线性系统理论 第一章
线性系统理论-1a
线性系统理论第一章概论读书即未成名究竟人品高雅修德不期获报自然梦稳心安切实功夫须从难处做去真正学问都自苦中得来本课程的目的：•学习线性系统的描述方法及运动特性；•研究线性系统能控性和能观性；•研究线性系统标准形；•分析系统的稳定性；•研究与设计线性系统的反馈控制器；•了解线性系统理论研究的前沿教学要求及目的•掌握线性系统的分析与控制系统设计方法。
•了解关于线性系统理论的当前科研前沿领域。
•灵活利用所学知识，完成控制系统分析与设计。
课程主要内容•线性系统的数学描述•线性系统运动分析•离散时间系统•线性系统稳定性分析•线性系统的能控性与能观测性•线性时变系统•极点配置•状态观测器与分离原理课程教材及主要参考书1）肖建，张友刚. 线性系统. 西南交通大学出版社，20112）郑大钟．线性系统理论（第2版）．清华大学出版社，20023）段广仁．线性系统理论．哈尔滨工业大学出版社，1996§1.1概论线性系统理论的研究对象系统是由相互关联和相互作用的若干部分按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。
动态系统（动力学系统），可用一组微分方程或差分方程描述。
线性系统：满足叠加原理的动态系统)()()(22112211u L c u L c u c u c L +=+⎩⎨⎧齐次性可加性•系统的研究方法——经验法——理论法：依据数学理论建模（对真实系统的抽象）建立数学描述分析设计•本课程的研究范围——对象：线性动态系统，数学模型已知——工具：数学•课程的主要任务•研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性与方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。
•系统分析——系统运动规律•综合问题——改变运动规律的可能性和方法历史回顾五十年代前，古典控制理论：频域法。
传递函数处理SISO系统。
五十年代中期，多变量控制理论兴起：原因：①计算机的出现②控制系统的要求，空间技术的发展状态空间方法五十年代末期，Kalman提出状态空间理论，用LQG技术设计，得出最优状态反馈定律。
线性系统理论第一章
第一章线性定常系统的状态空间描述及运动分析1.1 线性定常系统的传递函数描述传递函数描述局部的,有局限性的描述传递函数描述的是系统的输入--输出关系,即假定对系统结构的内部信息一无所知,只能得到系统的输入信息和输出信息,系统内部结构就像一个"黑箱"一样,因此,传递函数只能刻画系统的输入--输出特性,它被称为系统的输入--输出描述和外部描述.常用的数学工具:拉普拉斯变换主要适用于描述线性定常系统1.单变量情形回顾已知由下列常系数微分方程描述的定常系统其中 : 系统的输出 ; :系统的输入; : 时间; 均为常数 ,(希望input少,收益大)假定所有初始值(包括导数的值)全为0,对上式两边取拉普拉斯变换,得到其中为的拉普拉斯变换,则下式称为系统的传递函数 :传递函数为的真有理分式,则称系统为物理能实现的. 单输入--单输出系统的传递函数必为真有理分式.系统的特征多项式: 多项式系统的特征方程 : 代数方程系统的极点 : 特征方程的根或者说特征方程的零点系统的零点 : 多项式的零点传递函数的零点和极点 : 零极相消后剩下的系统的零点和极点 (若系统有相同的零点和极点,则称系统有零极点相消)2.传递函数矩阵考察多输入--多输出的线性定常系统.令输入变量组 : {} , 输出变量组 : {} 且假定系统的初始变量为 0 .用和分别表示和的拉普拉斯变换, 表示系统的由第个输入端到第个输出端的传递函数,其中则由系统的线性属性(即满足叠加原理) 可以导出:称由上式所定义的为系统的传递函数矩阵. 容易看出, 为的一个有理分式矩阵. 当的元传递函数除严格真还包含真有理分式时,即它的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时,称为真有理分式矩阵.通常,当且仅当为真的或严格真的时,它才是物理上可实现的.作为一个判别准则,当且仅当零阵时, 为严格真的;非零常阵传递函数矩阵为真的.1.2 线性定常系统的状态空间描述1. 状态和状态空间定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组.组成这个变量组的变量称为系统的状态变量,其中为初始时刻由初始变量构成的列向量称为系统的状态向量,简称为状态.