第三节 二项式定理
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。
在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。
同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。
二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。
+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。
+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。
展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。
在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。
一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。
注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。
二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。
各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。
在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。
常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。
赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。
第三节、二项式定理
(1)通项公式
Tr 1 C n a
r
nr
b
r
在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但
要注意，它是(a＋b)n的二项展开式的第r＋1项，而不是第r项． (2)公式中a和b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.
1 （3）二项展开式中，二项式系数是指 C n0 , C n , C n2 , ..., C nk , ..., C nn ,
【答案】
C
二项展开式的特殊项及求法
(12分)已知
x 2 1
4
x
n
的展开式前三项中的x的
系数成等差数列． (1)求展开式中所有的x的有理项； (2)该二项展开式中是否存在常数项，若存在，求出 常数项；若不存在，说明理由．
分析 问题(1)中，有理项即x的指数为整数的项．问题(2)
n 0 n 1 n 1
b ... ( 1) C n a
r r
nr
b ...
r
( 1) C n b ,
n n n
这 时 通 项 是 T r 1 ( 1) C n a
r r n 1 1 2 2
nr
b（ r 0,1, ..., n ).
r r r n
（ 2） x ) 1 C n x C n x ... C n x ... x , (1 这 时 通 项 是 T r 1 C n x（ r 0,1, ..., n ).
而某一项的系数除了这些组合数之外还要包括其它的数字，如在
(2 3 x )
8
的展开式中，第5项是 T5 C 84 2 4 (3 x ) 4 , 其二项式系数是而第5 项的系数
4 4 4
第十章 第三节 二项式定理
3
·C r ·C5 3
r′
·x
r r′ + 2 3
′ r r′ ，当 ＋ ＝1时．有r＝0且r′＝3或r＝ 时 ＝ 且′ 或＝ 2 3
2且r′＝0两种情况，则展开式中 的系数为 －10)＋12＝2. 且 ′ 两种情况， 的系数为(－ ＋ ＝ 两种情况 则展开式中x的系数为
16 (2)(x－x) 的展开式的通项 － 1r － r 6－ r Tr＋1＝C6x (－ ) ＝(－1)rCr x6 2r. － － 6 x 7 ＝－1， ＝ 舍去 舍去)， 令6－2r＝0，得r＝3，令6－2r＝－ ，得r＝ (舍去 ， － ＝ ， ＝ ， － ＝－ 2 ＝－2， ＝ 令6－2r＝－ ，得r＝4. － ＝－ 所以所求的常数项为： 所以所求的常数项为：
解析： 可得a 解析：令x＝1可得 0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n ＝ 可得 ＋ 2(1－2n) ( － ＋ ＋ 2 3 n ＝126，而2＋2 ＋2 ＋…＋2 ＝ ， ＋ ＝2n 1－2，所以 n 1 ，所以2 1－2 － 1 6 －2＝126，可得 ＝6，则(3 x－ ) 的二项展开式的通项为 ＝ ，可得n＝ ， － x Tr＋1＝Cr (3 6 x)
x
答案： 答案：6
3．二项式 x－ x)9的展开式中有理项的项数为 ．二项式( － 的展开式中有理项的项数为________． ．
3
解析：根据题意，二项式的展开式的通项为 解析：根据题意，二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Ck 9 ( x)9－k(－ x)k＝Ck(－1)kx (－ 9 (－ 项为有理项． 项为有理项． 3
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．(x＋2)6的展开式中 3的系数为 ． ＋ 的展开式中x A．20 ． C．80 ． B．40 ． D．160 ．
第3节 二项式定理
第3节 二项式定理【知识衍化体验】知识梳理1. （1）C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)；（2）C k n an －k b k ，k ＋1； 基础自测1．（1）×（2）×（3）√（4）×（5）× 2． 40 3． 8 4． －160 5. A 6． C解析 5(2)x y -的展开式的通项公式为：515C (2)()r r r r T x y -+=-，当3r =时，5(2)x x y -展开式中33x y 的系数为3235C 2(1)40⨯⨯-=-， 当2r =时，5(2)y x y -展开式中33x y 的系数为2325C 2(1)80⨯⨯-=，所以33x y 的系数为804040-=．选C ．【考点聚焦突破】【例1】 （1）C （2）C（3）①8；②T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2；③57243477T x T x ==，. 解 （1）⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ， 令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. （2）由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34.（3）①由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去).②⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.③设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r ＝2－r C r82－(r －1)C r －18＝9－r 2r ≥1，a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r ≥1，解得2≤r ≤3. 当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为57243477T x T x ==，.【例2】 （1）B （2）25解 （1）方法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3. 方法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. （2）(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25.【例3】 （1）C （2）－160解 （1）(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.（2）⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k . 令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.【训练1】 （1）B （2）6322解 （1）由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.（2）⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.【例2】 （1）A （2）255 （3）3解 （1）令x ＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . （2）⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.（3）设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.【训练1】 （1）B （2）－3或1 （3）C 715(3x )7和C 815(3x )8解 （1）令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242，即a 4＋a 2＋a 0＝－121. ①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244，即a 5＋a 3＋a 1＝122. 所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243. （2）令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.（3）由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8.【例3】（1） D 解 由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…－C 2 0172 018521＋1， 又13整除52，所以只需13整除1＋a ， 又0≤a ＜13，a ∈Z ，所以a ＝12.（2）解 因为32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(1+8)n+1-8n-9=1+11C n +8+21C n +82+31C n +83+…+11C n n ++8n+1-8n-9 =21C n +82+31C n +83+…+11C n n ++8n+1，又2311C C n n ++，，…，11C n n ++都是自然数，所以上式各项均为64的倍数，即32n+2-8n-9(n ∈N *)能被64整除. 【训练3】 （1）C （2）1解 （1）∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.（2）∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1.。
