高考数学 二项式定理(理)

(4)求a1＋a2＋a3＋a4； (5)求各项二项式系数的和．
解：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.
(2)令x＝－1得
a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256， 而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16， 两式相加，得a0＋a2＋a4＝136. (3)由(2)得
∴第三项的二项式系数为
答案：D
3．若(x＋
常数项为 A．10 C．30
)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的
( B．20 D．120 )
解析：二项式系数之和2n＝64， 则n＝6，Tr＋1＝ · 6－r· x ＝ x6－2r， ＝20.
当6－2r＝0时，即r＝3时为常数项，T3＋1＝
答案：B
A．0
C.
B.
D．1
解析：x3＝[2＋(x－2)]3，a0＝23＝8，a2＝
2＝6.
故m＝(8,6)，m· n＝0.
答案：A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．(2009· 浙江高考)在二项式(x2－ 项的系数是 A．－10 B．10
)5的展开式中，含x4的 ( )
C．－5
D．5
解析：Tr＋1＝ ＝10. 答案：B
x2(5－r)(－x－1)r＝(－1)r
二项式系数最大．
即T6＝ · 5· (2x) (－ )5＝－8 064.
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大， ∵Tr＋1＝ ＝(－1)r · 10－r· (2x) (－ · 10－r· 10－2r， 2 x )r
得
即
解得
≤r≤
.
∵r∈Z，∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第4项，
T4＝－
· 7· 4＝－15 360x4. 2 x
(a
)6－r(－
)r
a6－r(－1)rx
＝
a6－r(－1)rx3－r.
a5＝－192.
由3－r＝2，得r＝1， ∴x2项的系数为－ 答案：－192
6．设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4. (1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)求a0＋a2＋a4；
(3)求a1＋a3；
a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加，可得
a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ ，即为所有奇数项系数之和．
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1
＋a2－a3＋…－a9＝59.
已知f(x)＝(
＋3x2)n展开式中各项的系数和比
各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [思路点拨]
[课堂笔记] (1)令x＝1，则二项式各项系数和为f(1)＝(1＋ 3)n＝4n，
展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5.
1.求二项式系数最大的项： 如果n是偶数，则中间一项 数最大； 如果n是奇数，则中间两项 的二项式系数相等且最大； 的二项式系
2．求展开式系数最大的项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开 式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开 式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r项系数最大， 应用 解出r来，即得系数最大的项．
答案：－160
5．(2010· 安徽师大附中模拟)a＝
(sinx＋cosx)dx则二项式
(a
)6展开式中含x2项的系数是________．
解析：a＝
(sinx＋cosx)dx＝(sinx－cosx)|
＝(sinπ－cosπ)－(sin0－cos0) ＝(0＋1)－(0－1)＝2.
又∵Tr＋1＝
＝
)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)通项为Tr＋1＝ ＝ ， ＝0，
因为第6项为常数项，所以r＝5时，有 即n＝10. (2)令 ＝2，得r＝ (n－6)＝
×(10－6)＝2，
∴所求的系数为
(3)根据通项公式，由题意
∴由题意知2n－5r＝0，即n＝ ∴n的最小值为5. 答案：C
3．(1－
)6(1＋
)4的展开式中x的系数是
B．－3 D．4
(
)
A．－4 C．3
解析：法一：化简原式＝[(1－ ＝[(1－ )(1＋ )]4· (1－
)4(1＋ )4]· (1－ )2
)2
)2＝(1－x)4· (1－ ＋x)
＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－2 故系数为1－4＝－3.
x10－3r(r＝0,1，…，
5)，由10－3r＝4得r＝2.含x4的项为T3，其系数为
2．如果 数n的最小值为 A．10 C．5 解析：∵Tr＋1＝ ＝(－1)r·
的展开式中含有非零常数项，则正整 ( B．6 D．3 (3x2)n－r· )
3n－r· r· 2n－5r， 2 x ，∵n∈N*，r∈N，
1.能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式
有关的简单问题．
1．二项式定理
[思考探究1] 在(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中，其通项相同吗？ 提示：从整体上看，(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是相同的，但 具体到某一项是不同的，如第r＋1项Tr＋1＝
r＋1＝
an－rbr，T′
令
＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－
k，
∵r∈N，∴k应为偶数． ∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8. 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
(－
)2x2，
，
x－2.
1.对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、c∈R)的式子求 其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即 可；对(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之
(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)－(a0＋a2＋a4)＝a1＋a3＝－120.
(4)令x＝0得a0＝(0－1)4＝1， 得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15. (5)各项二项式系数的和为 ＝24＝16.
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中 间两项，它们是
T3＝
T4＝
(x )3(3x2)2＝90x6，
(x )2(3x2)3＝270x . 3r· x
(5＋2r)．
(2)展开式通项为Tr＋1＝
假设Tr＋1项系数最大，则有
∴
≤r≤
，∵r∈N，∴r＝4. x (3x2)4＝405x .
∴展开式中系数最大项为T5＝
(3)所有奇数项系数之和；
(4)系数绝对值的和． [思路点拨]
[课堂笔记] 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为
＋…＋
＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，可得：
(
)
【解析】
(1＋ ( )4＋ · (
由二项式定理得：
＋ · ( )2＋ · ( )3＋ ·
)5＝1＋ )5＝1＋5 ，
＋20＋20
＋20＋4
＝41＋29
∴a＝41，b＝29，a＋b＝70. 【答案】 C
[自主体验] 若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋ a3(x－2)3，则向量m＝(a0，a2)与向量n＝(－3,4)所成角的余 弦值是 ( )
bn－rar.
2．二项式系数的性质
[思考探究2]
二项式系数与项的系数有什么区别？ 提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项
式系数是指 ，它只与各项的项数有关，而与a，
b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不 仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．
1. A．10 C.
的展开式中x2的系数为 B．5 D．1
(
)
解析：∵含x2的项为 ∴x2的系数为 .
(
)2＝
x2 ，
答案：C
2．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的
第三项的二项式系数为 A．24 C．16 解析：∵Tr＋1＝ ∴T2＝ ∴2 an－1(2b)＝2 ＝8，∴n＝4， ＝6. (2b)r， an－1b， B．18 D．6 ( )
以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、 二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本讲内容 的常规考法.09年北京高考则以选择题的形式考查了二 项式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向．
[考题印证] (2009· 北京高考)若(1＋ )5＝a＋b (a，b为有理数)，
则a＋b＝
A．45 C．70 B．55 D．80
－2)9＝0， 再令x＝1，则有a0＝(12＋1)· (－1)＝－2， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2. 答案：2
在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是 公式Tr＋1＝ an－rbr(0≤r≤n，r∈N*，n∈N*)的正确应用．
[特别警示] 应用二项展开式的通项公式Tr＋1＝
an－rbr(r
4．若(ax－1)5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是
________． 解析：∵Tr＋1＝ (ax)5－r(－1)r，且x3的系数为－80.