状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间.几点解释:1. 状态向量组可完全的表征系统行为的属性.2. 状态变量组的最小性.3. 状态变量组在数学上的特征.4. 状态变量组包含了系统的物理特征.5. 状态变量组选取上的不唯一性定理1.1 系统任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异的关系2.动态系统的状态空间描述和输入--输出描述不同,状态空间描述中把系统动态过程的描述考虑为一个更加细致的过程,输入引起系统状态的变化,而状态和输入则决定了输出的变化."输入"引起"状态"的变化 ( 一个运动的过程)数学上必须采用微分方程或差分方程来表征并且称这个数学方程为系统的状态方程考虑最为一般的连续动态过程: (一个一阶非线性时变微分方程组)进而,在引入向量表示的基础上,还可将状态方程简洁的表示为向量方程的形式:其中"状态"和"输入"决定"输出"的变化 (一个变量见的转换过程)描述这种转换过程的数学表达式为变换方程,并且称之为系统的输出方程或量测方程.最一般的,一个连续的动力学系统的输出方程具有以下形式:表示为向量方程的形式为其中系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成.离散动态过程(离散系统)的状态空间的描述: 只在离散时刻取值,用来表示其状态空间过程描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系.通常,可采用两条可能的途径来组成系统的状态空间描述:一是分析途径,适用于结构和参数已知的系统;二是辨识的途径,适用于结构和参数难于搞清楚的系统.3.线性定常系统的状态空间描述限于考虑线性定常系统的连续动态过程,此时,向量函数将都具有线性的关系,且不显含时间 .从而线性定常系统的状态空间描述的表达式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量系统矩阵输入矩阵输出矩阵前馈矩阵以上统称为系统的系数矩阵,均为实常阵.线性定常系统也叫做线性时不变系统(linear time-invariant L TI),完全由系数矩阵决定.简记为.对于线性定常系统,我们分别称系统矩阵的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式为系统的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式,系统的特征值也称作系统的极点.若,则此系统为单输入线性定常系统;若,此系统为单输出线性定常系统;若,此系统为单输入--单输出系统,或单变量系统.考虑线性定常离散系统的状态空间描述,其一般形式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量阶实常系数矩阵简记为1.3 输入输出描述导出状态空间描述------------- 系统的实现问题(第五章详解)考虑单输入--单输出线性定常系统.表征此系统动态过程的输入-输出描述,时域为或等价的频域描述即传递函数其中和分别表示和的拉普拉斯变换对于由上式描述的系统,可以引进状态变量 ,将其写成状态空间描述形式,其中为维状态变量分别为的常矩阵由"上"写成"下",称为实现问题,实现不具有唯一性1. 当时,有如下结论:定理1.2 给定单输入--单输出线性定常系统的输入输出描述如"上",当时,其对应的一个状态空间描述为:2. 当时,已知"上"求其状态空间描述.先求极限然后令为严格真,直接按的形式写出即可.3. 当时, 此时输入输出关系为此时状态空间描述形式为:1.4 由状态空间描述导出的传递函数矩阵对于多输入--多输出线性定常系统,传递函数矩阵是表征系统输入输出特性的最基本的形式.1. 传递函数矩阵的表示的基本表达式定理1.3 对应于状态空间描述的传递函数矩阵为并且 ,当时, 为真的 , 时, 为严格真的,且有2.的实用关系式有给出的关系式在理论分析上很重要,但从计算的角度而言不方便,下面给出由计算的两个实用算式.定理1.4 给定状态空间描述的系数矩阵 , 求出则相应的传递函数矩阵可表示为注: 的根 : 系统的极点 ; 分子的根 : 系统的零点推论1.1 若的最小多项式为则系统的传递函数矩阵可表示为2. 