二项式系数
二项式展开式求系数
二项式展开式求系数1. 什么是二项式展开式在代数学中，二项式展开式是指将一个形如(a+b)^n的表达式展开成多个项相加的形式。
其中，a和b是常数，n是非负整数。
二项式展开式的每一项都可由a和b 的幂次幂函数相乘得到。
例如，将(a+b)2展开，得到的结果为a2+2ab+b2。
这里的a2、2ab和b^2就是二项式展开式的三个项。
2. 二项式系数在二项式展开中，每一个展开后的项都有一个对应的系数。
这个系数称为二项式系数。
在(a+b)^n中，每一项的系数可以通过以下公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数量。
3. 求解二项式系数的方法3.1. 直接计算法根据上述公式直接计算每一项的系数。
例如，在(a+b)^3中，我们可以计算出：C(3, 0) = 3! / (0! * (3-0)!) = 1C(3, 1) = 3! / (1! * (3-1)!) = 3C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3C(3, 3) = 3! / (3! * (3-3)!) = 1所以，展开式(a+b)^3的系数分别为1、3、3和1。
3.2. 杨辉三角形法杨辉三角形是一种特殊的数字排列形式，其中每个数字等于它上方两个数字之和。
利用杨辉三角形，我们可以更快地求解二项式系数。
首先，我们构建一个n行的杨辉三角形。
在第i行的第j个位置，存储着C(i, j)的值。
例如，在构建一个4行的杨辉三角形时，得到：11 11 2 11 3 3 1然后，我们可以直接读取杨辉三角形中对应位置的值作为二项式展开式中每一项的系数。
4. 示例让我们以(a+b)^4为例来演示如何求解二项式展开式中的系数。
首先使用直接计算法：C(4,0) = 4! / (0! * (4-0)!) = 1C(4,1) = 4! / (1! * (4-1)!) = 4C(4,2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6C(4,3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4C(4,4) = 4! / (4! * (4-4)!) = 1所以，展开式(a+b)^4的系数分别为1、4、6、4和1。
二项式系数求和公式
二项式系数求和公式
二项式系数求和公式，也称为二项式展开定理，是数学中一个重要的公式。
它可以用来求解二项式的幂的展开式中各项的系数。
二项式系数求和公式的一般形式为：
(1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + ... + C(n,n)x^n
其中，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，也就是二项式系数。
它可以用以下公式计算：
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
这个公式的意义在于，它能够将任意一个二项式展开成多个项的和，并且每一项的系数就是对应的二项式系数。
这样，我们就可以通过计算二项式系数来求解二项式的展开式。
二项式系数求和公式的应用非常广泛。
在概率论中，它可以用来计算二项分布的概率。
在组合数学中，它可以用来求解排列组合问题。
在数值计算中，它可以用来加速多项式的计算。
此外，它还有一些重要的性质，例如二项式系数的对称性、二项式系数的递推关系等等。
除了二项式系数求和公式，还有一些与之相关的公式。
例如，二项式系数的对称性公式：
C(n,k) = C(n,n-k)
这个公式表明，从n个元素中选择k个元素的组合数和选择n-k个元素的组合数是相等的。
这个公式的证明可以通过组合的性质来进行推导。
总之，二项式系数求和公式是数学中一个非常重要的公式，它有着广泛的应用领域，并且具有多种重要的性质。
通过理解和掌握这个公式，我们可以更好地解决各种与排列组合相关的问题。
《二项式系数》课件
排列数的性质
排列数的应用
在二项式展开中，排列数用于计算二 项式展开式的系数。
A(n,m) = n! / [1!×2!×...×m!]， A(n,0) = 1。
计算二项式系数的步骤
01
02
03
04
写出二项式展开式的通项公式 ：T_{r+1} = C(n,r)a^(nr)b^r。
根据题目要求，确定需要求的 二项式系数。
