高考理科数学复习题解析 计二项式定理
高中数学高考专题26 排列组合、二项式定理(解析版)
专题26 排列组合二项式定理命题规律内 容典 型１ 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 2020年高考全国Ⅰ卷理数8 ２ 求二项式展开式的指定项或指定项系数 2020年高考全国Ⅲ卷理数14 ３ 求二项式展开式中奇数项系数 2020年高考浙江卷12 ４ 利用计数原理计算组合问题2020年高考山东卷3 ５利用计数原理计算排列组合的综合问题2020年高考全国Ⅱ卷理数14命题规律一 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题【解决之道】利用二项式定理展开式的通项，列出关于所求项的指定项指数的方程，通过解不定方程，即可确定指定项，利用通项公式即可求出指定项系数，注意分类讨论. 【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），∴2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155rrrr rr r xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==，在615r r rr xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5，∴33x y 的系数为10515+=，故选C ． 2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．命题规律二 求二项式展开式的指定项或指定项系数【解决之道】解决此类问题，设指定项为二项式展开式的第r 项，利用通项公式，列出关于r 的方程，解出r ，即可求出指定的系数.【三年高考】1.【2020年高考北京卷3】在)52的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10 【答案】C【解析】由题意展开式的通项为T r+1=C 5r（x 12）5−r(−2)r ==C 5r (−2)r x5−r2，令r=1得x 2的系数为-10，故选C ．2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 （用数字作答）． 【答案】240【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其二项式展开通项：()62612rr rr C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r r xC x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅，当1230r -=，解得4r =，∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．3.【2020年高考天津卷11】在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．5.【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x的通项为919C (0,1,29)r r r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．6.【2018年高考浙江卷】二项式81)2x的展开式的常数项是__________． 【答案】7【解析】二项式812x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848318811C C 22rr rrrr r T xx --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令8403r -=得2r =，故所求的常数项为2821C =72⋅．故答案为：7． 7.【2018年高考天津卷理数】在5(x 的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52【解析】二项式5(x -的展开式的通项公式为35521551C C 2r rr r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：225115C 10242⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：52．命题规律三 求二项式展开式中奇数项系数【解决之道】解决此类问题，要熟记二项式展开式的系数性质，利用赋值法，即可列出二项式系数的方程（组），系数和即赋值1x =，偶数项系数和减去奇数项系数和即赋值1x =-，通过解方程即可求出偶数项（奇数项）系数和.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷12】设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= ．【答案】80；51【解析】由题意可知5a 表示4x 的系数，即4455280a C =⋅=，11a =，125210a C =⋅=，2235240a C =⋅=，∴12351a a a ++=．命题规律四 利用计数原理计算组合问题【解决之道】排列组合问题常见解法:（1）元素分析法：在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
（完整版）二项式定理高考题（带答案）
1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】【解析】分析：分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.7.【【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为的系数为A ．80- B ．40-C ．40 D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345xa x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案计数. 9.【2017山东，理1111】】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C3C 3rrr r rr nnx x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C rr r nx +T=，令2r =得2x 的系数是2C n，因为2x 的系数为15，所以2C 15n=，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．属于容易题．属于容易题．解题时一定要抓住重解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C kn kkk n ab -+T =．11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】5312xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52【解析】二项展开式通项为71535215511()()()22k k kkkk k T C x C xx--+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()()44214411r rr rrr r T CxC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 【答案】1516【解析】614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以该项系数为1516. 16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）A.3B.3-C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）字作答）【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x2+1x）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nxx⎪⎭⎫⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i为虚数单位，则6(i)x+的展开式中含x4的项为的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A23.（2016年天津高考）281()xx-的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-24.（2016年全国I高考）5(2)x x+的展开式中，x3的系数是的系数是 .（用数字填写答案）案） 【答案】10。
专题10-2 二项式定理-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)
【详解】 x 2 10 的展开式中,通项公式： Tr1 C1r0 x10r 2 r ，
令 10−r=7，解得 r=3.
∴x7 的系数为 C130 2 3 = 8C170 ,
故选：C.