第3节 二项式定理与杨辉三角
第3节二项式定理与杨辉三角知识梳理1.二项式定理及相关概念一般地，当n是正整数时，有(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n.上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项，其中C k n a n－k b k是展开式中的第k＋1项(通常用T k＋1表示)，C k n称为第k＋1项的二项式系数，我们将T k＋1＝C k n a n－k b k称为二项展开式的通项公式.2.二项式系数的性质(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.3.杨辉三角具有以下性质(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和；(3)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.，C n n.(4)二项式系数从C0n，C1n，一直到C n－1n诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k是二项展开式的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 二项展开式中C k n an －k b k 是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确．2．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1. 3．C 02022＋C 12022＋C 22022＋…＋C 20222022C 02021＋C 22021＋C 42021＋…＋C 20202021的值为( ) A ．2 B ．4C ．2022D ．2021×2022答案 B 解析 原式＝2202222021－1＝22＝4.4．(2020·北京卷)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10 答案 C 解析T r ＋1＝C r 5(x )5－r(－2)r＝C r 5x5－r2·(－2)r，令5－r2＝2，∴r ＝1.x 2的系数为C 15(－2)1＝－10.故选C.5．(多选题)(2021·淄博调研)对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n(n ∈N *)，以下判断正确的有( )A ．存在n ∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n ∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项 答案 AD解析 该二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －k(x 3)k ＝C k n x 4k －n，∴当n ＝4k 时，展开式中存在常数项，A 选项正确，B 选项错误；当n ＝4k －1时，展开式中存在x 的一次项，D 选项正确，C 选项错误．故选AD.6．(2020·浙江卷)二项展开式(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 4＝__________，a 1＋a 3＋a 5＝__________. 答案 80 122解析 由题意，得a 4＝C 45×24＝5×16＝80.当x ＝1时，(1＋2)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243，① 当x ＝－1时，(1－2)5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1.② 由①－②，得2(a 1＋a 3＋a 5)＝243－(－1)＝244， 可得a 1＋a 3＋a 5＝122.考点一 通项公式及其应用角度1 求二项展开式中的特定项 【例1】(1)(2021·新高考8省联考)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是( )A.60B.80C.84D.120(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________． 答案 (1)D (2)454x 2，－638，45256x －2解析 (1)(利用公式C m n ＋C m ＋1n ＝C m ＋1n ＋1)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 29＝C 33＋C 23＋…＋C 29＝C 310＝120.(2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12kx由题意10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N . 令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数．∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2， －638，45256x －2.感悟升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．角度2 求二项展开式中特定项的系数【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20(2)已知(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中含x 3的系数为－2，则a 等于( ) A.2 3 B.2 C.－2 D.－1(3)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 (1)C (2)B (3)C解析 (1)法一 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)，∴x 3y 3的系数为10＋5＝15.法二 当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35，当x ＋y 2x 中取y 2x 时，x 3y 3的系数为C 15，∴x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝10＋5＝15.故选C.(2)(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中x 3的系数为C 33a 3＋C 35(－1)3＝a 3－10＝－2，则a 3＝8，解得a ＝2.(3)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积．∴x 5y 2可从其中5个因式中，两个取因式中x 2，剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，因此x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.感悟升华 1.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 2．求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解．3．三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 【训练1】 (1)(2020·长沙调研)若(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2，x 3的系数之和为－10，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1(2)(2021·合肥质检)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋4x 5的展开式中，x 2的系数为________．(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为________． 答案 (1)B (2)－960 (3)28解析 (1)由(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5，得x 2的系数为C 25＋a C 15＝5a ＋10，x 3的系数为C 35＋a C 25＝10a ＋10，又由展开式中x 2，x 3的系数之和为(5a ＋10)＋(10a ＋10)＝15a ＋20＝－10，解得a ＝－2.故选B.