脉冲响应矩阵和状态空间描述定理1.11 线性定常系统其中的实常阵的脉冲响应矩阵为将其写作更为常用的形式定理1.12 两个代数等价的线性定常系统具有相同的脉冲响应矩阵.定理1.13 两个代数等价的线性定常系统具有相同的输出零状态响应和输出零输入响应.3. 脉冲响应矩阵和传递函数矩阵定理1.14 分别表示线性定常系统的脉冲响应矩阵和传递函数矩阵,则有推论1.2 给定两个线性定常系统 ,设两者都具有相同的输入和输出维数,状态维数不一定相同,则两系统具有相同的脉冲响应矩阵(即相同的传递函数矩阵)的充要条件为1.8 线性定常离散系统的运动分析归结为对定常的线性差分方程进行求解.1. 线性定常离散系统的运动规律对于上述系统,其状态运动的表达式为或2. 脉冲传递函数矩阵取初始状态 , 则可得到系统的输入输出关系式为其中为线性定常离散系统的传递函数矩阵, 按习惯称为脉冲传递函数矩阵.G(z) 为 z 的有理分式矩阵,通常只讨论其为真的或严格真的情况,此时 G(z) 为物理可实现的. 1.9 线性定常系统的时间离散化1. 问题的提出把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题. (课本P22 或百度文库)2.线性定常系统按采样周期T的离散化线性定常系统引入三点基本假设,以保证系统离散化后的描述简单,且是可复原的1. 采样器的采样方式取为以常数 T 为周期的等间隔采样. 采样瞬时为2. 保持器为零阶的.3. 采样周期的值要满足香农(Shannon)采样定理所给出的条件香农定理:离散信号可以完满地复原为原来的连续信号的条件为采样频率满足.考虑到 , 故上式可化为定理1.15 上述系统的时间离散化模型为其中注 :定理1.15提供了线性定常连续系统时间离散化的算法, 离散化系统仍为定常系统.不管A是否奇异,离散化后系统矩阵G一定是非奇异的.。
线性系统理论第一章(1)
采取状态空间方法描述系统的特点是突出了系统内部动态结构。 由于引入了反映系统内 部动态信息的状态变量， 使得系统的输入输出关系就分成了两部分。 一部分是系统的控制输 入对状态的影响。这由状态方程来表征；另一部分是系统状态与系统输出的关系，这由量测 方程来表征。这种把输入、状态和输出之间的相互关系分别表现的方式，对我们了解系统内 部结构的特征提供了方便， 在这个基础上也就产生了控制理论中的许多新概念。 可控性和可 观测性就是说明系统内部结构特征的两个最基本的概念。 人们在用状态空间方法进行控制系统设计时，常常关心这样两个问题：第一，应该把系 统的控制输入加在什么地方， 这样加的控制输入是否能够有效的制约系统的全部状态变量？ 因为系统的状态变量完全刻划了系统的动力学行为， 所以控制输入对状态变量制约能力也就 反映了对系统动力学行为的制约能力。 而反映控制输入对状态变量制约能力的概念就是系统 的可控性。第二，设计系统时为了形成控制作用，往往需要系统内部结构的动态信息，这些 所需要的信息从那里得到呢？例如对输出反馈控制系统来说， 这些信息是要从系统的输出中 得到的， 而系统的输出是通过敏感元件或量测仪表量测得的， 那么为了设计系统需要量测那 些物理量呢？这些能量测得到的物理量是否包含有系统的内部结构的全部动态信息呢？由 于系统内部结构提供的动态信息都集中于系统的状态变量中， 因此就要知道输出中是否包括 有系统的状态变量所提供的信息。 而这种反映由系统输出来判断系统状态的能力的概念就是 可观测性。简而言之，可控性反映了控制输入对系统的制约能力，可观测性反映了输出对系 统状态的判断能力。 它们都是反映控制系统结构性质的基本概念， 它们在系统分析与设计中 起着关键性作用。 若考虑以下动态方程所描述的系统：
34
α ⋅ F(t ) = 0, "t Î [t1, t2 ]
线性系统理论(第一章)
x1(k +1) 0.9696 0.0202 x1(k) x (k +1) = 0.0404 0.9898 x (k) , k = 0,1,2,L 2 2 7 x1(0) 10 x (0) = 7 2 9×10
016
向量方程的形式：
Y = g (x,u,t)
, t ≥ t0
008
第一章
Ø线性系统的状态空间描述为：
& = A (t ) x + B (t )u x t ≥ t0 y = C (t ) x + D (t )u
其中：
a11 (t ) L a1n (t ) A(t ) = M M an1 (t ) L ann (t )
线性系统。
017
第一章
