2019版高考数学一轮复习不等式选讲课时训练选修4
2019版高考数学一轮复习选修4-5 不等式选讲
选修4-5不等式选讲题组1不等式的性质和绝对值不等式1.[2015 山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)2.[2015重庆,16,5分]若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在图1中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.图16.[2015 新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.题组2不等式的证明8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x-|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.9.[2015 新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(Ⅰ)若ab>cd,则+>+;(Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ac≤;(Ⅱ)++≥1.A组基础题1.[2018广东七校联考,23]已知函数f(x)=|x-a|-|2x-1|.(1)当a=2时,求f(x)+3≥0的解集;(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,求a的取值范围.2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m,n).(1)求m,n的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y≥16xy.3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若)-)<k存在实数解,求实数k的取值范围.4.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f(x)=|x-5|-|x-2|.(1)若∃x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的取值范围;(2)求不等式x2-8x+15+f(x)≤0的解集.B组提升题5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f(x)=|x-m|+|x+2|(m∈R),g(x)=|2x-1|+3.(1)当m=1时,求不等式f(x)≤5的解集;(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,23](1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值;(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证:++≥.8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f(x)=(x+1)2.(1)证明: f(x)+|f(x)-2|≥2;+[f(x)]2的最小值.(2)当x≠-1时,求y=)答案1.A当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A.2.-6或4当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f(x)=--,,--,-,-,-,f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f(x)=--,-,-,-,-,,f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,解得a=4.3.[-1,]|2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a2+a+2≤,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,即实数a的取值范围是[-1,].4.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0①.当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-.所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x≤-}.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f 1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].5.(Ⅰ)由题意可得f(x)=-,-, -,-, -,,y=f(x)的图象如图D 2所示.图D 2(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x<或x>5}.所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.6.(Ⅰ)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为{x|<x<2}.(Ⅱ)由题设可得f(x)=--,-,-,-,-,所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(-,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).7.(Ⅰ)由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2. (Ⅱ)f(3)=|3+|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是(,).8.(Ⅰ)由题意可得f(x)=-,-, ,-, ,当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1<x≤-;当-<x<时,f(x)<2恒成立;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(Ⅱ)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得+>+.②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 10.(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2 a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.A组基础题1.(1)当a=2时,由f(x)≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,∴,---或,---或,---,解得-4≤x<或≤x<2或x=2.综上,当a=2时,不等式f(x)+3≥0的解集为{x|-4≤x≤2}.(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2.故-2x-2≤x-a≤2x+2,即-3x-2≤-a≤x+2, ∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1,3]恒成立.∴a∈[-3,5].2.(1)由|x|+|x-3|<x+6,得,-或,或,--,解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)由(1)知9x+y=1.因为x>0,y>0,所以(+)(9x+y)=10++≥10+2=16, 当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+≥16,即x+y≥16xy..3.(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4,当a>0时,-≤x≤,所以--,,解得a=2;当a<0时,≤x≤-,所以-,-无解.所以a=2.(2)因为)-)=-≥--) =,所以要使)-)<k存在实数解,只需k>,所以实数k的取值范围是(,+∞).4.(1)f(x)=|x-5|-|x-2|=,, -,, -,当2<x<5时,-3<7-2x<3,所以-3≤f(x)≤3.所以m的取值范围是[-3,+∞).(2)原不等式等价于-f(x)≥x2-8x+15,由(1)可知,当x≤2时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为空集; 当2<x<5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5}; 当x≥5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x≤6}.B组提升题5.(1)当m=5时,f(x)=-), -), -),由f(x)>2得不等式的解集为{x|-<x<}.(2)因为二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,f(x)=-),--),-)在x=-1处取得最大值m-2,所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m≥4,所以实数m的取值范围为[4,+∞).6.(1)当m=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x≥-3,所以-3≤x≤-2;②当-2<x<1时,f(x)=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<x<1;③当x≥1时,f(x)=2x+1,由2x+1≤5,解得x≤2,所以1≤x≤2.综上所述,不等式f(x)≤5的解集为[-3,2].(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,设A={y|y=f(x)},B={y|y=g(x)},则A⊆B,因为f(x)=|x-m|+|x+2|≥|(x-m)-(x+2)|=|m+2|,g(x)=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m≥1或m≤-5,因此,实数m的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).7.(1)因为a>0,所以f(x)=|x+1|+|x-a|=--,-,,-, -,又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},解得a=2.(2)++=) )==≥(当且仅当a=b=c=时,取等号).8.(1)∵f (x )=(x+1)2≥0,∴f (x )+|f (x )-2|=|f (x )|+|2-f (x )|≥|f (x )+[2-f (x )]|=|2|=2. (2)当x ≠-1时,f (x )=(x+1)2>0,∴y=)+[f (x )]2=)+)+[f (x )]2≥3· )· )· )= ,当且仅当 )=)=[f (x )]2时取等号,即x=-1± 时取等号. ∴y= )+[f (x )]2的最小值为.。
(2套)2019年高考数学复习第一轮选修4—5 不等式选讲(含2套汇总) (2)
∴a+b=8,故选C.
