1定积分的应用
定积分的物理应用一、物体质量对于密度均匀的物体的质量或、，这时...
定积分的物理应用一、物体质量对于密度均匀的物体的质量l m l γ=⋅或A m A γ=⋅、m V γ=⋅，这时密度是常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法． 例1、 一半圆形金属丝，其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比，求金属丝的质量．解 建立如图1坐标系图1则()l x ky γ== ()0k >y '=ds ==dx =()l dm x ds γ=⋅=kRdx = RR m kRdx -=⎰ 22kR =．二、 液体压力液面下h 深处水平放置的面积为A 的薄板承受的液体压力P 可以由压强乘以面积得到，即P gh A γ=⋅，其中γ为液体密度，压强gh γ是个常量（匀压强）． 现在如若把薄板垂直放置呢？薄板上的压强还是常量吗？还能用上边那个简单的公式吗？ 例1 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门，闸门垂直放置且上边与水面齐（如图8．3．4），试计算闸门一侧所承受的水压力．解回顾例8．3．3，我们知道抽水做功微元dW 为把x 处一层水抽出所做的功；类似地，侧压力微元dP 为x 处一层水对应的闸门的一个小窄条（如图阴影部分）所承受的水压力，即dP gxdA γ=2gx ydx γ=22203gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则15022203P gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 15204403g x x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 2315498002009x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 29400000=()N ．三 、 变力做功一圆台形水池，深15m ，上下口半径分别为20m 和10m ，如果把其中盛满的水全部抽干，需要做多少功?解：水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化图8．3．4其中抽出任意一层水（x 处厚为dx 的扁圆柱体，如图8．3．4阴影部分）所做的功为抽水做功的微元dW即dW dm g x dV g x γ=⋅⋅=⋅⋅⋅22203gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则21502203W gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 21502203g x x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 23415801200099g x x x γπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 20625g γπ=202125000π=()J ．。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分在经济学中的应用1
定积分的应用
定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。
文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
积分学是微分学和积分学的总称。
由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。
可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。
微积分是与应用联系着并发展起来的。
定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。
本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题
2 利用定积分由变化率求总量问题
3 用定积分求经济函数的最大值和最小值
4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余
5 利用定积分决定广告策略问题
定积分在数学中占主导地位。
同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分, 定积分还有很多在经济学中的应用之处。
只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。
定积分的应用绕y轴旋转体的体积
定积分的应用绕y轴旋转体的体积
绕y轴旋转体的体积可以使用定积分来计算。
假设我们要计算在x轴上由函数y=f(x)和y=g(x)所围成的区域绕y轴旋转一周
形成的体积。
首先，我们可以将该区域在y轴上的投影表示为两个曲线
y=f(x)和y=g(x)之间的区域，即：
ΔV = π * (f(x)² - g(x)²) * Δx
其中，ΔV表示该区域在y轴上的投影扫过的小圆柱体的体积，π表示圆周率，f(x)² - g(x)²表示小圆柱体的底面积，Δx表示小
圆柱体的高度。
然后，我们可以将整个区域划分为许多小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后将所有小圆柱体的体积求和，即可得到整个
旋转体的体积：
V = ∫[a,b] π * (f(x)² - g(x)²) dx
