5-3虚位移原理
工程力学 第23章虚位移原理习题解
习题 23-1 图
虚功式 即
− Mδθ − 2mgδy D + FδxB − Fk δxC = 0
l − Mδ θ − 2mg ( cosθ )δ θ + F (−l sin θ )δ θ − Fk (−l sin θ )δ θ = 0 2
A
δθ
δy E
D
3m 5m
F
ϕ
C
δrF δrG
ϕ
E
B
′ FN1 FN1
G
(a)
F1 δr D
F2
δr H δθ δrE δθ
ϕ ϕ
虚功式
′ δ rF sin ϕ = 0 − F1δ rD − FN 2δ rH − F2δ rE − FN2
A
5m
D
ϕ ϕ
H
FN2 ′ FN2
C
δrG
E
B
即
− F1 ⋅ 3δ θ − FN 2 ⋅ 4δθ − F2 ⋅ 2δθ − FN2 ⋅ 5δθ ⋅
y A = 5b cos
θ
2
+a
x
δϕ
b
M
C
b
5 θ δy A = − b sin δθ 2 2
θ
x B = 2b sin
θ
2
a
θ δxB = b cos δθ 2
A
mg
设丝杠的虚转角为 δ ϕ ，则
δϕ= 2π 2π b θ δ xB = cos δ θ h h 2
习题 23-2 图 (a)
y
虚功式 Mδ ϕ + mgδ y A = 0 以 δ y A ， δ ϕ 的表达式代入上式，得
第十四章虚位移原理.ppt
非定常约束：约束方程中显含时间
y
x
v
y
vt
x
x y cot vt
固执约束：双面约束
非固执约束：单面约束
A
x
l
刚性杆
y
B
x2 y2 l2
A
x
l
绳子
y
B
x2 y2 l2
2、虚位移
（1）定义 在给定瞬时，质点或质点系在约束所允许的情况下， 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。
纯滚动约束 δWN FR δrA FR 0 0
不可伸长柔索或轻质杆约束
A
δWN FNA δrA FNB δrB
FNA δrA FNA δrB 0
§14－2 虚位移原理
虚位移原理也称为虚功原理，指的是：
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用 于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
满足此式，不论刚体、变形体还是质点系必定平衡。它 是质点系平衡的最普遍方程。所以，也称为静力学普遍方程。
应用虚位移原理的优越性：
1．应用范围广。既适用不变质点系，也适用可变质点系（包 括变形体）。在静力学里，建立的平衡条件，对于刚体的平 衡是必要和充分的，但对于变形体来说，就不一定总是充分 的。但变形体只要满足虚位移原理就一定平衡。它适用于任 意质点系。
即 δW 0
或
Fi δri 0
或
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
原理推导
Fi FNi 0
Fi
Mi
FNi δri
FFi i δδririFFNiNi δrδi ri 0 0
对于理FFFFFi想ii iiF约δδδ iδδr束rriiirrF，δiiir有iF0Fd0NiirFidFNδirNrFiiFiδNNriδii0rδidr0iFri0Ni00d ri 0
武汉理工大学_理论力学_期末考试试题及答案
1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。
其中转矩M=，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。
试求固定端A 的约束力。
1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布：1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用力偶矩M=。
求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。
1-3图示构件由直角弯杆EBD 以及直杆AB 组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m ，F=50kN ，M=，各尺寸如图。
求固定端A 处及支座C 的约束力。
1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力.解：1-5、平面桁架受力如图所示。
ABC 为等边三角形，且AD=DB 。
