a,b R, 且a b.
《高等数学》第2章导数与微分2-4隐函数
第四节 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数 相关变化率
• 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数 .
F(x, y) 0
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2 ,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在 t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy dx
(v0t sin (v0t cos
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
• 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数 .
F(x, y) 0
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2 ,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在 t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy dx
(v0t sin (v0t cos
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
2高数2-4
再如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 . x 0
1 lim 0, x x 1 函数 是当x 时的无穷小 . x
( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u0 ln(1 u) x
1 ln(1 u)
1 u
u 0
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
四、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 1 2 限 x sin x lim sin 1 0 lim 不存在. 不可比. x0 （ 型）x 0 x 2 x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
第四节 无穷小、无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小的比较 四、小结与思考
一、无穷小(Infinite Small)
1. 定义1: 若 时 , 函数 (或x ) 为 时的无穷小 . (或x ) 则称函数
例如 :
函数 函数 当 时为无穷小;
当
函数
时为无穷小;
当 时为无穷小.
即，当 x 0 时，x ~ ln(1 x ),
x ~ e x 1.
高等数学课件详细
导数的应用
第五章
函数的单调性和极值
导数与函数的单调性：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极 值点
极值的分类：极大值和极小值
极值的求解：通过求导数等于0的点，并判断该点两侧的导数符号，确定极值点
曲线的凹凸性和拐点
质。
定积分的应用： 定积分在物理、 工程、经济等 领域有着广泛 的应用，如计 算物体的质量、 体积、重心等。
定积分的计算 方法：常用的 定积分计算方 法有牛顿-莱布 尼茨公式、积 分表法、数值
积分法等。
定积分的运算和求法
定积分的定义： 对函数在某一区 间上的积分
定积分的性质： 线性性、可加性、 单调性等
导数：函数在某一点的切 线斜率
凹凸性：函数在某点附近 的增减性
拐点：函数在某点附近的 凹凸性发生变化的点
应用：判断函数的单调性、 极值、最值等
洛必达法则和不定积分
洛必达法则：用于求解极限， 包括0/0型和∞/∞型
不定积分：用于求解函数的原 函数，包括基本积分公式和换 元积分法
洛必达法则的应用：求解极限、 求导、求积分等
不定积分的应用：求解函数的 原函数、求导、求积分等
泰勒公式和等价无穷小量代换
等价无穷小量代换：将复杂 函数替换为简单函数，便于 计算和近似
泰勒公式的应用：求极限、 求导数、求积分等
泰勒公式：将函数展开为多 项式形式，便于计算和近似
等价无穷小量代换的应用： 求极限、求导数、求积分等
不定积分与定积分
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
极限的运算和求法
极限的定义：函数 在某点或某区间上 的极限值
高等数学-导数-2-4高阶导数
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x), y,
d2 y dx 2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
1
高阶导数
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
1 x
(n)
(1)n
n! x n1
4
高阶导数
例10 y sin4 x cos4 x, 求y(n) .
解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
6
高阶导数
二、莱布尼兹公式
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk )v(k ) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
高阶导数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度. 设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [s(t)]' 这就是二阶导数的物理意义
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
高等数学 第二章 极限和导数2-4无穷小与无穷大
x 2 − 5 x + 4 12 − 5 ⋅ 1 + 4 = lim =0 2 ⋅1 − 3 2x − 3 x→1
由无穷大与无穷小的关系
函数 反例： 反例： 但当 因为 但 从几何上也很容易得此结论 时, 不是无穷大 !
1 函数 是 当 x → ∞ 时 的无穷小 的无穷小; x
函数
1 是 当 x → − ∞ 时 的无穷小 的无穷小. 1− x
(4) 以零为极限的数列{ x n }， 称为当 n → ∞ 时 称为当 的无穷小 . 1 2 , n 都是 n n 3
→ ∞ 时的无穷小 .
注 1°除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! ° 以外任何很小的常数 很小的常数都 2°不能笼统地说某函数是无穷小， °不能笼统地说某函数是无穷小， 而应当说函数 而应当说函数 自变量趋向某个值时的无穷小 的无穷小. 是自变量趋向某个值时的无穷小 例如，说 “函数 x − 1 是无穷小”是不对的 ; 是无穷小” 例如， 函数 函数 x − 1 当 x → 1 时为无穷小 为无穷小. 而应当说 ，
∀ M > 0, ∃δ > 0, 使 得
当 0 < x − x0 < δ 时 ,
总有 f (x) > M .