(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋4x 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）2x 5＝（x －2）10x 5，所以x 2的系数为C 310(－2)3＝－960.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的通项为T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18x 3r＝C r 828－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18r·x 8－4r . 令8－4r ＝0，得r ＝2， ∴常数项为T 3＝C 2826⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝28. 考点二 二项式系数的和与各项系数的和 问题【例3】 (1)(2021·郑州模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( ) A ．－1 B ．1 C ．27 D ．－27(2)(多选题)(2021·武汉模拟)若(1－2x )2021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2021x 2021(x ∈R )，则( ) A ．a 0＝1B ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝32021＋12 C ．a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020＝32021－12 D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202122021＝－1 答案 (1)A (2)ACD解析 (1)依题意得2n ＝8，解得n ＝3.取x ＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.(2)由题意，当x ＝0时，a 0＝12021＝1，当x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2021＝(－1)2021＝－1， 当x ＝－1时，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2021＝32021， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝－32021＋12， a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020＝32021－12，a 12＋a 222＋…＋a 202122021＝a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋a 2021×⎝ ⎛⎭⎪⎫122021，当x ＝12时，0＝a 0＋a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋a 2021×⎝ ⎛⎭⎪⎫122021，所以a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋a 2021×⎝ ⎛⎭⎪⎫122021＝－a 0＝－1.感悟升华 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法． 2．若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2020·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29 B ．210 C ．211 D ．212(2)(多选题)(2021·济南调研)若(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝1B ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2C ．a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35D ．a 0－|a 1|＋a 2－|a 3|＋a 4－|a 5|＝－1 答案 (1)A (2)ACD解析 (1)由题意知C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.(2)令x ＝0，则a 0＝15＝1，故A 正确；令x ＝1得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－a 0＝ －2，故B 错误；令x ＝－1得35＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，故C 正确；因为二项式(1－2x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x r ， 所以当r 为奇数时，C r 5(－2)r 为负数，即a i ＜0(其中i 为奇数)，所以a 0－|a 1|＋a 2－|a 3|＋a 4－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1，故D 正确． 考点三 二项式系数的最值问题【例4】已知(3x －1)n 展开式的第5项的二项式系数最大，且n 为偶数，则(3x －1)n 展开式中x 2的系数为( )A ．－252B ．252C ．－28D ．28 答案 B解析 由题意可得n ＝8，则(3x －1)8的展开式的通项是T r ＋1＝C r 8(3x )8－r·(－1)r ，令8－r ＝2，解得r ＝6，则展开式中x 2的系数为C 6832＝252.感悟升华 二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为2n nC；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为或.【训练3】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A ．63x B.4xC ．4x 6x D.4x 或4x 6x答案 A解析 令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n ＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x .考点四 二项式定理的逆用【例5】设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12022x ＋C 22022x 2＋C 32022x 3＋…＋C 20222022x 2022等于( )A ．0B ．－2C ．－1＋iD ．－1－i 答案 B解析 x ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i ，由于C 12022x ＋C 22022x 2＋C 32022x 3＋…＋C 20222022x2022＝(1＋x )2022－1＝i 2022－1＝－1－1＝－2.感悟升华 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．【训练4】已知－C 1100(2－x )＋C 2100(2－x )2－C 3100(2－x )3＋…＋C 100100(2－x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99的值是( )A ．－1B ．－2C ．299－1D.299－12答案 B解析 记f (x )＝1－C 1100(2－x )＋C 2100(2－x )2－C 3100(2－x )3＋…＋C 100100(2－x )100－1＝[1－(2－x )]100－1＝(x －1)100－1，即(x －1)100－1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝－1.令x ＝0，得a 0＝0，又易知a 100＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝－2.A 级 基础巩固一、选择题 1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17 C ．7 D ．－7 答案 B解析 由T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，得x ＝－17. 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 答案 A解析 T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r ·(－2y )r ＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r .当r ＝3时，展开式中x 2y 3的系数为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－2)3＝－20.故选A. 3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．120答案 B解析 由2n ＝64，得n ＝6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r (0≤r ≤6，r ∈N )． 由6－2r ＝0，得r ＝3.∴T 4＝C 36＝20.4．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.5．若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝( )A ．1B ．513C ．512D ．511答案 D解析 令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.6．