第十章 第二节 二项式定理
2020高中数学第十章 3《二项式定理》复习学案+检测
2020高中数学复习学案第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布3 二项式定理【要点梳理·夯实知识基础】1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N ＋)． 这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫做 二项式系数 .式中的 C r n an －rb r 叫做二项展开式的 通项 ，用T r ＋1表示，通项是展开式的第 r ＋1 项，即T r ＋1＝C r n an －r b r (其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N ＋)． 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n ＋1 .(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 n . (3)字母a 按 降幂 排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按 升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到 C n －1n ，C nn .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“ 等距离 ”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n .(2)增减性与最大值：二项式系数C r n，当r <n ＋12时，二项式系数是递增的；当r >n ＋12时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间两项T n2＋1的二项式系数最大． 当n 是奇数时，那么其展开式中间两项T n ＋12和T n ＋12＋1的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1 . 【学练结合】[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)C k n an －k b k是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× [小题查验]1．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：B [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.]2．(教材改编)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：B [二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 6x 6－2k，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.]3．(2018·全国Ⅲ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：C [T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 52r x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22＝40.]4．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x 2的系数为( )A ．－21B ．－35C ．35D ．21解析：C [由已知得2n ＝128，n ＝7，所以T r ＋1＝C r 7x 2(7－r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 7(－1)r x 14－3r，令14－3r ＝2，得r ＝4，所以展开式中x 2的系数为C 47(－1)4＝35.故选C.]5.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x n 的展开式中，第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第4项为 ________ .解析：由题意得C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 8展开式的第4项为T 4＝C 38⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3x 5＝56x 2. 答案：56x 2【考点探究·突破重点难点】考点一 二项展开式的特定项或系数问题(多维探究)[命题角度1] 求展开式中的某一项1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式中x 4的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36D ．38解析：D [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T k ＋1＝C k 4·(x 3)4－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝C k 4(－2)k x 12－4k，令12－4k ＝0，解得k ＝3， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r ， 令8－2r ＝0，得r ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.][命题角度2] 求展开式中的系数或二项式系数2．(1＋x )(1－x )5的展开式中x 4的系数是( ) A ．－35 B ．－5 C ．5D ．35解析：B [(1－x )5展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝(－1)r C r 5x r ，所以(1－x )5展开式中x 4的系数是(－1)4C 45＝5，x 3项的系数是(－1)3C 35＝－10，所以(1＋x )(1－x )5的展开式中x 4项的系数是1×5＋1×(－10)＝－5，故选B.][命题角度3] 由已知条件求n 的值或参数的值3．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝ ________ .解析：⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－2 【解题规律方法】与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n 项，可依据二项式的通项直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.[跟踪训练](1)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：C [因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C.] (2)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n (n ∈N ＋)展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160解析：B [根据二项式系数和的性质，可知2n ＝32，解得n ＝5，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r ＝(－2)r C r 5x 5－r 2－r 3，令5－r 2－r 3＝0，解得r ＝3，所以其展开式的常数项为(－2)3C 35＝－80，故选B.]考点二 二项式系数的性质或各项系数的和(师生共研)[典例] (1)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为第 ________项．(2)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为 ________ .[解析] (1)依题意可知T r ＋1＝C r 11(－1)r x 22－3r,0≤r ≤11，r ∈Z ，二项式系数最大的是C 511与C 611.当r ＝6时，T 7＝C 611x 4，故系数最大的项是第七项．(2)令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.[答案] (1)七 (2)1或－3 [互动探究]本例(2)变为：若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为 ________ .解析：令x ＝2，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.答案：－1或－5 【解题方法指导】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[跟踪训练](1)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20解析：D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.](2)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为 ________ .解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ，而各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9. 答案：92020高中数学复习学案第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布3 二项式定理检测一、选择题1．C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n 等于( D ) A ．3n B ．2·3n C.3n2－1D.3n －12解析：因为C 0n ＋2(C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n )＝(1＋2)n ，所以C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n ＝3n －12.2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的展开式中x 的系数为( B )A ．5B ．10C ．20D ．40解析：∵T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝1，得r ＝3，∴x 的系数为C 35＝10.3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( B )A ．5B ．40C ．20D ．