3.不等式|x-1|+|x+2|<5的解集为
.
答案 {x|-3<x<2}
解析
原不等式等价于x(x
2, 1)
(x
2)
5
或2(xx1)1,(x 2) 5
或
x x
1, 1
x
2
5,
即
x x
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2.绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当③ ab≥0 时,等号 成立. (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当 ④ (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
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1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是 ( ) A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5) 答案 A ①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,其恒成立,∴x <1. ②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4, ∴1≤x<4. ③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解. 综合①②③知原不等式的解为(-∞,4).
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2.综合法与分析法 (1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系 列的③ 推理、论证 而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导 果法. (2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的 ④ 充分条件 ,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、 公理、定理等).这是一种⑤ 执果索因 的思考和证明方法.
2019版高考数学(文科 课标版)一轮复习题组训练：选修4-5 不等式选讲
选修4-5 不等式选讲题组1 不等式的性质和绝对值不等式1.[2015 山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A .(-∞,4)B .(-∞,1)C .(1,4)D .(1,5)2.[2015重庆,16,5分]若函数f (x )=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= .3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a 2+a+2对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值12范围是 .4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在图1中画出y=f (x )的图象;(Ⅱ)求不等式|f (x )|>1的解集.图16.[2015 新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(Ⅱ)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f (x )=|x+|+|x-a|(a>0).1a(Ⅰ)证明:f (x )≥2;(Ⅱ)若f (3)<5,求a 的取值范围.题组2 不等式的证明8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x-|+|x+|,M为不等式f (x )<2的解集.1212(Ⅰ)求M ;(Ⅱ)证明:当a ,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.9.[2015 新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明:(Ⅰ)若ab>cd ,则+>+;a b c d (Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.a b c d 10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ac ≤;13(Ⅱ)++≥1.a 2b b 2c c 2aA 组基础题1.[2018广东七校联考,23]已知函数f (x )=|x-a|-|2x-1|.(1)当a=2时,求f (x )+3≥0的解集;(2)当x ∈[1,3]时,f (x )≤3恒成立,求a 的取值范围.2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m ,n ).(1)求m ,n 的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y ≥16xy.3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f (x )=|ax-1|,不等式f (x )≤3的解集是{x|-1≤x ≤2}.(1)求a 的值;(2)若<k 存在实数解,求实数k 的取值范围.f (x )+f (-x )34.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f (x )=|x-5|-|x-2|.(1)若∃x ∈R,使得f (x )≤m 成立,求m 的取值范围;(2)求不等式x 2-8x+15+f (x )≤0的解集.B 组提升题5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f (x )=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f (x )>2的解集;(2)若二次函数y=x 2+2x+3与函数y=f (x )的图象恒有公共点,求实数m 的取值范围.6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f (x )=|x-m|+|x+2|(m ∈R),g (x )=|2x-1|+3.