求杆CD 的内力。
1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。
在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。
试计算杆1、2和3的内力。
解：2-1 图示空间力系由6根桁架构成。
在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45º角。
ΔEAK=ΔFBM。
等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。
若F=10kN，求各杆的内力。
2-2 杆系由铰链连接，位于正方形的边和对角线上，如图所示。
在节点D沿对角线LD方向F。
在节点C沿CH边铅直向下作用力F。
如铰链B，L和H是固定的，杆重不计，作用力D求各杆的内力。
2-3 重为1P ＝980 N ，半径为r =100mm 的滚子A 与重为2P ＝490 N 的板B 由通过定滑轮C 的柔绳相连。
已知板与斜面的静滑动摩擦因数s f =。
滚子A 与板B 间的滚阻系数为δ=，斜面倾角α=30º，柔绳与斜面平行，柔绳与滑轮自重不计，铰链C 为光滑的。
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第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1 复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。
遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。
一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1 虚力法求刚体体系的位移
图5-1-1
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2 虚力法求静定结构的位移
表5-1-3 广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4 两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5 荷载作用时静定结构的弹性位移计算
五、图乘法（见表5-1-6）
表5-1-6 图乘法
图5-1-2 六、温度改变时静定结构位移计算（见表5-1-7）。
理论力学第5章第2节虚功原理
设有n个质点的系统, 存在m个完整约束, 其约束方程
f i ( r 1 ,r 2 , ,r n , t ) 0( i 1 , , m ) 2,
f1 y
δy
f1 z
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
rirj 2lij20
因约r束i 力rj是.一由对约内束力方,程大可小知相,等虚方位向移相满反足,即Ri Rj
f , f , f x y z
). 由于约束面
是光滑的, 约束力沿曲面的法向, 即
R f(x ,x y,z),f(x ,yy,z),f(x ,zy,z)
因此虚功为
δ W R δ r f( x ,x y ,z )δ x f( x ,y y ,z )δ y f( x ,z y ,z )δ z 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表示方 用变分符号表示。
法
如 δ r(δ x,δ y,δ z)δ , 等
用微 分符号表示。
如d r(d x,d y,d z)d , 等
相互关 在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一
系
个.
2 虚功
作用在质点上的力在任意虚位移r中所作的功, 叫做 虚功.
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
第5章-操作臂动力学
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
则该操作臂的力雅可比矩阵为：
JT
l1s1 l2
l2 s12
s12
l1c1 l2c12
l2c12
根据 JT F ，得：
1 2
l1s1 l2s12
l2 s12
l1c1 l2c12 Fx
l2c12
Fy
（2） 已知关节驱动力矩 ，确定操作臂末端执行器对外界环境的作用力
F 或负荷的质量。这类问题是第一类问题的逆解。