(多选题)(2021·威海调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中x 3的系数是－160，则( ) A ．a ＝－12B ．所有项系数之和为1C ．二项式系数之和为64D ．常数项为－320答案 ABC解析 对选项A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中x 3项为C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3， 所以C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＝－160，解得a ＝－12，故A 正确； 由A 知：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6， 令x ＝1，所有项系数之和为(1－2)6＝1，故B 正确；对选项C ，二项式系数之和为26＝64，故C 正确；对选项D ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的常数项为C 26(x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4＝24C 26＝240，故D 错误． 7．若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( )A ．2n B.3n －12 C ．2n ＋1D.3n ＋12答案 D 解析 设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ，则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ①，f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ②，由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)，所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f （1）＋f （－1）2＝3n ＋12. 8．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记a n 为图中第n 行各数之和，则a 5＋a 11的值为( )A ．528B ．1020C ．1038D ．1040答案 D 解析 a 5＝C 04＋C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝24＝16，a 11＝C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1024，所以a 5＋a 11＝1040.故选D.二、填空题9．(2020·天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是__________． 答案 10解析 ∵T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 5x 5－3r ，令5－3r ＝2，得r ＝1，∴T 2＝2C 15x 2＝10x 2，∴x 2的系数是10.10．在(1－3x )7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6的展开式中，若x 2的系数为19，则a ＝________． 答案 2解析 (1－3x )7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6的展开式中含x 2的项为C 67(－3x )6＋C 16(x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＝C 67x 2＋C 16x 2a ，则a C 16＋C 67＝19，解得a ＝2.11．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于________．答案 63解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.12．若(1－4x )2022＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2022·x 2022，则a 12＋a 222＋…＋a 202222022＝________．答案 0解析 取x ＝0，则a 0＝1；取x ＝12，则(－1)2022＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 202222022，所以a 12＋a 222＋…＋a 202222022＝1－a 0＝0.B 级 能力提升13．(2021·长春模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－14的展开式中，常数项为( ) A ．12 B ．11 C ．－11 D ．－12答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－14的通项为T k ＋1＝C k 4(－1)4－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2k，要求常数项，需求 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2k (k ＝0，1，2，3，4)的展开式中的常数项，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2k 的展开式的通项为 T r ＋1＝C r k ·x k －r ·x －2r ＝C r k ·xk －3r ，令k －3r ＝0⇒k ＝3r ，即k 是3的倍数，所以k ＝0或3.当k ＝0时，C 04(－1)4－0＝1；当k ＝3时，r ＝1，C 34·C 13·(－1)4－3＝－12，所以原式展开后的常数项为1＋(－12)＝－11，故选C.14．已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！m ！（m ＋1）！， 即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6. 15．9192除以100的余数是________．答案 81解析 9192＝(90＋1)92＝C 0929092＋C 1929091＋…＋C 9092902＋C 919290＋C 9292＝k ×100＋92×90＋1＝k ×100＋82×100＋81(k 为正整数)，所以9192除以100的余数是81.16．(2021·重庆调研)设(1－ax)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2022a2022＝2022a(a≠0)，则实数a＝________．答案2解析已知(1－ax)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022·x2022，两边同时对x求导，得2022(1－ax)2021(－a)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2022a2022x2021，令x＝1得，－2022a(1－a)2021＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2022a2022＝2022a，又∵a≠0，所以(1－a)2021＝－1，即1－a＝－1，故a＝2.。
高三数学精品课件：二项式定理
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考点二 二项式系数的性质及各项系数和 (核心考点——合作探究)
[方法总结] 1．赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值都成立．因 此，可将 x，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令 x， y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1 或 0”，有 时也取其他值．如： (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式 的各项系数之和，只需令 x＝1 即可．
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小题纠偏
2由．二若项二式项式x－x2x－n2x展n开展式开的式第中的5 项第 5 项是常数，则自然数 n
的 AC．n4值(6为x)(n－C4－)2x4＝16Cn4Bxn．2－106 是常数项，
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1．二项式的通项易误认为是第 k 项，实质上是第 k＋1 项． 2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系 数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符 号，二项式系数仅指 Ckn(k＝0,1，…，n)．
第三节 二项式定理-高考状元之路