(1)当m=1时,求不等式f (x )≤5的解集;(2)若对任意的x 1∈R,都有x 2∈R,使得f (x 1)=g (x 2)成立,求实数m 的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,23](1)已知函数f (x )=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f (x )≥5的解集为{x|x ≤-2或x ≥3},求a 的值;(2)已知a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=m ,求证:++≥.1a +b 1b +c 1c +a 92m 8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f (x )=(x+1)2.14(1)证明: f (x )+|f (x )-2|≥2;(2)当x ≠-1时,求y=+[f (x )]2的最小值.14f (x )答案1.A 当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x ≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x ≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A .2.-6或4 当a=-1时,f (x )=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f (x )=f (x ){-3x -1+2a ,x ≤a ,x -1-2a ,a <x ≤-1,3x +1-2a ,x >-1,min =f (a )=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f (x )=f (x )min =f (a )=-{-3x -1+2a ,x ≤-1,-x +1+2a ,-1<x ≤a ,3x +1-2a ,x >a ,a+1+2a=5,解得a=4.3.[-1,] |2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数121212125212y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a 2+a+2≤,即2a 2+a-1≤0,解得-1≤a ≤,即实数a 的取值范围52125212是[-1,].124.(1)当a=1时,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0 ①.当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1;当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x ≤.-1+172所以f (x )≥g (x )的解集为{x|-1≤x ≤}.-1+172(2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一,所以f (-1)≥2且 f (1)≥2,得-1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[-1,1].5.(Ⅰ)由题意可得f (x )={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,y=f (x )的图象如图D 2所示.图D 2(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象知,当f (x )=1时,可得x=1或x=3;当f (x )=-1时,可得x=或x=5.13故f (x )>1的解集为{x|1<x<3};f (x )<-1的解集为{x|x<或x>5}.13所以|f (x )|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.136.(Ⅰ)当a=1时, f (x )>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;23当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为{x|<x<2}.23(Ⅱ)由题设可得f (x )=所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三{x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .个顶点分别为A (,0),B (2a+1,0),C (a ,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.2a -1323由题设得(a+1)2>6,故a>2.23所以a 的取值范围为(2,+∞).7.(Ⅰ)由a>0,有f (x )=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a )|=+a ≥2.所以f (x )≥2.1a 1a 1a(Ⅱ)f (3)=|3+|+|3-a|.1a 当a>3时,f (3)=a+,由f (3)<5得3<a<.1a 5+212当0<a ≤3时,f (3)=6-a+,由f (3)<5得<a ≤3.1a 1+52综上,a 的取值范围是().1+525+2128.(Ⅰ)由题意可得f (x )={-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.