2.．
1 2
x
2
y
5
的展开式中
x2
y3
的系数为_____．
【答案】-20 分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的
k
1 项 Tk1
Ckn
x3 nk
x3 k Ckn x3n6k
令 3n 6k 0 则 n 2k （ k Z ）
所以 n 为偶数。故选：A
【题型四】给通项求参数
【典例分析】
已知
ax
b x
6
的展开式中
x
3 2
项的系数为
160，则当
a
0
，
b
0
时，
a
b
的最小值为（
）
A．4
B． 2 2
C．2
D． 2
当 r 3 时， T4 253C53x53 y 3 40x2 y3 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 x 即可，得到 40x3 y3 ；
当 r 2 时，T3 252 C52 x52 y 2 80x3 y2 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 2 y 即可，得到 160x3 y3 ；
故选：D．
3. x 2 y 2x y 5 的展开式中的 x3 y3 系数为（
）
A． 200
B． 120
C．120
D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定 (2x y)5 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 x3 y3 的系数.
高考专题 二项式定理(全解析)
1 / 4二项式定理一、选择题1．（求项的系数）5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【解析】5(2x二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．2．（知常数项求某一项的系数）若在(a +3x )(1−√x 3)8关于x 的展开式中，常数项为4，则x 2的系数是（ ） A ．56 B ．-56 C ．112 D ．-112【答案】B【解析】由题意得(1−√x 3)8展开式的通项为T r+1=C 8r (−√x 3)r=(−1)r C 8r x r3，r =0,1,2,⋯,8， ∴(a +3x )(1−√x 3)8展开式的常数项为(−1)0C 8⋅a =a =4， ∴(4+3x )(1−√x 3)8展开式中x 2项为4⋅(−1)6C 86x 63+3x ⋅(−1)3C 83x 33=−56x 2∴展开式中x 2的系数是−56. 故选B3．（直常数项求参数）若6ax ⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( )A ．4B ．4±C ．2D ．2±【答案】D【解析】因为6ax ⎛ ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-，令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D2 / 44．（奇数项系数的和）记6260126(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0246a a a a +++=（ ）A ．81B ．365C ．481D ．728【答案】B【解析】令x=0得1=0126...a a a a ++++，令x=-2得601234563=a a a a a a a -+-+-+，所以0246a a a a +++=1+729=3652. 故选B5．（由系数二项式系数的和求参数）已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】二项式n的各项系数的和为()1+34n n=，二项式n的各项二项式系数的和为()1+12n n=， 因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4=2642n nn =，6n =，故选C ．二、填空题6．（集合关系判断）若)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是____．【答案】180【解析】因为)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，展开式的通项公式为5510221101022r rrr rrr r TC xC x---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令5502r-=，解得3 / 42r，所以展开式的常数项为22101280C ⋅=.7．（求系数最大项）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为第__________项．【答案】3或5【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大. 8．（二项展开式系数的性质应用）在()()25132x x +-的展开式中，所有的奇次幂的系数和为__________．【答案】478- 【解析】设()()25223456701234567132x x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++令1x =，得：0123456716a a a a a a a a =+++++++……① 令1x =-，得：01234567972a a a a a a a a =-+-+-+-……② ①-②得：()13579562a a a a -=+++ 解得：1357478a a a a +++=- 本题正确结果：478-9．（二项式与数列）已知数列{}n a 满足11a k=，k *∈N ，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[]1,61=，记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ）.①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =__________； ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =__________．【答案】6 ()211nk kn k+--【解析】①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，且11a k =，*2k k N ≥∈，，则11(1,)n a n n n k=+-∈-，所以[]1n n b a n ==-，则401236T =+++=；故填6.4 / 4②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，且11a k=，*2k k N ≥∈，，则 1112131211(1)(1)n n n n n n n a k k C k C kk k------=⋅+=⋅+++⋅⋅⋅+，则213111n n k n n n b k C k C -----=++⋅⋅⋅+， 221311101(2)(33)()n n k n n n T k k k k C k C -----=+++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+22223332341451[123(1)](1?)(1)n n n n C C C k C C C k---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+3422(1))2n n n n n n n C k C k C k --=+++⋅⋅⋅+ 223321()n n n n n C k C k C k k =++⋅⋅⋅+ 21[(1)1]n k nk k =+--；故填21[(1)1]n k nk k+--. 10．（二项式与函数）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001).将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =），记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)...(21)f f f f ++++++-=__________． 【答案】20183【解析】由题意得20182018201820192212221++-，，，，共201920182018222-=个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1 设其中的数x ，转换为二进制后有k 个0（0k 2018≤≤） ∴()2kf x =在这20182个数中，转换为二进制后有k 个0的数共有2018kC 个 ∴()()()()201820182018201820192018022122 (2)12k kk f f f f C =++++++-=∑由二项式定理，()201820182018201802123k kk C ==+=∑。
