高一上册数学学案2.5不等式的证明3沪教版
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明-导学案-沪教版
不等式的证明比较法证明不等式 【学习目标】1．理解比较法证明不等式的理论依据。
2．掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤。
3．会用比较法证明简单的不等式。
【学习过程】1．求差比较法(1)理论依据：①a >b ⇔a －b >0.②a ＝b ⇔a －b ＝0. ③a <b ⇔a －b <0.(2)定义：要证明a >b ，只要转化为证明a －b >0.这种方法称为求差比较法。
(3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论。
2．求商比较法(1)理论依据：当b >0时，①a >b ⇔a b >1，②a <b ⇔a b <1，③a ＝b ⇔a b＝1． (2)定义：证明a >b (b >0)只要转化为证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法。
一、思考探究1．求差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？【提示】 作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明。
实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。
2．求商比较法主要适用的类型是什么？【提示】 主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明。
二、课堂互动探究例1 已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋B ．思路探究： 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号。
自主解答： 法一 化成几个平方和 ∵a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋B．法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1．对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋B．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2B．【证明】2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)。
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明_教案1-沪教版
不等式的证明【教学目标】1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式。
【教学重难点】1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）。
【教学过程】一、课前预习：1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ） ()A 1,)+∞ ()B (1]-∞ ()C 1,)+∞ ()D (1]-∞2．1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 。
二、例题分析：例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤。
例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21211a a =++，（1介于1a 与2a 之间；（2）证明：2a 比1a更接近于3； （3 例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -<。
例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<。
【作业布置】1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ）()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1-()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1-2. 设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 。
3．,,x x y R x y y ∈=-，则x 的取值范围是 。
4．已知221x y +=，求证：y ax -≤ 5．证明：2221111223n ++++<。
6．设,,a b c 为三角形的三边，求证：3a b c b c a a c b a b c ++≥+-+-+-。
沪教版高一上册数学高一上册学案不等式的证明
§2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法☆学习目标： 1.理解并掌握综合法与分析法;2.会利用综合法和分析法证明不等式☻知识情景：1. 基本不等式：10. 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 20. 如果,a b R +∈,那么2a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.30. 如果,,a b c R +∈,那么3a b c++≥, 当且仅当a b c ==时, 等号成立.2.均值不等式：如果,a b R +∈,那么22ab a b a b ++≤≤≤常用推论：10. 20a ≥; 0;a ≥ 12(0)a a a+≥> 20. 2(0)a bab b a +≥>;30. a c bb a c++≥(,,a b c R +∈).3.不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法☆案例学习：综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒例1 ,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:例212n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2n n a a a a a a a a a +∈=+++≥已知且求证:分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：例3例4例5 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++12 ( ) n B B B B A⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知 <求证222222,,0,a b b c c a a b c abca b c ++>≥++已知求证:选修4-5练习 §2.1.2不等式的证明(2) 姓名1、已知,,0,0y x y x ≠>>求证.411yx y x +>+2、已知,0>>b a 求证.b a b a ->-3、已知.0,0>>b a 求证：（1）.4))((11≥++--b a b a （2）.8))()((333322b a b a b a b a ≥+++4、已知d c b a ,,,都是正数。