当x ≤-时,由f (x )<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1<x ≤-;1212当-<x<时,f (x )<2恒成立;1212当x ≥时,由f (x )<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.1212所以f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,a b ab c d cd 由题设a+b=c+d ,ab>cd 得(+)2>(+)2.a b c d 因此+>+.a b c d (Ⅱ)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b )2<(c-d )2,即(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd.因为a+b=c+d ,所以ab>cd.由(Ⅰ)得+>+.a b c d ②若+>+,则(+)2>(+)2,即a b c d a b c d a+b+2>c+d+2.ab cd 因为a+b=c+d ,所以ab>cd.于是(a-b )2=(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd=(c-d )2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.a b c d 10.(Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca )≤1,即ab+bc+ca ≤.13(Ⅱ)因为+b ≥2a ,+c ≥2b ,+a ≥2c ,a 2b b 2c c 2a 故+++(a+b+c )≥2(a+b+c ),即++≥a+b+c.a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a 所以++≥1.a 2b b 2c c 2a A 组基础题1.(1)当a=2时,由f (x )≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,∴或或{x <12,2-x +2x -1≥-3{12≤x <2,2-x -2x +1≥-3{x ≥2,x -2-2x +1≥-3,解得-4≤x<或≤x<2或x=2.1212综上,当a=2时,不等式f (x )+3≥0的解集为{x|-4≤x ≤2}.(2)当x ∈[1,3]时,f (x )≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2. 故-2x-2≤x-a ≤2x+2,即-3x-2≤-a ≤x+2,∴-x-2≤a ≤3x+2对x ∈[1,3]恒成立.∴a ∈[-3,5].2.(1)由|x|+|x-3|<x+6,得或或{x ≥3,x +x -3<x +6{0<x <3,3<x +6{x ≤0,-x +3-x <x +6,解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)由(1)知9x+y=1.因为x>0,y>0,所以(+)(9x+y )=10++≥10+2=16,1x 1y y x 9xy y x×9xy 当且仅当=,即x=,y=时取等号,y x 9xy 11214所以+≥16,即x+y ≥16xy.1x 1y .3.(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax ≤4,当a>0时,-≤x ≤,所以解得a=2;2a 4a {-2a =-1,4a=2,当a<0时,≤x ≤-,所以无解.所以a=2.4a 2a {-2a =2,4a=-1(2)因为=≥=,所以要使 <k 存在实数解,只需k>,f (x )+f (-x )3|2x -1|+|2x +1|3|2x -1-(2x +1)|323f (x )+f (-x )323所以实数k的取值范围是(,+∞).234.(1)f (x )=|x-5|-|x-2|={3,x ≤2,7-2x ,2<x <5,-3,x ≥5.当2<x<5时,-3<7-2x<3,所以-3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[-3,+∞).(2)原不等式等价于-f (x )≥x 2-8x+15,由(1)可知,当x ≤2时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为空集;当2<x<5时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5};3当x ≥5时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为{x|5≤x ≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x ≤6}.3B 组提升题5.(1)当m=5时,f (x )={5+2x (x <-1),3(-1≤x ≤1),5-2x (x >1),由f (x )>2得不等式的解集为{x|-<x<}.3232(2)因为二次函数y=x 2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,f (x )=在x=-1处取得最大值m-2,{m +2x (x <-1),m -2(-1≤x ≤1),m -2x (x >1)所以要使二次函数y=x 2+2x+3与函数y=f (x )的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m ≥4,所以实数m 的取值范围为[4,+∞).6.(1)当m=1时,f (x )=|x-1|+|x+2|,①当x ≤-2时,f (x )=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x ≥-3,所以-3≤x ≤-2;②当-2<x<1时,f (x )=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<x<1;③当x ≥1时,f (x )=2x+1,由2x+1≤5,解得x ≤2,所以1≤x ≤2.综上所述,不等式f (x )≤5的解集为[-3,2].(2)若对任意的x 1∈R,都有x 2∈R,使得f (x 1)=g (x 2)成立,设A={y|y=f (x )},B={y|y=g (x )},则A ⊆B ,因为f (x )=|x-m|+|x+2|≥|(x-m )-(x+2)|=|m+2|,g (x )=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m ≥1或m ≤-5,因此,实数m 的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).7.