在组合优化问题中，二项式系数用于描述组合问题的约束条件和目 标函数的复杂性。
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概率分布
二项式系数是二项分布 的概率函数和累积分布 函数的重要组成部分， 用于描述和分析离散概 率分布。
在组合数学中的应用
组合计数
二项式系数用于组合计数中，表示从n个不同元素中选取k个元素 的不同方式的数目。
排列组合
二项式系数用于排列组合的公式推导，例如C(n,k)和P(n,k)的计算 。
组合优化
递推关系
二项式系数之间存在递推 关系，可以利用已知的二 项式系数计算未知的组合 数。
二项式系数的性质
组合数的性质
二项式系数具有组合数的性质， 如对称性、增减性等。
组合恒等式
二项式系数满足一些恒等式，如 C(n, k) = C(n, n-k)。
应用领域
二项式系数在数学、统计学、计 算机科学等领域有广泛应用。
n! / [m!(n-m)!]。
组合数的性质
C(n,m) = C(n,n-m)，C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)。
组合数的应用
在二项式展开中，二项式系数实质 上就是组合数。
排列数的计算方法
排列数的定义
二项式定理项的系数
二项式定理项的系数
二项式定理是数学上有名的一条定理，是指任何整数n(n≥0)的二项式定理都可以用
如下的公式表示：(1+x)^n=Σr=0,nCrxr，其中Cn,r是n阶组合数，也就是给定一个集合，可以从中选取r个元素，组合成一个新的子集，其中Cn,r定义为：Cn,r=n!/(r!*(n-r)!)，其中n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*···*1；下面将从实际数值上具体解释二项
式定理系数Cn,r的含义。
首先，当r=0时，Cn,r=n!/(0!*(n-0)!)，由于0!=1，则Cn,r=n!/1=n!此时，二项式
定理式子可以简化为：(1+x)^n=Σr=0,nCrxr=(1+x)^n=Cn,0x0+Cn,1x1+···+Cn,nxn，
而Cn,0x0=1x0=0，所以可以得到：(1+x)^n=Cn,1x1+···+Cn,nxn
从上面的例子中可以看出，当r=0，r=1，r=n时，二项式定理的系数Cn,r分别为n!，n，n，而当2≤r≤n-1时，二项式定理的系数Cn,r的值不一定是常数，而是一个与r有
关的多项式。
因此，由此可以总结出二项式定理的系数Cn,r的总结：当r=0，Cn,r=n!；
当r=1，Cn,r=n；当2≤r≤n-1时，Cn,r是一个具有r项的多项式；当r=n时，Cn,r=n。
二项式系数求和
二项式系数求和二项式系数求和是数学中一个非常重要的概念，也是很多数学问题中常常会涉及到的内容。
在代数学中，二项式系数指的是二项式展开式中各个项的系数，这些系数可以通过组合数学中的组合数来计算得到。
我们来看一下二项式系数的定义。
在代数学中，二项式系数是指二项式展开式中某一项的系数。
例如，在二项式展开式(x+y)^n中，展开后的每一项的系数就是二项式系数。
这些二项式系数可以通过组合数学中的组合公式来计算，具体来说，第n+1项的系数等于C(n,m)，其中m表示该项在展开式中的位置。
接下来，我们来看一下如何求解二项式系数的和。
对于一个二项式展开式(x+y)^n，它的所有二项式系数的和等于2^n。
这个结论可以通过数学归纳法来证明。
当n=0时，展开式为1，系数和为1，符合结论。
假设对于n=k，结论成立，即(x+y)^k的所有二项式系数的和为2^k。
那么当n=k+1时，展开式为(x+y)^(k+1) = (x+y)(x+y)^k，展开后可得到(x+y)^(k+1) = x(x+y)^k + y(x+y)^k，根据展开式中的二项式系数定义，可以得知所有二项式系数的和为2^(k+1)。
因此，结论得证。
除了通过数学归纳法来证明二项式系数的和为2^n，我们还可以通过其他方法来求解二项式系数的和。
例如，我们可以利用二项式系数的性质和规律，通过递推法或者其他数学方法来计算得到。
总的来说，二项式系数求和是数学中一个重要且基础的概念，它在代数学、组合数学等领域都有着广泛的应用。
通过研究二项式系数的性质和规律，我们不仅可以加深对数学知识的理解，还可以运用这些知识解决实际的数学问题。
希望大家能够在学习数学的过程中，多加关注二项式系数这一概念，不断提升自己的数学素养。
二项式系数和公式推导
二项式的各项系数之和，可以采用赋值法。
