理论力学(机械工业出版社)第四章虚位移原理习题解答
清华大学本校用理论力学课件4-1 虚位移原理
2
P2
W
解
第4章
虚 位 移 原 理 及 应 用
约束是理想的，可用虚功原理。 r3 y tan r2 r3 x r2 r tan tan r3 y 1 r3 y tan r3 x r 1
虚功原理： P r P r2 W r3 y 0 1 1 2
虚功原理： A P rA Q rB 0
P rB tan Q rA
P
y
A
rA
O
l
rB
B
x
Q
解
解析法
第4章
2 2 约束方程： xB yA l 2
虚 位 移 原 理 及 应 用
变分得： 2 xB xB 2 yA yA 0 xB yA xB cot xB yA 虚功原理： y Q xB P yA 0
第1节
虚位移原理
2013年8月23日
虚位移原理
第4章
虚 位 移 原 理 及 应 用
具有理想约束的质点系，在给定位置处于平 衡的充分必要条件是：主动力系在质点系的 任意虚位移上所作的虚功等于零，即：
（ F r 0 F δx F δy F δz ） 0
i i
xi i yi i zi i
P
P Q tan
A l
O
B Q
x
例5
第4章
虚 位 移 原 理 及 应 用
已知：a, P, M; 求：约束反力NB
a
a
M A
C
a
a
P B
解
第4章
(1) 解除B水平约束，求NBx
4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题4.1 是非判断题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。
（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。
（ ）(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA 相同，则两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题4.1(8)图所示，EI =常数。
下列图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等定理不成立。
（ ）F CCF l(a)Pll (b)Pl习题 4.1(7)图图(b)M l /41图(a)M P l81ql 2qM 图(b)P M 图(a)102y A 3A 21A 2EI EI101y 03y习题 4.1(8)图 习题 4.1(9)图(a)(b)F Pt 12t习题 4.1(10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度变化作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题4.2 填空题(1) 习题4.2(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引起D 点的水平位移∆D H =______。
虚位移原理习题解
δr
(2FB – 30 – 60•2.5 – 20•1.5 )δr = 0
FB = 105 kN
FAy
δr A
δr
(2) 求支座A的约束力。显然有FAx= 0，解除支 座A铅直方向的约束，代之以约束力FAy。解除 约束后，AC的瞬心为B，CD的瞬心为D，故得 如图所示的一组虚位移分布。于是有
(2FAy – 30 + 60•0.5 + 20•0.5 )δr = 0
FDxD FExE Fx 0
而弹簧的变形
FE θ FD
λ = b(x–a)/l
x
故有 FD = FE = kλ = kb(x–a)/l
代入虚功方程即可解得： x = a + (Fl2/ kb2)
如图所示结构,求支座A,B,D处的约束 反力.
FB δr B δr C 解: (1) 求支座B的约束力。支座B解除约束，代 之以约束力FB。注意到AC只能绕A转动，而CD 的瞬心为D，故有如图所示的一组虚位移分布。 由虚功原理可得
FAy = – 5 kN
FD
δr
δr D
(3) 求支座D的约束力。支座D解除约束，代之 以约束力FD。因CD只能绕C转动，故有如图所 示的一组虚位移。由虚位移原理可得
(2FD – 20)δr = 0
FD = 10 kN
理论力学
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虚位移原理
习题解答
图示曲柄压榨机 的销钉B上作用 有水平拉力F1,此 力位于平面ABC 内,作用线平分 ∠ABC,AB=BC, 各处摩擦及杆重 不计,求图示瞬 时对物体的压力
解: 由虚功原理有 F1xB F2yC 0
因为
xB l cos yC 2l sin
理论力学2虚位移原理
7
2. 解析法 适用于完整、定常、双面约束
例：求A和B两点的虚位移
O
x
解：选1、2为系统的广义坐标，直角坐标原
点选在固定点O，则A、B坐标可表示为：
a
1 A(x1, y1)
x1 a sin1 y1 a cos1
x2 a sin1 b sin2 y2 a cos1 b cos2
y
2 b B(x2, y2)
0
m3 g
i 1
1. 分析主动力作用点的虚位移
2. 求主动力的虚功之和
14
rA
A
rC1
m1 g
M
O
rC2
m2g
rB
BF
解：
W 0
Fr M 0 m3 g B
rA rB rA rB L
FL M (FL M ) 0 0
LF M 0 M L F
15
例: 图示椭圆规机构,连杆A、B长为l,，杆重和摩擦力不计，
0
i 1
广义力及以广义力表示的质系平衡条件
k
Q jq j 0
j 1
广义力
任意点的虚位移与广义坐标虚位移的关系：
xi yi
zi W
xi
q1
yi
q1
zi
q1
n
i 1
q1
xi q2
q1
yi q2
q1
zi q2
r Fi
•
r ri
q2 q2 q2
L L L
n i 1
xi qk
r m2 g
解：根据虚位移原理
2
{Fixxi Fiyyi} 0
x1 l1 cos y1 l1 sin x2 l1 cos l2 cos y2 l1 sin l2 sin