其中，[a,b]表示区间[a,b]上的积分，表示我们要计算的区域的
范围。
通过对上述积分进行计算，我们可以得到绕y轴旋转体的体积。
请注意，这个方法适用于任何形状的曲线旋转体。
1.定积分的应用(面积)
y = x2
A = ∫0 ( x − x 2 )dx
2 3 x 1 = x2 − = . 3 0 3 3
3 1
1
x
x+dx
求面积的一般步骤： 求面积的一般步骤： 1.作图（如果需要求出交点）. 作图（如果需要求出交点） 作图 微元法 2.用定积分表示面积 用定积分表示面积. 用定积分表示面积 公式法
2）求出一个元素（如 f ( x )dx 称为量U 的元素 ）求出一个元素（ 且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ）；
3)化 为 定 积 分 U =
∫
b
a
du
定积分在几何 几何上的应用 第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 1.直角坐标系情形 直角坐标系情形
y
y = f ( x)
π
π
3
o π
6
x
3 0
6 0
= − ∫ π sin xdx + ∫ 6 sin xdx
− 3 0
π
= cos x − π + ( − cos x ) 06
3
0
π
3− 3 = 2
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 问题：积分变量只能选 x 吗？
例 3
相当于定积分的换元） 连续. y = ψ (t )连续 （相当于定积分的换元）
x2 y2 的面积. 例 5 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解 椭圆的参数方程 y = b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 由对称性知总面积等于 倍第一象限部分面积． 倍第一象限部分面积
高中数学第一章导数及其应用1定积分的简单应用定积分在物理中的应用素材
定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.定义：设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b ］中任意插入若干个分点 a=X0〈X1〈...〈Xn —1<Xn=b 把区间[a ，b ］分成n 个小区间 [X0，X1]，..。
[Xn —1，Xn]。
在每个小区间[Xi —1，Xi ］上任取一点ξi(Xi -1≤ξi≤Xi ），作函数值f(ξi ）与小区间长度的乘积f(ξi ）△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f （x)在区间[a ，b]上的定积分， 记作: ()dx x f a b⎰即： ()()ini ia bx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x ）作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b ，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.在[a ，b]上任取子区间[x ，x+dx ］，在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F （x ）在区间［a,b ］上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a 〈b ），求电场力所做的功。
定积分的应用一-2022年学习资料
求由连续曲线y=fx,y=gx及x=a,x=b-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=['lfx-gxl x.a<b-类似地，-求由连续曲线x=py,x=y及y=c,y=d-A=∫1p-y1dy.-c<d
例1-求曲线y=x2与直线x+y=2所围成的平面图形的面积.-解-1求积分区间-联立方程组-「y=x-求得 点：A-2,4,B1,1.-积分区间x∈[-2,1].-微分元素dA=[2-x-x2]dx.-3计算面积-可e-wa2-4分
为简便和醒目起见略去下标，将具有代表性的第个-小区间[x-1,x]表示为[x,x+dx],称之为典型小区间 取-5:为区间的左端点x,则有-△A≈fxdx.-通常称fxdx为量A的微分元素或积分元素，记为-dA=f dx.-由量A对区间的可加性取极限过程dx→0（相当于-‖△x→0，将微分元素dA在区间[a,b]上“无限 加”起来-即作定积分就得到量A在区间[α，b]上的值：-A=∫°dA=fxdx.-简言之，我们在这里将定积 解为微分元素的无限剥加.
求由曲线r=rO及射线r=a,r=Ba<B-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=∫2dA=∫2r0d0 该公式也称为极坐标系种曲边扇形的面积公式
求圆r=3cos0与心形线r=1+cos0所围成的-例7-平面图形的面积.-解-由对称性，求出上半部分的面 A,则A=2A-r =3cos 0-1求积分区间联立方程组-∫r=3cos0-2微分元素-当0≤0≤g时， 边为r=1+cos日，dA=号1+cos62d0-0≤7时，曲边为r=3cos0,dA=6cosd8,
例5-求由摆线x=at-sint,y=aI-cost的第一拱-0≤t≤2π与横轴x所围成的平面图形的面积. 解-1求积分区间-x:0→2πa时，t:0→2π.-2求微分元素-2na x-d A=l yldx=a1ostdat-si1-cost2dt-1-2cost+cos'dt-A =3xd.