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明-导学案2-沪教版
综合法、放缩法【学习目标】1．理解综合法的方法与步骤，会用综合法证明简单的不等式．2．认识放缩法，了解它的方法与步骤，会用放缩法证明简单的不等式． 【学习内容】1．综合法（1）定义：利用某些 (例如算术平均数和几何平均数的定理)和__________，推导出所要证明的不等式，这种证明方法叫综合法．（2）证明原理：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B ，即从________出发，逐步推演不等式成立的____条件，推导出所要证明的结论B ．做一做1设a ，b ，c 都是正数，求证：(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92． 2．放缩法（1）定义：通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为______．（2）放缩法证明不等式的主要依据：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．做一做2若n ∈N ＋，求证：1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＜n ＋122．答案：1．（1）已经证明过的不等式 不等式的性质 （2）已知条件A 必要 做一做1证明：∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 3·3a ＋b b ＋c c ＋a ，又1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥3·31a ＋b b ＋cc ＋a，∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥12·3·3a ＋b b ＋c c ＋a ·3·31a ＋bb ＋cc ＋a≥92． 2．（1）放缩法 做一做2 分析：利用n n ＋1＜n ＋n ＋12＝2n ＋12来证明．证明：∵nn ＋1＜n ＋n ＋12＝2n ＋12， ∴1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＜32＋52＋…＋2n ＋12＝n 3＋2n ＋122＝n n ＋22＝n 2＋2n 2＜n ＋122．【学习重难点】1．分析法与综合法的比较剖析：（1）综合法与分析法的比较如下表． 方法起始步骤 求证过程 求证目标方向综合法基本不等式或已经证明过的不等式实施一系列的推理或等价变换要求证的结论 由因导果分析法要求证的不等式寻求结论成立的充分条件并证明其成立所需条件全都成立执果索因综合法：A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (结论)(逐步推演不等式成立的必要条件)， 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知或明显成立的条件)(步步寻求不等式成立的充分条件)．总之，分析法与综合法是对立统一的两种方法．2．用放缩法证明不等式剖析：（1）为了证明不等式，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法就是放缩法．运用放缩法要注意放缩必须适当，放得过大或缩得过小都不能达到证题的目的．（2）放缩时使用的主要方法有：①舍去或加上一些项，如⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；②将分子(或分母)放大(或缩小)，如1k 2＜1kk －1(k ＞1)，1k 2＞1kk ＋1，1k＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1(k ∈N ＋)等．（3）放缩法的理论依据主要有①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．对不等式而言，放缩法的本质是“不等式的加强”．（4）运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式． 【典型例题】题型一 利用综合法证明不等式 例1设a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞3． 分析：利用不等式的性质，对不等式的左边进行整理，化简．反思：在利用a ＋b ≥2ab 时，必须满足“一正二定三相等”，而本题中a ，b ，c 为不全相等的正数，故三项之和取不到6，即等号不能传递下去．题型二 利用放缩法证明不等式例2设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1．分析：要求一个n 项分式1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，先观察每一项的范围，再求整体的范围．反思：放缩法证明不等式，放缩要适度，否则会陷入困境，例如证明112＋122＋…＋1n 2＜74，根据1k 2＜1k －1－1k ，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项开始放缩，可证得小于2．当放缩方式不同时，结果也在变化．答案： 例1证明：左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c－1 ＝b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c－3． ∵a ，b ，c 为不全相等的正数，∴b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2中的等号不可能同时成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＞6， ∴b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞6－3＝3． 