& = A(t ) x + B (t )u x t ≥ t0 y = C (t ) x + D (t )u
D(t ) + B(t ) +
+ +
u
∫
A(t )
C (t )
y
018
第一章
若向量函数中 f 为变量
( x,u,t)
和
g ( x, u , t ) 至少包含一个元
其中： ai 和 b j 为实常数，i = 0 ,1, L , n
j = 0 ,1, L , n − 1
003
第一章
假定初始条件为零，取拉氏变换。 复频率域描述，即传递函数。
bn −1 s + L + b1 s + b0 G (s) = n n −1 s + a n − 1 s + L + a1 s + a 0
线性系统理论绪论
第3章讨论线性系统的运动分析。主要介绍 连续系统状态空间表达式的求解; 状态转移矩阵的性质和计算。 第4章讨论线性系统的结构性问题。主要介绍 动态系统的两个基本结构性质 ̶ 状态能控性和能观性， 状态能控性/能观性在状态空间结构分解和线性 变换中的应用； 能控/能观规范形； 结构分解。
②控制性能指标是明确的，可以得到最佳设计（系 统化的设计方法）。
③需要知道描述控制系统全体的数学模型（缺一不 可）。 ④难以利用人们的经验，直观性差。
1970年代后期，状态空间法的应用，遇到了困难， 进入了反省时期。
1980年代，在计算机技术的支持下，多变量系 统的频域设计法出现了。 H.H. Rosenbrock ; A.G.J. Macfarlane 英国学派
能控性和能观测性：表征系统结构特性的概念 1960年代后期，1970年代： 几何理论：从几何方法角度来研究线性系统的 结构和特征
代数理论：以抽象代数为工具
多变量频域理论：推广经典频率法
8.线性系统理论的主要学派
①线性系统的状态空间法
状态方程和输出方程：输入变量、状态变量和 输出变量间关系的向量方程。 时间域方法 数学基础是线性代数
Matlab软件概述
Matlab程序设计语言是美国Mathworks公司20世纪80 年代中期推出的高性能数值计算软件。 经过20 余年的开发、扩充与不断完善，Matlab已 经发展成为功能强大、适合多学科应用的大型系 统软件,成为数值计算、控制系统仿真与设计、信 号处理等领域的最重要的软件。 Matlab已经成为线性代数、控制理论、数理统计、 数字信号处理、动态系统仿真等课程的基本仿真 计算与设计的工具，成为大学学习的必修内容。
控制系统Matlab计算及仿真的优秀性能
线性系统理论第一章(1)
或脉冲函数的概念，为此考虑图 1—2 所示的脉动 函数 dD (t - t1 ) ，即
t1+△
图 1—2 脉动函数 dD (t - t1 )
0 ì ï ï ï ï1 dD (t - t1 ) = ï í ï D ï ï 0 ï ï î
t < t1 t1 £ t < t1 + D t ³ t1 + D
0
的定理给出的判断可以不必知道系统过去的历史。 定理 1—1 由下式描述的系统
y(t ) =
ò-¥ G(t, t )u(t )d t
0 ,+¥)
+¥
在 t0 是松弛的，必要且只要 u[t
0 ,+¥)
º 0 隐含着 y[t
º 0。
¥
证明 必要性。若系统在 t 0 松弛，则对于 t ³ t 0 ，输出 y(t ) 为 ò
图 1—1 系统的输入—输出描述 我们先介绍一些符号。在图 1—1 中，有 p 个输入端， q 个输出端； u1 u2 u p 为 输入，或用 p ´ 1 列向量 u = [u1 u2 u p ]T 表示输入。 y1 y2 yq 表示输出，同样， 可 用 q ´ 1 列 向 量 y = [y1 y2 yq ]T 表 示 输 出 。 输 入 或 输 出 有 定 义 的 时 间 区 间 为
ti
图 1—3 用脉冲函数近似输入 因为系统是初始松弛的线性系统，故输出
y = Hu »
å [H dD (t - ti )]u(ti )D
i
(1—7)
当 D 趋于零时，(1—7)式成为
y =
ò-¥ [H d(t - t )]u(t )d t
H d(t - t ) = g(t, t )
线性系统理论(第1章)
第1章 线性系统的数学描述
江苏大学电气学院
假设系统有p个输入， 个输出 分别用u 个输出， 假设系统有 个输入，q个输出，分别用 1，u2，…，up 个输入 ， 和y1，y2，…，yq来表示。或记为向量的形式：[u]＝[u1 ， 来表示。或记为向量的形式：[u]＝ ， [y]＝ u2 … up]T，[y]＝[y1 [u]、[y]为系统的 y2 …yq]T，称[u]、[y]为系统的 y
