全国优质课-二项式定理(一)
二项式定理一等奖完整ppt课件
在数学中的地位和作用
二项式定理是组合数学中的基本定理之一，它描述了两个向量的和的n次幂的展 开式。
在组合数学中，二项式定理被广泛应用于排列、组合、概率论等领域。同时，它 也是多项式定理的基础之一。
03
二项式定理的证明方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 数学归纳法
数学归纳法是一种证明二项式定理的有效方法。首先，我们需要证明当n=1时，二项式定理成立。然 后，假设当n=k时，二项式定理成立，再证明当n=k+1时，二项式定理也成立。通过这个递推关系， 我们可以得出结论：当n为任意正整数时，二项式定理都成立。
二项式系数的应用
举例说明二项式系数在解决实际问题中的应用，如概率计算、统计 学等。
06
总结与展望
二项式定理的重要性和影响
重要的数学工具
二项式定理是数学中重要的工具 之一，在代数学、数论、组合数
学等学科中都有广泛的应用。
解决问题的关键
二项式定理可以解决一些经典的 数学问题，如组合问题、概率问 题等，为人们提供了重要的解题
思路和方法。
对其他学科的影响
二项式定理不仅在数学学科中有 重要的地位，还对其他学科如物 理学、工程学、计算机科学等产
生了深远的影响。
与其他数学分支的联系和相互渗透
01
与代数学的联系
二项式定理与代数学中的多项式理论密切相关，可以看作是多项式的一
种推广和应用。
02
与组合数学的相互渗透
二项式定理与组合数学有着密切的联系，它可以用来解决一些组合问题
数学归纳法的关键步骤是：第一步，证明基础情况（n=1）成立；第二步，假设归纳基础（n=k）成 立，并由此推断归纳步骤（n=k+1）成立。第三步，根据归纳步骤得出结论，证明二项式定理对所有 正整数n都成立。
人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)
二项式定理（第 1 课时）一、容和容分析容：二项式定理的发现与证明．容分析：本节是高中数学人教 A 版选修 2－ 3 第一章第 3 节的容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延长，此容安排在组合数模型以后，随机变量及其分布以前，既是组共计数模型的一个应用，也是为学习二项散布作准备．此外，因为二项式系数是一些特别的组合数，由二项式定理能够导出一些组合数的恒等式，这对深入组合数的认识有利处。
因为二项式定理的发现，能够经过从特别到一般进行归纳归纳，在归纳归纳过程中还可以够用到组共计数模型，所以，这部分容关于培养学生数学抽象与数学建模修养有着不行忽视的价值．教课中应该惹起充足重视．二、学情剖析这一堂课是面对高二学生。
学生已经初步具备了多项式乘法，同类项归并，摆列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识贮备。
能够在教师的指引下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。
可是，学生的自我研究，归纳，剖析的能力还有待提升。
三、课程学习目标（1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式睁开式、通项公式的特色，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。
（2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参加议论过程中，培养学生察看、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁徙能力。
（3）感情目标：经过二项式定理的学习，培养学生解决数学识题的兴趣和信心，让学生感觉数学在的和睦、对称美及数学符号应用的简短美。
四、设计思想：本课采纳合作研究、自主学习、合作沟通的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的研究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中睁开思想，逐渐培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力和创建性思想的能力。
目标分析：（1）二项式睁开式是依多项式乘法获取的特别形式，所以从多项式乘法出发去发现二项式定理切合学生的认知规律．但归纳归纳的结论，假如不加以严格的证明不切合数学的基本要求．所以，在归纳归纳的过程中，用好组合模型不单能够更自然地获取结论，还可以为证明二项式定理供给方法．（2）因为二项睁开式是一个复杂的多项式．假如不把其当作一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期对定理有深入的认识．所以，经过一些特例，成立二项式睁开式与数列及数列和的联系，是达成教课目的的一个重要门路．（3）数学中心修养是数学教课的重要目标，但数学中心修养需要在每一堂课中找寻时机去落实．在二项式定理的教课中，从特别的二项式睁开式的特色归纳归纳一般二项式睁开式的规律是进行数学抽象教课的很好时机；同时利用组共计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教课的好时机．鉴于上述剖析，本节课的教课重点定为：发现并证明二项式定理．五、教课重点与难点：重点： (1)使学生参加并深刻领会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理；（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。
《二项式定理 》优质课比赛说课稿