总 有f (x) > M 或f (x) < − M
例2 证明 证 ∀ M > 0, 要使 只要
1 故取 δ = , M 则当 0 < x − 1 < δ 时， 有
1 > M x−1 1 即 lim = ∞. x→1 x − 1
若在定义中将 ①式改为 f ( x ) > M ( f ( x ) < − M ) , 则记作 lim
x → x0 ( x→ ∞ )
2-4 隐函数及由参数方程确定的函数的求导(高等数学)
§2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的求导教学内容：一．隐函数的导数1.隐函数概念：如果变量x 和y 满足一个方程0),(=y x F ，在一定条件下，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的唯一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数．2.隐函数的导数：把方程(,)0F x y =中的y 看作是x 的函数()y x ，利用复合函数求导法则，方程两端同时对x 求导，然后解出y '．二．对数求导法1.对数求导法：就是先在()y f x =的两边同取对数，然后借助隐函数求导法，方程两边同时对x 求导，再整理出y 的导数．2.幂指函数的导数：()()v x y u x =（()0,()1u x u x >≠），（1）如果()u u x =、()v v x =都可导，则可利用对数求导法求出幂指函数的导数．通过方程两边同取对数，将幂指函数转换成隐函数再求导．（2）利用公式()()v x y u x =()ln ()e v x u x ⋅=变形成复合函数后再求导．三．由参数方程确定的函数的导数1. (),()x t y t ϕψ==都是可导函数，()0,()t x t ϕϕ'≠ =且有反函数)(1x t -=ϕ，函数()y f x =由参数方程(),()(),x t t y t ϕαβψ=⎧ ≤≤⎨=⎩给出，其中t 为参数，则d d d d d d d d d d yy y t t x x t x t =⋅==()()t t ψϕ''.2.如果(),()x t y t ϕψ==都具有二阶导数，且()0'≠t ϕ，则有 22d d d d ()d '()d d d d d ()d '()d '⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭y y t t t x x x x t t t xψψϕϕ d '()1d d '()d t x t t tψϕ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()2()()()()1'()()t t t t t t ψϕψϕϕϕ''''''-=⋅'()3()()()()()t t t t t ψϕψϕϕ''''''-='.四．例题讲解例1.求由方程e x y xy+=所确定的隐函数()y y x =的导数．例2.求由方程2ln x y xy =+所确定的隐函数()y y x =，在0x =处的导数0x y ='．例3.求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数()y y x =的二阶导数y ''．例4.求函数=y例5.已知函数3()2x f x x =-(1)f '．例6.求x xy sin =（0x >）的导数．例7.设2ln(1),arctan ,x t y t t ⎧=+⎨=-⎩求d d y x ，22d d y x ．。
大学高等数学经典课件2-5-19页文档资料
武 汉 科
(2)d 7 (u) v vd uu dv (2)d 8 (u ) vd uu dv v v 2
技
学 院
同学们,如果能将此表从左到右,或从右到左地记熟它们,
数 理
对今后的演算积分是大有好处的.
系
高 等
Байду номын сангаас三. 微分形式的不变性
数
学
与复合函数求导法则相对应的微分运算法则为下面的
电 子
微分形式不变性质.
系
高
等 由于f’(x)和△ x 无关,且 x(x) 所以上式相当(1)式,
数 学
f(x)在点x0可微.且 f(x0)A
电
子
上面表示可微
可导
教
案 定理 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是f(x)在点x0
可导,且 d|y xx0f(x0)x
武 汉
今后我们把可导和可微不严格区分而混合使用.
科
技 学
高
等 定义 如果函数y=f(x)在点x0的增量能分成两部分的和,其
数 学
中一项为的线性函数A △ x(A与△ x无关),另一项是较△x
电 子
高阶的无穷小, 有 yA x o ( x)
( 1 )
教 案
则称函数y=f(x)在x0点可微,并称A △ x为函数y=f(x)
在点x0的微分 记作 dy|x=x0 或 df(x)|x=x0 即
教 设 y 是由 y=f(u)，u=g(x) 复合而成的x的函数，则由
案
yxyu ux
d y y x d y x u u x d y x u d u d y y u du
武 汉 科
对照 dy=yx’dx, 公式dy=yu’du 说明不论u是自变量还是中
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案
y
u
y y ( v lu n v u ) u v ( v lu n v u ) u v 1 ( u v lu n v u )
u
u
例如
武
汉 科
y x c x o u s x , v c x o y s u v 1 ( u v u v lu n )
技
学
院 数
y x co x 1 s (cx o x ssix ln n x )
武 汉 科 技
yy[1(1111)] 2x 1x3 x5 x7
学
院 数 理 系
1(x 1 )x ( 3 )(1111) 2(x 5 )x (7 )x 1x 3x 5x求 y ' ((x ) 0 ,(x ) 0 )
学
电 子
解:
ln y ln(x) (x)
数
学 解:将题设方程两边都对x求导,得到
电
子 教
yxd d y x ex eyd d y x0 d d y xe yy e x x
案
方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的
复合函数,
武 汉
例如 1/y, y2, lny, ex 等都是x的复合函数,对x求导应按
科 技
复合函数求导方法做.