10解析：由题意，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式中各项的系数和为243，令x ＝1，则3n＝243，解得n ＝5，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 5x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2，则T 3＝22C 25x 15－4×2＝40x 7，即x 7的系数为40，故选B.4．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( C )A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n解析：令x ＝1，得1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.5．(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( C )A ．600B ．360C ．－600D ．－360解析：由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 2622(－1)4＝－600.6．已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( B )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B. 7．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，x 2的系数为( C )A ．10B ．30C ．45D ．120解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2 01510，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C. 二、填空题8．(x 2－1x )8的展开式中x 7的系数为－56.(用数字作答)解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ·(－1x )r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，故x 7的系数为－C 38＝－56. 9．若二项式(x －23x)n 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其常数项是13_440.解析：∵二项式(x －23x)n 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r(－23x )r ＝(－2)r C r 10·x 30－5r6 ，令30－5r 6＝0，解得r ＝6，∴常数项是(－2)6C 610＝13 440.10．若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝－14.解析：(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为C 25·22＋a ·C 35·23＝20，∴40＋80a ＝20，解得a ＝－14.11．在(x ＋4x －4)5的展开式中，x 3的系数是180.解析：(x ＋4x －4)5＝(－4＋x ＋4x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－4)5－r·(x ＋4x )r ，r ＝0,1,2,3,4,5，(x ＋4x )r 的展开式的通项T k ＋1＝C k r x r －k (4x )k ＝4k C k r xr －2k ，k ＝0,1，…，r .令r －2k ＝3，当k ＝0时，r ＝3；当k ＝1时，r ＝5.∴x 3的系数为40×C 03×(－4)5－3×C 35＋4×C 15×(－4)0×C 55＝180.12．在(x ＋x )6⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 5的展开式中，x 4y 2项的系数为( C )A ．200B ．180C ．150D ．120解析：(x ＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r x r＝C r 6，令6＋r2＝4，得r ＝2，则T 3＝C 26＝15x 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1y r ＝C r 5y －r ，令r ＝2可得T 3＝C 25y －2＝10y －2.故x 4y 2项的系数为15×10＝150.13．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( B )A ．18B ．24C ．36D ．56解析：∵(2x －1)4＝[(2x －2)＋1]4＝[1＋(2x －2)]4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，∴a 2＝C 24·22＝24，故选B.14．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为－48.解析：令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中x 4项的系数即是⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的x 3项与x 5项系数的和．又⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得x 3项与x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中x 4项的系数为－80＋32＝－48.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．已知(1＋ax ＋by )5(a ，b 为常数，a ∈N *，b ∈N *)的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数f (x )＝sin2x ＋b 2sin (x ＋π4)，x ∈[0，π2]的最小值为2.解析：令x ＝0，y ＝1，得(1＋b )5＝243，解得b ＝2.因为x ∈[0，π2]，所以x＋π4∈[π4，3π4]，则sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，所以f (x )＝sin2x ＋b 2sin (x ＋π4)＝sin2x ＋2sin x ＋cos x ＝2sin x ·cos x ＋2sin x ＋cos x＝sin x＋cos x＋1sin x ＋cos x≥2(sin x ＋cos x )·1sin x ＋cos x＝2，当且仅当sin x ＋cos x ＝1时取“＝”，所以f (x )的最小值为2.。
第十章 §10.2 二项式定理
二项展开式 的通项 二项式系数
Tk＋1＝ Cknan－kbk ，它表示展开式的第 k＋1 项 Ckn (k＝0,1，…，n)
知识梳理
2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 相等 . (2)增减性与最大值： ①当 k<n＋2 1时，Ckn随 k 的增加而 增大 ；由对称性知，当 k>n＋2 1时， Ckn随 k 的增加而 减小 .
知识梳理
n
②当n是偶数时，中间的一项 Cn2 取得最大值；当n是奇数时，中间的
n1
n1
两项 Cn2 与 Cn2 相等，且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为 C0n＋C1n
＋C2n＋…＋Cnn ＝ 2n .
常用结论
1.C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 2.Cmn＋1＝Cmn －1＋Cnm.
思维升华
(1)赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令 g(x)＝(a＋bx)n， 则(a＋bx)n 的展开式中各项的系数和为 g(1)，(a＋bx)n 的展开式中奇数项 的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n 的展开式中偶数项的系数和为12[g(1) －g(－1)].
微拓展
破解三项展开式问题 求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法： (1)两项看成一项，利用二项式定理展开. (2)因式分解，转化为两个二项式再求解. (3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答. 典例 (1)(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为__2_1_0___.
微拓展
因为(x2＋a)x＋1x8＝x2x＋1x8＋a·x＋1x8， 且x＋1x8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－k1xk＝Ck8x8－2k， 当 8－2k＝6 时，k＝1，此时 x6 的系数为 C18. 当 8－2k＝8 时，k＝0，此时 x8 的系数为 C08. 所以展开式中 x8 的系数为 C18＋aC08＝8＋a＝9，解得 a＝1.
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。
在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。
同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。
二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。
+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。
+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。
展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。
在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。
一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。
注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。
二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。
各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。
在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。
常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。
赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。
第十章排列组合和二项式定理(第2课)加法原理和乘法原理(2).