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.二项式(2－)6的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)【答案】365【解析】T＋1＝·(2)6－r·(－1)r·x－r＝(－1)r·26－r，r＝0,1,2,3,4,5,6，当r＝0,2,4,6时，rT＋1＝(－1)r26－r为有理项，则所有有理项的系数和为26＋24＋22＋20＝365.r2.在的展开式中，记项的系数为，则（）A．45B．60C．120D．210【答案】C【解析】由题意可得，故选C【考点】二项式系数.3.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点】本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 4.设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则.【答案】【解析】由图易知，则，即，解得.【考点】1.二项展开式的应用.5.的展开式中第5项的二项式系数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由二项展开式的通项公式得，第5项的二项式系数为.【考点】二项式定理.6.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7.的二项展开式中，常数项为______．【答案】【解析】二项式的通项，令，得，故展开式中常数项为．【考点】二项式定理．8.的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）【答案】【解析】通项，令，则，所以二项展开式中常数项为.【考点】二项式定理。
9.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为b．若,则m=( )A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由题意知：,,所以,∴．∴解得m=6．10.在的展开式中，的系数是（）A．－297B．－252C．297D．207【答案】D【解析】∵原式=．∴欲求原展开式中x 5的系数，只需求出展开式中x5和x2的系数．而=1+…+x2+…+x5+…．故展开式中，x5的系数为－=207．11.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．12.展开式中含项的系数是_________．【答案】【解析】，所以的系数为．【考点】二项展开式的系数．13.的展开式中，常数项是______________.【答案】【解析】由二项式定理得，，令，得，故展开式中的常数项为．【考点】二项式定理.14.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.15.若是展开式中项的系数，则．【答案】【解析】由题意，，∴，∴．【考点】二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．16.二项式展开式中的常数项是_________．（用数字作答）【答案】.【解析】由二项展开式的通项公式得，二项式展开式中的常数项是.【考点】二项定理.17.若的二项展开式中，所有项的二项式系数和为，则该展开式中的常数项为 .【答案】15【解析】∵所有项的二项式系数和为64，∴，∴，∴，∴，令，即，∴常数项为.【考点】二项式定理.18.已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x5的系数是189,则实数m=()A．3B．-3C．±3D．5【答案】C【解析】(x-m)7=(-m+x)7,则Tk+1=x k(-m)7-k,令k=5,得m2=189,解得m=±3.19. (x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a+a1+a2+…+a11的值为()A．2B．-1C．-2D．1【答案】C【解析】∵(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,∴令x=-1,得2×(-1)9=a0+a1+a2+…+a11,即a0+a1+a2+…+a11=-2.【方法技巧】求展开式中的系数和的方法一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.20.在(x4+)10的展开式中常数项是(用数字作答).【答案】45【解析】(x4+)10的通项为=()r=,令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为==45.21.二项式展开式中的常数项为 .【答案】【解析】的展开式的通项，令可得，则常数项为.【考点】二项式展开式的通项公式22.已知n(n∈N*)的展开式中，前三项系数成等差数列，则展开式中的常数项是 ()．A．28B．70C．D．【答案】C【解析】展开式的前三项的系数分别为，，，则由题意可得＋＝，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)．于是Tr＋1＝r＝x，若Tr＋1为常数项，则8－r＝0，即r＝6.故展开式中的常数项为T7＝＝.23.二项式的展开式中，含的项的系数是___________.【答案】-126【解析】利用二项展开式通项公式可得，，令，可得，代入可得所求系数为．【考点】二项展开式通项公式．24.展开式中的系数是________．【答案】－3【解析】，所以的系数为：－3【考点】二项式定理及多项式的乘法.25.设…，则…＝．【答案】【解析】中正负相间，当然我们可以通过令求出和，此题我们还可以用另外一种方法，设，则全为正，，，所以．【考点】二项展开式的系数．26.设的展开式中的系数为,二项式系数为,则 .【答案】4【解析】的展开式的通项公式为.由得.又.注意B只是的二项式系数.【考点】二项式定理.27.的展开式中常数项为___________________．【答案】【解析】常数项为.【考点】二项式定理.28.的展开式中的系数是__________.【答案】【解析】原式=，中的通项为，则，，当，即，此时这项中的系数为；当，即，此时这项中的系数为，所以原式展开式中的系数为.【考点】1.二项式定理中项的系数的表示；2.二项式定理的运算.29.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 .【答案】-2【解析】的二项展开式中第项为，若含的这一项，则，所以，为，所以项的系数为，即.【考点】二项式定理30.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）【答案】【解析】的展开式的第项为，令，故的展开式中的常数项为.【考点】二项式定理31. (1-x)3(1-)3展开式中常数项是( )A．－20B．18C．20D．0【答案】C【解析】要求原式的常数项即求中的系数，【考点】二项式定理32.的展开式中的系数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】二项式定理求系数33.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】根据题意，由于二项式的展开式的第二项的系数为，则可知为，故可知，故可知结论为或，选C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式通项公式的运用，属于基础题。