武 汉
x 2 3 x 2 x 2 2 x x 2 x 3 x 2 6 x 2
科 技
2 可把右式展开后求导,也可用复合函数求导.后者方便.
学
院
数 理
y 3 ( 1 2 x ) 3 y 9 ( 1 2 x ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 2 8 x ) 2
系
高 等
学
院
数
理
系
高
等 例2 求由方程y=sin(x+y)所确定的隐函数的导数.
数
学 解: 对两边都对x求导,我们得到
电
子
y x cx o y )x s ( y ) ( cx o y ) 1 s ( y ) (
教 案
co x y s ) ( co x y s )y (
y cosx(y) 1cosx(y)
高 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数
等 数
导数相关变化率
学 电
一. 隐函数的导数
子
在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值
教 案
时,相应地 总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方
程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作
y=f(x).不过这里的f的具体表 示 式不一定能求得出来. 例
教 案
y ( x) (x)(x)[l n(x)](x)
y
2(x)
武
[(x )(x ) (x )(x )l n(x ) ]2(x 1 )(x )
汉
科
技 学 院 数
y (x ) (x ) [(x )(x )(x )(x )ln (x )] 1 2 (x )(x )
理
系
高
等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
武 如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey＝0都确定了y是x的隐函数,
汉
科 技
对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一
学 院
个方程就解不出 y=f(x). 这里为了满足计算 的需要,我
数
理 系
们用下面的例题说 明隐函数的求导方法
高
等 例1 求由方程 xy+ex-ey=0 所确定的隐函数的导数 dy/dx
数
学
1 ,y x ( x 1 ) ( x 2 ) ; 2 ,y 3 ( 1 2 x ) 3 ; 3 ,y 5 x 2 3 x x ;
电
x
子 教 案
4,ylnabx; abx
5,y1x; 1x
6,yx(1(1xx))32.
分析:1 可把右式展开后求导,也可利用乘积求导.后者方便.
y x ( x 1 ) x 2 ) ( y , ( x 1 ) x 2 ) ( x ( x 2 ) x ( x 1 )
对于隐含数还有一种求导数的方法 对 数 求 导 法
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ly n v lu n (l y n v lu n ) 1 y v lu n v u
教
1y123 1 5 x
案
y x1 x1 x x(1 x)1 (x)
yx (1 (1 x x ))3 2x(1 1 x)5 1 x (x)(1 (1 x )1 x ( )4 5 x)
同样的问题采用好的方法,不但计算方便而且正确.通过上
武
汉 科
述研究我们知道初等函数的导数仍然是初等函数.而隐函数,
理
系
高 等
例4
求
y
(x1)(x3) (x5)(x7)
的导数
数
学 解： (lnx)1,当x0时，结论成立。
电
x
子 教
当 x 0 时 ,(lx) n [l n x )]( 1( 1 ) 1 x x
案
y (x1)x (3) (x1)x (3)
(x5)x (7) (x5)x (7)
ly n 1 (l x n 1 lx n 3 lx n 5 lx n 7 ) 2
3 用商的求导公式,也可先化简后求导的方法,后者方便
数 学
y 5 x 2 3 xx 5 x 3 x 1 2 . y 5 1 x 2 3
电
x
2
子 教
4 可用复合函数求导或对数性质把函数变形后再求导.后者好
案
yln a b xln a (b) xln a (b)x
a bx
y b b 2ab abxabx(ab)xa (b)x
武 汉
5 (1)可用商的求导方法(2)用乘积求导方法(3)可化简后再求导;
科
技 学 院 数
y 1 1 x x 2 1 ( 1 x x ) 1 2 x 1 y ( 1 2 x )2
理
系
高 6 方法和5一样,用商和乘积的方法不如用对数的方法化 等 数 7 简后求导.
学 电 子
yx (1 x )2 ln y ln x 2 ln 1 ( x ) 3 ln 1 ( x ) (1 x )3
技
学 院
参数方程确定的函数不一定是初等函数,但可用上述求导方
数
理 系
法得到它的导数.
高 等
例7 设f(x) ＝ x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-100) 求 f ‘(0)分析: 本题