平面向量的概念及表示方法 江苏教育版
高中数学第2章平面向量2.1向量的概念及表示课件苏教版必修4
题型 向量的有关概念
[典例 1] 给出下列命题： ①若A→B＝D→C，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的 四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
A.A→D与C→B B.O→A与O→C C.A→C与D→B D.D→O与O→B
第2章 平面向量
1．向量的基本概念．
定义 既有大小又有方向的量称为向量
(1)几何表示：向量常用一条有向线段来
表示，有向线段的长度表示向量的大小， 表示 箭头所指的方向表示向量的方向，以 A 方法 为起点、B 为终点的向量记为A→B；
(2)字母表示：用小写字母 a，b，c 表示
一、对向量的理解
向量不同于数量，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重 性且不能比较大小．
100 2.
题型 4 相等向量的应用
[典例 4] 如图所示，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 边上的点，已知A→D＝D→B，D→F＝B→E，试推 断向量D→E与A→F是否为相等向量，说明你的理由．
[变式训练]
4.如图所示，四边形 ABCD，其中A→B＝D→C，则相等 的向量是( )
[变式训练] 一架飞机从 A 点向西北飞行 200 km 到 达 B 点，再从 B 点向东飞行 100 2 km 到达 C 点，再从 C 点向东偏南 30°飞行 50 2 km 到达 D 点．问 D 点在 A 点的什么方向？D 点距 A 点多远？
解：由|B→C|＝100 2，知 C 在 A 的正北方向，|A→C|＝
_新教材高中数学第9章平面向量1向量概念课件苏教版必修第二册
(2)三种特殊情况：
a与b的夹角θ 0 π
2
a与b的关系 a与b_同_向__ a与b_反_向__
a与b垂__直__，记作a_⊥__b_
8.相反向量
定义 规定
结论
与向量a长度相__等__，方向相__反__的向量，叫作a的相反向量，记 作－__a_ 零向量的相反向量仍是零向量 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝_a_ a＋(－a)＝(－a)＋a＝_0_
3．已知 D 为平行四边形 ABPC 两条对角线的交点，则||AP→ →DD|| 的值为(
)
A．12
B．31
C．1 D．2
【解析】选 C.因为四边形 ABPC 是平行四边形，D 为对角线 BC 与 AP 的交点， 所以 D 为 PA 的中点， 所以||AP→→DD|| 的值为 1.如图．
4．(多选)在下列结论中，正确的结论为( ) A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件 C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 【解析】选ACD.若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A对，B错，C对， D对．
2．如图，在圆 O 中，向量O→B ，O→C ，A→O 是( )
A．有相同起点的向量 C．模相等的向量
B．单位向量 D．相等的向量
【解析】选C.由图可知三向量方向不同，但长度相等．
3．如图，四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定不成立 的是( )
A.|A→B |＝|E→F | C．B→D 与F→H 共线
第9章 平 面 向 量
9.1 向 量 概 念
高三数学平面向量苏教知识精讲
高三数学平面向量苏教【本讲教育信息】一. 教学内容：平面向量二. 考试大纲：理解平面向量的有关概念、平面向量的线性运算、平面向量的坐标表示、掌握平面向量的数量积；理解平面向量的平行与垂直；了解平面向量的应用。
三. 教学重点、难点：重点：平面向量的数量积。
难点：向量共线定理。
四. 基本内容：1、向量的概念：（1）→⇒→⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎫⎧⎧⎨⎬⎨⎭⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩零向量大小模单位向量相等向量向量平行（共线）相反向量方向垂直夹角 （2）→→→⎧⎨⎩向量形式向量共线定理表示坐标形式平面向量基本定理基底（3）⇒⎧⎧⎫⎧⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩三角形法则共线几何形式平行四边形法则不共线运算运算律坐标形式数量积共线（平行） a ∥⇔b a b λ=()0b ≠或0b ＝垂直 若,a b 为非零向量，⇔⊥b a __________ 线段定 比分点若P 分12PP 所成的比为λ即12PP PP λ=则121OP OP OP λλ+=+中点 公式OABP=OP平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使4、两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的 ．当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作 ．5、两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量__________叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a ＝（x 1， y 1），b ＝（x 2， y 2），则a ·b ＝ ．6、向量的数量积的几何意义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影 （θ是向量a 与b 的夹角）．a ·b 的几何意义是，数量a ·b 等于7、向量数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角． （1）e ·a ＝a ·e ＝ （2）a ⊥b ⇔（3）当a 与b 同向时，a ·b ＝ ；当a 与b 反向时，a ·b ＝ ． （4）cos θ＝ ． （5）|a ·b |≤ 8、向量数量积的运算律： （1）a ·b ＝ ；（2）（λa ）·b ＝ ＝a ·（λb ） （3）（a ＋b ）·c ＝五. 基础训练：1、（福建理4文8）对于向量，,,,a b c 和实数，下列命题中假命题是 ①③④ ①若0a b ⋅=，则0a =或0b = ② 若0a λ=，则00a λ==或 ③ 若22a b =，则a b a b ==-或 ④ 若c b a c ⋅=⋅，则b c = 2、已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ，则x ＝ 63、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2，CD ＝CA λ+31，则＝23。
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.1 向量的概念及表示
问题导学
当堂检测
迁移与应用 在如图的方格纸中,按要求画出向量.