课 题： 10．1加法原理和乘法原理 (二)教学目的：1.进一步理解两个基本原理.2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点：两个基本原理的进一步理解和体会教学难点：正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3.原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理. 可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是: 12n N m m m =+++, 12n N m m m =⨯⨯⨯这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比． 两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”二、讲解范例：例1在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?解:取b a +与取a b +是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.例2 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.例3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)例4 如下图,共有多少个不同的三角形?图一 图二 图三解:所有不同的三角形可分为三类”第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,有5×4=20个第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.例5 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.由于 75600=24×33×52×7(1) 75600的每个约数都可以写成l k j l 7532⋅⋅⋅的形式,其中40≤≤i ,30≤≤j ,20≤≤k ,10≤≤l 于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即l k j i ,,,分别在各自的范围内任取一个值,这样i 有5种取法,j 有4种取法,k 有3种取法,l 有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成l k j 753⋅⋅的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.三、课堂练习：1.用1,2,3,4,5可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)2.用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字允许重复)3.集合A=｛a,b,c,d,e ｝,集合B=｛1,2,3｝,问A 到B 的不同映射f 共有多少个?B 到A 的映射g 共有多少个?4.将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种?5. 4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数.6. 4名学生分配到3个车间去劳动,共有多少中不同的分配方案?7. 求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数答案：1. 5×5×5×5=625 2. 3+32+33=39 3. 35,53 4. 43 5. 34 6. 347. 在集合｛1,2,3,4,5｝的子集中,每个元素都只有出现和不出现这2种可能,所以这个集合的子集的个数为2×2×2×2×2=25=32个.四、小结 ：分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制五、课后作业：1．用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？解（1）分三步：①先选百位数字．由于0不能作百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由乘法原理知所求不同三位数共有5×5×4=100个．（2）分三步：(1)百位数字有5种选法；(ii)十位数字有6位选法；(iii)个位数字有6种选法．所求三位数共有5×6×6=180个．（3）分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也是4种选法，所求三位奇数共有3×4×4=48个．（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25个；③三位数共有5×5×4=100个．因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．（5）分4类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；③千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；④还有5420也是满条件的1个．故所求自然数共120+48+6+1=175个．说明：⑴排数字问题是最常见的一种类型，要特别注意首位不能排0．⑵第（5）题改成：可以组成多少个大于3000，小于5421的四位数？ 答案：2*6*6*6+4*6*6+2*6+1=589个2．求下列集合的元素个数．（1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤；（2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．解：(1)分7类：①0x =，y 有7种取法；②1x =，y 有6种取法； ③2x =，y 有5种取法； ④3x =，y 有4种取法； ⑤4x =，y 有3种取法； ⑥5x =，y 有2种取法；⑦6x =，y 只有1种取法因此M 共有765432128++++++=个元素(2)分两步：①先选x ，有4种可能；②再选y 有5种可能．由乘法原理，H 共有4520⨯=个元素3．有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？解：（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：333381⨯⨯⨯=种；（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：44464⨯⨯=种.4．①设{,,,,,}A a b c d e f =，{,,}B x y z =，从A 到B 共有多少个不同映射？ ②6个人分到3个车间，共有多少种分法？解：（1)分6步：先选a 的象，有3种可能，再选b 的象也是3种可能，…，选f 象也有3种可能， 由乘法原理知，共有63729=种不同映射；(2)把6个人构成的集合，看成上面(1)中之A ，3个车间构成的集合，看成上面的B ， 因此，所求问题转化为映射问题，如上题所述，共有729种方案5.甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法?解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或33119⨯⨯⨯=种．六、板书设计（略）七、课后记：。
二项式定理(讲解部分)
考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和的问题
例2 (1)(2019陕西师大附中模拟)在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二 项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为 ( )
A.-960 B.960
C.1 120 D.1 680
(2)若
x2
-
1 x
n
的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则
的展开式的常
数项是60,则a的值为 ( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
(2)(2018山东枣庄二模,8)若(x2-a)
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为30,则a等
于( )
A. 1 B. 1 C.1 D.2
3
2
解题导引 (1)常数项是指x0项的系数,展开式的通项是什么?化简通项时
用到什么运算,指数幂的运算性质有哪些?根式如何化成指数幂形式?结合
令10-2r=6,解得r=2, 所以x6项的系数为C120,
所以(x2-a)·
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为C130
-a
C120=30,
解得a=2.故选D.
答案 (1)D (2)D
方法总结 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项 后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数 等),解出r,代回通项即可.
指数幂运算化通项为最简形式再求解.
(2)的展开式中x6项的来源有几个?结合多项式乘法法则,可分析出来有2个
来源,分别是哪两个?写出
二项式定理ppt
二项式定理简介二项式定理是高中数学中的一个重要定理，是关于二项式展开的公式。
二项式展开是将一个二项式的幂次展开成一系列项的乘积的形式。
它在数学和物理等领域中都有重要的应用。
本文将详细介绍二项式定理的定义、推导过程以及应用。
定义在数学中，二项式指两项的和，具体表示为：(a + b)^n二项式定理给出了这个二项式的展开式，形式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 +C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^(n-1) +C(n,n)a^0 b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的方式数。