此时有：
F
JT
1
【例5-1】
由图5-3所示的一个二自由度平面关节操作臂，已知末端点力为 F FX ,FY T
求相应于该末端点力的关节力矩（不考虑摩擦）。
解: 已知该操作臂的速度雅可比矩阵为
fi1,i fi,i1 mi g 0
ni1,i ni,i1 ri1,i ri,Ci fi1,i ri,Ci fi,i1 0
式中：ri1,i 为坐标系 i 的原点相对于坐标系i 1的位置矢量； ri,Ci 为质心相对于坐标系 i的位置矢量。
假设已知外界环境对操作臂末端执行器的作用力和力矩，那么可以由最后 一个连杆向零连杆（基座）依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。操作臂动力学问题有两类：
（1） 给出已知得轨迹点上的 q 、q及 q ，即机械臂关节位置、速度和加
或写为：
W T q FT X
根据虚位移原理，操作臂处于平衡状态的充分必要条件是对任意的符合几何
约束的虚位移，有
W 0
W Tq FT Jq
JT F
虚功原理与结构位移计算
c)
11
FP
d)
D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB
D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
位移计算
(c)
X = −bP / a
∆X = 1 = δ x
单位位移法(Unit-Displacement Method) 单位位移法
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 ）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 虚设的平衡力状态 调位移状态之间 之间。 调位移状态之间。
时引起C点的竖向位移 例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 点的竖向位移 ∆. A′ 1 c B A B C C ∆ A b C′ a Y
⑤几种常见图形的面积和形心的位置： 几种常见图形的面积和形心的位置： a b h l/2
顶点
19
h
(a+l)/3
(b+l)/3
l/2
l ω=hl/2
二次抛物线ω=2hl/3 二次抛物线
顶点
h
顶点
3l/4
l/4
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=hl/3 二次抛物线
二次抛物线ω=2hl/3 二次抛物线
h
点转角位移。 例：求梁B点转角位移。 求梁 点转角位移 P
m A ϕA ∆
T = mϕ A + mϕ B = m(ϕ A + ϕ B ) = m∆
这里∆是与广义力相应的广义位移。 这里 是与广义力相应的广义位移。 是与广义力相应的广义位移 表示AB两截面的相对转角。 表示 两截面的相对转角。 两截面的相对转角
ϕB
6
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。 单位广义力 A P=1
+ to
∇
4
绝对位移与相对位移
c c′
t1
t 2 > t1
以上都是绝对位移
第5章操作臂动力学
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。操作臂动力学问题有两类：
（1） 给出已知得轨迹点上的 q 、q及 q ，即机械臂关节位置、速度和加
速度，求相应得关节力矩向量 ，这对实现操作臂动态控制室相当有用得。
（2） 已知关节驱动力矩，求机械臂系统相应的各瞬时的运动，也就是说，
给出关节力矩向量 ，求操作臂末端执行器所产生的运动 q 、q 及 q 。这
有：
1 l1s1 l2s12 Fx l1c1 l2c12 Fy
2 l2 s12 Fx l2c12 Fy
如图（b）所示，在某瞬时 1 00，2 900 则在该瞬时与末端执行器上得 力相对应得关节力矩为
1 l2 Fx l1Fy
2 l2 Fx
5.2 操作动力学-拉格朗日方法
假设关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩 i 与操作臂末
端执行器力 F 的关系可用下式来描述：
JTF
式中：J T 为n6阶操作臂力雅可比矩阵或力雅可比。
证明如下（虚位移原理）：
考虑各个关节的虚位移为 qi ，末端执行器的虚位移为 X 。如图所示
有：
X
d
q q1 q2
qn T
式中： d dx dy dz T和 x y z T 分别对应于末端执行器的线虚