第三节 二项式定理预习设计 基础备考知识梳理1．二项式定理=+n b a )(这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做 式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的 用1+r T 表示，即展开式的第 项；=+1r T2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.1+n(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为(3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．(4)二项式的系数从 ,,1n C 一直到,1-n n C3．二项式系数的性质(1)对称性；与首末两端 的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -=(2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当 时，二项式系数是递增的；当 时，二项式系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值，当n 是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n =二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即=+++=+++ 42531n n n n n C C C C c α典题热身1．在62)1(x x-的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D答案：C2．已知nax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D答案：B3．（2011．陕西高考）)()24(6R x x x ∈--展开式中的常数项是 ( )20.-A 15.-B 15.c 20.D答案：C4．（2011．山东高考）若6)(x a x -展开式的常数项为60，则常数a 的值为 答案：45．若62)1(ax x +的二项展开式中3x 的系数为,25则=a （用数字作答）． 答案：2课堂设计 方法备考题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例l 】已知在n x x )21(33-的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含2x 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项，题型二 求三项展开式中的指定项【例2】求8)11(x x ++展开式中的常数项，题型三 求展开式中二项式系数或系数最大项【例3】已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数和比nx )13(-的展开式的二项式系数和大992，求n xx 2)12(-的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项，题型四 求展开式中各项或部分项系数和【例4】已知,)21(7722107x a x a x a a x ++++=- 求：;)1(721a a a +++;)2(71a as as a +++;)3(8420a a a a +++.||||||||)4(7210a a a a ++++题型五 应用二项式定理证明整除或求余数问题【例5】(1)求证：)(2221152*-∈++++N n n 能被31整除；(2)求2727227127C C C s +++= 除以9的余数． 技法巧点(1)通项公式最常用，是解题的基础．(2)对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．(3)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．(4)性质1是组合数公式r n nr n C c -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．(5)因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．(6)二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用， 失误防范1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来．2．根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错．3．通项公式是第1+r 项而不是第r 项．随堂反馈1．(2010．陕西高考))()(5R x xa x ∈+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于( ) 1.-A 21.B 1.C2.D 答案：Ds x x )1()21.(233-+的展开式中x 的系数是 ( )4.-A 2.-B 2.c 4.D答案：C3．(2011．南昌模拟)若n n n n n x C x C x C +++ 221能被7整除，则x ，n 的值可能为( )3,4.==n x A 4,4.==n x B 4,5.==n x c 5,6.==n x D答案：C4．(2010．安徽高考)6)(x yy x-的展开式中，3x 的系数等于答案：15（只写26C 或46c 也可）5．若9)(xa x -的展开式中3x 的系数是-84，则=a 答案：1高效作业 技能备考一、选择题10463)11()1.(1x x ++展开式中的常数项为 ( )1.A 46.B 4245.C 4246.D答案：D2．若n xx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) 10.A 20.B 30.C 120.D答案：B3．在*)()1(N n x n ∈+的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则=n ( ) 8.A 9.B 10.C 11.D答案：C4．（2011．辽宁实验中学月考）已知n x x 23)3(+的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )4.A 3.B 6.C 7.D答案：B5．若π)13(x x -的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）540.-A 162.-B 162.C 540.D答案：A6．若n 为奇数，则7...77712211⋅++⋅+⋅+---n n n n n n C C C π被9除所得余数为（ ）8.A 7.B 2.C 0.D答案：B二、填空题7．(2011．南通市九校联考)已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos 答案：22±8．(2010．辽宁高考)62)1)(1(x x x x -++的展开式中的常数项为 答案：5-9．(2011．浙江高考)设二项式)0()(>-a x a x s 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若,4A B =则a 的值是答案：2三、解答题10．已知n a )1(2+展开式中各项系数之和等于52)1516(xx +的展开式的常数项，而n a )1(2+的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．11．若.)23(1010221052x a x a x a a x x ++++=+-(1)求,.2a(2)求;...1021a a a +++(3)求.)()(29753121086420a a a a a a a a a a a ++++-+++++12．(2011．郑州质检)设数列}{n a 是等比数列，.3321m m C a +=,21-m A 公比q 是42)41(x x +的展开式中的第二项．(1)用n 、x 表示通项n a 与前n 项和;n s(2)若,...2211n H n n n n S C s C s C A +++=用n 、x 表示⋅n A。
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案二项式定理1
第三节 二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理．(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点一 二项式定理 1．定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)叫作二项式定理． 2．通项T k ＋1＝C k n an －k b k为展开式的第k ＋1项． 易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k ＋1项．(2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．[自测练习]1.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中常数项为________． 解析：由题意可知常数项为C 46(2x )2⎝⎛⎭⎫－1x 4＝60. 答案：602.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项． 解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项． 答案：3知识点二 二项式系数与项的系数 1．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫作二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．2．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k<n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n 是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和⎭⎫第n＋12＋1项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n3.