理论力学(机械工业出版社)第四章虚位移原理习题解答
习 题4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B 上作用水平力F ，此力位于平面ABC 内，作用线平分∠ABC 。
设AB =BC ，∠ABC =θ2，各处摩擦及杆重不计，试求物体所受的压力。
图4-190δ)90cos(δδN =--︒=∑C B F s F s F W θ)90cos(δ)902cos(δθθ-︒=︒-C B s s θθsin δ2sin δC B s s = 虚位移原理0δ)90cos(δδN =--︒=∑C B F s F s F W θ 0δsin δN =-C B s F s F θθθθθtan 2)2sin(sin sin δδ2N F F s s F F C B ===4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M 。
手轮轴的两端各有螺距同为h ，但方向相反的螺纹。
螺纹上各套有一个螺母A 和B ，这两个螺母分别与长为l 的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图所示，此棱形框的点D 固定不动，而点C 连接在压缩机的水平压板上。
试求当棱形框的顶角等于2f 时，压缩机对被压物体的压力。
图4-20ϕϕcos δ)290cos(δC A s s =-︒ C A s s δsin δ2=ϕ而 θϕδπ2c o s δP s A =ϕθϕθϕtan δπsin δcos π22δPP s C ==虚位移原理0δδδN =-=∑C F s F M W θ 0tan δπδN =⨯-ϕθθPF M ϕcot πN PMF =4-3 试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F 的值，摩擦力及绳索质量不计。
图4-21虚位移原理0δδδ=+-=∑A B F s G s F W(a) A B s s δ2δ= 2G F =(b) A B s s δ8δ= 8G F = (c) A B s s δ6δ= 6G F =(d) A B s s δ5δ= 5G F =4-4 四铰连杆组成如图4-22所示的棱形ABCD ，受力如图，试求平衡时θ应等于多少？图4-22θθcos δ)290cos(δC B s s =-︒ C B s s δsin δ2=θ 虚位移原理0δcos δ2δ=-=∑C B F s G s F W θ0sin δ2cos δ2=⨯-θθB B s G s Fθtan =GF4-5 在图4-23所示机构中，曲柄OA 上作用一力偶矩为M 的力偶，滑块D 上作用一水平力F ，机构尺寸如图。
理论力学15-2虚功原理N
F
x B
y
x
若用几何法分析虚位移： 几何法分析虚位移，无需 对AB 杆，δrB方向如图， 设定坐标系。 由协调关系，δyC方向如图。 两虚位移在BC杆方向投影应相等： rB cos(2 90) rC cos(90 ) rB sin 2 rC sin 两虚位移关系： rC 2rB cos 用虚功方程 (FCy视为主动力) FCy (rC ) F (rB cos(90 )) 0
2 rD rE 3
3 r2 rE 4
四) 用虚功方程 ( Fi ri ) 0 10 r1 FD (rD ) 6 r2 3(- ) 0 3rE rE rE 2rE rD r1 r2
3 3 6 4 1 2 3 1 [10 FD ( ) 6 3( )]rE 0 3 3 4 6 FD 11(kN ) ( )
四、虚位移原理应用
一) 用虚位移原理求平衡位置的主动力
基本步骤： 1. 受力分析 画出全部可作虚功的主动力； 2. 虚位移分析 1) 变分法：建坐标系，列出虚位移点的坐标， 进行变分计算，建立虚位移之间的关系。 2) 几何法：根据虚位移的协调关系及虚位移的 投影关系，建立虚位移之间的关系。 3. 使用虚位移原理：
若求B点约束反力，虚位移图？
若求A点约束反力，虚位移图？
二) 用虚位移原理求平衡时的约束反力 虚位移原理是作用于质点系上所有主动力在任 何虚位移中所作虚功之和为零。 它与约束反力无关，似乎无法求约束反力。 若用该原理求约束反力，可沿所求约束反力方 向解除相应约束，并用一假想的主动力代替。 再用虚位移原理，求出该假想施加的“主动 力”，仍可得到对应的约束反力。
《理论力学》静力学典型习题+答案
1-3 试画出图示各结构中构件AB的受力图1-4 试画出两结构中构件ABCD的受力图1-5 试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图1-5a1-5b1- 8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。
试求二力F 1和F 2之间的关系。
解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示：由共点力系平衡方程，对B 点有：∑=0x F 045cos 02=-BC F F对C 点有：∑=0x F 030cos 01=-F F BC解以上二个方程可得：22163.1362F F F==解法2(几何法)分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。
对B 点由几何关系可知：0245cos BC F F =对C 点由几何关系可知： 0130cos F F BC =解以上两式可得：2163.1F F =2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。
试求A 和C 点处的约束力。
解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。
曲杆AB 受到主动力偶M 的作用，A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。
AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：0=∑M 0)45sin(100=-+⋅⋅M a F A θ aM F A 354.0=其中：31tan=θ。
