冀教版九年级数学上册《圆的概念及性质》
冀教版九年级圆的知识点总结归纳
冀教版九年级圆的知识点总结归纳圆是几何中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理等领域。
在冀教版九年级数学教材中，关于圆的知识点和性质进行了详细的介绍和探究。
本文将对冀教版九年级数学教材中关于圆的知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握和理解圆的概念和性质。
一、圆的定义与相关概念在学习圆之前，我们首先要了解圆的定义和相关概念。
1. 圆的定义：圆是平面上到一定点距离相等的点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径、弧、弦、直径等。
3. 相关概念：直径、半径、弧长、弦长、圆心角、圆周角等。
二、圆的性质及相关定理1. 圆的性质：(1) 圆上任意两点与圆心连线的长度相等；(2) 圆的半径相等；(3) 圆上的任意弧都小于或等于半圆；(4) 圆上的任意弧所对的圆心角相等；(5) 圆上的任意弧所对的弧长与圆心角大小成正比。
2. 相关定理：(1) 弧长定理：圆的弧长与圆心角的大小成正比；(2) 弧度制与角度制的转换关系：1弧度= 180° / π ；(3) 圆心角定理：位于同一个圆上的两个弧所对的圆心角相等；(4) 弦切定理：切线与弦的关系。
三、圆的应用1. 圆的面积计算：圆的面积公式为：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。
2. 相关应用题：(1) 已知圆的半径，如何求圆的周长和面积；(2) 如何判断一个点在圆内或外；(3) 如何判断两个圆的位置关系。
四、圆的构造1. 构造圆的方法：(1) 已知圆心和半径，可以利用圆规和直尺来画出一个圆；(2) 已知圆上的三个点，可以通过连线构造出圆。
2. 相关构造题：(1) 如何通过点和直线构造圆；(2) 如何通过两个不同的点构造圆。
五、圆的证明题在九年级数学教材中，我们还会遇到一些关于圆的定理的证明题，如三角形内切圆和外接圆的性质证明等。
对于这类题目，我们需要灵活运用所学知识，利用图形特点和定理推理，进行证明。
综上所述，圆是数学中一个重要且广泛应用的几何概念，掌握圆的相关知识点和性质对于我们理解几何学和应用数学非常重要。
冀教版九年级数学上册2圆的概念及性质课件
知识梳
理
课时学业质量评
价
4. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E ， F ， G ， H 分
别是 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，连接 OE ， OF ， OG ， OH . 求证：
E ， F ， G ， H 四个点在以点 O 为圆心的同一个圆上.
1
2
3
学习重点：与圆有关的概念.
学习难点：理解“直径与弦”“半圆与弧”“等弧
与长度相等的弧”等概念.
探究新知
学生活动一 【一起探究】
欣赏图片，每个图片里都有的图形是什么？
探究新知
学生活动二
学生活动二
【一起探究】
1.在练习本上画一个圆，你是怎样画出的?
2.我们想在操场上画个圆形，你有什么办法吗?
探究新知
.
条，
课堂小结
1.圆的定义:平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的
图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这个定长叫做圆的半径.
2.圆的元素:圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小.
3.圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形.
4.和圆有关的概念:弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、
等弧.
课后作业
理
课时学业质量评
价
3. 如图， AB 是☉ O 的直径，点 C ， D 在☉ O 上，且在 AB 的异侧，连接
AD ， OD ， OC . 若∠ AOC ＝70°，且 AD ∥ OC ，则∠ AOD 的度数为
(
D )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
第3题图
1
2
3
4
2020冀教版九年级数学上册：圆的知识点总结及典型例题
【文库独家】圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
冀教版九年级数学 28.1 圆的概念及性质(学习、上课课件)
感悟新知
又∵点 E 为 AB 的中点，∴ OE= 12AB.
知1－练
同理可得
OF=
1 2
BC，
OG=
1 2
CD，
OH=
1 2
DA.
∴ OE= OF= OG= OH.
∴ 点 E， F， G， H 在以点 O 为圆心， OE 的长
为半径的圆上 .
感悟新知
知1－练
2-1.如图， BD， CE是 △ ABC 的高， M是 BC 的 中 点， 试说明 点 B， C， D， E 在以点 M 为圆心的 同一个圆上 .
