定积分及其应用习题详解
定积分及其应用练习带详细包括答案.docx
答案：4.
详解：
设A(x
0)，则ωx＋φ＝2，∴x
＝2ω－ω.
0,
0
π
0
Байду номын сангаасπ φ
2π
又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为ω，
ππφπ
∴|AC|＝，C－＋，0 .
ω2ωωω
依题意曲线段ABC与x轴围成的面积为
πφππφ
S＝－∫2ω－ω＋ω2ω－ωωcos(ωx＋φ)dx＝2.
ππ
∵|AC|＝ ，|yB|＝ω，∴S△ABC＝.
为()．
1
1
1
1
A．4
B．5
C．6
D．7
变式训练一
题面：
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P
为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
欢迎下载2
—
若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
ω2
π
∴满足条件的概率为4.
变式训练二
题面：
（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自
阴影部分的概率为（）
欢迎下载3
—
A．B．C．D．
答案：C.
详解：
根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；
故选C．
金题精讲
题一
题面：
（识图求积分，二星）已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面
高等数学第05章 定积分及其应用习题详解
0
x 1 sin tdt 0dt 1 ， 2
b a
f ( x)dx 在 几 何 上 表 示 由 曲 线 y f ( x) ， 直 线
x a, x b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 x a, b时，f ( x) 0, 则 b f ( x)dx 在几何 a
上表示由曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示， 1 xdx ( A1 ) A1 0 .
n
2
i
i 1
n
2
1 1 1 1 1 n(n 1)(2n 1) = (1 )(2 ) 3 n 6 6 n n 1 1 2 当 0时 （即 n 时 ） ，由定积分的定义得： x d x = ． 0 3
= 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分
4 3
1 1
(4 x 4 2 x 3 5) dx 的值.
上任取一点 i 作乘积 f ( i ) xi 的和式：
n
f ( i ) xi c ( xi xi1 ) c(b a) ,
i 1 i 1
n
n
记 max{xi } , 则
1i n
b a
cdx lim f ( i ) xi lim c(b a) c(b a) .
x
0
(t 1)dt ，求 y 的极小值
解： 当 y x 1 0 ，得驻点 x 1 ， y '' 1 0. x 1 为极小值点， 极小值 y (1)
( x 1)dx - 2
定积分典型例题20例解答
定积分典型例题20例答案例1求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n D =，然后把2111n n n =×的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n®¥+++=333112lim ()n n n n n n ®¥+++=13034xdx =ò．例2222x x dx -ò=_________．解法1由定积分的几何意义知，222x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³)与x 轴所围成的图形的面积．故222x x dx -ò=2p ．解法2本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=2221sin cos t tdt p -ò=222cos tdt p ò=2p例3（1）若22()xtxf x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt=ò，求()f x ¢=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解（1）()f x ¢=422x x xee---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且310()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解对等式31()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =． 例5 函数11()(3)(0)x F x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________． 解 1()3F x x¢=-，令()0F x ¢<得13x >，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求．例6 求0()(1)arctan xf x ttdt =-ò的极值点．的极值点． 解 由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中 2arcsin0()x tg x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim()n nf n®¥． 分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解 由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt-===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x ef g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f nn®¥®¥-¢=×==-． 例8 求 22sin lim (sin )xx xtdtt t t dt®-òò；分析 该极限属于00型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则．解 2200sin lim (sin )xx x tdtt t t dt®-òò=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x xx ®-×- x(,0)-¥0 (0,1)1 (1,)+¥()f x ¢- 0 ＋ 0 －=2012(2)lim sin x x x®-×=0． 