二项式定理（一）（说课稿）一、教材分析1.教材的地位和作用：本节课的教学内容是人教版《高中数学》系列2-3第一章1.3节（大约需要2课时，本次只说第一课时）.在此之前，学生已经学习了两个计数原理以及排列、组合的有关知识，将本小节内容安排在计数原理之后学习，一方面是因为二项式定理的证明用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面也为学习随机变量及其分布做准备；另外，由二项式定理导出的一些组合数恒等式，对深化组合数的认识也有好处. 总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识，也是高考必考内容之一.2.教学重点：用计数原理分析()2a b+的展开式，归纳得出二项+、()3a b式定理及二项展开式的通项公式.3.教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项展开式各项系数的规律.二、目标分析根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节教学目标如下：知识目标：使学生经历定理的发现过程，直观了解二项式定理的内容，并且在此基础上进行简单应用；能力目标：通过观察二项展开式，掌握其基本特征，培养学生观察、分析、概括的能力；情感目标；A.揭示寻求二项式定理的方法，激发学生的求知欲；B.体会“由特殊到一般”这一重要的数学思想；C.感受二项展开式各项系数的规律，发现数学中的对称美.三、学法和教法分析1. 学法分析学法要突出自主学习、研讨发现.知识是通过学生自己积极思考、主动探索获得的，学生在教师引导下，通过观察、讨论、合作探究等活动来对知识、方法和规律进行总结，在课堂活动中注重引导学生，并让学生体会从局部到整体、从特殊到一般的方法获取知识的过程，让学生体验发现的喜悦，培养学生学习的主动性.2. 教法分析素质教育理论明确要求，教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高.根据本节的教学内容、教学目标和学生的认知规律，我采用类比、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节所遇到的问题，引导学生归纳、猜想、探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现学生的主体地位.四、教学程序设计分析五、板书设计附： 达标检测题1.()8x y +的展开式中，必不存在的项为（ ）（A ）26x y （B ）35x y （C ）27x y （D ）44x y2.()101x -的展开式中，第6项的系数是（ ）（A ）610C （B ）610C - （C ）510C （D ）510C - 3.()9m n +的展开式中，54m n 项的系数为_____________.4. 用二项式定理展开4⎫-⎝.。
全国高中数学优质课 二项式定理教学设计1
二项式定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析目标：（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．2．教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过比较多项式112233()()()a b a b a b +++展开式中项与项的异同点，得出()na b +的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容．3．教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题．学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程．二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大．较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明．解决方案：通过对3()a b +的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行刻画．基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用TI -图形计算器．既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教师4：根据你所计算的结果，填对应表格．学生4：发现项数、项的次数、项的系数并猜想： 101)n n n n k k k n a b a a b a b λλλλ--+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+8：引导学生分析11223()()(++a b a b a 展开式的各项，并提出问题在展开式中为什么112a b a 项，12a a 等项？8： 学生根据所得的计算结果，观察得到展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的．并提出问题：332230123()a b a a b ab b λλλλ+=+++中，。
二项式定理说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
的展开式中含
x32的项的系数为
30，则
a＝
A. 3
B．－ 3
C．6
() D．－6
[解析] (2)∵Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－x23r＝(－2)rCr5·x10－5r，由 10 －5r＝0，得 r＝2，∴T3＝(－2)2C25＝40.
(3)Tr＋1＝Cr5( x)5－r·－xar＝Cr5(－a)rx5－22r，由5－22r＝32，解 得 r＝1.由 C15(－a)＝30，得 a＝－6.故选 D.