各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在T k＋1＝C k n a n－k b k中，C k n就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；T k＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，T k＋1＝C k n2n－k·3k x n－k y k，其中C k n2n－k3k就是T k ＋1项的系数．[自测练习]3．(2015·高考四川卷)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．(用数字填写答案)．解析：由二项展开式的通项T r＋1＝C r5(2x)5－r(－1)r(r＝0,1，…，5)知，当r＝3时，T4＝C35(2x)5－3(－1)3＝－40x2，所以含x2的项的系数是－40.答案：－404．C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n＋1)C n n＝________.解析：设S＝C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n－1)·C n－1n＋(2n＋1)C n n，∴S＝(2n＋1)C n n＋(2n－1)C n－1n＋…＋3C1n＋C0n，∴2S＝2(n＋1)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝2(n＋1)·2n，∴S＝(n＋1)·2n.答案：(n ＋1)·2n考点一 二项展开式中特定项与系数问题|1．(2016·海淀模拟)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为( ) A ．12 B ．－12 C ．6D ．－6解析：由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(x 2)3－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A. 答案：A2．(2015·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案) 解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系数为35.答案：353．若⎝⎛⎭⎫1x －x x n 展开式中含有x 2项，则n 的最小值是________．解析：⎝⎛⎭⎫1x －x x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎫1x n －r ·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .依题意得，关于r 的方程52r －n ＝2，即r ＝2×(n ＋2)5有正整数解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍数，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，n 的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．考点二 二项式系数性质与各项系数和问题|(1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________. [解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10， 通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r x 5－52r ， 所以r ＝2时，常数项为180.(2)x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34，所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.[答案] (1)B (2)14(1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大． (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．(2015·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A. 答案：A考点三 多项式展开式中特定项或系数问题|在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1．几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题． 2．几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题． 3．三项展开式中的特定项(系数)问题．探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1．(2016·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121C．－74 D．－121解析：展开式中含x3项的系数为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案：3探究三三项展开式中特定项(系数)问题3．(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为C25C13＝30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．[思维点拨] 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x ＝±1，可求得奇数项与偶数项系数之和．[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.②故(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(3－4)4＝1.[答案] 1[方法点评] 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. [跟踪练习] 若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364A 组 考点能力演练1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为( ) A ．－84 B ．84 C ．－36D ．36解析：由二项式系数之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r ， 令18－3r ＝0，得r ＝6，故常数项为T 7＝84.故选B. 答案：B2．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：(1＋x )5中含x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.答案：B4．(2016·西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )A ．21B ．－21C ．7D ．－7解析：∵2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r3， 令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x 3的系数为C 6737－6(－1)6＝21，故选A. 答案：A5．(2016·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6| π0＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x.答案：D6.⎝⎛⎭⎫x －12x 6的展开式中常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x －12x 6的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中常数项为－52.答案：－527．(2015·高考天津卷)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －14x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－14r x －r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 答案：15168．若(1－2x)2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝________.解析：当x 0＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1 答案：－19．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意，得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.B 组 高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.答案：A4．(2015·高考广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________． 解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r2＝1，得r ＝2，所以所求系数为(－1)2C 24＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－56r .令52－56r ＝0，得r ＝3， 当r ＝3时，T 4＝C 35(－1)3＝－10.故A ＝－10.答案：－10。
第三节 二项式定理
结合二项展开式系数所具有的性质，若
x3＋
1 x
n的展开式
的所有二项式系数之和为128，能否确定n的值？
解：由题意可得2n＝128，解得n＝7.