二项式系数之和公式为C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
二项式系数，或组合数，是定义为形如(1 + x)*6*7展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数）。
从定义可看出二项式系数的值为整数。
项式系数符合等式可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。
如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数，这些方法可分为没有选取第n+1件，即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件，即是从其余n件选取11件。
而第二式则是每个从n件选取k件的方法，也可看为选取其余n+1k件的方法。
三角形本来就是二项式展开式的算图
对杨辉三角形熟悉的考生，比如熟悉到了它的第6行：1，6，15，20，15，6，1。
三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透。
二项式系数和各项系数和公式
二项式系数和各项系数和公式
二项式系数的和与各项系数的和的公式分别是2^n和(a+b)^n。
二项式系数的和不论a和b是多少，都恒等于2^n(表示2的n 次方，下同)，而各项系数的和则与a和b都相关，等于(a+b)^n。
首先我们可以知道二项式公式即(a+b)^n=cn0*a^n+cn1*a(n-1)*b++cnn*b^n，如果要求二项式系数的和，就是求
cn0+cn1+cn2++cnn，即求当a和b都等于1的时候的整个公式的和，由公式的左侧可以得知就等于2^n，如果要求各项系数的和，由(ax+b)^n=cn0*(ax)^n+cn1*(ax)(n-1)*b++cnn*b^n，可知是要求cn0*a^n+cn1*a(n-1)*b++cnn*b^n，而这就等于当求x=1时(ax+b)^n 的值，就等于(a+b)^n，而a和b都是一个已知的常数，所以
(a+b)^n也就是一个常数，就是所求的结果。
二项式系数和算法
二项式系数和算法
二项式系数和算法是组合数学中的一种基本概念和重要算法。
在数学领域，二项式系数是指在二项式定理中展开式中某一项的系数，它表示从n个元素中取出k个元素的组合数，通常用C(n,k)表示。
二项式系数和算法在组合数学中应用广泛，例如在概率论、统计学、计算机科学等领域中都有重要应用。
二项式系数和算法的计算方法有多种，其中最常用的是组合数公式和递推公式。
组合数公式是通过数学公式直接计算二项式系数的值，例如：C(n,k) = n!/((n-k)!k!)。
递推公式则是通过已知的二项式系数值计算下一个二项式系数值，例如：C(n,k) = C(n-1,k-1) +
C(n-1,k)。
在计算机科学中，二项式系数和算法也被广泛应用。
例如，在算法设计中，递推公式可以用来设计高效的算法，例如动态规划和分治法。
在概率论和统计学中，二项式系数和算法也被用来计算二项分布的概率分布函数和累积分布函数等。
总之，二项式系数和算法是组合数学中的基本概念和重要算法，在多个领域中都有广泛的应用。
熟练掌握二项式系数和算法对于理解和应用相关领域的知识都是非常重要的。
- 1 -。
第三章 二项式系数
n r 1 r x , r 1 r
n
n 2 n 2 n 4. 1 2 n n(n 1)2n2. 1 2 n
n n r n r 1 n 1 (1 x ) x 证明 对等式 两边求导,得 n( x 1) r x , r 0 r r 1 r
§3.3
组合恒等式
组合恒等式
表示组合数之间关系的恒等式称为组合恒等式,至今已发 现有上千个,且仍在不断发展之中,这里只介绍几个常用的组合 恒等式,前面已讲的递推关系式和对称关系式也是两个常用的 组合恒等式.
n n n 1. 2n. 0 1 n
n
中，令 x 1 即得上式.
n n n 1 3 5
由上面的式子有
n n n 0 2 4
,它的组合意
义为:在n个不同元素中取r-组合, r为奇数的组合数等于r为偶数 的组合数．
n 有着下面常见的三个基本性质： r
n n . r n r
1.对称性关系式 2.递推关系式
n n 1 n 1 . r r r 1
这个关系式也称为扬辉恒等式 . 3.单峰性质
n n
对于任意实数及正整数r，定义
( 1) ( r 1) , r r !