[答案] C
突破点一
突破点二
课标达标检测
二项式定理 结 束
(2)(2016·安徽安庆二模)将x＋4x－43 展开后，常数项
是________．
[解析]
x＋4x－43＝
x－
2 6 x
展开式的通项是
Ck6
( x)6－k·－ 2xk＝(－2)k·Ck6( x)6－2k.
令 6－2k＝0，得 k＝3.
所以常数项是 C36(－2)3＝－160.
[答案] (2)C (3)D
突破点一
突破点二
课标达标检测
二项式定理 结 束
(4)
x－ 1 24
8 x
的展开式中的有理项共有________项．
[解析]
(4)
x－ 1 8 24 x
的展开式的通项为
Tr ＋ 1 ＝
Cr8·( x)8－r2－4 1xr＝－12rCr8x16－4 3r(r＝0,1,2，…，8)，为使
突破点一
突破点二
课标达标检测
二项式定理 结 束
[方法技巧] 求解形如(a＋b)n(c＋d)m 的展开式问题的思路
(1)若 n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个， 如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
全国优质课-二项式定理
1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计一、教学内容解析“二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。
另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。
总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。
教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。
本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。
二、教学目标设置1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。
2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。
三、学情分析学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析n( 展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着a)b一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。
但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。
而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。
根据以上学情，制定如下教学难点：教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
四、数学情境与学习问题的设置根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最近发展区，同时又具有较丰富的数学信息的数学情境，以便于在此情境中提出数学问题和解决数学问题,使学生在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。
二项式定理第一课
1 n1 n
k n k k n
二项式
（2）说明: ①上述公式中的
如 a 1, b 2 x 则有
二项展开式
a , b具有任意性
n
0 1 2 2 k k n n 1 x C C x C x C x C a 1, b x 如 则有 n n n n nx
a b
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C a C a b C a b C b
0 n n
7
3
1 n1 n
k n k k n
n n n
④项的系数与项的二项式系数是有区分的，如
1 2 x 的第四项为C
3 7
3 7
1
7 3
2 x ，第四项的二项式系
.
3 3 数为 C 35 ，而第四项的系数为 C7 2 280
例3.求
12
它的第10项.展开式的第10项是:
T10 C x
9 129 12
a C x a 220x a
9 3 3 9 12
3 9
x 3 9 ( ) 例4.求： 3 x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项
③展开式中的有理项
x 9 r 3 r r 2 r 9 Tr 1 C ( ) ( ) C9 3 x 3 x
100 100
r 100r 100
C 7 C 7
99 1 100
0
∴8
被7除的余数是1，因此 8 一天是星期六.
100
100
天后的这
小结:
(1) 基础知识及其简单应用:
二项式定理
第 k 1 项的二项式系数 通项
郭保军(优质课二项式定理)(1)
第三项的系数
实战演练
例2、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.
1 原式 C40 ( x 1)4 C4 ( x 1)3 C42 ( x 1)2 C43 ( x 1) C44
[( x 1) 1]
4
x
4
思维拓展
1.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项 的系数是 ( A )
an-kbk是从n个(a+b)中取k个b,
有C
n-k个a 相乘得到的,
k n
?
k 种情况可以得到 n-k k n
a b
, 因此, 该项的系数为C .