考点一 求展开式中的特定项或特定系数(基础之翼练牢固)
[题组练通]
1．(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为
A．10
B.20
()
C．40
[解题方略] 求展开式系数最大项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采 用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1， 且第k项系数最大，应用AAkk≥ ≥AAkk－ ＋11， 从而解出k来即得．
[过关集训]
1．若
x＋ 1 3 x
n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，
82 020－a0＝82 020－1，故选B.
[答案] (1)B (2)B
[解题方略] 求二项式系数和的常用方法是赋值法
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋ bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋 值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求 其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
＝2r·C1r0·x10－2 5r.令10－2 5r＝0，得r＝2，故展开式中的常数项是 22·C210＝180.
(2)∵展开式中只有第11项的二项式系数最大，
∴n＝20，∴Tr＋1＝Cr20·( 3x)20－r31xr＝Cr203202－r·x20－43r.
由题得20－43r为整数，则r是3的倍数，
∴r可取0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共7项．
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3．第r＋1项的二项式系数为C.
考向一[174]通项公式及其应用
例1.已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项．
规律方法11.解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【答案】(1)B(2)D,
规律方法2求解这类问题要注意：
1.区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质.
2.根据题目特征，恰当赋特殊值代换．对于展开式中的系数和、隔项系数和、系数的绝对值和等问题，通常运用赋值法进行构造(构造出目标式)．赋值时要注意根据目标式进行灵活的选择，常见的赋值方法是使字母因式的值为1，－1或目标式的值．
（1）PS :32n＋2－8n－9=9(8＋1)n－8n－9；(2)PS：3n＝(2＋1)n
六、
教
学
反
思
6．已知二项式(＋)n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；(2)求展开式中的常数项．
答案：(1)n＝8.(2)常数项为T3＝C＝28.
7．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数的和大992，求n的展开式中二项式系数最大的项．
答案：T3＝C23x＝80x，T4＝－C22x－1＝－40x－1.
对点训练1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C除以88的余数是()
A．－1B．1C．－87D．87
五、
巩固练习
1.设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n(n≥2，n∈N)，则a3＋a5＋a7＋…＋a2n－1＝(C)
A.B.C.D.
2.(2013·课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(B)
借助多媒体课件演示和生活实例阐述突破
参看教学过程
三、
教学难点
内容
解决方法
选讲例题
即时练习
二项式定理的应用
通过多媒体课件演示引导学生，并通过一题多变比较启发学生思考联系点和区别
参看教学过程பைடு நூலகம்
集体备课主要内容
个人备课修正内容
教师活动
学生活动
四、
教
学
过
程
第1课时
考向一[171]排列应用题☆
[必备知识]
1．(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．
A．5 B．6 C．7 D．8
3．(1－2x)5(1－3x)4的展开式中按x的升幂排列的第2项等于________．
【答案】－22x
4．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________ .
【答案】364
5.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____________.10
对点训练(1)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a1＋a3＋a5等于()
A．122B．123C．243D．244
(2)(2013·大纲全国卷)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()
A．56 B．84 C．112 D．168
【答案】(1)B(2)D
2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．
对点训练(1)(2014·课标全国卷Ⅰ)(x－y)·(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
(2)设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
考向三[176]二项式定理的应用☆☆☆
例3.(2012·湖北高考)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝()
A．0B．1C．11D．12
【答案】D
规律方法31.本题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．
2．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开．但要注意两点：(1)余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；(2)二项式定理的逆用．
电白一中2014-2015学年度高三数学备课教案
教案序号（）
2015年月日
第周星期
中心发言人：谢顺昌
课题：第三节二项式定理
授课节数：2
一、
考纲要求
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
二、
教学重点
内容
解决方法
选讲例题
即时练习
1.利用通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等.
2.赋值法与整体法的应用
【答案】(1)－20(2)2
考向二[175]二项展开式项的系数与二项式系数☆☆
(1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()
A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3
(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()
8．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)a1＋a3＋a5；
(3)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.(1)－31.(2)122.(3)－243.
9．求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；(2)3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)．