推导过程为了推导出二项式定理，我们可以通过数学归纳法进行演绎。
下面是推导的过程：Step 1:当n = 1时，二项式定理成立。
因为此时(a +b)^1 = a + b。
Step 2:假设当n = k时，二项式定理成立。
即(a + b)^k = C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... + C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k。
Step 3:考虑当n = k+1时，我们可以将(a + b)^(k+1)展开为(a + b) * (a + b)^k。
通过展开乘法运算，我们可以得到：(a + b) * (a + b)^k = a * (a + b)^k + b * (a + b)^k = a * (C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... + C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k) + b * (C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... +C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k)。
Step 4:对上式进行整理和合并同类项，可以得到(a +b)^(k+1)的展开式：(a + b)^(k+1) = C(k,0)a^(k+1)b^0 + (C(k,1) + C(k,0))a^k b^1 + ... + (C(k,k-1) + C(k,k))a^1 b^k + C(k,k) a^0 b^(k+1)。
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学的重要内容之一、它是一个基本的公式，用来展开二项式的幂次。
在代数学中有广泛应用，并在组合数学、高等数学等领域中发挥了重要作用。
本文将介绍二项式定理的概念、基本公式以及一些常见的应用。
一、二项式定理的概念和基本公式二项式定理的概念：二项式定理是用来展开二项式的幂次的公式。
简而言之，就是把形如(a+b)^n的表达式展开成多项式的形式。
基本公式：根据二项式定理，我们可以得到二项式的展开式。
对于(a+b)^n，其中a和b为任意实数，n为非负整数，根据二项式定理，展开式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,k)a^(n-k)b^k+...+C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
C(n,k)可以用组合数公式计算得到：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)C(n,k)即为"n choose k"，读作"n中取k"。
二、二项式定理的应用1.二项式定理的应用于计算：二项式定理可以用于计算各种二项式的展开式，特别是高次幂的情况。
通过展开式，我们可以计算出结果，以及每一项的系数。
例如，我们可以用二项式定理来计算(a+b)^4的展开式为：(a+b)^4 = C(4,0)a^4 + C(4,1)a^3b + C(4,2)a^2b^2 + C(4,3)ab^3 + C(4,4)b^4= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^42.二项式定理的应用于排列组合问题：二项式定理在排列组合问题中也有广泛的应用。
对于排列组合问题，可以使用组合数来解决。
而组合数又可以使用二项式定理来计算。
例如，我们要从n个元素中选取k个元素，所有可能的方案数可以用组合数C(n,k)表示。
由于组合数可以用二项式定理来计算，我们可以直接得到结果。
第二节 二项式定理
第二节二项式定理考试要求1．理解二项式定理，二项式系数的性质.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[知识排查·微点淘金]知识点1二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k·b k＋…＋C n n b n(n∈N*)；上述公式叫做二项式定理．[微思考](a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，它表示展开式的第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n叫做二项式系数．知识点2二项式系数的性质[微提醒]易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n(k＝0，1，…，n).[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(4)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k中的a 和b 不能互换．(√) (5)(a ＋b )n 的展示式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√)2．(链接教材选修2－3 P 37A 组T 5)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是 ．答案：73．(链接教材选修2－3 P 37A 组T 8)在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是 ．答案：－564．(链接教材选修2－3 P 40A 组T 8)若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x n的展开式的所有二项式系数的和为128，则n ＝ .答案：75．(混淆项的系数与二项式系数)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 ．答案：－1一、基础探究点——求展开式中的特定项或特定项的系数(题组练透)1．(2020·北京卷)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10D ．10解析：选C 由二项式定理得(x －2)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x )5－r (－2)r ＝C r 5(－2)rx5－r2，令5－r2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15(－2)x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10，故选C ． 2．(2020·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．15D ．20解析：选C 解法一：∵⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5＝⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)，∴x 3y 3的系数为10＋5＝15.解法二：当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35， 当x ＋y 2x 中取y 2x时，x 3y 3的系数为C 15， ∴x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝10＋5＝15.故选C ．3．(2021·北京卷)⎝⎛⎭⎫x 3－1x 4的展开式中常数项是 ． 解析：由二项式的展开式可得C 34·(x 3)1·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－4. 答案：－44．(2021·江西南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝ .解析：(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25.答案：255. (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C 解法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25×C 13＝30. 解法二：(x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积，所以x 5y 2可从其中5个因式中，2个取因式中的x 2，剩余的3个因式中1个取x, 2个因式取y ，因此x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.1.求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k 的特点，一般需要先建立方 程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．2．求三项展开式中某些特定项的系数的方法：(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解；(2)两次利用二项式定理的通项公式求解；(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．二、综合探究点——二项式系数与各项系数和问题(思维拓展)[典例剖析][例](1)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A．－960B．960C．1120 D．1680解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C48(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.故选C．答案：C(2)若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝()A．28－1 B．28C．38－1 D．38解析：由题可知，x的奇数次幂的系数均为负数，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8.