pT li
S
i
Vli
p*i pli dV 0
（3） 旋转的动能分量：
1 2
r ST T
Vli i
i
S
i
ridV
1 2
Ti
Vli ST ri S ri dV i
式中利用了 S i ri S ri i 这一性质，由于矩阵算子 S 为：
0
S
ri
8.5.4电磁力的虚位移法+-+教学案例5-虚位移法计算电磁力在电磁测量仪表中的应用
虚位移法计算电磁力在电磁测量仪表中的应用卢斌先1、案例说明结合工程电磁场中虚位移计算电磁力方法，讨论了常见直读式电工仪表结构、电磁力产生的原理和电磁力的计算方法。
本案例对于提醒同学在学习后续电气工程课程认真研究其原理，并将已经学过的基础理论知识完美应用到新课程学习中。
2、案例2.1 引言常用电工仪表种类很多。
电气机械式指示仪表是靠指针或光点指在标尺上直接读数，故有时也称为直读式仪表。
常见的直读式电工仪表有磁电系、电磁系、电动系和静电系等。
从结构上看，直读式指示仪表主要包括固定部分和可动部分。
固定部分主要是磁铁或线圈，可动部分主要是磁铁、线圈或软铁片。
在固定部分和可动部分之间的电磁力的作用下，使与可动部分相连的指针发生偏转的力矩称为作用力矩。
为了达到平衡，必须要有产生反作用力矩（控制力矩）的部分。
对于直读式电工仪表来说，产生反作用力矩主要是由游丝、张丝或吊丝等来完成由于电工测量仪表结构复杂，为了简化电磁力计算，主要采用电磁场理论中学习过虚位移法计算电磁力。
M =ﾶAﾶα（1）其中M 为作用力矩（广义力），α为指针偏转角（广义坐标），A 为测量机构总电磁能量。
根据胡克定律反作用力矩可表示为，Mα=Wα（2）其中Mα为反作用力矩，W 为弹性系数，α为指针的偏角。
当作用力矩与反作用力矩相等时测量机构达到平衡，就可读出被测量大小。
2.2 虚位移法在电磁测量仪表中的应用2.2.1磁电系仪表磁电系仪表测量机构结构图如图 1 所示。
当被测直流电流经过游丝流过线圈时，将在空间产生磁场，该磁场与永久磁铁的磁场相互作用产生相互作用的电磁力。
永久磁铁固定不动，图 1 磁电系仪表测量机构结构图（图中：1-永久磁铁；2-极掌；3-铁心；4-铝框；5-线圈；6-游丝；7-指针）而与指针、转轴构成整体的铝框和线圈是可动的。
测量机构总磁场能量包括线圈的自有磁场能量和线圈与永久磁铁间的互有能量，A =1LI 2 +Iψ2（3）其中A 是磁场能量，L 为线圈自感系数，I 为通过线圈的电流，ψ为永久磁铁产生的穿过线圈所围面积的磁链。
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出现任何约束反力。
虚位移原理给出了区别质系的真实平衡位置与约
束所容许的可能平衡位置的准则或判据 。
虚位移原理可求解质系的各类平衡问题：
系统在给定位置平衡时主动力之间的关系
求系统在已知主动力作用下的平衡位置 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力
解题步骤
1. 确定研究对象：整体 2. 约束分析：是否理想约束？ 3. 受力分析：
作用三个力 Pi ，求平衡时 Pi 与 Si (i 1,2,3) 的关系 (设液体为不可压缩的)。
P1
P2
S2
S3
S1
Байду номын сангаас
P3
无穷多个质点组成的非刚体的平衡
解
塞i 的虚位移为 δri ，方向如图。 液体不可压缩
δr3
S δr 0
i 1 i i
3
P1
P2
1 ( S1δr1 S 2δr2 ) S3
(P 1 P 2 )δr 2 W P 1 (tan tan ) δr 3y 0
P 1 P 2
W P 1 (tan tan )
P1
δr1
1
3
δr2
2
P2
W δr3
例4
在压缩机的手轮上作用一力矩 M。手轮轴的两端各 有螺距同为 h、但螺纹方向相反的螺母 A 和 B，这两 个螺母分别与长为 a 的杆相铰接，四杆形成菱形框， 如图所示。 此菱形框的点 D固定 不动，而点C连接在 压缩机的水平压板上。 求当菱形框的顶角等 于2 时，压缩机对被 压物体的压力。
例5
已知：a, P, M; 求：约束反力NB
a
a
M A
C
a
a
P B
解
(1) 解除B水平约束，求NBx
δrB 2aδ , δrD a δ
Mδ PδrD NBx δrB 0
M Pa NBx 2a δ 0
δ 0
NBx M P 2a 2
解
取整体为研究对象 根据几何关系有：
h δrA cos 2π δ
根据速度投影定理：
P
δrA δrC
δrA cos(90o ) δrC cos