例2证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k ＜1n ． 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ； 当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n； … 当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n ． ∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1， 即原不等式成立．【随堂练习】1使a＞b＞0成立的一个充分而不必要条件是( )．A．a－2＞b－2 B．a2＞b2＞0C．lg a－lg b＞0 D．x a＞x b且x＞02设a＞0，b＞0，a＋b＝1，M＝1a＋1b＋1ab，则M与8的大小关系是( )．A．M＝8 B．M≥8 C．M＜8 D．M≤8 3已知α∈(0，π)，则下列各式成立的是( )．A．2sin 2α≤sin α1－cos αB．2sin 2α＝sin α1－cos αC．2sin 2α＞sin α1－cos αD．2sin 2α≥sin α1－cos α4设a，b，c，d为任意正实数．求证：1＜aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜2．答案：1．A 由a－2＞b－2，知a－2＞b－2⇒a＞b．又a－2＞0且b－2≥0，∴a＞2且b≥2，∴a＞b≥2＞0．2．B ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1ab≥4．∴1a＋1b＋1ab＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1ab≥2ab·21ab＋4＝8．∴1a＋1b＋1ab≥8，即M≥8．当且仅当a＝b＝12时等号成立．3．A ∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0．∴11－cos α＋4(1－cos α)≥4⎝⎛当且仅当cos α＝12，即α＝⎭⎪⎫π3时等号成立，∴4cos α≤11－cos α．∵α∈(0，π)，∴sin α＞0．∴4sin αcos α≤sin α1－cos α．∴2sin 2α≤sin α1－cos α．4．证明：∵a，b，c，d均为正实数，∴aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜aa＋b＋bb＋a＋cc＋d＋dd＋c＝2，且aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＞aa＋b＋c＋d＋ba＋b＋c＋d＋ca＋b＋c＋d＋da＋b＋c＋d＝1．∴原不等式1＜aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜2成立．。
沪教版高一上册数学高一上册教案不等式的基本性质(1)
2.1不等式的基本性质一、教学目标设计理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。
渗透分类讨论的数学思想。
二、教学重点及难点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
三、教学流程设计四、教学过程设计一、引入公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等的数量关系，可以用不等式来处理。
在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。
而解决不等关系问题的基础是不等式的性质，为此我们先学习不等式的基本性质。
二、探究不等式的基本性质判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a>b的充分必要条件是a-b>0；a=b的充分必要条件是a-b=0；a <b 的充分必要条件是a-b <0。
引出等式的性质： a=b ，b=c ⇒a=c ； a=b ⇒ac=bc ； a=b ，c=d ⇒a+c=b+d 。
1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论： 结论1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
结论2 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。
结论3 如果a >b ，那么ac >bc 。
[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的三个性质：性质1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
性质2 如果a >b ，那么a+c >b+c 。
性质3 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc 。
沪教版(上海)数学高一上册-2.1 不等式的基本性质(1) 教案
3．在教师的引导下，通过类比猜想，体验定理的形成过程，进一步养成探索的习惯和意识。
教学重点：掌握判断两个实数大小的基本方法。
教学难点：综合应用不等式的基本性质证明两个实数的大小关系。
教学分析及教学设计：
本节课是高一第二章不等式的第一节第一课时，课程标准的要求是：1、理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；2、通过类比得到不等式的基本性质，并能加以证明，会用不等式的基本性质判断不等关系；3、培养代数证明的基本能力，并建议两课时完成。可以看出，在高中阶段，学习不等式的基本性质，其目的是为比较实数大小、解不等式以及不等式证明等知识打好基础，同时培养学生代数证明的基本能力、探索意识等科学素养。
【小结】
1、例1结论是不等式的基本性质1~3，今后可直接使用；
2、基本性质中的 可以是任何满足条件的实数或值为实数的代数式。
【设计意图】
通过教师示范、学生模仿，证明不等式的基本性质1~3，并总结比较两实数大小的基本方法“作差法”，初步体验代数证明的过程。通过减法性质和除法性质的提问，使学生产生类比猜想的意识，为叠乘性质的类比猜想做铺垫，并使学生能够更深层地理解加法性质和乘法性质中字母的意义以及性质的地位和作用。
教学过程：
一、复习引入
1、介绍学习目的
在初中，我们已经学习了不等式的性质、如何解一元一次不等式（组）以及如何比较两个具体实数的大小关系。在高中，我们将要学习如何比较两个抽象实数的大小关系，还要学习解一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式和高次不等式，今后我们还要学习不等式的证明。在所有这些问题的推理过程中，我们需要言之有据。这里的“据”就是今天我们将要学习的不等式的基本性质。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.1 不等式的基本性质 教案