感悟新知
知1－练
解：连接 ME，MD.∵BD，CE 是△ ABC 的高， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°. 又∵M 是 BC 的中点， ∴ME＝12BC，MD＝12BC. ∴ME＝MB＝MD＝MC.∴点 B，C，D，E 在以点 M 为圆心的同一个圆上．
感悟新知
知识点 2 圆的性质
知2－讲
名称
内容
圆的中心 对称性
知2－讲
特别提醒 1. 不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说
“圆的对称轴是直径所在的直线”.因为直径 是线段，而对称轴是直线. 2. 一个圆绕圆心旋转任意角度后都能与自身重 合，所以圆具有旋转不变性 .
感悟新知
知2－练
例3 如图 28-1-2，⊙ O 的半径为 1，分别以⊙ O 的直径
AB上的两个四等分点 O1， O2 为圆心，
④以点 P 为圆心，3 cm 长为半径的圆有无数个 .
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
感悟新知
解题秘方：紧扣圆的定义的“两要素”进行判断 . 知1－练
解：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径， 只知一个条件或不知任何一个条件的圆都有无数 个，由此可知①②③正确；圆心和半径都确定， 这样的圆有且只有一个(唯一)，由此可知④错误 .
冀教版-数学-九年级上册--28.1圆的概念及性质 教案
28.1圆的概念及性质圆是初中几何中重要的内容之一.本节建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性及圆的有关概念。
讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验.。
数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题.利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。
1）通过观察、操作、归纳等理解圆的定义，能在圆形中准确识别圆心、半径、弦、圆弧、等圆、等弧等相关概念；认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形和圆的旋转不变形。
2）采用多媒体和教具相结合，学生自主学习和小组合作相结合的教学方法，让学生理解圆的不同定义，感受圆和实际生活的联系，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
3）体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
重点：圆的定义及相关概念和性质学习。
难点：圆的定义。
多媒体，圆规，直尺，绳子，橡皮筋。
【教学环节安排】教学环节教师活动学生活动设计意图活动一创设情境引入新课教师出示屏幕上的图片并提出问题：你还能举出生活中与圆有关的例子吗？学生观察图片，感悟并思考圆在生活中的广泛应用。
让学生从实际出发，充分发现教学与实际的联系，激发学生的积极性。
自主学习认识概念教师在屏幕出示问题：①什么叫做弦、弧、等圆、等弧？②等圆的半径有什么关系？③长度相等的弧是等弧吗？学生带着问题自学教材认识圆的有关概念。
并把学习困惑在全班交流。
培养学生自学能力，发现问题、解决问题的能力。
活动二民主讨论以小组为单位请同学们利用绳子、橡皮筋、等工具画圆。
教师巡视指导。
最后，出示课件得到圆的动态定义。
学生画圆，同时思考：圆的形成过程及元素。
并交流困惑。
动手操作为学生架起由感性认识到理性认识的桥梁，在操作中探究，在实践中建构新知。
活动三个性展示教师在屏幕出示问题：①在圆上任取3个点，量一量，它们到圆心的距离相等吗？②平面内到点O的距离等于半径OA的点都在圆上吗？③请试着归纳出圆的定义。
九年级上册数学冀教版圆的知识点
九年级上册数学冀教版圆的知识点圆是数学中的一个基础概念，也是九年级上册数学冀教版中的一个重要知识点。
本文将为大家详细介绍圆的定义、性质以及一些相关定理，以帮助大家更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的定义圆是平面上一组与一个固定点的距离都相等的点构成的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
圆可以用符号“O” 表示。
二、圆的性质1. 圆的半径相等的两条弦相等。
证明：对于圆O，假设弦AB和弦CD的长度相等，即AB=CD。
连接AO、BO、CO、DO。
由圆的定义可知，AO=BO=CO=DO，所以△AOB≌△COD。
根据三角形的性质可知 AB=CD。
2. 相等弧所对的圆心角相等。
证明：设圆弧AB和圆弧CD等长，即 AB=CD，连接AO、BO、CO、DO。
根据圆的性质可知 AO=BO=CO=DO，同时根据圆的定义可知 AO=CO，BO=DO。
故有△AOB≌△COD，所以∠AOB=∠COD。
3. 在同一个圆中，离圆心较远的弧所对的圆心角比离圆心较近的弧所对的圆心角大。
证明：设弧AB较长，弧CD较短，连接AO、BO、CO、DO。
根据圆的性质可知AO=BO=CO=DO，但由于CD<AB，所以∠COD<∠AOB。
三、相关定理1. 直径定理直径是圆上任意两点之间的最长线段，也是通过圆心的两条弦之一。
直径是圆上最特殊的一条弦，有一个重要的定理与之对应：圆上的任意弦若与直径垂直，则该弦是直径。
证明：设弦AC与直径BD垂直，连接BC和AD。
根据圆的性质可知AB=CD，并且∠BAC=∠BDC=90°，所以△ABC≌△CBD。
由此可知AC=BD，即弦AC与直径BD相等，所以弦AC是直径。
2. 弦割定理在同一个圆内，若有两条弦AB和CD相交于点E，则AE·EB=CE·ED。