第1章 线性系统的数学描述
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1.1 系统的输入与输出描述
系统的输入－输出描述揭示了系统的输入和输出之间 系统的输入－ 的某种数学关系。在建立系统输入 输出描述时 输出描述时， 的某种数学关系。在建立系统输入—输出描述时，可以假 设系统的内部特性是完全未知的，可将系统看作一个“ 设系统的内部特性是完全未知的，可将系统看作一个“黑 箱”，向该“黑箱”施加各种类型的输入并测量出与之相 向该“黑箱” 应的输出，从这些输入－ 应的输出，从这些输入－输出数据可以确定出系统的输入 和输出之间的数学关系。 和输出之间的数学关系。 系统输入—输出描述是系统的外在表现， 系统输入 输出描述是系统的外在表现，只接触系统 输出描述是系统的外在表现 的输入端和输出端，不去表示系统内部的结构及变量， 的输入端和输出端，不去表示系统内部的结构及变量，只 从输入－输出的因果关系中获悉系统的内在的本质特性， 从输入－输出的因果关系中获悉系统的内在的本质特性， 因此称系统的输入－输出描述为系统的外部描述。 因此称系统的输入－输出描述为系统的外部描述。
第1章 线性系统的数学描述
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2. 状态变量 状态变量是指构成系统状态的每一个变量， 状态变量是指构成系统状态的每一个变量，记为
{ x1 (t ), x2 (t ), L ,xn (t )}
线性系统理论第一章(习题)
若 li 是 A 的特征值，试证 [1 li li 2 li n -1 ]T 是属于 li 的特征向量。 1—2 若 li 是 A 的一个特征值，试证 f (li ) 是矩阵函数 f (A) 的一个特征值。 1—3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式
é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 1 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 1 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û
y =
t
ò0 g(t - t )u(t )d t
若脉冲响应 g 由图 1—12(a)给定。试问，由图 1—12(b)所示的输入而激励的输出为何？ g(t) 1 1 (a) 图 1—12 脉冲响应和输入作用 1—12 试求图 1—13 所示系统的动态方程式(略)
29
u(t) 1 2 t 1 2 (b) t
n >m
试证，给定初始状态 x(m ) = x0 下，时刻 n 的状态为 x(n )=F(n, m )x(0) 。若 A 与 n 无关，则
F(n, m ) 为何？
1—27 证明 x(n + 1) = A(n )x(n ) + B(n )u(n ) 的解为
n -1
x(n ) = F(n, m )x(m ) +
1 ù ú s+3ú 5s + 1 úú s + 2 úû
的实现，并画出其模拟图。 1—25 设{ A , B , C , D }和{ A , B , C , D }是两个线性时不变系统，其维数不一定相同。证明当 且仅当
线性系统理论1数学基础
P
v
2
vn
v
n
我们称 P 为基 e1, e2 , , en 和基 e1, e2 ,,en之间的坐标
变换。容易验证，坐标变换也是 V上的线性变换。
1.2 矩阵代数中的几个结果
1.2.1 矩阵必秩的条件
定义1.2.1 矩阵 列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数； 行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。 矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。
和Q(s)满足 : P(s)sI A BQ(s) 0 I
第二步 : 将幺模阵Q(s)做如下分块 :
Q(s)
Q11 ( s) Q21 ( s)
Q12 (s)
Q22
(
s)
其中, Q11(s) Rnr [s], Q21(s) Rrr [s].