因为(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38.故选D．答案：D(3)(2021·浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝，a2＋a3＋a4＝.解析：(x－1)3的展开式的通项为T r＋1＝C r3x3－r·(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项为T r＋1＝C r4x4－r1r，则a1x3＝C03x3·(－1)0＋C14x311＝5x3，所以a1＝5.同理，a2x2＝C13x2(－1)1＋C24x212＝－3x2＋6x2＝3x2，a3x＝C23x1(－1)2＋C34x113＝3x＋4x＝7x，a4＝C33x0(－1)3＋C44x014＝0，所以a2＝3，a3＝7，a4＝0，所以a2＋a3＋a4＝10.答案：5101．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，求解出正整数k 即可．[学会用活]1．(2021·安徽宣城调研)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为( )A ．1B ．2C ．129D ．2188解析：选C 令x ＝0得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128，又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7，则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7，解得a 7＝－1.故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 2．(2021·广西高三5月联考)若(a ＋x 2)(1＋x )n 的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为( )A ．30B ．45C ．60D ．81解析：选B 令x ＝0，得a ＝2，所以(a ＋x 2)(1＋x )n ＝(2＋x 2)(1＋x )n .令x ＝1，得3×2n＝192，所以n ＝6.故该展开式中x 4的系数为2C 46＋C 26＝45.故选B ．3．已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，∵13a ＝7b ，∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ！m ＋1！，即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6.限时规范训练 基础夯实练1．(2021·河北唐山二模)在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( ) A ．20 B ．－20 C ．160D ．－160解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－1)k 2k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，所常数项T 3＋1＝(－1)323C 36＝－160，故选D ．2．(2021·北京东城区二模)已知(2x ＋a )5的展开式中x 2的系数为－40，那么a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B (2x ＋a )5的展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·a r ＝C r 5·25－r a r x 5－r ，令5－r ＝2，可得r ＝3，所以，C 35·22a 3＝40a 3＝－40，解得a ＝－1.故选B ． 3．(2021·四川乐至中学月考)(1＋2x )5的展开式中，各项二项式系数的和是( ) A ．1 B ．－1 C ．25D ．35解析：选C 由题得各项二项式系数和为C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝25.故选C ．4．(2021·陕西西安模拟)若(2－x )10展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A ＋B ＋C ＝( )A ．4095B ．4097C ．－4095D ．－4097解析：选C 由(2－x )10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·210－r ·(－x )r ＝(－1)r ·210－r C r 10·x r ，所以一次项系数C ＝(－1)1·29·C 110＝－5120，二项式系数和A ＝210＝1024，令x ＝1，则所有项的系数和B ＝(2－1)10＝1，所以A ＋B ＋C ＝－4095.故选C ．5.⎝⎛⎭⎫x －x2y (x ＋2y )5的展开式中x 2y 4的系数为( )A ．24B ．36C ．48D ．72解析：选C 因为⎝⎛⎭⎫x －x 2y (x ＋2y )5＝x (x ＋2y )5－x2y(x ＋2y )5，可得(x ＋2y )5的展开式通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r (2y )r ＝2r C r 5x5－r y r， 令r ＝4可得x 2y 4的系数为24C 45＝80，令r ＝5，可得x 2y 4的系数为－25C 55＝－32，故展开式中x 2y 4的系数为80－32＝48.故选C ．6．(2021·福建福州二模)在(x ＋y ＋z )6的展开式中，xyz 4的系数是( ) A ．15 B ．30 C ．36D ．60解析：选B 因为(x ＋y ＋z )6＝[(x ＋y )＋z ]6，所以[(x ＋y )＋z ]6的通项公式为C r 6·(x ＋y )6－r·z r ，令r ＝4，所以C 46·(x ＋y )2·z 4＝15(x 2＋2xy ＋y 2)z 4，因此xyz 4的系数是15×2＝30，故选B ． 7．(2021·广东韶关一模)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(2＋x )＋a 2(2＋x )2＋…＋a 10(2＋x )10，则a 9＝( )A ．－10B ．10C ．－45D ．45解析：选A (1＋x )10＝[1－(2＋x )]10＝a 0＋a 1(2＋x )＋a 2(2＋x )2＋…＋a 10(2＋x )10，T r ＋1＝C r 10[－(2＋x )]r ，a 9＝C 910(－1)9＝－10.故选A ．8．(2021·山东潍坊二模)已知正整数n ≥7，若⎝⎛⎭⎫x －1x (1－x )n 的展开式中不含x 5的项，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D (1－x )n 的二项展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k n (－1)k x k，又因为⎝⎛⎭⎫x －1x (1－x )n ＝x (1－x )n －1x (1－x )n 的展开式不含x 5的项，所以x C 4n (－1)4x 4－1x C 6n(－1)6x 6＝0，C 4n x 5－C 6n x 5＝0，即C 4n ＝C 6n，所以n ＝10，故选D ． 9．(2021·湖南岳阳二模)若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8的值为 ．解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2，令x ＝0，得a 0＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2－1＝－3.答案：－3综合提升练10．“杨辉三角”是我国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是一个三角形数阵，记a n 为图中第n 行各数之和，则a 5＋a 11的值为( )1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1……A ．528B ．1020C ．1038D ．1040解析：选D a 5＝C 04＋C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝24＝16，a 11＝C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1024，所以a 5＋a 11＝1040.故选D ．11．(2021·河北饶阳中学模拟)(x ＋x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 2的系数为( )A ．72B ．60C ．48D ．36解析：选C ⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r ·C r 6·x 3－r (r ＝0,1,2,3,4,5,6)．令3－r ＝1，得r ＝2；令3－r ＝32，得r ＝32∉Z ，舍去；令3－r ＝2，得r ＝1.故(x ＋x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 2的系数为(－2)2·C 26＋(－2)1·C 16＝60－12＝48.故选C ．12．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87解析：选B 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.13．(2021·广东梅州模拟)记(1－x )6＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋a 3(1＋x )3＋a 4(1＋x )4＋a 5(1＋x )5＋a 6(1＋x )6，则a 4＝ .解析：(1－x )6＝(－1＋x )6＝[－2＋(1＋x )]6，展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(－2)6－r(1＋x )r ，令r ＝4 即可，a 4＝C 46(－2)2＝4C 26＝60.