对BC 杆有：aM F F F A B C 354.0===A ，C 两点约束力的方向如图所示。
2-4FF解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。
由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。
理论力学-虚位移原理
因此，在虚位移原理中，首先要研究加在质点系上的 各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束与约束方程 约束的类型
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四 个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标，
这一坐标完全确定了此质点系的位置。
以后我们改称系统的位置为位形。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲面
图示质点A在曲面上运动，质点A的约束方程就是曲面 的曲面方程：
z
f (x, y, z) 0
A（x, y, z)
z
y
x
x
y
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
三、约束的类型
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
f j (x1, y1, z1; ...; xn , yn , zn; x1, y1, z1, ...; xn, yn, zn; t) 0
约束类型
第六章 虚位移原理
非完整约束
§6-2 约束和约束方程
约束类型
2.定常约束和非定常约束
● 如果约束方程中不含时间t，这种约束称为定常约束或稳 定约束。
定常约束一般形式为
f j (x1, y1, z1; ...; xn, yn, zn; x1, y1, z1,...; xn, yn, zn;) 0
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令，， 则 得 令，， 则 得 令 得
4-9 在图4-27所示机构中，OC=AC=BC=l ，已知在滑块A，B上分别 作用在F1，F2，欲使机构在图示位置平衡。试求作用在曲柄OC上的力矩 M。
图4-27
虚位移原理
4-10 半径为R的圆轮可绕固定轴O转动，如图4-28所示，杆AB沿径 向固结在轮上，杆端A悬挂一重为G的物体，当OA在铅垂位置时弹簧为原 长。设AB与铅垂线的夹角为时系统处于平衡，试求弹簧刚图4-31所示连续梁的支座反力。设图中载荷，尺寸均为 已知。
图4-31
求FA 虚位移原理 求FB 虚位移原理 求FD 虚位移原理
4-14 一组合结构如图4-32所示，已知F1＝4kN，F2＝5kN，求杆1 的内力。
给杆AC一个虚位移 则 虚位移原理
图4-32
的轴上挂一重量为G的重物C，如不计摩擦，试求平衡时G1和G2的值。
图4-25
令，， 则 得 令，， 则 得 令 得
4-8 如图4-26所示，重物A和重物B分别连结在细绳的两端，重物A 置放在粗糙的水平面上，重物B绕过定滑轮铅垂悬挂，动滑轮H的轴心上 挂一重物C，设重物A重2G，重物B重G，试求平衡时，重物C的重量G1以 及重物A和水平面间的滑动摩擦因数。
图4-23
虚位移原理
4-6 机构如图4-24所示，当曲柄OC 绕O轴摆动时，滑块A 沿曲柄 滑动，从而带动杆AB在铅直导槽K内移动。已知OC=a，OK=l，在点C垂直 于曲柄作用一力F1，而在点B沿BA作用一力F2。试求机构平衡时F1和F2 的关系。
图4-24
虚位移原理
4-7 如图4-25所示，重物A和B的重量分别为G1和G2，联结在细绳 的两端，分别放在倾斜面上，绳子绕过定滑轮与一动滑轮相连，动滑轮
图4-20
而
虚位移原理
4-3 试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F的值，摩擦力及绳索质量 不计。
虚位移原理
(a) (b) (c) (d)
图4-21
4-4 四铰连杆组成如图4-22所示的棱形ABCD，受力如图，试求平 衡时应等于多少？
图4-22
虚位移原理
4-5 在图4-23所示机构中，曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶，滑 块D上作用一水平力F，机构尺寸如图。已知OA=a，CB=BD=l，试求当机 构平衡时F与力偶矩M之间的关系。
4-15 四根杆用铰连接组成平行四边形ABCD，如图4-33所示，其中 AC和BD用绳连接，绳中张力为FAC和FBD,试证：
图4-33
解法一
虚位移原理 而在中 故
解法二
习题 4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B上作用水平力F，此 力位于平面ABC内，作用线平分∠ABC。设AB=BC，∠ABC=，各处摩擦及 杆重不计，试求物体所受的压力。
图4-19
虚位移原理
4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M。手 轮轴的两端各有螺距同为h，但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺 母A和B，这两个螺母分别与长为l的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图 所示，此棱形框的点D固定不动，而点C连接在压缩机的水平压板上。试 求当棱形框的顶角等于2f时，压缩机对被压物体的压力。
图4-28
4-11 公共汽车用于开启车门的机构如图4-29所示，已知，，，， 设所有铰链均为光滑，且设平稳缓慢开启，试求垂直于手柄OA的力F和 门的阻力矩M之间的关系。
杆O1A
图4-29
杆BC
虚位移原理
4-12 桁架结构及所受载荷如图4-30所示，若已知铅垂载荷F，试 求1、2两杆的内力。
求1杆的内力 虚位移原理 求2杆的内力 虚位移原理