第三步 : 取
,
,
en
e1
e2
en P, P Rnn
而对任意 v Rn，有
v1
v1
v
e1
e2
en
v2
e1
e2
en
v2
由此可知
vn
vn
v1
v 2
v1
A(s)等价C(s) 。
1.4有理分式矩阵及其互质分解
1.4.1 互质多项式矩阵
1.4.2 有理分式矩阵的互质分解
1.4.3 矩阵(sI A)1 B的右既约分解
线性系统理论第1章
9
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2.状态向量：
由一组状态变量作为其分量的列向量称为状态向量，所包含状态 变量的个数即为状态向量的维数。
上例中设 x1 i, x2 uc 。把 x1(t)、x2 (t) 看作是向量 x(t) 的分量，即
• 1950年代后期开始，Bellman、Kalman等人提出了状态 变量法。在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性 是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。
• 在数字计算机上求解一阶微分方程组比求解相应的高阶 微分方程容易得多，而且可以同时得到系统全部独立变 量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
R L
1
C
1 L 0
x1 x2
(t ) (t )
1 L 0
u
输出方程：系统输出向量与状态向量、输入向量的关系，是一个向量 代数方程。上例中，考虑uc (t) 为输出，并用 y(t) 表示，则有：
y(t) 0
1
x1 x2
12
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1．一般系统：
将上述状态方程和输出方程的表达形式推广至一般的系统：
x f (x, u,t)
y
g(
x,
u,
t)
x-n维状态向量；u-p维输入向量；y-q维输出向量；f、g分别是
n、q维的任意向量函数，即:
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证明：(t, s) A(t) A(t)
t
A(e)de
s
t
A(t)( s A(e)de )
A(t)(t, s)
证毕。
对于时候 t1 和 t2 ，若 A(t) 满足条件 A(t1) A(t2 ) A(t2 ) A(t1)
时，状态转移矩阵可写(
)d
t A( )d 1 ( t A( )d )2 1 ( t A( )d )3
s
2! s
3! s
12
定理1.3：设 K 为某个正常数，如果对所有的 t 有 A(t) K ， 则对所有的 t 和 s 有
(t, s) expK t s
证明：设 s 固定且 t>s，因为 (s, s) 且
(t, s) A(t)(t, s)
将上式从 s 到 t 积分，得
t
(t, s) s A( )( , s)d
(t, )B( )ud
时t0 由初始状态 x(t0
)
(1-7) 引起的效应，称为
零输入响应；第二项是当系统初态 x(t0 ) 0 时由输入 u 引起
的效应，称为零状态响应。
由(1-5)、(1-7)可知要求得系统的运动轨迹，关键是求出 系统的状态转移矩阵。对于一般的时变系统，这是一件困难 的事情，大多只能依靠数值解法。
若 A,B,C,D 为常数，则称系统为定常系统，记为（A,B,C,D）
6
x1
x
x2
xn
y1
y
y2
ym
x X 状态空间
u U 输入空间
y Y 输出空间
t T 时间集
u1
u
u2
ur
7
D
u
x
x
B
+
dt
C
+
+ +
Y
A
建立系统的状态方程模型有两种方法： 机理建模 辨识建模
(t,t) (s, s)
1(t, s) (s,t)
(t2, s) (t2,t1)(t1, s)
(s,t) (s,t) A(t)
(1-4) (1-5)
11
定理1.2：零输入响应系统(1-2)的状态转移矩阵为
t
t
(t, s) s A( )d s A( )(s A(e)de)d
(1-6)
（1-2） 9
t
x x(t0 ) t0 A( )x( )d
可以证明x Ax有且仅有 n个线性无关的解。任意选取n 个线
性无关的解，并以它们为列构成n n 矩阵函数 (t)，则(t)
为 x Ax 的一个基本解阵。