答案：6014．(2021·黑龙江哈尔滨三模)在⎝⎛⎭⎫x ＋ax n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含x 6项的系数为 ．解析：∵⎝⎛⎭⎫x ＋ax n 的展开式中，只有第六项的二项式系数C 5n 最大，∴n ＝10，再令x ＝1，可得所有项的系数和为(1＋a )10＝0，∴a ＝－1.故二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·x 10－2r ，令10－2r ＝6，求得r ＝2，可得含x 6项的系数为C 210＝45.答案：4515．(2021·浙江绍兴模拟)二项展开式(2x ＋4)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＝ ；a 0＋a 2＋a 4＝ (可采用指数的形式或数字的方式作答).解析：因为(2x ＋4)5的展开式的通项为C r 5(2x )5－r 4r ＝C r 5·25－r ·4r ·x 5－r ， 令r ＝4，则a 1＝C 45×21×44＝2560，令r ＝5，则a 0＝C 55×20×45＝1024，令r ＝3，则a 2＝C 35×22×43＝2560，令r ＝1，则a 4＝C 15×24×41＝320，故a 0＋a 2＋a 4＝1024＋2560＋320＝3904.答案：2560 390416．已知⎝⎛⎭⎫mx 2－4＋x 25的展开式中所有项的系数和为1，则x 4的系数为 ． 解析：令x ＝1，则(m －3)5＝1，解得m ＝4，∴⎝⎛⎭⎫m x 2－4＋x 25＝⎝⎛⎭⎫4x 2－4＋x 25，⎝⎛⎭⎫4x 2－4＋x 25展开式的通项公式为C r 5⎝⎛⎭⎫4x 2－45－r (x 2)r ；∵⎝⎛⎭⎫4x 2－45－r 展开式通项公式为C k 5－r ⎝⎛⎭⎫4x 25－r －k (－4)k ，∴当k ＝1，r ＝3时，展开式中的项为 －320x 4；当k ＝3，r ＝2时，展开式中的项为－640x 4；∴x 4的系数为－320－640＝－960.答案：－960创新应用练17．(2021·湖北黄冈月考)若(x ＋2)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7＋a 8x 8，则a 1－2a 2－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＝ (用数字作答)．解析：∵(x ＋2)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7＋a 8x 8，∴等式两边求导得8(x＋2)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6＋8a8x7.令x＝－1，有8×(－1＋2)7＝a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7－8a8，即a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7－8a8＝8.又a3＝C5825＝1792，故所求值为8－1792×3＝－5368.答案：－5368。
1高考数学新高考一轮复习教师用书：第十章第二讲 二项式定理 含答案
第二讲二项式定理)(1+x)6展开式中x2的系数为() 1.[2017全国卷Ⅰ](1+1x2A.15B.20C.30D.352.[2019广东湛江一模](2x-3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x-2y)n的展开式的二项式系数之和等于() A.16 B.32 C.64 D.128−x)6的展开式的结论正确的是() 3.[多选题]下列关于多项式(1+2xA.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为212C.存在常数项D.x3项的系数为404.[2019安徽十校高三摸底考试](x - y - 2z)6的展开式中含x2y3z的项的系数为.5.[2019天津高考](2x - 1)8的展开式中的常数项为.8x36.[2017 山东高考]已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.7.[2017 浙江高考]已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.考法1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数)5的展开式中x4的系数为1(1)[2018全国卷Ⅲ](x2+2xA.10B.20C.40D.80(2)[2019全国卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为A.12B.16C.20D.24(3)[2019太原二模](x2+x+y)4的展开式中x3y2的系数是.(1)利用(x2+2)5的展开式的通项公式求解;x(2)先分别求出(1+x)4和2x2(1+x)4的展开式中x3的系数,再求和即可;(3)把x 2+x +y 看成x 2+x 与y 的和,利用二项展开式的通项公式求解,或把(x 2+x +y )4看成4个因式x 2+x +y 的乘积,利用组合数公式求解.(1)T r +1=C 5r (x 2)5 - r (2x )r =C 5r 2r x 10 - 3r,由10 - 3r =4,得r =2,所以x 4的系数为C 52×22=40,故选C .(2)因为(1+2x 2)(1+x )4=(1+x )4+2x 2·(1+x )4, ..................................................................... (注意各项的分配)其中(1+x )4的展开式中x 3的系数为C 43=4,2x 2·(1+x )4的展开式中x 3的系数为2C 41=8,所以(1+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为4+8=12,故选A .(3)解法一 (x 2+x +y)4=[(x 2+x)+y]4,...................................................... (把“三项”当“两项”看)其展开式的第r +1项的通项公式为T r +1=C 4r (x 2+x)4-r y r , ..................................... (利用通项公式求解)因为要求x 3y 2的系数,所以r =2,即T 3=C 42(x 2+x)4-2y 2=6(x 2+x )2y 2.因为(x 2+x)2的展开式中x 3的系数为2, 所以x 3y 2的系数是6×2=12.解法二 (x 2+x +y )4 表示4个因式x 2+x +y 的乘积,在这4个因式中,有2个因式选y ,其余的2个因式中有一个选x ,剩下的一个选x 2 ,即可得到含x 3y 2 的项, ............................................................................................................... (利用组合数公式求解)故x 3y 2的系数是C 42·C 21·C 11=12.1.(1)在(1 - √x 3)7+(√x +a√x)6的展开式中,若x 2的系数为19,则a = .(2)[2019浙江高考]在二项式(√2+x )9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 .考法2 二项式系数的性质及应用命题角度1 二项展开式中的系数和问题2(1)已知(1 - 2x )n (n ∈N *)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,则(1 - 2x )n 的展开式中所有项的系数和为.(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2- (a1+a3+…+a9)2=39,则实数m 的值为.(3)[2015 新课标全国Ⅱ](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.(1)利用展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,建立关于n的方程,解方程,求出n的值,再令x=1,即可得展开式中所有项的系数和.(2)给x赋值0,可得(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,再给x赋值- 2,可得m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,再代入条件,列出方程求解.(3)展开后根据已知条件列方程求解或运用分配律结合通项求解或利用赋值法巧妙求解.(1)因为(1 - 2x)n(n∈N*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,所以C n2=C n7,解得n=9.令x=1,得(1 - 2x)9=(1 - 2)9= - 1,.............................................................................. (对(1 - 2x)n中的x赋值)所以(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为- 1.(2)令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,令x= - 2,则m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,又(a0+a2+…+a8)2 - (a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a9)(a0 - a1+a2 - a3+…+a8 - a9)=39,所以(2+m)9·m9=39,所以m(2+m)=3,解得m= - 3或m=1,故m的值为- 3或1.(3)解法一直接将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.