称其为推广的二项式系数，它只有解析意义，没有组合意义.
规定 1. 0
二、牛顿二项式定理
分析中常见的牛顿二项式定理：
r 定理3.1.2 对任意的实数，有 (1 x) x r o r
二项式定理系数和公式
二项式定理系数和公式
随着互联网技术的发展，二项式定理系数和公式也应运而生，并得到了广泛的
应用。
二项式定理的定义是“任意一个正整数n>0，即(x+y)^n = Σx^(n-k)y^k，
其中k=0→n。
” 二项式定理说明，任何正整数n所对应的二项式系数实际上便是(x+y)^n由x和y展开后， x^(n-k)y^k组成的单项中，x^(n-k)y^k的系数经可以
通过表达式n!/((n-k)!k!)，而n!即n的阶乘，n! = 1*2*3*4*…*n。
借助于二项式定理有着多种应用，可以公式化地考察概率问题、棋类问题以及
许多其他问题。
比如，将抛洒n枚骰子的所有可能结果以组合的形式表达式出来，便是一个标准的二项式定理。
还有一个极为重要的应用，二项式定理分形，可以描绘出大自然中可能存在的典型图案。
在网络和信息技术领域，二项式定理则可以应用于多媒体信号处理、视频压缩、数据传输、经济管理、信息系统的安全传输、符号处理、加密算法以及网络调制等。
这些技术的发展，得益于二项式定理的宽泛运用和广泛研究，使得我们的网络技术日益成熟。
由此可见，二项式定理系数和公式是互联网技术发展的重要基石，它不仅可以
解决许多实际问题，而且可以应用于多种技术领域，正如此它可谓是互联网技术发展中不可缺少的因素，值得我们重视和深入研究。
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第二节 二项式定理
1.二项式定理：
(1)(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n .
(2)通项公式：
T r ＋1＝C r n a n －r b r (r ＝0,1,2,…,n )为展开式第r +1项.
(3)展开式的特点：
共有n ＋1项；第r ＋1项的二项式系数为C r n ；
2.二项式系数的性质:
(1) C r n ＝C n －r n .
(2)若n 为偶数,中间一项n 2＋1的二项式系数最大；
若n 奇数,中间两项n ＋12、n ＋12
＋1的二项式系数相等并且最大．
(3) C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .
(4) C 1n ＋C 3n ＋C 5n ……＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n
＋……＝2n －1. 3.二项式中的最值问题
求(a ＋bx )n 展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1设第r ＋1项系数最大，则
⎩⎪⎨⎪⎧
A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2.
4.二项式定理的主要应用
(1)赋值求值；
(2)证明某些整除问题或求余数；
(3)证明有关等式与不等式；
(4)进行近似计算.
例1.(1)求1231393n n n n n n C C C C -++++L 的值。
(2)
求8
1-展开式中含x 项的系数为？ (3)
求81-
展开式中所有x 的有理项。
练习1:
(1＋x 3)(x ＋1x 2)6展开式中的常数项为_____． 例2.已知(x +2x 2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.
(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
例3.已知(3x －1)7＝a 0x 7＋a 1x 6＋…＋a 6x ＋a 7.
(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7的值；
(2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|的值；
(3)求a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值．
解析(1)令x＝1，得a0＋a1…＋a7
＝(3×1－1)7＝27＝128.
(2)易知a1，a3，a5，a7为负值，
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝a0－a1＋a2－…－a7
＝－(－a0＋a1－a2＋…＋a7)
－[3×(－1)－1]7＝47.
(3)令f(x)＝(3x－1)7，则
f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7，
f(－1)＝－a0＋a1－a2＋…＋a7.
∴2(a1＋a3＋a5＋a7)
＝f(1)＋f(－1)＝27－47.
∴a1＋a3＋a5＋a7＝26－213＝－8128.