(1)|������������|=3,点 A 在点 O 正西方向; (2)|������������|=3 2,点 B 在点 O 北偏西 45° 方向.
问题导学
当堂检测
解:取每个方格的单位长为 1,依题意,结合向量的表示可知,相应各 题的向量如图所示.
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预习导引
预习交流 2
(1)相等向量一定是共线向量吗? 提示:是.由共线向量与相等向量的概念知,共线向量不一定是相等 向量,但相等向量一定是共线向量. (2)向量������������与向量������������ 是共线向量,则 A,B,C,D 四点必共线,正确吗? 提示:不正确.共线向量还可以指表示向量的有向线段所在的直线 平行,故 A,B,C,D 四点不一定共线.
活动与探究
如图所示,四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形. (1)用有向线段表示与向量������������相等的向量; (2)用有向线段表示与向量������������共线的向量; (3)若|������������|=3,求向量������������ 的模. 思路分析:本题可依据相等向量与共线向量的定义求解 .寻找相等 向量时要从大小和方向两个方面来考虑,寻找共线向量只考虑方向即 可,两向量方向相同或相反就是共线向量.
问题导学
当堂检测
向量的画法及表示方法 (1)向量的画法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向 量的长度确定向量的终点. (2)向量的表示方法:向量的表示方法有几何表示和字母表示.用几 何研究向量运算,为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示便于向 量的运算.
问题导学
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苏教版高中数学必修四向量的概念及表示教案(1)
§2.1 向量的概念及表示教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的2.模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分3.平行向量、相等向量和共线向量.4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：（1）向量概念的引入，会表示向量.（2）理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，教学难点：（1）“数”与“形”的结合思想（2）平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体，尺规Array教学过程：一、问题情景：（1）湖面上有三个景点O,A,B,（如图）一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移。
思考：位移和距离这两个量有什么不同？（位移既有大小又有方向，距离只有大小没有方向）（2）据报道：我国用来发射“神舟六号”宇宙飞船推力 约为2万牛,每个航 天员的质量 约为65kg ，火箭进入轨道后的速度 约为708km/s 。
上述力、质量、速度 这些在生产生活中常见 的量我们如何用数学模型来刻画呢？思考：上述的力、质量、速度三个量有什么区别？ 二、建构数学：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 （例：位移、力、速度、加速度等） 注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进 行代数运算、比较大小；（例： 距离、身高、时间、质量等）而向量有方向与大小双重性，不能比较大小。
2.向量的表示方法： ①几何表示法：有向线段．有向线段------具有确定方向的线段． 有向线段的三要素：起点、方向、长度 ②代数表示法：字母i)用有向线段的起点与终点字母来表示ii)用小写的字母来表示 3.两种特殊向量零向量：长度为 0 的向量。
高中数学苏教版必修二《平面向量》课件
4
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处3编.相辑等母向版文量本:长样度式相等且方向相同的向量.