(数学一)定积分的物理应用入门(例题讲解)
（数学一）定积分的物理应用入门（例题讲解）1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为182160260===⎰s k ksds W k(牛⋅厘米).2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P , π-=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是hR mgRhW +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为dy ykMm dW 2=, 所求的功为 )(2h R R mMhk dy y kMm W h R R+⋅==⎰+.(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以23)(cx t x v ='=, 阻力4229t kc kv f -=-=. 而32)(cx t =, 所以34323429)(9)(x kc cx kc x f -=-=. 功元素dW =-f (x )dx , 所求之功为 37320343203432072799)]([a kc dx x kcdx x kc dx x f W a aa===-=⎰⎰⎰. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？ 解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为k kxdx W 21101==⎰,击第二次作功为)2(212112h h k kxdx W h+==⎰+. 因为21W W =, 所以有 )2(21212h h k k +=, 解得12-=h (cm).6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210-=, 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ,所求功为⎰-=1502)3210(dx x x W π⎰+-=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=, 闸门上所受的水压力为21252252===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN).8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+-y x . 压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=,所求压力为 ⎰⎰-⋅⋅+=--⋅=222322cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x P ππ169cos 49202==⎰tdx (吨)=17.3(kN).(提示: 积分中所作的变换为t x sin 4343=-)9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为 x y 1015-=,压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=,所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)=14388(千牛).10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力.解 建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=,所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克)=1.65(牛).11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为 dy y a Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为dF ra dF x -=, dF r ydF y =.2202222022)(1)(la a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ, )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 ϕ 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 μ . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力.解 根据对称性, F y =0. θμcos 2⋅⋅⋅=Rdsm G dF x θθμθθμd RGm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=, θθμϕϕd R Gm F x ⎰-=22cos2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰.引力的大小为2sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O
π
x
(2) 绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积 分析 这个图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的 体积可以看成平面图形 OABC 与 OBC 分别绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积
之差. 1
y C
B y sin x A π x
当x 4(百台)时，利润P ( x )最大，其值为
42 P (4) 4 4 1 7 (万元) 2
x ( y)
o
x
例 5 计算由正旋曲线弧 y sin x , x [0, ]与 x轴
围成的图形分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所成旋转 体的体积.
解 (1) 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 y π y sin x V x π sin 2 x d x
0
π π (1 cos 2 x ) d x 2 0
y x2
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
2º 选 x 为积分变量, x [2, 3]
2O
3
(1) x [2, 0],
d A1 [( x 6 x ) x ]d x
d A2 [ x 2 ( x 3 6 x )]d x
3
2
( 2) x [0,3],
于是所求面积 A A1 A2
0 3 2 3
253 . A ( x 6 x x ) d x ( x x 6 x ) d x 2 0 12
2 3 3
(方法2) 代公式，得
A
( x 6 x x )d x
3 2 2
2 0
f ( x ) g( x ) d x ( x 6 x ) x d x
总成本函数：C ( x ) M ( x ) d x 1 C
0
x
C ( x ) MC ( x ) d x 1 dx 1 x 1
0 0 x
x
总收益函数：
R( x ) M R ( x ) d x
0
x
x
0
x2 (5 x ) d x 5 x . 2
即从利润最大时的ห้องสมุดไป่ตู้量又多生产100台， 总利润减少了 0.5 万元.
25
例9 某产品的总成本 C(x)(单位：万元)的边际 成本为MC (x) = 1 (单位：万元/百台)，总收益 R(x)(单位：万元)的边际收益 MR(x) = 5 x (单位：万元), 其中x 为产量，固定成本为1万元，问： (1) 产量等于多少时总利润 P(x)最大； (2) 从利润最大时再生产一百台，总利润增加多少？ 解 (1) 依题设，有
2 hR R x . 2 3 h 3 0
2 3 h
情形2 平面图形 G2 : 由连续曲线 x ( y ) 、
直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的曲边 梯形.
G2 绕 y 轴旋转 d
2
y
V y [ ( y )] d y
c
d
y• c
2
A ( x x )d x
2 0
1
2 3 x2 3
1 x . 3 3 0
3 1
3 2 y x 6 x y x 计算由曲线 和 所围成 例2
的图形的面积.
y x3 6 x
解 (方法1) 1º两曲线的交点 3 y x 6x 2 y x
2
2 1 y ]0
2π 2
(方法2) 柱壳法，由公式
V y 2 x f ( x ) d x
a
b
y
y sin x
得
V y 2 x sin x d x
0
O
π
x
2
0
x d cos x
0
2 ( x cos x 0 cos x d x )
2 ( sin x 0 ) 2π 2
c
d
d ydy y c
O
x ( y)
x ( y)
x
(c d )
2 2 y x y x 计算由两条抛物线 和 所围成的 例1
y2 x 解 1º 求两曲线 2 y x
图形的面积.