注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例9 试求正数a 与b ，使等式221lim 1sin x x tdt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 221lim sin x x tdt x b xa t®-+ò=22lim 1cos x xa xb x ®+-=221lim lim 1cos x x xb xa x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-， 由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim 11cosx xx a a ®==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求．例10 设sin 20()sin x f x t dt=ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（ ）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小． D ．低阶无穷小．解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x xx ®®=×+ 22011lim 33x xx ®==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342xf x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x xx®®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx--+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt=+ò，则()________f x =．分析 本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且110(3)()x a dx f t dt a+==òò．所以所以211[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò．分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解 2112211x x dx x -++-ò=211112221111xx dx dx x x --++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx+-是奇函数，有112011xdx x-=+-ò, 于是于是2112211x xdx x -++-ò=2102411x dx x +-ò=22120(11)4x x dx x --ò=11200441dx x dx --òò 由定积分的几何意义可知12014x dx p -=ò, 故2111022444411x x dx dx xp p -+=-×=-+-òò． 例14 计算220()xdtf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续． 分析 要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解 由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()xtf x t dt -ò=201()()2x f u du -ò=201()2xf u du ò，故22()xd tf x t dt dx -ò=21[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ．错误解答 220()xd tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dtf x dx ¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元．例15 计算3sin x xdx pò．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法． 解3s i n x x d xpò3(c o s )x d x p=-ò3300[(c o s )](co s )x x x d x p p=×---ò3cos 6xdx pp=-+ò326p=-． 例16 计算12ln(1)(3)x dx x +-ò．分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-． 例17 计算2sin xe xdx pò．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解 由于2sin xe xdx pò2sin x xde p=ò22[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx pp=-ò， （（1）而2cos xe xdx pò2cos xxdep=ò22[cos ](sin )xx e x e x dx pp=-×-ò2sin 1x e xdx p =-ò， （（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx pp=--ò,故2sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算1arcsin x xdx ò．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法． 解 10arcsin x xdxò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421xdx xp=--ò． （1） 令sin x t =，则，则2121xdx x-ò2202sin sin 1sin t d ttp =-ò220sin cos cos t tdt t p=×ò220sin tdt p=ò201cos 22tdt p -==ò20sin 2[]24t t p-4p =． （2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得10arcsin x xdx =ò8p． 例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解 由于0[()()]cos f x f x xdx p¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=．故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dxx x +¥++ò．分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。
定积分的应用典型习题解答与提示
第五章 定积分的应用典型习题解答与提示习 题 5-21．（1）)10S x dx =⎰； （2）()10xS e e dx =-⎰； （3）()12332S x x dx -=--⎰；（4）(0]aS dx =⎰； （5）()544sin cos S x x dx ππ=-⎰。