基础模块（上）不等式的基本性质教学目标：知识目标1、掌握不等式的三个基本性质。
2、了解解不等式的方法。
3、利用不等式的性质解决实际问题。
能力目标通过不等式基本性质的学习，培养学生的观察能力，分析能力及计算技能。
情感、态度和价值观通过不等式性质学习，并应用不等式的性质解决生活、生产中的问题，体验数学的应用价值，提高学生不畏困难，学好数学的决心和信心。
教学重、难点重点：不等式的基本性质及推论。
难点：利用不等式的性质解决实际问题。
教学过程一、创设情景，导入新课1、看屏幕，以上两幅图同学们发现了什么？想到了什么？（引出量的不等性）2、测量三个人身高，小李1.67米，小王1.65米，小王比小张高，那么我们不用测量能知道小李比小张高的结论吗？你的依据是什么？二、推理探究学习新知1、不等式的基本性质1（传递性）如果a＞b 且b ＞c，那么a ＞c证明：a ＞b a- b ＞0b ＞c b- c ＞0于是a- c = (a- b)+(b- c) ＞0因此a ＞c2、不等式的基本性质2（加法性质）如果a ＞b 那么a+c ＞b+c即不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变。
请同学们利用作差法加以证明。
（指名两位同学到黑板上作答，并评价后，看老师所给的证明过程）证明：由：(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b因为a＞b, a-b ＞0于是(a+c)-(b+c) ＞0故a+c ＞b+c请同学们一起说出不等式的基本性质2补充：利用性质2，可以由a+b ＞c得到a ＞c-b，表明在解不等式时也可以进行移项。
3、不等式基本性质3（乘法性质）如果a ＞b,c ＞0,那么ac ＞bc如果a ＞b,c ＜0,那么ac ＜bc不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
请同学们举一些式子，用具体的数字加以验证。
4、特殊性质1（推论1）如果a ＞b,且c ＞d,那么a+c ＞b+d证明：由a ＞b,c ＞d可得a+c ＞b+c, b+c ＞b+d由不等式性质1（传递性）可得：a+c ＞b+d这就说明不等式还具有同向可相加的特殊性质。
上海教育版数学高一上2.5《不等式的证明》word教案
2.5 不等式的证明一、教学内容分析有关不等式的证明问题一直是数学中的难点，除一些基本方法外还牵涉到相当多的技巧问题.作为高一的不等式证明重在基本证明思路、方法的介绍，所以教材中也不牵涉过多的技巧问题，主要涉及利用不等式基本性质以及基本不等式来进行证明.二、教学目标设计1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路.2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.3、在证明的过程中，加强不等式性质及基本不等式的应用.4、代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。
三、教学重点及难点重点 利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明. 难点 分析法的基本思路及其表达.四、教学过程设计 一、比较法比较法有两种： （1）比差法：求差与0比.（2）比商法：求商与1比，要注意讨论分母的符号.例1 求证：（1）()()221x x x +<+.（2）222x x >-.证明：（1）因为()()2222122110x x x x x x x +-+=+---=-<，所以，()()221x x x +<+.（2）因为()()()222222111110x x x x x --=-++=-+≥>，所以，222x x >-. [说明]本例的几何意义.（1）()2y x x =+的图像在()21y x =+的下方，如图所示（A 点比B 点低1个单位）.（2）2y x =的图像在22y x =-的图像上方，如图所示（A 点比B 点高）.例2 设0a >，0b >，求证：2211a b b a a b+≥+.（补充） 证明：()()2222332222222211a a b b a b a b a b ab a b b a a b a b a b ---+--⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ()()()()2222222ab a b a b a b a b a b ---+==因为0a >，0b >⇒0a b +>，又，()2220a b a b-≥，当且仅当0a b =>时等号成立，所以，()()2220a b a b a b -+≥，当且仅当0a b =>时等号成立.故2211a b b a a b+≥+. 另证：因为0a >，0b >，所以0ab >，则()3322222221121111a b a b a b ab a b ab b a ab a b ab ab ab a b+++-+===-≥-=-=++.当且仅当0a b =>时等号成立.AB 1⎫⎬⎭个单位1⎫≥⎬⎭个单位AB又0a >，0b >⇒110a b +>，故 2211a b b a a b+≥+.当且仅当0a b =>时等号成立. [说明]此例采用了比差和比商两种方法给出证明，由证明过程体会两种方法各自的“优点”.二、综合法从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算性质作为依据，推导出要证的结论.这种证明方法称为综合法.例3 已知a 、b 、c 均为正数，求证：()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥. 证明：()()()222222ab a b bc b c ca c a a b ab b c bc c a ca +++++=+++++=()()()222222a b bc b c ca c a ab +++++， 因为a 、b 、c 均为正数，由基本不等式2和不等式性质得：222222222a b bc abc b c ca abc c a ab abc ⎫+≥=⎪⎪+≥=⎬⎪⎪+≥=⎭⇒()()()2222226a b bc b c ca c a ab abc +++++≥即，()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥.当且仅当222222a b bc b c ca c a ab ⎧=⎪=⎨⎪=⎩⇔222a b c ==⇔0a b c ==>时等号成立.所以，不等式()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥成立.