(1)因为a>0,所以f (x )=|x+1|+|x-a|={-2x +a -1,x <-1,a +1,-1≤x <a ,2x -a +1,x ≥a .又不等式f (x )≥5的解集为{x|x ≤-2或x ≥3},解得a=2.(2)++1a +b 1b +c 1c +a=(1a +b +1b +c +1c +a )(a +b +b +c +c +a )2m=1+b +ca +b +c +aa +b +1+a +bb +c +c +ab +c +1+a +bc +a +b +cc +a2m=3+b +c a +b +a +b b +c +c +a b +c +b +c c +a +a +b c +a +c +aa +b2m≥(当且仅当a=b=c=时,取等号).92m m38.(1)∵f (x )=(x+1)2≥0,14∴f (x )+|f (x )-2|=|f (x )|+|2-f (x )|≥|f (x )+[2-f (x )]|=|2|=2.(2)当x ≠-1时,f (x )=(x+1)2>0,14∴y=+[f (x )]2=++[f (x )]2≥3·=,当且仅当==[f (x )]2时取等14f (x )18f (x )18f (x )318f (x )·18f (x )·[f (x )]23418f (x )18f (x )号,即x=-1±时取等号.2∴y=+[f (x )]2的最小值为.14f (x )34。
2019年高中数学选修4-5《不等式选讲》附题目详解
2019年高中数学选修4-5《不等式选讲》最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R)．(2)|a －b|≤|a －c|＋|c －b|(a ，b ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ，|ax ＋b|≥c ，|x －c|＋|x －b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．知识点总结1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．知识点拓展柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
2019版高考数学文科 课标版一轮复习考点突破训练：选修4-5 不等式选讲含最新模拟题 含答案 精品
选修4-5不等式选讲考点1不等式的性质1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(++)2≥6, 并确定a,b,c为何值时,等号成立.考点2绝对值不等式2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)解不等式f(x)>2;(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;(2)若对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.4.已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.设函数f(x)=-+-的最大值为M.(1)求实数M的值;(2)求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集.6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数a的取值范围.考点3证明不等式的基本方法7.已知a>0,b>0,求证:+≥+.8.已知a,b,c均为正实数.求证:(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;(2)若a+b+c=3,则+≤3.答案1.解法一因为a,b,c均为正数,所以a2+b2+c2≥3(abc)①,因为++≥3(abc)-,所以(++)2≥9(abc)-②.故a2+b2+c2+(++)2≥3(abc)+9(abc)-.又3(abc)+9(abc)-≥2=6③,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立,即当a=b=c=时,原式等号成立.解法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①.同理,++≥++②.故a2+b2+c2+(++)2=a2+b2+c2++++++≥ab+bc+ac+++≥6③.所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.2.(1)由题意知f(x)=|x-1|+|x-2|=-,, ,, -,当x<1时,由f(x)>2,得3-2x>2,解得x<,所以x<;当1≤x≤2时,f(x)>2无解;当x>2时,由f(x)>2,得2x-3>2,解得x>,所以x>.综上,不等式f(x)>2的解集为(-∞,)∪(,+∞).(2)因为f(x)=|x-1|+|x-2|,则f(x)≥1,又函数y=ln x在其定义域内为增函数.所以函数g(x)=ln f(x)的值域为[0,+∞).3.(1)由题意可得f(x)=---, -,-, -,,画出函数f(x)的图象,如图D 1所示,图D 1函数f(x)与x轴围成的三角形为△ABC,易求得A(-2a-1,0),B(-,0),C(-a,-a-1).所以S△ABC=[--(-2a-1)]×|-a-1|=(a+1)2≥4(a>0),解得a≥-1.(2)由图D 1可知,f(x)min=f(-a)=-a-1.对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,即f(x)min+2≥0,即-a-1+2≥0,解得a≤1,又a>0,所以实数a的取值范围为(0,1].4.(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1, ∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4],∴-,,即m=3.(2)由(1)知a+b=3,解法一(利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.