题型五整除与余数问题
例5(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N*)；
(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．
分析将已知的式子适当整理化简，再根据题目的要求选择合适的解法．
解析(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1
＝25n－1
2－1
＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝C0n×31n＋C1n×31n－2＋…＋C n－1
×31
n
＋C n n－1
＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－1＋…＋
)，
C n－1
n
显然上式括号内为整数．
∴原式能被31整除．
(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1
＝89－1＝(9－1)9－1
＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1
＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2
＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89－1)＋7.
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7.
点评有关整除性问题是二项式定理的应用之一，其关键在于如何把问题转化为一个二项式，注意结合二项式的展开式和整除的有关性质解决问题.
变式迁移5
求1090除以7的余数．
解析解法一：1090＝10045＝(98＋2)45
它的展开式中除末项外，均能被7整除，其末项为：
245＝815＝(7＋1)15
其展开式除末项外，均能被7整除，末项为1，所以1090除以7余1.
解法二：1090＝100030＝(143×7－1)30.
它的展开式中除末项外，均能被7整除，其末项为1，故余数为1.
题型六 证明不等式
例6求证：2≤(1＋1n )n ＜3(n ∈N *)．
证明 当n ＝1时，(1＋1n )n ＝2.
当n ≥2时，
(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…＋C n n (1n
)n ＝1＋1＋C 2n ·1n 2＋…＋C n n ·1n n ＞2. 又C k n ·1n k ＝n (n －1)…(n －k ＋1)k ！n k ≤1k ！
， 所以(1＋1n )n ≤2＋12！＋13！＋…＋1n ！
＜2＋11·2＋12·3＋…＋1(n －1)n
＝2＋(1－1
2)＋(
1
2－
1
3)＋…＋(
1
n－1
－
1
n)
＝3－1
n＜3，
综上有2≤(1＋1
n)
n＜3.
点评此不等式的证明中，利用二项式定理，将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底.
变式迁移6
求证：3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，且n＞2)．
证明因为n∈N*，且n＞2.
所以3n＝(2＋1)n展开至少有四项．
(2＋1)n＝2n＋C1n·2n－1＋…＋C n－1
n
·2＋1 ≥2n＋n·2n－1＋2n＋1
＞2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1
所以3n＞(n＋2)·2n－1.
方法路路通
1．有些三项式展开式问题可以通过变形二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏．
2．对于二项式系数问题首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段．
3．近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项．
4．用二项式定理证明整除性问题，一般将被除式变为有关除式的二项式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决．
5．利用二项式定理证明不等式时，设计将待证的不等式用二项式定理展开成较简单的表达式，对高次可考虑用放缩法处理. 知 能 层 层 练
1．(2010·江西卷)(1－x )10展开式中x 3项的系数为( )
A ．－720
B ．720
C ．120
D ．－120
2．若n ∈N *且n 为奇数，则6n ＋C 1n 6n －1＋C 2n
6n －2＋…＋C n －1n 6－1被8除所得的余数是()
A ．0
B ．2
C ．5
D ．3
3.若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R),
则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2
4．(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．
5.已知(x－2
x2)
n(n∈N*)的展开式中第五项
的系数与第三项的系数的比是10 1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x 3
2的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
解析由题意知，第五项系数为C4n·(－2)4，第三项的系数为C2n·(－2)2，
则有C4n·(－2)4
C2n(－2)2
＝
10
1，解得n＝8.
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝
1.
(2)通项公式T r＋1
＝C r8·(x)8－r·(－2
x2)
r＝C r8·(－2)r·x
8－r
2－
2r，
令8－r
2－2r＝
3
2，
则r ＝1，故展开式中含x 32
的项为T 2＝－16x 32
. (3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为
C r －18·2r －1，C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1，
若第r ＋1项的系数绝对值最大，则
⎩⎪⎨⎪⎧
C r －18·2r －1≤C r 8·2r ，C r ＋18·
2r ＋1≤C r 8·2r ，解得5≤r ≤6， ∴系数最大的项为T 7＝1792·1x 11. 由n ＝8知第5项二项式系数最大，
此时T 5＝1120·1x 6.。