例4 已知a 、b R ∈，求证：()()2222a b a b +≥+.证明：()()()22222222222a ba ab b a ab b a b +=+++≥++=+.当且仅当a b =时等号成立.所以不等式2222()()a b a b +≥+成立.例5 22≥.10≥>，由基本不等式得，22112x++==≥=.当且仅当=⇔211x+=⇔0x=时等号成立.22≥成立.[说明]此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法.例6求证：()22112a b a b+≤≤++.==a b a b≥==+≥+.当且仅当1aba b=⎧⎨+≥⎩时等号成立.另一方面，()22221122a b+=++.当且仅当=⇔a b=时等号成立.所以，()22112a b a b+≤≤++，当且仅当1aba ba b⎧=⎪+≥⎨⎪=⎩⇔1a b==等号同时成立.[说明]利用基本不等式证明此例有一定难度，可适当选用.三、分析法从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法.分析法也可以如下叙述为： 欲证结论Q ，需先证得1P ，欲要证得1P ，需先证得2P ， 欲要证得2P ，需先证得3P ，……………………………，欲要证得1n P -，需先证得n P .当n P 成立时，若以上步步可逆，则结论Q 成立.用数学语言表述，必须保证下述过程成立Q ⇐1P ⇐2P ⇐3P ⇐…⇐1n P -⇐n P ，因为n P 成立，所以结论Q 成立.[说明]分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.例7 求证：1+>证明：因为10+>0>，则要证1>即证(2217+>=成立，即证47+>成立.即证3>成立，即证(223>成立，即证129>成立.因为129>成立，且以上步步可逆，所以，1>.例8 已知：ad bc ≠，求证：22222()()()a b c d ac bd ++>+. 证明：要证()()()22222a bc d ac bd ++>+成立，即证22222222a c a d b c b d +++>22222a c acbd b d ++成立即证()()222220a d ad bc b c -+>成立，即证()20ad bc ->成立，由ad bc ≠⇒0ad bc -≠⇒2()0ad bc ->成立，且以上步步可逆，故有 ()()()22222a b c d ac bd ++>+.例9 设a 、b R ∈，求证：a b a b a b -≤+≤+，并指出等号成立的条件. 证：先证“a b a b +≤+”.注意到0a b +≥，0a b +≥，则对于任意a 、b R ∈，要证a b a b +≤+成 即证()22a ba b +≤+成立，即证222222a ab b a ab b ++≤++成立， 即证ab ab ≤成立，由绝对值定义知，任意a 、b R ∈，都有ab ab ≤，且以上步步可逆，因而a b a b +≤+，且等号成立⇔0ab ≥.再证；“a b a b -≤+”.由0a b -≥，0a b +≥，则对于任意a 、b R ∈，要证a b a b -≤+成立， 即证22a b a b -≤+成立，即证()()22a ba b -≤+成立，即证222222a a b b a ab b -⋅+≤++成立， 即证ab ab ≥-成立，由绝对值定义知，任意a 、b R ∈，都有ab ab ≥-，且以上步步可逆，因而a b a b -≤+，且等号成立⇔0ab ≤；综上可得，任意a 、b R ∈，不等式a b a b a b -≤+≤+成立.例9证明的不等式对任意的实数a 、b 成立，以b -换b 得到的不等式a b a b a b --≤-≤+-，即a b a b a b -≤-≤+也成立，此时，右端等号成立⇔()0a b -≥⇔0ab ≤，左端等号成立⇔()0a b -≤⇔0ab ≥.以上证得的两个不等式，是绝对值不等式的重要性质，称之为三角不等式 对于任意a 、b R ∈，（1）a b a b a b -≤+≤+，左端等号成立⇔0ab ≤，右端等号成立⇔0ab ≥ （2）a b a b a b -≤-≤+，左端等号成立⇔0ab ≥，右端等号成立⇔0ab ≤. [说明]有关三角不等式的教学是讲全还是选讲其中部分，可适学生的具体情况而定.例10 已知2x a ε-<，2y a ε-<，求证：x y ε-<.证明：由三角不等式可得：()()22x y x a y a x a y a εεε-=---≤-+-<+=.所以，||x y ε-<.[说明]此例为练习2.4（5）中的一题.四、课堂小结五、作业布置选用练习2.4（4）（5）（6）、习题2.3中的部分练习.五、教学目标说明有关不等式的证明可分为两个课时进行.第一课时为比较法、综合法；第二课时为分析法.有关不等式证明问题的教学应侧重于基本思路与基本方法的讲解，难度不易过高，特别是在证明的技巧性上需严格控制，只需对不等式的基本性质以及基本不等式做适当应用即可.教学中的难点为分析法的讲解，一定要慎重.讲清思路以及它的理论依据，特别在书写格式上应提出严格的要求，防止学生出现证明过程由结论推至条件的严重错误.三种方法介绍完之后，师生应有所归纳与小结，理清证明思路.事实上，一题往往会有多种证法，关键在于对题目的分析，选用哪种证法更为合适显得尤为重要.。
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§2.1.3不等式的的证明(3)☆学习目标：1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式☻知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系： ☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.例1已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有：10．已知222a y x =+，可设 ， ；20．已知122≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )；30．