解法二(1+x)4的展开式的通项为T r+1=C4r x r,由题意可知,a(C41+C43)+C40+C42+C44=32,解得a=3.解法三 设(a +x )(1+x )4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 1+a 3+a 5=32. 令x =1,得(a +1)×24=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5 ①. 令x = - 1,得0=a 0 - a 1+a 2 - a 3+a 4 - a 5 ②.由① - ②,得16(a +1)=2(a 1+a 3+a 5)=2×32,所以a =3.命题角度2 与二项展开式中的系数有关的最值问题3已知(√x 3+x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x - 1)n 的展开式的二项式系数和大992,则在(2x - 1x )2n 的展开式中,二项式系数最大的项为 ,系数的绝对值最大的项为 .先根据两个二项式系数和的关系求出n ,由n 值来确定(2x - 1x )2n 中二项式系数最大的项.要确定其展开式中系数绝对值最大的项,可列不等式求解.由题意知,22n - 2n =992,即(2n - 32)(2n +31)=0, 故2n =32,解得n =5.由二项式系数的性质知,(2x - 1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为T 6=C 105(2x )5( - 1x )5= - 8 064.设第k +1项的系数的绝对值最大,则T k +1=C 10k ·(2x )10 - k ·( - 1x)k =( - 1)k C 10k ·210 - k ·x 10 - 2k ,令{C 10k ·210-k ≥C 10k -1·210-k+1,C 10k ·210-k ≥C 10k+1·210-k -1,得{C 10k ≥2C 10k -1,2C 10k ≥C 10k+1,即{11-k ≥2k,2(k +1)≥10-k,解得83≤k ≤113. 因为k ∈Z,所以k =3.故系数的绝对值最大的项是第4项,T 4= - C 103·27·x 4= - 15 360x 4.故二项式系数最大的项为 - 8 064,系数的绝对值最大的项为 - 15 360x 4.2.(1)[2020山西大同高三调研]若(√x −2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 ( )A.210B.180C.160D.175(2)已知(2x - 1x )n 的展开式中的二项式系数和为32.若(x +ax )(2x - 1x )n 的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为.1.C(1+x)6展开式的通项T r+1=C6r x r,所以(1+1x2)(1+x)6的展开式中x2的系数为1×C62+1×C64=30,故选C.2. A∵(2x- 3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,∴C n n- 1·21·(-3)n- 1=- C n n- 2·22·(- 3)n- 2,解得n=4,24=16,则(3x- 2y)4的展开式的二项式系数之和等于16,故选A.3.BCD由题意可得,(1+2x- x)6的展开式中,各项系数之和为26,各项系数的绝对值之和为212,(1+2x - x)6=[1+(2x- x)]6,该展开式第一项即为常数项,故多项式的展开式中一定存在常数项,由题中的多项式可知,若出现x3项,可能的组合只有(2x )0×(- x)3和(2x)1×(- x)4,则可得x3项的系数为C63×13×C30×20×(- 1)3+C65×11×C51×21×(- 1)4=40.故选BCD.4.120 (x - y - 2z )6的展开式中含x 2y 3z 的项为C 64x 2·C 41(- y )3·(- 2z )=120x 2y 3z ,故展开式中含x 2y 3z的项的系数为120.5.28 二项展开式的通项T r +1=C 8r (2x )8- r (- 18x 3)r =(- 18)r ·28- r ·C 8r x 8- 4r ,令8- 4r =0,可得r =2,故常数项为(- 18)2×26×C 82=28.6.4 由题意可知C n 232=54,所以C n 2=6,解得n =4.7.16 4 由题意知a 4为含x 的项的系数,根据二项式定理得a 4=C 32×12×C 22×22+C 33×13×C 21×2=16,又a 5是常数项,所以a 5=C 33×13×C 22×22=4.1.(1)2 (1- √x 3)7+(√x √)6的展开式中x 2的系数为C 76(- 1)6+C 61(a )1=C 76+a C 61,则a C 61+C 76=19,解得a =2.(2)16√2 5 (√2+x)9的通项公式为T r +1=C 9r(√2)9- r x r (r =0,1,2,…,9),可得常数项为T 1=C 90(√2)9=16√2,当系数为有理数时,r =1,3,5,7,9,有T 2, T 4, T 6, T 8, T 10,共5个项.2.(1)B 解法一 因为(√x −2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n =10,则(√x −2x 2)10的展开式的通项公式为T k +1=C 10k (√x )10- k (- 2x 2)k =(- 2)k C 10k x10- k 2- 2k=(- 2)k C 10k x 5- 52k,令5-52k =0,解得k =2,所以常数项为(- 2)2C 102=180.解法二 因为(√x −2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n =10,则(√x −2x 2)10可以看成10个多项式√x −2x2相乘,要想得到常数项,则需在其中2个多项式中取- 2x2,余下的8个多项式中都取√x ,则常数项为C 102(- 2x 2)2(√x )8=180.(2)40 因为(2x - 1x)n 的展开式中的二项式系数和为32,所以2n =32,所以n =5.令x =1,得(x +ax)(2x -1x)5的展开式中的各项系数的和为(1+a )(2- 1)5=2,即a =1,所以(x +a x )(2x - 1x )5的展开式中的常数项为C 53·(- 1)3·25- 3+C 52·(- 1)2·25- 2=40.。
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中的重要内容。
它表示了一个二元多项式的n次幂的展开式。
其中，二项式系数是展开式中每一项的系数，可以用组合数来表示。
具体来说，二项式定理可以表示为：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$。
其中，$\binom{n}{k}$表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项式定理有很多应用，例如近似计算和估计，证明不等式等。
在使用二项式定理时，我们可以利用它的性质来简化计算。
其中，二项式系数具有对称性、增减性和最大值等性质。
此外，所有二项式系数的和等于$2^n$，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等。
需要注意的是，展开式共有n+1项，而二项式系数$\binom{n}{r}$是展开式中第r+1项的系数。
此外，展开式中的通项$T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$。
在使用二项式定理时，我们可以将一般情况转化为特殊情况，或者使用赋值法等思维方式来简化计算。
1.问题讨论1.1 例1求解C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]，以及当n为奇数时，7+C(n,7)+C(n,14)+。
+C(n,7+(n-1)/2)的余数。
解。
1.1.1 求解C(n)设S(n) = C(n)。
则有：S(n) + 3S(n) = 3*C(n,1) + 3*C(n,2) +。
+ 3^n-1*C(n,n)将上式两边相减，得：S(n) = (1/4) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]所以，C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]。
1.1.2 求解余数XXX(n,7)+C(n,14)+。
+C(n,7+(n-1)/2)的余数等于8^(n-1)的余数，因为：XXX(n,7)+C(n,14)+。
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第二节 二项式定理突破点一 二项式的通项公式及应用[基本知识]1．二项式定理2.二项式系数与项的系数 [基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项．( ) (2)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (3)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1.⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 2的系数等于________． 答案：452．在⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为________． 答案：2403.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．答案：3[全析考法]考法一 形如(a ＋b )n 的展开式问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．80(2)(2019·陕西黄陵中学月考)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 6的展开式中常数项为( ) A.52 B ．160 C ．－52D ．－160[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 36＝52，选A.