2．（1）3ln 22-； （2）12e e+-； （3）()121413S x dx -=-=⎰； （4）2424182y S y dy -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰。
3．()0332234sin cos 8S a td a t a ππ==⎰。
4．（1）()22214cos 42S d ππθθπ-==⎰； （2）()223013sin 324S a d a ππθθ=⨯=⎰；（3）()2121521cos 2424S d πππθθπ⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦⎰，252244Sπππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭。
5．（1）32,85x y V V ππ==； （2）()11102484xdx x dx πππ--=⎰⎰；（3）22sin 2xdx πππ=⎰； （4）()()2222301cos [sin ]5a t d a t t a πππ--=⎰。
6．（1）()()33222[11]3aS b a ==+-+⎰； （2）(0ln 1S ==+⎰。
习 题 5-31．()0.060.0018J W kxdx ==⎰。
2．()2R hRkmM mMhW dx k x R R h +==+⎰。
3．()()5209.81512250J W x dx =⨯-=⎰。
4．()()215109.81557697.5J 15x W x dx π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰。
5．()()39.82[32]205.8N F x dx =⨯+-=⎰。
6．取圆心为原点，x 轴正向向下，()39.82176.4N F =⨯=⎰。
习 题 5-41．（1）总收益函数为()20200200100200QQQ Q R Q MRdQ dQ Q ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭⎰⎰， 故50Q =个单位时，总收益()25050200509987.5200R R ==⨯-=； （2）200220010010020019850200Q R MRdQ Q ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰。
第七章定积分及应用习题解答
第七章 定积分及应用1.1. 定积分的定义小练习（P175页） 1. 计算下列的和203423120 1)-k(k .2104321 ).1(41k 41=⋅+⋅+⋅+==+++=∑∑==原式解：）（原式解：k k656151()5141()4131()3121()211( )11m 1( 40104321104321 )1( .351m 9101=-+-+-+-+-=+-=+++++-+++++=+-∑∑∑===）原式解：）（）（）（原式解：）（m m k m k 2. 给定n 和积分区间，计算和式：4 , )2( 8 ,2 )1(2351⎰⎰==n dx x n xdx 22)5.445.332.521.5(1 21)21i (12)(2 )8,,2,1(,211),()8,,2,1( ),21,211()1,)1(1(),( ,21815 ,2 )( )1( :5181i 81111i =+++++++=⋅-+⋅=∆==-+==∈=+-+=∆⋅+∆⋅-+==-=∆=⎰∑∑==+++i i i i i i i i i i i x f xdx i i x x x i ii x i x i x x x x x f ξξ得取这里解 ,21402 , )( )2( i 3=-=∆=x x x f 这里)4,3,2,1( ),20,210()0,)1(0(),(11=+-+=∆⋅+∆⋅-+=++i ii x i x i x x i i i i小练习（P179） 1.估算下列积分144)12( 1)1(2 ,4121 ).1(1222122212122122-≤≤-⇒⋅-≤≤⋅-≤≤⇒≤≤-=⎰⎰⎰⎰⎰dx x dx x x x dx x dx x dxx ，解：8)3103(32 16)]1(1[ )3103( )4()]1(1 [ ,163103411)3103( )3103( )3103( ).2(1121122112112112≤+-≤-⇒⋅--≤+-≤-⋅--≤+-≤-⇒≤≤-+--=+-+-⎰⎰⎰⎰⎰-----dx x x dx x x x x x dx x x dx x x dxx x ，解：11)01( 0)0(1 ,1010 ).3(01313313013013≤≤-⇒⋅-≤≤⋅-≤≤⇒≤≤-=⎰⎰⎰⎰⎰dx x dx x x x dx x dx x dxx 解：2cos 00)2( cos )1()2( ,0cos 12 ,cos cos cos ).4(22222πππππππππππππππππ≤≤⇒⋅-≤≤-⋅-≤≤-⇒≤≤-=⎰⎰⎰⎰⎰dx x dx x x x dx x dx x dxx 解：2.说明下列4个定积分值之间的符号关系D C B A dt t D dt t C dtt B dt t A =-=-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰ )1( )1()1( )1(0130131313解：1.3.微积分基本定理小练习（P186—187） 1. 计算下列定积分51]01[5151).4(4]02[4141).3(335])3(2[3131).2(5)2(32 ).1(5151044204203332332322232232=-===-===--===--==⎰⎰⎰⎰----x dx x t dt t x dx x x dx x104sec ).8(10sin 2sinsin cos ).7(73106 ).6(4591 ).5(4040220201031039595=-===-===-===-==⎰⎰⎰⎰tg tg tgx dx x x dx x y dy r dr ππππππ2. 求下列函数的导数xdxdt t d y dt t y x x x dxdt t d y dt t y t dx dtt d y dt t y x dxdt t d y dt t y x xx x xxxxsin sin .sin ).4(3)1()1(33 .3 ).3(1111 .11).2(11 .1 ).1(0042210212020202=='=-=-⋅=='=+=+='+=+=+='+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：解：解：解：1.4.定积分的应用 小练习（P198）1.求由曲线22x y -=与直线x y -=所围的面积。
定积分典型例题及习题答案