证明：连接OA、OB、OC、OD。
根据圆的性质可知OA=OC，OB=OD，所以△OAE≌△OCE，△ABE≌△CDE。
九年级数学 第二十七章第1节圆的基本概念和性质 冀教版
九年级数学第二十七章第1节圆的基本概念和性质冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：圆的基本概念和性质1. 理解圆、圆心、半径、弦、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等有关概念；2. 理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；3. 掌握在同圆或等圆中，弧与弦的相等关系；4. 理解垂直于弦的直径的性质定理及其推论.二、知识要点：1. 圆的基本概念（1）平面上到定点O的距离等于定长（OA的长）的所有点组成的图形叫做圆，定点O叫做圆心，线段AO叫做圆的半径. 以O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.确定一个圆需要两个要素：一是位置，二是大小. 圆心确定其位置，半径确定其大小. 只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小确定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定，只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定.（2）连结⊙O上任意两点A、B的线段叫做⊙O的弦. 过圆心的弦叫做圆的直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以A、B为端点的弧用“︵AB”表示，读作“弧AB”. 圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.（3）能够重合的两个圆叫做等圆，能够重合的两条弧叫做等弧. 显然，半径相等的两个圆是等圆.2. 圆的基本性质（1）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.（2）在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等.D（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.（4）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.三、重点难点：圆的基本概念和性质、垂直于弦的直径的性质定理及其推论是本讲的重点，也是本讲的难点.四、考点分析：本节知识是中考命题的重要内容，主要考查垂直于弦的直径的性质及其推论、弧与弦之间的关系进行有关的计算与证明，出现在填空题、选择题及各类中、高档题中，其中几何应用题也常以此为背景.【典型例题】例1. 如图所示，圆中有__________条直径，__________条非直径的弦，圆中以A 为端点的优弧有__________条，劣弧有__________条.A分析：直径：过圆心的弦. 非直径的弦：不过圆心的弦. 优弧：大于半圆的弧，通常用三个字母表示，例如：︵ADC ，︵ADF ，︵AFE ，︵AFD. 劣弧：小于半圆的弧，通常用两个字母表示，例如：︵AD ，︵AE ，︵AF ，︵AC.解：1 2 4 4例2. 如图所示，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，OD ⊥AB 于M ，则可得出AM ＝BM ，︵AC ＝︵BC 等结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：__________.D分析：由垂直于弦的直径的性质知⎩⎪⎨⎪⎧DC 是直径，OD ⊥AB ⇒AM ＝BM ，︵AC ＝︵BC ，︵AD ＝︵BD. 由圆的有关性质知，在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等. ∵︵AC ＝︵BC ，∴AC ＝BC. 又∵OD ⊥AB ，∴∠ACM ＝∠BCM ，∴∠A ＝∠B.解：︵AD ＝︵BD ，AC ＝BC 等.评析：垂直于弦的直径的性质及其推论可概括为：如果一条直线具有①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧这5个结论中的任意2个，就可推出其余3个，但应注意“经过圆心，平分弦”作为题设时，必须是非直径的弦.例3. 如图所示，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径长为__________cm .分析：欲求半径长，可连接OB ，由垂直于弦的直径的性质，可得BC ＝AC ＝12AB ＝12×8＝4（cm ）. 在R t △OCB 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝32＋42＝5（cm ），即⊙O 的半径长为5cm .解：5 评析：（1）垂直于弦的直径的性质的应用常与勾股定理相联系；（2）连接半径是圆中常见的一种辅助线的做法，通过连接半径可构造出直角三角形，利用勾股定理求相关线段的长度.例4. 如图所示，已知弦AB ＝CD ，求证：︵AC ＝︵BD.A分析：据弧与弦的关系定理可得：AB ＝CD ，∴AB －︵BC ＝︵CD －︵BC ，即︵AC ＝︵BD. 证明：在⊙O 中，∵AB ＝CD ， ∴︵AB ＝︵CD ，∴︵AB －︵BC ＝︵CD －︵BC ，即︵AC ＝︵BD. 评析：（1）在运用弧与弦的关系定理时应注意其成立的条件“同圆或等圆中”；（2）它也是证明弧相等和弦相等的常用方法.例5. 