高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理
高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。
2023年高考数学真题分训练 排列组合、二项式定理(理)(含答案含解析)
专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.若则= .【答案】【解析】由于是展开式中第四项的系数，而.所以，=.【考点】二项式定理.2.的展开式中的系数是___________.【答案】56【解析】原二项式展开式的通项公式为令r＝2，得，系数为56.考点:二项式定理3.在的展开式中，含项的系数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以含项的系数为15.选C【考点】二项式定理.4.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，即只有第5项的二项式系数最大即.所以二项式的展开式的通项为．.所以项的系数是.故选A【考点】1.二项式定理.2.归纳推理的数学思想.3.组合数的计算.6.的展开式的中间一项是__________．【答案】-20【解析】展开式的中间一项为.【考点】二项式定理.7.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．8.若，则= .【答案】【解析】令，由通项公式可得，令，=（）==.【考点】1二项式定理；2赋值法。
9.二项式的展开式中含项的系数值为_______________.【答案】35【解析】.依题意可得.所以展开式中含项的系数值为35.【考点】1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.10.若展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中含项的系数是（）A．192B．182C．-192D．-182【答案】C【解析】由题意可知，得，则二项展开式的通项公式为，令，得，含项的系数是.【考点】二项式定理.11.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.12.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.13.二项式的展开式中的常数项是 .【答案】15【解析】二项式的展开式中的常数项是.【考点】二项式定理.14.展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180B．90C．45D．360【答案】A【解析】因为的展开式中只有第六项二项式系数最大，所以，则由，令，解得，所以展开式中的常数项是，故正确答案选A.【考点】二项式理及展开式通项公式.15.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.16.二项式展开式中的常数项是( )A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项【答案】C【解析】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【考点】二项式定理17.二项展开式中的常数项为( )A．56B．-56C．112D．-112【答案】C【解析】∵，∴令，即，∴常数项为，选C.【考点】二项式定理.18.若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0 C．－1D．－2【答案】C【解析】令x＝0，则a＝1；令x＝，则a＋＋＋…＋＝0.∴＋＋…＋＝－1.19. 5展开式中的常数项为()．A．80B．－80 C．40D．－40【答案】C【解析】Tr＋1＝C5r (x2)5－r r＝C5r(－2)r x10－5r，令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C52(－2)2＝40.20.n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()．A．360B．180C．90D．45【答案】B【解析】二项式系数为，只有第六项最大，即最大，则n＝10，所以Tr＋1＝ ()10－rr＝，由5－r＝0得r＝2，故常数项为T3＝22＝180.21.若展开式中存在常数项,则n的值可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】二项展开式的通向，当时，为常数项。
2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)
2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)一、二项式定理的概念二项式定理是数学中非常重要的一个定理，它描述了二项式展开式的规律。
二项式定理的公式如下：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{nk}b^k$其中，$C_n^k$ 表示组合数，表示从n个不同元素中选取k个元素的组合方式的总数。
组合数的计算公式为：$C_n^k = \frac{n!}{k!(nk)!}$其中，$n!$ 表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。
二、二项式定理的应用1. 求解二项式展开式的系数：二项式定理可以帮助我们求解二项式展开式的系数。
例如，求解 $(x+2)^3$ 的展开式，可以使用二项式定理来计算各项的系数。
2. 求解二项式展开式的项数：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的项数。
例如，求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项，可以使用二项式定理来计算。
3. 求解二项式展开式的通项公式：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的通项公式。
例如，求解 $(x+y)^4$ 的展开式的通项公式，可以使用二项式定理来推导。
三、二项式定理的例题解析为了更好地理解二项式定理的应用，下面我们将通过几个例题来进行解析。
例题1：求解 $(x+3)^4$ 的展开式。
解析：根据二项式定理，$(x+3)^4$ 的展开式可以表示为：$(x+3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k x^{4k}3^k$计算各项的系数，得到展开式为：$(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$例题2：求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项。
解析：根据二项式定理，$(x+1)^5$ 的展开式的项数等于 $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$。
计算各项的系数，得到展开式的项数为：$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$因此，$(x+1)^5$ 的展开式共有32项。
2023年高考数学(理科)一轮复习——二项式定理
考试要求 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开 式有关的简单问题.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.二项式定理
＋…＋a9＝___－__5_0_9_.