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．考法二 形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题[例2] (1)(2018·广东一模)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (1＋2x )5的展开式中，x 3的系数为( ) A ．120 B ．160 C ．100D ．80(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (1＋2x )5＝x (1＋2x )5＋1x (1＋2x )5，∵x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为x ·C 25(2x )2＝40x 3，1x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为1x ·C 45(2x )4＝80x 3，∴x 3的系数为40＋80＝120.故选A.(2)根据(1＋x )8和(1＋y )4的展开式的通项公式可得，x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D.[答案] (1)A (2)D [方法技巧]求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．考法三 形如(a ＋b ＋c )n 的展开式问题[例3] (1)(2019·枣阳模拟)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60(2)(2019·太原模拟)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项是________． [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r， 令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k ， 令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.(2)由⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15＝⎝⎛⎭⎫－1＋2x ＋1x 5，则其通项公式为(－1)5－r C r 5⎝⎛⎭⎫2x ＋1x r (0≤r ≤5)，其中⎝⎛⎭⎫2x ＋1x r 的通项公式为2r －t C t r x r －2t (0≤t ≤r )． 令r －2t ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0，t ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2，t ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，t ＝2，所以⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中的常数项为(－1)5C 05＋(－1)3C 25×2C 12＋(－1)1C 45×22C 24＝ －161.[答案] (1)C (2)－161[方法技巧]三项展开式问题的破解技巧破解(a ＋b ＋c )n 的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．[集训冲关]1.[考法一](2＋33)100的展开式中，无理数项的个数是( ) A ．84 B ．85 C ．86D ．87解析：选A (2＋33)100展开式的通项为T r ＋1＝C r 100(2)100－r·(33)r ＝C r 100250－r 2×3r3，r＝0,1,2， (100)所以当r 是6的倍数时，T r ＋1为有理项， 所以r ＝0,6,12，…，96，共17项，因为展开式共有101项，所以展开式中无理项的个数是101－17＝84.故选A. 2.[考法二](x 2－2)⎝⎛⎭⎫1＋2x 5的展开式中x －1的系数为( ) A ．60 B ．50 C ．40D ．20解析：选A 由通项公式得展开式中x－1的系数为23C 35－22C 15＝60.3.[考法二](x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选D (2x －y )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－y )r ，当r ＝2时，T 3＝240x 4y 2，当r ＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80，故选D.4.[考法三]在⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中，含x 5项的系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24D ．－24解析：选B 由⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16＝C 06⎝⎛⎭⎫x ＋1x 6－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5＋C 26⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4＋…－C 56⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋C 66，可知只有－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中含x 5项的系数为－C 05C 16＝－6，故选B.突破点二 二项式系数性质及应用[基本知识]二项式系数的性质[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (2)在(1－x )9的展开式中，系数最大的项是第5项和第6项．( )(3)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为________．答案：842．已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________.答案：33．若(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 答案：2[全析考法]考法一 二项展开式中系数和的问题赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． ①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[例1] (1)(2019·郑州一中月考)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27(2)(2019·襄阳四中月考)设(x 2＋1)(2x ＋1)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10的值为________．[解析] (1)依题意得2n ＝8，解得n ＝3，取x ＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.故选A.(2)在所给的多项式中，令x ＝－1可得(1＋1)×(－2＋1)8＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝2.[答案] (1)A (2)2 [易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．考法二 二项式系数或展开式系数的最值问题求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．[例2] (1)(2019·内蒙古鄂尔多斯模拟)在⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中，x 3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20(2)(2019·福州高三期末)设n 为正整数，⎝⎛⎭⎫x －2x 3n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝3，则r ＝1，所以－a ×5＝－5，即a ＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C 25＝10，选B.(2)依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 8x 8－4r (－2)r，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.[答案] (1)B (2)112[方法技巧] 求展开式系数最值的2个思路[集训冲关]1.[考法一、二]设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中， 令x ＝1得2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ； 令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1＝63，∴n ＝6.而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.2.[考法一](a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3. 答案：33.[考法二]设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：依题意得，M ＝4n ＝(2n )2，N ＝2n ，于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，∴2n＝16＝24，解得n＝4.要使二项式系数C k4最大，只有k＝2，故展开式中二项式系数最大的项为T3＝C24(5x)2·(－x)2＝150x3.答案：150x3。