某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一个竹排运送一货箱欲从桥下经过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，则货箱能否顺利通过该桥？分析：如图所示，︵AB 表示拱桥，AB ＝7.2米，CD ＝2.4米，EF ＝3米，D 为AB 、EF 的中点，且CD 、ME 、NF 均垂直于AB ，货箱能否通过这座拱桥，关键是看货箱顶部两角是否会被拱桥挡住，即当竹排位于桥下正中位置EF 时，两角高度是否小于FN ，因此题目转化为求FN 的长.BC解：如图所示，设圆心为Ｏ，连结OA 、OB 、ON ，作OD ⊥AB 于D 交⊙O 于C ，交MN 于H ，则D 为AB 中点，设OA ＝r ，则OD ＝OC －DC ＝r －2.4，AD ＝12AB ＝3.6，在R t △OAD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2， 即r 22＋（r －2.4）2，∴r ＝3.9. 在R t △ONH 中，OH ＝ON 2－NH 2＝2－2＝3.6.∴FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－（3.9－2.4）＝2.1＞2. 故货箱能顺利通过这座拱桥. 评析：这是一道实际问题，可以将它转化为数学问题来解决，把圆弧形拱桥抽象成弓形，从而变成解决弓形的问题.例6. 已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，求AB 和CD 的距离.解：根据题意画出图形，如图所示.过点O 作OF ⊥AB 于F ，交CD 于E ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD.由垂直于弦的直径的性质得AF ＝FB ＝12AB ＝3cm ，CE ＝DE ＝12CD ＝4cm .再由勾股定理得OF ＝OA 2－AF 2＝52－32＝4（cm ）. OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3（cm ）. ∴EF ＝OF －OE ＝4－3＝1（cm ）.分析：上述解题过程不完整，产生错误的原因在于考虑问题不全面，本题有两种情况，错解只考虑了AB 、CD 在圆心O 的同侧的情况，而忽略了另外一种情况，即AB 、CD 在圆心O 的异侧.正解：除上述情况外，还有另一种情况，如图所示.过点O 作OF ⊥AB 于F ，反向延长线交CD 于E ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD.同理可得：OF ＝4cm ，OE ＝3cm .当AB 、CD 在圆心O 异侧时，EF ＝OF ＋OE ＝4＋3＝7（cm ）. ∴AB 、CD 的距离为1cm 或7cm .【方法总结】1. 本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂直于弦的直径的性质及推论和弧、弦之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化.2.3. 垂直于弦的直径的性质及推论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据. 在理解其性质的前提下要注意运用，把它和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、圆心到弦的距离、弦长及弓形的高（弧的中点到弦的距离）之间的关系式.【预习导学案】圆心角和圆周角、过三点的圆一. 预习前知1. 线段的垂直平分线有什么性质？画出三角形三边的垂直平分线，它们交于同一点吗？2. 直角三角形中斜边中线有什么性质？二. 预习导学1. 观察下列各图，用数学语言描述其中的角的顶点和两边与圆之间的关系？2. 如图所示。
28.1圆的概念及性质教学设计-2023-2024学年冀教版数学九年级上册
-巩固学生在课堂上学到的圆的概念和性质。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够准确地描述圆的定义，包括圆心、半径等基本特征。
-学生能够理解并应用圆的性质，如对称性、唯一性等。
-学生能够掌握圆的方程形式，并能够根据条件求解圆的方程。
2.过程与方法：
-学生能够通过观察实例和参与实践活动，培养数学抽象和直观想象能力。
-学生能够在小组讨论和合作学习中，提高数学建模和逻辑推理能力。
-学生能够运用圆的方程解决实际问题，增强数学应用能力。
3.情感态度与价值观：
-学生对圆的概念和性质有更深刻的理解，增强对数学知识的兴趣和自信心。
3.圆的方程及其应用
-圆的方程：一般形式为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径。
-应用：通过实际问题，探讨圆的方程的应用，如计算圆的面积、周长等。
板书设计：
1.圆的定义及其基本特征：
-圆的定义：圆是平面上所有到定点距离相等的点的集合。
-圆心：圆的定点，即圆的中心。
-应用：通过实际问题，探讨圆的方程的应用，如计算圆的面积、周长等。
课后拓展
1.拓展内容：
-阅读材料：《数学之美》（作者：张景中），这本书介绍了数学在自然界和生活中的应用，帮助学生理解数学的实用性和美。
-视频资源：观看纪录片《数学的故事》（The Story of Maths），了解数学的发展历程和其在人类文明中的重要作用。
i. (2,3) ii. (2,-3) iii. (4,3) iv. (0,0)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转180°。 （1）请在图中画出旋转后的三角形。 （2）请分别画出点A，B所经过的路径。
A
B’
B
C
A’
3如图，在正方形ABCD中，对角线
AC和BD相交于点O.试说明点A、B
、C、D在同一个圆上，并画出这个
圆.