的交点：(0,0) (1,1) 2º选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素: d A ( x x ) d x
3、定积分在经济中的应用
例6 已知某产品总产量的变化率为 3 2 f ( t ) 40 12t t ( 件 / 天 ), 2 求从第2天到第10天生产产品的总量. 解 所求的总产量为
x
10
2
f (t ) d t
2
10
2
3 2 (40 12t t ) d t 2
1 3 10 [40t 6t t ]2 400 ( 件) 2
总利润函数：
2 x P(x) R( x ) C ( x ) 4 x 1. 2
x2 P( x) 4 x 1 2 P( x ) 4 x 0 ，得唯一驻点：x 4
而 P ( x ) 1 0
唯一驻点x 4是P ( x )的极大值点， 从而是P ( x )的最大值点，即
31250. 225
(2) 从利润最大时再生产一百台，总利润 增加多少？ 解 从 x 4 百台增加到x 5 百台时，
总利润的增加量为
P M P ( x ) d x P ( x ) d x ( 4 x ) d x
4 4 4
5
5
5
(4 x ) 0.5 (万元) 2 4
3 2 2 3 2 (x 0
3
253 . x 6 x)d x 12
3
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量能选 y 吗？ 太麻烦！
2 y 2 x 和直线 y x 4 所围成 计算由曲线 例3
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x4
y2 2 x y x4
例8 某产品的边际收益为 M 75( 20 x )， R (1) 求当该产品的生产从225个单位上升到400个单位 时增加的收益. 解 (1) 增加的收益为
R
400
225
MR d x
400
225
75( 20 x ) d x
75 20 x 3
3 400 2 2 x
π
3
2 1 2π arcsin 0
yd y
O
A π x
π
3
2 1 2π arcsin 0
yd y
1 y 1 π 2π y arcsin y |0 d y 2 0 1 y y 2 1 2π dy 2 0 1 y
3 2
2π [ 1
O
(方法1) OB 的方程为 x arcsin y (0 y 1) )
)
AB 的方程为
从而所求的体积为
1
x π arcsin y (0 y 1)
1
Vx
0
2 (arcsin y ) dy ( arcsin y ) d y 0 2 1 2
y π (π C 2π arcsinBy ) d y y sin x 0 1
建立坐标系，如图.
直线 OP 方程为 R y x h 取积分变量为 x ，
x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x d x ] ，
以 dx 为底的窄边矩形绕 x 轴旋转而成的圆柱 体的体积为
R dV x d x h
2
圆锥体的体积 h R 2 V ( x) d x 0 h
a b
一般地，有
( 3) A f ( x ) g ( x ) d x
a b
y
y = g(x) dA
[ f ( x ) g( x )]d x
a
c
y = f(x)
O
a
y
cx x d bx x
[ g( x ) f ( x )]d x
c
b
(a b)
( 4) A ( y ) ( y ) d y
第一讲 定积分的应用
一、 平面图形的面积
二、旋转体的体积
三、在经济上的应用
1、平面图形的面积 (1) 面积元素
d A f ( x)d x
曲边梯形的面积
A f ( x)d x
a
b
(2) 面积元素
d A [ f ( x ) g( x )]d x
曲边梯形的面积 A [ f ( x ) g( x )]d x
的体积便是体积元素：
dVx [ f ( x )]2 d x
(截面积 A( x ) [ f ( x )]2 )
G1 绕 x 轴旋转
的旋转体的体积：
Vx [ f ( x)]2 d x
a
b
例4 连接坐标原点O及点P(h, R)的直线，直线 x=h 及 x 轴围成一个直角三角形. 将它绕 x 轴旋转一周构成一个底半径为R，高为h 的圆锥体，计算该圆锥体的体积. 解
又知 固定成本为20元，即C(0)=20, 所以每天生产x单位时总成本函数为：
C ( x) (0.4t 2)dt C (0)
0
x
0.2 x 2 x 20
2
设销售x单位商品得到的总收益为R(x)，则有 R(x)=18x。 因为L(x)=R(x)-C(x)=-0.2x^2+16x-20 所以L’(x)=-0.4x+16=0，得x=40, 而L’’(40)=-0.4<0 所以每天生产40单位时才能获得最大利润。