04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径 为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积 分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两 个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示 为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、 近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一 个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每 个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这 些点的近似值，然后将这些近似值进行求和， 最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。
定积分应用题详解共29页
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
定积分应用题详解
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
高数定积分例题及详解(一)
高数定积分例题及详解(一)高数定积分例题及详解1. 问题描述假设有一个曲线y = f(x)，我们想要求解由该曲线与x 轴所围成的面积。
那么我们可以使用定积分来解决这个问题。
2. 定积分的含义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示曲线与坐标轴之间的面积。
我们可以用∫f b a (x )dx 来表示一个函数f(x)在[a, b]区间上的定积分。
3. 定积分的计算方法计算定积分的一种常用方法是使用原函数的不定积分。
假设F(x)是f(x)的一个原函数，那么根据牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到∫f b a (x )dx =F (b )−F (a )。
4. 例题1假设有一个函数f(x) = x^2，在区间[0, 3]上求该函数与x 轴所围成的面积。
解答： 首先，我们可以计算出函数f(x)的原函数F(x) = 1/3x^3。
然后，根据牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到∫x 230dx =13x 3|03。
代入数值后，我们得到∫x 230dx =13(33−03)=273=9。
因此，函数f(x)在区间[0, 3]上与x 轴所围成的面积为9。
5. 例题2假设有一个函数f(x) = 2x ，在区间[0, 5]上求该函数与x 轴所围成的面积。
解答： 首先，我们可以计算出函数f(x)的原函数F(x) = x^2。
然后，根据牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到∫25xdx =x 2|05。
代入数值后，我们得到∫250xdx =52−02=25。
因此，函数f(x)在区间[0, 5]上与x 轴所围成的面积为25。
6. 总结定积分是一种求解曲线与坐标轴之间面积的方法。
通过计算函数的原函数值，我们可以轻松地求解定积分。
在实际问题中，定积分可以帮助我们计算曲线的面积、质量、总和等。
掌握了定积分的计算方法，我们可以更好地理解函数与曲线之间的关系。
7. 例题3假设有一个函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π/2]上求该函数与x 轴所围成的面积。
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第五章 定积分及其应用习 题 5-11. 如何表述定积分的几何意义根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰AA A A A A A x x .（4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x .2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.( 2 )( 1 )( 3 )(4)解：=s ⎰+t t d )12(053. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.4. 利用定积分定义计算120d x x ⎰.解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故∑∑∑===∆=∆=∆n i i i n i i i ni i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n n i 1232111)(=311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61nn ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 120d x x ⎰=31．5. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 35093(1)11,(0)5,(),(1)781024f f f f -====的大小，知min max 5093,111024f f ==，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即14315093(425)d 22512x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明⎰1d xe x与⎰1d 2x e x ，哪个积分值较大解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：⎰10 d x e x≥⎰10 d 2x e x7. 证明：⎰---<<2121212d 22x e ex 。
证明：考虑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上的函数2x e y -=，则22x xe y --='，令0='y 得0=x 当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,21x 时，0>'y ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 时，0<'y ∴2x ey -=在0=x 处取最大值1=y ，且2x ey -=在21±=x 处取最小值21-e.故⎰⎰⎰-----<<21212121212121d 1d d 2x x e x e x ，即⎰---<<2121212d 22x e ex 。