A
D
O
B
C
4如图，在正方形ABCD为一个6×6的网格
电子屏示意图，位于AD重点处的光电P
按照如下的方式移动：绕点ABCD顺时针
旋转90°，请你画出光电P经过的路径。
A
P D
B
C
A
O
B 1.如图,半径有:_O_A__、__O_B__、__O_C__
●
若∠AOB=60°，
C
则△AOB是_等__边__三角形.
2.如图,弦有:___A_B_、__B__C_、__A_C_
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，
每一条弧都叫做半圆．
B
O·
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的A⌒C ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三点表示，如图中的 A⌒BC）叫
做优弧.
B
等圆与等弧
O·
A
C
能够重合的两个圆叫等圆
能够重合的两个弧叫等弧
1.请用圆规和直尺画出一个半径为2cm 的圆，并在这个圆中分别画出长为2cm
冀教版九年级数学上册 《圆的概念及性质》
2020/8/19
圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象
小明和小亮合作，按照下面方法画圆
小明把绳子的一 端固定在走廊的 一点O，小亮在 绳子另一端绑上 一根粉笔，将绳 子拉紧，再绕点 O转一圈，这样 粉笔划出的痕迹 就是圆。
观察小明和小亮画图的过程，你认为圆 上任意一点到圆心的距离相等吗？
如图：某船在灯塔A处周围捕鱼作业，A处周
围3km内的圆形水域为危险区域，有一渔船
误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险
区域，该船应按什么方向航行？
B A
解：应按射线AB方向航
行1000 m后才能脱离危 险．如图箭头所示方向
在两张半透明的纸上,分别画出半径相等的⊙O1，⊙O2 及相等的两条弦AB,CD.把两张纸叠放在一起,使⊙O1 与⊙O2重合,固定圆心,将一张纸绕圆心旋转适当的角 度,使弦AB 和弦CD 重合.
将⊙O 沿CD 所在的直线对折,哪些线段重合,哪些
弧重合?由此你能得出什么结论？
C
线段： AE=BE
弧： A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，
A
并且平分这条弦所对的两条弧．
·O
E B
D
C
AE=BE，⌒ ⌒ ⌒ ⌒
即 并A直且D=径平B分CDDA,⌒AB平C及分=弦BA⌒CCA，BB ，
A
请用数学符号表示垂径定理：
·O
E B
D
1．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm，圆心
O 到AB 的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：
A
E
B
在
中
·
O
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O 中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明：
如图，平面上到定点O的距离等于定长（ OA
的长）的所有点组成图形叫做圆．
A
固定的端点O叫做圆心
r
O·
线段OA叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“ ⊙O ” ，读作“ 圆O ”．
1、在一张半透明的纸上以O为圆心画一个圆，将 这张纸片沿过O的直线对折，你发现什么？
2、将圆绕圆心旋转1800后，是否与原图形重合？ 这说明什么事实？
∴四边形ADOE为矩形， 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
·O
A
D
B
在圆中有长度不等的弦， 直径是圆中最长的弦．
1.如图,弧有:___A_⌒B____B⌒_C_____
A
A⌒BC A⌒CB B⌒CA 它们一样么？
B
O●
2 .劣弧有： A⌒B B⌒C
优弧有： ⌒ ⌒ ACB BAC
C
你知道优弧与劣弧的区别么？
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，
回顾思考 解决问题
圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心
与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段（如图
AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫
做直径．
B
O·
A
C
弧
ห้องสมุดไป่ตู้
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B
为端点的弧记作 AB ⌒，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
A
B
O1
C
O2 D
你能发现哪两条弧重合，他们是等弧吗？ 1.在等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的弦 相等吗？ 2.在同圆中,相等的弦所对的弧相等吗?等弧所对 的弦呢？
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等.
如图,在⊙O 中,CD 是直径,AB 为弦,且CD⊥AB, 垂足为E．