浙江省湖州市高中联盟2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)

浙江省湖州市高中联盟2020学年高一下学期期中联考数学试题第Ⅰ 卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量加减法运算得结果.【详解】根据向量加法运算得，根据向量减法得,故选D【点睛】本题考查向量加减法运算法则，考查基本化简能力2.设的内角所对的边分别为,若，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】首先结合题中所给的条件，根据正弦定理，求得，利用三角形中大边对大角的结论，以及三角形内角的取值范围，可求得，得到结果.【详解】根据题中所给的条件，依据正弦定理有，即，可求得，因为，所以，又，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及三角函数值求角，属于简单题目.3.在等比数列中, ，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用等比数列的性质，可得，再结合三项同号，从而求得，得到结果.【详解】在等比数列中，有，所以有，又三项同号，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，等比数列通项公式的有关运算，属于简单题目.4.设的内角所对的边分别为,若，则角= （）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，即可确定出A的度数. 【详解】因为，所以有，所以，即，因为A为三角形内角，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用余弦定理求三角形内角的余弦值，已知三角函数值求角，属于简单题目.5.设数列满足，=，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，分别求得，，，，从而判断出数列是以3为周期的周期数列，进而求得，得到结果.【详解】由已知得，，，，所以数列是以3为周期的周期数列，又因为，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于简单题目.6.在中，若角，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用向量数量积的定义式，将表示出来，画出相应的图形，从而结合直角三角形的特征，求得结果.【详解】根据题意有，故选C.【点睛】该题考查的是有关向量数量积的求解问题，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.7.设的内角所对的边分别为,若,则的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】依题意，利用正弦定理可知，易知，从而可得答案.【详解】中，因为，所以由正弦定理得：，即，又，所以，所以，所以的形状为直角三角形，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角形形状的判断问题，涉及到的知识点有正弦定理，正弦函数和角公式，诱导公式，属于简单题目.8.已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为（），则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【解析】根据平面向量基本定理可知， 若平面上任意向量都可以唯一地表示为， 则向量，不共线，由，得，解得，即实数的取值范围是． 故选． 9.定义为个正数的“均倒数”，若已知数的前项的“均倒数”为，又，则（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】先利用“均倒数”的定义，求得的表达式，代入，利用裂项求和法求得所求的数值. 【详解】根据“均倒数”的定义，有，故，故，，两式相减得，当时，也符合上式，故.所以，注意到，故，故选C.【点睛】本小题考查新定义概念的理解，考查数列求和方法中的裂项求和法，考查运算求解能力.属于中档题.10.已知向量，，定义：，其中．若，则的值不可能．．．为（ ） A.B.C.D.【答案】A【分析】首先根据平面向量的关系，得到最简形式，此时要根据平面向量的模长大于0来判断绝对值的取值，从而确定不符合要求的选项. 【详解】因为向量，所以， 又，得，则，即，从而有，当时，，不满足题意，当时，由及得，所以，即，所以，得，所以，所以，因为，又， 所以当，即时，，解得，此时， 当时，即时，，解得，此时，综上所述，，结合选项，只有不符合上述条件，故选A.【点睛】该题主要考查平面向量的几何意义，平面向量垂直的条件，向量的平方与模的平方是相等的，结合题意，列出对应的不等式组，求得结果，属于较难题目.第Ⅱ 卷（非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．)11.若数列满足，=，则=____，通项公式=____.【答案】 (1). 9 (2).【解析】【分析】由已知可得数列是首项，公差的等差数列，由此能求出结果.【详解】数列满足，=，所以数列是首项，公差的等差数列，所以，，故答案是（1）9，（2）. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的定义，等差数列的项的求解，等差数列的通项公式，属于简单题目.12.在中，角所对的边分别为,若,，，则____；的面积为____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，利用余弦定理求得，之后应用三角形的面积公式求得，得到结果.【详解】因为在中，,，，由余弦定理可得，所以，由三角形面积公式可得，故答案是：(1)，(2)【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，三角形的面积，属于简单题目.13.已知，，则在上的投影为______；若，则____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用投影即为，利用向量的数量积运算得到，得到投影为，利用坐标求得结果，向量垂直得到其数量积等于零，建立等量关系式，求得的值.【详解】设的夹角为，因为，，所以在上的投影为，由得，即，所以有，解得，故答案是：(1) (2)【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量在另一个向量方向上的投影的求解，两个向量垂直的条件，向量数量积坐标运算式，属于简单题目.14.在中，角所对的边分别为,已知，且的周长为，的面积为,则____，_______.【答案】 (1). 