二项式定理
0 1 k n (a b) n Cn a n Cn a n 1b Cn a nk b k Cn b n (n N * )
恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+ b2
尝试二项式定理的发现:
考虑b
（a b) (a b)(a b)(a b)
3
C a C a b C ab C b
n n
4 4 4
则称某一项除X外的代数式为项的系数如：第二项的系数 1 3 1 为： C4 2 32 ，二项式系数为： C4 4
实战演练
1 6 例1、求(2 x ) 的展开式。第三项的二项式系数 x
解: (2 x
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《二项式定理》教学设计
一、教材分析
本概念选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学必修（1）》第一章第三节第一小节.第一节《计数原理》、第二节《排列组合》的学习为研究二项式定理奠定了基础，一方面是因为它的证明要用到计数原理，另一方面可以把它作为计数原理的一个应用，同时也为学习随机变量及其分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，二项式定理对本章知识与第二章知识的学习有承上启下的作用．
本节课要在用计数原理解决预设问题的基础上，得出二项式定理的猜想，并用计数原理给出证明．
二、学情分析
学生在此节内容之前已经学习了两个计数原理与排列组合问题，并能运用它们解决一些计数问题了；同时，在初中已经熟练掌握了2
()a b +的展开公式，也了解了3
()a b +的展开公式．但是，学生对于计数原理与这些多项式乘法运算公式之间的联系是陌生的，所以对于学生来说，如何建立它们之间的联系并猜想得出二项式定理是本节课的一个重点，并用计数原理证明二项式定理是本节课的一个难点．
三、教法分析
根据“最近发展区”的教学理论，把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中产生新的知识经验，需要教师精心设计问题，创新问题情境，贯穿启发式教学原则，调控问题的解决过程；采用“多媒体引导点拔”的教学方法以多媒体演示为载体，以“联想类比引导思考”为核心，设计课件与板书展示，引导学生积极思考探索，逐步达到即定的教学目标．
四、学法分析
”建构主义”强调，学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，因教必须以学为主立足点，根据学生的思维特点，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建，在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移归纳分析，对照学习；学生在教师营造的”可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律，主动发现，主动发展．
五、教学手段
制作PPT 与Flash 动画教学课件，利用电脑等多媒体教学设备展现二项式定理的发现与证明过程，激发学生的学习兴趣，提高学习的效率．利用自制教具辅助引入问题的解决，增强数学活动的直观性。
六、教学目标 1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法：
(1)通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
(2)引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导n
b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
3.情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．通过二项式定理的发现、推广、证明及杨辉三角历史的了解，进一步激发学生的学习兴趣，培养对科学的探究与钻研精神，渗透爱国主义教育。
4.活动体验：
通过教师提出问题并引导学生主动探究、解决问题的过程，让学生在教学活动中主动发现、大胆猜想、主动发展，达到提高学习能力与渗透情感教育的目的．
七、教学重点、难点
重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 八、教学过程
九、教学资源整合与运用说明：
在资源整合与运用方面，本概念教学设计有以下5大创新之处：
创新之一：巧妙创设课题情境
建构主义认为：活动是第一位的，在做数学中学数学.因此，我设置了摸球活动来导入新课，从而激发学生的学习兴趣，让学生体会到数学来源于生活实际，为学生架起一条“从生活走向知识”的桥梁，帮助学生从特殊到一般、从感性认识到抽象思维过渡.
创新之二：优化课堂教学方法
坚持以学生为主体，学生思维为主线，让学生经历积极思考、解决问题、类比联想、归纳猜想、推理证明、定理应用等过程，体现了学生学习的主体性，有利于学生养成自主探究、主动发展的学习习惯,注重“四基”数学课程目标，落实学生数学核心素养的培养.
创新之三：创新板书设计
在板书设计中，将三种情形摸球结果与结果的种数按三角形形状板书，借助几何直观，利用图形理解二项式定理的特征，为二项式定理的猜想与证明奠定了方法基础，培养学生创新思维与“直观想象”核心素养．
创新之四：渗透数学思想方法
J.S布鲁纳指出：领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路” .因此，我将多种数学思想贯穿于本设计中的各个环节.比如教师在由摸球问题引入到课题的设计上，渗透了类比思想；在由观察
23
+展开式的设计中，渗透了由特殊到一般的数学思想．
a b
(),()
++展开式引导猜想()n
a b a b
创新之五：培养学生人文素养
新课标指出，“高中数学课程提倡体现数学的文化价值”,因此，我适时挖掘教材中的人文教育因素.比如在追溯二项式定理发现、证明的历史，介绍中国古代数学史的设计上，激发学生的学习欲望的同时培养学生的科学人文精神和理性探究精神，达到“挖掘潜能、完善人格”的目的需求.同时，适时对学生进行爱国主义思想教育．。