(t) A(t)(t),
(t 0 ) H , t t0 （1-3）
其中 H为非奇异实常数值矩阵。
)c
uc
iL
(
R1
1
R2 )c R2
u(t)
L(R1 R2 )
L(R1 R2 )
4
导出输出方程：
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc
iL
R1
R2 R2
u(t
)
把 uc , iL 称为系统状态变量。系统的状态定义为表现系
统时间域行为的一个最小内部变量组。
dt
3
duc dt
(R1
1 R2
)c
uc
(R1
R1 R2
)c
iL
(R1
1 u(t) R2 )c
diL dt
R1 L(R1
R2
)
uc
L(
R1R2 R1 R2
)
iL
R2 u(t) L(R1 R2 )
写成向量形式
uc
iL
(
1
R1 R1
R2
)
L(R1 R2 )
R
(
R1 R2 R1R2
第一章 线性系统的状态空间描述
状态空间描述是60年代初,将力学中的相空间 法引入控制系统的研究中而形成的描述系统方法， 它是时域中最详细的描述方法。
▪ 给出了系统的内部结构信息 ▪ 形式上简洁，便于用数字计算机计算。
1
1. 1 系统的状态空间模型
例1.1 考虑电路
R1
c_
+uc ic
+
u(t)
L
il
迹表达式
(t0,t)x (t0,t) A(t)x (t0,t)B(t)u
由性质4得 dt d ((t0,t)x) (t0,t)B(t)u
14
从t0 到 t 积分后成为
t
(t0,t)x x0 t0(t0,t)B( )B( )d
则有
t
x (t,t0)x0
(1-7)中第一项为 u = 0
R2
uR2
_
列出电路方程
2
右方程 左方程
uc
R2ic
L dil dt
R1 (il
ic )
L
dil dt
u(t)
ic
c
duc dt
整理得
R2c
duc dt
L dil dt
uc
R1c
duc dt
L dil dt
R1il
u(t)
以 duc 和 dil 为待定变量求解上述方程，得
dt
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1.2.3 脉冲响应阵
在状态空间模型下，只要有了系统的状态轨迹表达式(1-7)， 可由输出方程(1-1)求得输出 y 的表达式
y C(t)x D(t)u
t
C(t)(t,t0 )x0 C(t) t0 (t, )B( )u( )d D(t)u(t)
uR2 为输出变量。
在一般情况下，一个有r个输入 m个输出的系统运动， 可以描述为
5
状态方程： x A(t)x B(t)u
(1-1)
输出方程： y C(t)x D(t)u
x 是 n 1 状态变量，u 是 r 1 输入向量， y 是 m1
输出向量。
A(t),B(t),C(t),D(t) 表示参数随时间发生变化，称为时变系统
取范数为
t
t
(t, s) 1 s A( )( , s) d 1 s K ( , s) d
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应用格郎瓦—别尔曼不等式得
(t, s) expK t s 证毕。 由这个定理知，若系统的参数矩阵是有界的，则它的状 态转移矩阵也是有界的。
1.2.2 非齐次方程的解
利用状态转移矩阵的性质，很容易求出 u 时0的状态轨
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1. 2 解空间
定理1.1（解的存在与唯一性定理）
对 x(t) f (t, x(t),u(t)) ，若 f 在 T上满足Lipschitz条件，
初值为 xˆ x(t0 ) ，则方程有唯一解。
1.2.1 零输入系统
先研究 u 0 情况，此时状态方程变为
x Ax
x(t0 ) x0
（1-2）称为系统的零输入响应
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定义1.1：若
x(t) (t,t0 )x0
称 (t, t0 )为状态转移矩阵 定义1.2：满足 (t, t0 ) A(t, t0 ), (0) I, t t0
的解阵 (t, t0 ) 为系统的状态转移矩阵。
由（1-3）和（1-5）得
(t, t0 ) (t) 1(t0 )
状态转移矩阵有下列的特性：