解析 令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝2；令 x＝0，得 a0＝29＝512； 又展开式的 x10 的项为 C99(－x)9x＝－x10，所以 x10 的系数为－1，故 a1＋a2＋… ＋a9＝2－512－(－1)＝－509.
索引
感悟提升
1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2 ＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2.若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇 数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1），偶数项系数之和为 a1＋ a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1）.
中x3的系数为__－__1_6_0__.
解析 因为(2－x)n 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，所以 n 为偶数， 且n2＋1＝4，所以 n＝6，即(2－x)n＝(2－x)6，其通项 Tk＋1＝Ck626－k(－x)k，k＝0， 1，2，…，6，令 k＝3，则 T4＝－C3623x3＝－160x3，所以 x3 的系数为－160.
索引
诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项.(× ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关.( √ )
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高考数学复习第二节二项式定理[考纲传真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n ＝C0n a n ＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－kn增减性二项式系数C k n当k<n＋12(n∈N*)时，二项式系数是递增的当k>n－12(n∈N*)时，二项式系数是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项和相等，同时取得最大值[常用结论]1．C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.2．C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项． ( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )(4)通项T k＋1＝C k n a n－k b k中的a和b不能互换．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )A．6 B．－6C．24 D．－24A[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C24＝6.故选A.]3．(教材改编)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 3y 2的系数是( )A ．5B ．－20C ．20D ．－5A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r(－2y )r.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝3，r ＝2，解得r ＝2.所以x 3y 2的系数是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123×(－2)2＝5.故选A.]4．(教材改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 020＋C 22 020＋C 42 020＋…＋C 2 0202 020的值为( )A ．1B ．2C ．2 019D ．2 019×2 020B [原式＝22 01922 020－1＝22 01922 019＝1.故选A.]5．(1＋x )n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________. 10 [∵T 6＝C 5n x 5，又仅有第6项的系数最大，∴n ＝10.]二项展开式的有关问题【例1】 (1)(x 2＋2)⎝⎛⎭⎪⎫1x2－1的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(2)(2018·广州二模)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是________．(用数字作答)(1)D (2)－120 [(1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x 2项，第二个因式取1x 2项得x 2×1x2×C 15(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C 55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x＋y 6表示6个因式x 2－2x＋y 的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y ，其余的3个因式中有2个选x 2，剩下一个选－2x，即可得到x 3y 3的系数．即x 3y 3的系数是C 36C 23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.][规律方法] 求二项展开式中的特定项的方法,求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围k ＝0，1，2，…，n.1第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；2常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； 3有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.4求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦.(1)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( )A ．±2 B.12 C ．－2D ．±12(2)已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________．(1)A (2)454x 2，－638，45256x －2 [(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式的通项为T r ＋1＝，令12－3r ＝0，得r ＝4.故C 46·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝1516，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝116，解得a ＝±2.故选A.(2)由T r ＋1＝r＝.∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r3＝0，即n ＝10.当⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z时，即r ＝2,5,8时10－2r3∈Z ，所以展开式中的有理项分别为454x 2，－638，45256x －2.]二项式系数的性质及应用►考法1 二项式系数的和【例2】 (1)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120(2)(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．(1)C (2)－3或1 [(1)令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r x 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90，故选C. (2)令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.] ►考法2 二项式系数的性质【例3】 设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [根据二项式系数的性质知，(x ＋y )2m的二项式系数最大的项有一项，即C m2m ＝a ，(x ＋y )2m ＋1的二项式系数最大的项有两项，即C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b.又13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．][规律方法] 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如ax ＋bn，ax 2＋bx ＋cma ，b ，c ∈R 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2.若f x ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f x 展开式中各项系数之和为f 1，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．(2)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中的二项式系数和为32，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．(1)255 (2)40 [(1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k n (x 2)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝C k n (－1)k x2n －3k，当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n的展开式中的二项式系数和为32，所以2n＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中的各项系数的和为(1＋a )(2－1)5＝2，所以a ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为C 35·(－1)3·25－3＋C 25·(－1)2·25－2＝40.]1．(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35C [因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20C ．30D ．60C [法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C. 法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.]。