8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ 9. 设)(x f 在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何)1,0(∈a 有⎰⎰≥ax x f a x x f 01d )(d )(.证明：⎰⎰-ax x f a x x f 010d )(d )(=--⎰⎰a ax x f a x x f 0d )(d )(⎰1d )(ax x f a⎰⎰--=1d )(d )()1(aax x f a x x f a =)()1()()1(βαaf a af a ---)]()([)1(βαf f a a --=，其中 1,0≤≤≤≤βαa a又)(x f 单调减，则)()(βαf f ≥，故原式得证.习 题1. 计算下列定积分 （1）⎰-4d 2x x ; （2）⎰-122d ||x x x ; （3）⎰π20d |sin |x x ; (4) x x x d }1,max{1⎰-.解：（1）x x x x x x d )2(d )2(d 242204⎰⎰⎰-+-=-4)221()212(422202=-+-=x x x x（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x =10402444x x +--=4+41741=.（3）⎰π20d |sin |x x =⎰π0d sin x x +⎰-π2πd )sin (x x =π2ππ0cos )cos (xx +-=2+2=4.(4)x x x d }1,max{10⎰-=1121023(1)d d 4x x x x -+=⎰⎰.2. 计算下列各题： （1）⎰10100d x x ， （2）⎰41d x x ， （3）⎰1d e x x , （4）x xd 10010⎰,（5）x x d sin 2π0⎰, （6）x x x d e 210⎰, （7）x x d )π2sin(2π0+⎰, （8）x x x d )1(1+⎰,（9）x x x d 2ln e 1⎰, （10）⎰+102100d xx , （11）⎰4π02d cos tan x x x 解：（1）⎰10100d x x =101110110101=x . （2）⎰41d x x =314324123=x . （3）1e e d e 1010-==⎰x x x . （4）x x d 10010⎰=100ln 99100ln 10010=x .（5）1cos d sin 2π02π0=-=⎰xx x . （6）21e 2e)(d e 21d e 121010222-==⎰=⎰x x xx x x . （7）x x d )π2sin(2π0+⎰=)π2(d )π2sin(212π++⎰x x =2π0)π2cos(21+-x =1-. (8)x x x d 2ln e 1⎰=)d(ln ln 21e1x x ⎰=41ln 41e12=x . (10) ⎰+102100d x x =⎰+102)10(1d 1001x x =1010arctan 101x =101arctan101. （10）⎰4π02d cos tan x x x =⎰4π)tan d(tan x x =4π022)(tan x =21. 3. 求下列极限（1） x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→. （2）()2arctan d limxx t t解：（1）此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x（2）()()()22122arctan d arctan limlim1122xx t tx x x ∞∞→+∞-+型)2arctan limx x x→+∞=limx →+∞=)22lim arctan 4x x π==4. 设⎰-=xt t y 0d )1(，求y 的极小值解： 当10y x '=-=，得驻点1x =，''10.1y x =>=为极小值点， 极小值⎰=-=121 -dx )1()1(x y 5. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20d x x f 。
解：()()⎰⎰⎰++=2121020d 21d 1d x x x x x x f 386121213102=+⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x 6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x t t f x 0d ϕ。
解：当0<x 时，()()0d 0d 0===⎰⎰xx t t t f x ϕ当π≤≤x 0时，()2cos 1d sin 210xt t x x-==⎰ϕ 当π>x 时，()()()()1d 0d sin 21d d d 0=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰x xxt t t t t f t t f t t f x ππππϕ，故()()0,011cos ,021,x x x x x ϕππ<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪>⎪⎩7. 设()x f 是连续函数，且()()⎰+=1d 2t t f x x f ，求()x f 。
解：令()A t t f =⎰10d ，则()A x x f 2+=，从而()()A x A x x x f 221d 2d 11+=+=⎰⎰ 即A A 221+=，21-=A ，∴()1-=x x f8．()2221limn n n n n +++∞→ 。
解：原式1lim n n n n →∞⎫=⋅+⎪⎪⎭0112lim 3n n i x n →∞==⋅==⎰ 9．求由0d cos d 0=+⎰⎰xyt t t t e 所决定的隐函数y 对x 的导数xyd d 。
解：将两边对x 求导得yex y d d 0cos =+x ， ∴x yd d y ex cos -=习 题1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果： （1）x x x d cos cos 2π2π3⎰--=x x x d sin )(cos 2π2π21⎰-=)cos d()(cos 2π2π21x x ⎰--=0cos 322π2π23=--x .（2）⎰⎰---=-111122)sin d()(sin 1d 1t t x x =⎰-⋅11d cos cos t t t =⎰-112d )(cos t t =2⎰12d )(cos t t=22sin 211)2sin 21(d 22cos 11010+=+=+⎰t t t t . 答：（1）不正确，应该为：x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=343cos 4)cos )(cos 22232021=-=-⎰ππd(x x x （2）不正确，应该为：⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.2. 计算下列定积分: (1)x x d 16402⎰-, (2)⎰+102d 41x x . （3）⎰203cos sin πxdx x ； （4）x x x d ln e12⎰； （5）x e x d 12ln 0⎰-； （6）⎰--1145d xx x ；（7）⎰+411d x x ； （8）x x d sin 203⎰π； （9）⎰+21ln 1d e xx x ；(10)⎰-++02222d x x x ； (11) x x d 2cos 10⎰+π ；（12）⎰-1022d 1x x x 。