4 (2).【解析】【分析】直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．【详解】中，角C所对边分别是，已知，则：且的周长为9，则：解得：．若的面积等于，则：，整理得：．由于：故：，解得：或，所以：．故答案为：4 ；．【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．15.已知等差数列的前项的和为，若，，则_________.【答案】440【解析】【分析】首先根据题的条件，得到，之后根据等差数列的性质，得到成等差数列，结合等差数列的通项求得，进而求得，得到结果.【详解】，，所以有，由等差数列的性质可知成等差数列，所以，所以，故答案是：440.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的通项，属于简单题目.16.在中，角所对的边分别为,已知，给出下列结论：①的边长可以组成等差数列；②；③；④若，则的面积是，其中正确的结论序号是______.【答案】①④【解析】【分析】由已知可设，然后分别求出的值，即可判断与相等得到三边成等差数列，利用正弦定理可得，从而判断③的正确性，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A为钝角，并根据面积公式即可求出的面积，再与题目进行比较即可.【详解】由已知可设，则，所以，所以，即的边长可以组成等差数列，故①正确；由正弦定理可知，故③错误；又，所以，故②错误；若，则，所以，又，所以，故④正确；所以正确结论的序号是：①④‘故答案是：①④.’【点睛】该题考查是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有正弦定理，等差关系的确定，余弦定理，平面向量数量积的运算，三角形的面积，属于简单题目.17.如图所示，点是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，，则_______________．【答案】【解析】【分析】根据题意，利用平面向量的线性表示与共线定理，向量相等，列出方程组，解方程组即可求出λ的值．【详解】由=﹣，且和共线，∴存在实数μ，使：=μ=μ（m+2m）；又=λ，∴μ（m+2m）﹣=λ（﹣），即（μm﹣1）+2μm=λ﹣λ；∴，解得λ=．故答案为：．【点睛】本题考查了向量的线性运算，共线定理，共面定理的应用问题，属于基础题目．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18.在中，角的对边分别为．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由变形,利用正弦定理得,进一步得出,从而求得.（2）利用余弦定理可求出,进一步利用面积公式得出面积.试题解析：（1），由正弦定理得．又，从而．由于，所以.（2）解法一：由余弦定理，而，得=13，即.因为，所以.故的面积为.解法二：由正弦定理，得，从而，又由知，所以.故.所以的面积为.考点：1.正弦定理解三角形；2.余弦定理解三角形；3.三角形面积公式.19.如图，已知正三角形的边长为1，设，.（1）若是的中点，用分别表示向量，；（2）求；（3）求与的夹角.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）运用向量的三角形法则以及运用中点的向量表示，即可得到所求向量；（2）运用向量的模的平方和向量的平方是相等的，结合向量数量积的运算性质求得结果；（3）结合第二问的结合和解题思路，求得，，应用向量的夹角余弦公式，结合向量数量积的运算性质求得结果.【详解】（1），（2）由题意知，，且，则所以（3）与（2）解法相同，可得设与的夹角为，则，因为所以与的夹角为.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量的分解，三角形法则，向量的模的平方和向量的平方是相等的，向量所成角的余弦值，属于简单题目.20.已知公差不为的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和；（3）若数列满足，，求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可得出结果；（3）利用累加法求得数列的通项公式.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，因为，，成等比数列，所以，即，解得，或（舍去），所以.（2）的前项和（3）因为，所以，则当时，，又,所以.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等比数列的通项公式以及其求和公式，分组求和法对数列求和，累加法求通项，注意的条件和对的验证.21.在中，分别为三内角对边，且．（1）若，求的面积的大小；（2）在（1）的条件下，若长为8的动线段过且以为中点，求的最大与最小值，并说明取得最大值与最小值的条件．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）根据题中的条件以及正弦定理，可以得出，又由，得出边长，从而利用余弦定理求得，利用同角三角函数关系式求得，之后应用三角形面积公式求得结果；（2）根据题意可知，利用向量的运算以及向量的数量积，求得，利用的最值从而求得结果.【详解】（1）由及正弦定理，得，因为，所以，所以，因为，所以，所以的面积为．（2）因为以为中点，所以，所以．当时，取得最大值；当时，取得最小值为．【点睛】该题考查的是有关解三角形以及向量的问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，向量的运算以及数量积的定义式，注意其取最值的条件，属于中档题目.22.已知数列的前项和为，且.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）求；（3）设,若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）设，将已知条件中的式子进行转化，可得，从而证得其为等比数列，之后利用等比数列的通项公式求得，进而求得；（2）利用错位相减法对数列求和，求得；（3）根据题意求得，将恒成立转化为，利用作差比较法，求得，观察得出，进而求得的范围.【详解】（1）设，则只需证明为等比数列即可，因为为常数，所以数列是公比为的等比数列，且首项，则，所以.（2）由（1）知①②①-②得，（3）由（2）得，，要使得对恒成立，只需，因为，所以，当时，，即，当时，，即，所以，所以.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的证明，等比数列的通项公式，错位相减法求和，将恒成立问题向最值靠拢，属于中档题目.。