δrC h tan δ π δA Mδ PδrC (M P h tan )δ
π
P πM cot h
P A l
O B
Q
x
例7
在墙边放置3个相同的圆管，各个接触处摩擦均忽略 不计。求在图示位置平衡时，主动力 F和圆管重量 P 之间的关系。
解(解析法)
xB 2(2r cos )
yA 2r sin
2 2 4 yA (4r )2 约束方程： xB
变分得： 2 xB δxB 8 yA δyA 0 4 yA δxB yA (2 tan ) yA xB 虚功原理：
C
M D P
思考题：能否把点B 的约束完全 解除，同时求该点所有约束力？
rCNBy rD
r B
B
A
例6
连杆AB长为l，杆重和滑道、铰链上的摩擦均忽略不 计。求在图示位置平衡时，主动力P和Q之间的关系。 y
P
A l
O Q
x
B
解(几何法)
理想约束系统 由速度投影定理： δrB cos δrA sin 虚功原理： δA PδrA QδrB 0 y
5.3 虚位移原理
虚功原理（也称虚位移原理）
设具有理想约束的质点系初始静止，各质点Pi所受 主动力为Fi，该质点系继续保持静止的充分必要条 件是：主动力系在质点系的任意虚位移上的虚功等 于零，即
F δr 0
i i i 1
N
上式也称为静力学普遍方程。
例1
设固定光滑斜面上放有一个重物，其重量为P，有一
例3
如图所示的尖劈放在水平木条上，尖劈重W，其两 边与竖直线各成 和 角。假设平衡时作用在水 平木条上的力为 P1和 P2 ，不计摩擦，求 P 1, P 2 ,W , , 之间的关系。
P1
3
1
2
P2
W
三个刚体的平衡
解
约束是理想的，可用虚功原理。 δr3 y tan δr2 δr3 x δr2 δr 1 tan tan δr 3y δr3 y tan δr3 x δr 1 虚功原理： P 1δr 1 P 2 δr 2 Wδr 3y 0
FδxB Pδy A 0 P F cot 2
由虚功原理导出刚体平衡方程
设力Fi作用在刚体上Pi点(i = 1, 2, …, N )，O点是刚体 上任选的基点，则Pi点的速度为
vi vO ω ri
自由刚体上任意点的虚位移(速度)可由基点虚位移 (速度)和刚体的虚转动位移(角速度)确定，即
个沿斜面向上的力 F 拉着重物。求重物平衡时 F = ?
F
P
一个刚体的平衡
解
虚位移 δr 沿着斜面向上或向下，不妨取向下为正。 拉力和重力所做的虚功为：
δA F δr P δr 0
( F P sin )δr 0
F P sin
F
δr
P
讨论
虚位移原理建立了主动力的平衡条件，方程中不
i 1
i 1
N
N
N
R δrO ( ri Fi ) δΘ
R δrO MO δΘ = 0
i 1
N
i 1
由 δrO , δΘ 的任意性可得刚体平衡的充分必要条件
(e) R(e) 0, MO 0
结论：刚体是质点系的特例，刚体平衡方程是虚功
原理的特例。
求主动力之间的关系或平衡位置：只画主动力 求约束反力：解除约束，约束反力作为主动力
4. 给出虚位移，找出它们之间的关系
几何法：根据约束的几何关系，直接找出各点虚位 移之间的关系 解析法：选取适当的坐标系，写出约束方程并进行 变分，即可求得各点的虚位移
5. 列出虚功方程，并求解
例2
液体容器有三个塞，其面积分别为 S1 , S 2 , S3 ，上面
C*
a
a
A M
C
a rD
rC
a
P B rB NBx
解
(2) 解除B竖直约束，求NBy
δrB 2aδ , δrD AD δ
Mδ PδrD cos NBy δrB 0 (M Pa NBy 2a)δ 0
δ 0
N By M P 2a 2
P δrB tan Q δrA
P
A
δrA
O
l
δrB
Q B
x
解(解析法)
2 2 2 约束方程： xB yA l
变分得： 2 xB δxB 2 yAδyA 0 xB δyA δxB cot δxB yA 虚功原理： y
QδxB Pδy A 0
P Q tan
δri δrO δ ri
δA Fi (δrO δΘ ri )
i 1 N
是虚转动位移
力系{F1, F2, …, FN}在这组虚位移上所作的虚功
δA Fi (δrO δΘ ri ) Fi δrO Fi (δΘ ri )
S2 δr2
S1
δr1
δr3 S3
虚功原理
P3 P3 ( S1δr1 S2δr2 ) 0 S3 P P P P P3 P2 P3 P 1 ( 1 3 ) S1δr1 ( 2 3 ) S2δr2 0 S1 S3 S 2 S3 S S1 S3 2 S3 P P2 P3 1 即液体压强处处相等! S1 S 2 S3 P 1δr 1P 2 δr2