已知12222=+b ya x ，可设 ， .12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知例2 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（）.A 1,)-+∞ .B (1]-∞- .C 1,)++∞.D (1]-∞例3 已知221x y +=，求证：y ax ≤-≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0ab <<，0m >，则a a m b b m+<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：122=>=()*,1k N k ∈>，2==()*,1k N k ∈> ⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯例4 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<例5求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n例6 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a选修4-5练习 §2.1.3不等式的证明(3) 姓名1、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21.2、设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于413、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）.4、若x , y > 0，且x + y >2，则x y +1和yx+1中至少有一个小于2。
5、已知 1≤22x y +≤2，求证：12≤22x xy y -+≤36、设2()13f x x x =-+，1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+；7、求证：311112≤+--≤-x x x8、求证.111bb aa ba b a +++≤+++9、设n 为大于1的自然数，求证.2121312111>+++++++n n n n10、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n11、求证：223111112212n n n-<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)12、求证：21-<⋅⋅⋅+<()*n N ∈参考答案:例1 例2 例33.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度。
常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，22131242a a ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②将分子或分母放大（或缩小）③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则a a mb b m+<+” ④利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；2x x -≥14()x R ∈；20x >()x R ∈ ⑦利用常用结论：2=>=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） ⑧绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑨应用二项式定理.4.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.贝努利不等式例如，对于任何0>x 和任何正整数n ，由牛顿二项式定理可得 .321)2)(1(21)1(1)1(22n n x x n n n x n n nx x ++⨯⨯--+⨯-++=+ 舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： nx x n +>+1)1(. 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。
该不等式不仅当n 是正整数的时候成立，而且当n 是任何大于1的有理数的时候也成立。
这就是著名的贝努利不等式。
在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1->x ，则在1>α或0<α时，x x αα+≥+1)1(，在10≤≤α时，.1)1(x x αα+≤+例4证：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n例5证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数）得n⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111 .3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n nn 例6证：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>c b ad db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m∴1 < m < 2 即原式成立。
练习1．证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则.2)3()2(2)1(<++f f f （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时， 通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？2、 证：设(1 - a )b >41, (1 - b )c >41, (1 - c )a >41,则三式相乘：ab < (1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a <641①又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b , 41)1(≤-c c 以上三式相乘： (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤641与①矛盾. ∴原式成立 4提示：反设x y+1≥2，yx +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。
10 证明：.,,4,3,2,111)1(112n k k k k k k=--=-< ∴n n n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222 =)111()3121()2111(11n n --++-+-+=.212<-n注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n的过程中，已经得到一个更强的结论n n 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。