• 第二级
• 第三级
向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两
• 向第四量级 a 与 b 相等,记为 a b . • 第五级
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
• 单击此（处c）编有辑母限版个文向本量样a式1，a2，...an相加, 可以从点O出发, • 第•二第逐级三一级 作向量OA1 a1 , A1 A2 a2 , ...An1 An an ,则向量 O•A第n四•为级第这五级些向量的和,即 a1+a2 +...+an =OA1 A1 A2 ... An1 An (向量加法的多边形法则) 当An和O重合时(即上述折线OA1 A2 ...An 成封闭折线时), 则和向量为零向量. 注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若 干个向量和的情势,是解决向量问题的关键.
21
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• 第二级
• 第三级
• 第四设级 两个非零向量 a 与 b 不共线， • (第1五)若级 A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)． 求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
22
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• 第五级
使b＝λa.
• 向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算．
12
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• 单击此四处．编辑运母算版律文本样式
• 第二级
• 第•••三aa第级、＋四• 级第bb、＝五级c为任意；向(量a＋，bλ)＋、cu＝、u1、u2为任意实；数
高中数学 2.1向量的概念及表示课件 苏教版必修4
栏 目 链 接
题型1 有关概念命题的判断
例1 下面给出五个命题：
(1)如果向量 a∥b，那么|a|·|b|≠0；
(2)如果|a|＝|b|，那么 a＝b；
栏 目
(3)如果|e|＝1，那么 e 叫做单位向量；
链 接
(4)如果 a＝b，那么 a，b 必是平行向量；
(5)如果 a∥b，且|a|＝|b|≠0，那么 a＝b.
第2章 平面向量
2．1 向量的概念及表示
栏 目 链 接
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．
栏
2．掌握平面向量的几何表示及模、零向量、单位向量、平行向 目
链
量、相等向量和共线向量等概念．
接
栏 目 链 接
1．我们把既有__大__小____又有__方__向____的量叫做向量．如：力、
位移、速度、加速度等．
向量，记作__－__a____，a 与－a 互为_相___反__向__量___，零向量的相反向
量仍是零向量．对于任一向量 a 有－(－a)＝____a____.
栏
目
8．向量与有向线段的区别是：向量是自__由__向__量__，只有__大___小___ 链
和__方__向____两个要素，与__起___点___无关，只要大小和方向相同，则 接
不等价于方向相
目 链
同，a 与 b 有方向相反的可能，故(5)错；|e|表示向量 e 的长度(或 接
大小)，依据单位向量定义，知(3)正确；相等向量一定是平行向量，
故(4)正确．
答案：(3)(4)
例2 下列命题正确的是 ( )
A．a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四
苏教版高中数学必修4教学案：第二章平面向量第1课时 向量的概念及表示
第1课时向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1.向量的定义：__________________________________________________________;2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________（4）平行向量：________________________________（5）共线向量：________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；b c，则a和c是方向相同的向量；（4）向量a和b是共线向量，//（5）相等向量一定是共线向量；例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中：（1）试找出与EF 共线的向量；（2）确定与EF 相等的向量；（3）OA 与BC 相等吗？例3.如图所示的为34⨯的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终点都在小方格的顶点处且与向量AB 相等的向量共有几个？与向量AB向量共有几个？与向量AB的方向相同且模为【课堂练习】1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量AB 和CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上；（2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB CD =；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =，则A 点构成的图形是__________3.四边形ABCD 中，1,||||2AB DC AD BC ==，则四边形ABCD 的形状是_________4.设0a ，则与a 方向相同的单位向量是______________5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。
苏教版高中数学必修四2.1 平面向量的概念及其表示课件
B
A
O
C F
D
E
有CB, FE, DO.
20
思考：在4×5排列方格中有一个向量A B ,以图中
的格点为起点和终点作向量，其中与A B相等的
向量有多少个？与A B 长度相等的共线向量有多少个？
B
相等的有 7个
A
2015-5-12
长度相等 的有15个
21
例3: 对于下列各种情况，各向量的终点的集合 分别是什么图形？ 1.把平行于直线L的所有单位向量的起点平移 到L上的点P 2.把所有单位向量的起点平行移动到同一点P； 3.把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上 的点P 解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点；
2015-5-12 12
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
与a长度相等，方向相反的向量叫a相反向量， 记为 a
a
a
（ a) a
比如作用力与反作用力
2015-5-12
13
如图、方向相同或相反的非零向量叫平行向 量（也叫共线向量）。
仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定
2015-5-12 11
3.向量的关系：
平行向量: 方向相同或相反的非零向量 . 表示为： a // b 零向量与任一向量平行.
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
表示为： a b
若
a b
, 与起点位置无关.
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
2015-5-12 5
二.向量的表示
1. 代数法:用字母表示
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.1.1 向量的概念及表示》
平面向量的坐标创新整合点1、平面向量得坐标表示由平面向量基本定理知任一向量可以用不共线的两个向量表示，借助白板课件可以将分解的图形展示的非常形象，在课件中用图像可以将分解的情况展示给学生。
本部分内容比较简单,直接运用向量在基底下的表示形式讲解即可，然后通过相关问题让学生感悟提高。
2、平面向量的坐标运算 先与学生共同推出运算法则，然后通过练习强化最后通过学生独立思考,让学生充分动手,动脑,动眼；再通过生生合作和师生合作达到掌握本节课的教学目的。
教学目标：知识与技能目标：正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系； 过程与方法目标：通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；情感态度与价值观目标：借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力． 教学过程：一、创设情景，揭示课题复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+．其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
特别地，当基底相互垂直时，称为正交分解。
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．设计意图：借助白板的投影功能和拉幕功能展现向量分解的几何意义。
二、学生活动提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？实际操作：如图，在直角坐标系内分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底分解向量a ：设计意图：利用白板的书写和平移图像的功能让学生彻底掌握分解向量的相关思维方法，完成学生自我探究，学生与学生交流合作的功能。
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向量的概念及表示
向量的概念
向量的表示法
向 量 的 模
零 向 量
单 位 向 量
平 行
共 线
相 反 向 量
相 等 向 量
向 量
几 何 表 示 法
字 母 表 示 法
(
)
作业:课本第59页习题2.1 1 , 2 , 3 , 4.
× （1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行．
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量 一定是什么向量？
平行向量（共线向量）
（6）两个非零向量相等的条件是什么？
模相等且方向相同
× （7）共线向量一定在同一直线上．
E D
F
o
C
A
B
例2 如图,设O是正六边形的中心,在图中标出 的向量中写出与向量 OA, OB, OC 相等的向量 变式
B A
1.与向量 OA 长度相等的 向量共有多少个? 2.与 OA 共线的向量 有哪些? C
o
F
3.是否存在与 OA 长度相等, D 方向相反的向量?
E
爱上海爱上海 0 坳罔牁
AB
2.1 向量的概念及表示
探索研究 ：
（1）什么叫平行向量？符号如何表示？
(2) 什么叫相等向量?如何表示？相等向量的起点 与终点之间有什么关系? (3) 共线向量是指向量在同一条直线上吗？与平行 向量有何关系？
下图为4*5的方格纸,小正方形的边长为1.
B
a
A
D
b c
C
2.1 向量的概念及表示
零向量：长度为零的向量,记作 0 单位向量：长度为１个单位长度的向量
平行向量：方向相同或相反的非零向量 规定： 0与任一向量平行
相等向量:长度相等且方向相同的向量 相反向量:长度相等且方向相反的向量 共线向量：任一组平行向量都可移到同一 条直线上,故平行向量又称共线 向量。
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
例1.如图所示, 在4 5方格纸中有一个向量 AB, 分别以图中的格点为起 点和终点作向 量, 其中与AB相等的向量有几个? 与 AB长 度相等的共线向量有多 少个 ?( AB除外)
B D
A
C
例2 如图,设O是正六边形的中心,在图中标 出的向量中 (1)试找出与FE共线的向量 ;
(2)确定与FE相等的向量 ; (3).OA与BC相等吗?
老鼠在B处以3m/s向正东逃窜， 狗由A处5m/s向西北追去.
A
B
结果：狗的速度再快也没用， 因为方向错了。
南辕北辙
பைடு நூலகம்
风向
授课人:王琦
2.1 向量的概念及表示
向量：
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法： 有向线段． ①几何表示法： ②代数表示法： 用 a, b, c 等小写字母表示; 或用表示有向线段的起点和终 点字母表示,如