解法二(消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a,∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(-)+≥,∴a2+b2的最小值为.5.(1)f(x)=-+-≤2(-)(-)=3,当且仅当x=时等号成立.故函数f(x)的最大值M=3.(2)由(1)知M=3.由绝对值三角不等式可得|x-|+|x+2|≥|(x-)-(x+2)|=3.所以不等式|x-|+|x+2|≤3的解集就是方程|x-|+|x+2|=3的解.由绝对值的几何意义得,当且仅当-2x≤,|x-|+|x+2|=3,所以不等式|x-2|≤M的解集为{x|-2≤x≤.6.(1)当a=-3时,f(x)≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3⇔ ,-或,或,-,解得x≤1或x≥4.故当a=-3时,不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)由题意可得f(x)≤|x-4|在区间[1,2]上恒成立⇔|x+a|+2-x≤4-x在区间[1,2]上恒成立⇔-2-x≤a≤2-x在区间[1,2]上恒成立⇔-3≤a ≤0,即实数a 的取值范围是[-3,0].7.解法一 (作差比较法)因为a>0,b>0,所以 + -( + )= ) ) ) = )( -≥0,所以 +≥ + . 解法二 (作商比较法)因为a>0,b>0,所以= ) ) ( )= )( )( )== - ) ≥1,所以 +≥ + . 8.(1)要证(a+b )(ab+c 2)≥4abc ,可证a 2b+ac 2+ab 2+bc 2-4abc ≥0,需证b (a 2+c 2-2ac )+a (c 2+b 2-2bc )≥0, 即证b (a-c )2+a (c-b )2≥0,当且仅当a=b=c 时,取等号, 由已知,上式显然成立,故不等式(a+b )(ab+c 2)≥4abc 成立.(2)因为a ,b ,c 均为正实数,由不等式的性质知· ≤ = ,当且仅当a+1=2时,取等号,· ≤ = ,当且仅当b+1=2时,取等号, · ≤ = ,当且仅当c+1=2时,取等号,以上三式相加,得 ( )≤=6,所以 + + ≤3 ,当且仅当a=b=c=1时,取等号.。
2019版高考一轮复习《选修45：不等式选讲》课时训练(含答案).doc
选修4- 5不等式选讲第1课时绝对值不等式1. 解不等式1<|x —1|<3.解：原不等式可化为1<x—1<3或—3<x—1<—1,解得不等式的解集为(一2，0) U (2 , 4).2. 解不等式|x + 1| + |x —2| V 4.解：当x<—1时，不等式化为一x — 1 + 2—x<4,3 解得—2<x< —1 ；当一K x < 2时，不等式化为x + 1 + 2 —x<4, 得—K x < 2;当x>2时，不等式化为x + 1 + x—2<4,5 解得2<X<7原不等式的解集为i— 2，| .23. 解不等式|x —2x + 4|>2x.解：原不等式等价于x2—2x + 4<—2x①，|或x —2x + 4>2x ②.解①得解集为?,解②得解集为｛x|x € R且x工2｝.•原不等式的解集为｛x|x € R且x丰2｝.4. 解不等式x2—|x| —2<0.解：(解法1)当x > 0 时，x —x —2<0, 解得—1<x<2,「. 0 < x<2 ;|当x<0 时，x + x —2<0,解得—2<x<1 ,—2<x<0.•原不等式的解集为｛x| —2<x<2｝.(解法2)原不等式可化为凶1—|x| —2<0,解得—1<|x|<2.■/ |x| > 0,「. 0 w |x|<2 , •—2<x<2.•原不等式的解集为｛x| —2<x<2｝.5. 已知满足不等式|2x + a| + |x —3| w 4的x的最大值为3，求实数a的值.解：因为x的最大值为3,所以x w 3，即不等式为|2x + a| + 3—x w 4，所以|2x + a| w x+ 1,p>- 1，x + 1 A 0, | —a —1所以’所以｛x^——,—x —1 w 2x+ a w x+ 1, 3x w 1 —a, 因为x的最大值为3,所以1—a= 3,即a=—2.|6. 已知函数f(x) = |x + 1| + |x —2| —|a —2a|.若函数f(x)的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围.解：f(x)的最小值为3 —|a2—2a| ,由题设，得|a —2a|<3，解得 a € ( —1, 3).7. 已知函数f(x) = |x| —|x —3|.(1) 解关于x的不等式f(x) > 1；(2) 若存在x o€ R,使得关于x的不等式m w f(x 0)成立，求实数m的取值范围.… x w 0, …0V x v 3, _ 解：(1)原不等式等价于不等式组①：* 或②：/ 或③：—x +( x —3)A1 |x +( x—3)A1x —x + 3> 1. 不等式组①无解；解不等式组②得 2 < x V 3;解不等式组③得等式的解集为[2 ,+^ ).(2)由题意知m< f (x) max,因为f(x) = |x| —|x —3| < |x —x + 3| = 3, 所以me 3,即m€ ( 3].8. 已知函数f(x) = |1 —x| —|2 + x|.(1) 求f(x)的最大值；(2) |2t —1| > f(x)恒成立，求实数t的取值范围.解：⑴ f(x) = |1 —x| —|2 + x| e |1 —x+ 2+ x| = 3, 当且仅当x e—2时等号成立，••• f(x) max= 3.(2)由|2t —1| > f(x)恒成立得|2t —1| > f(x) max,即|2t —1| > 3, 2t —1> 3 或2t —K —3,解得t > 2或t <—1,•实数t的取值范围是(一3 —1] U [2 ,+^ ).9. 已知关于x的不等式|ax —1| + |ax —a| > 1(a>0).(1) 当a = 1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.1解：(1)当a = 1 时，得2|x —1| > 1,即|x —1| > ,x> 3,所以原不所以f(x) max= 3,解得x>扌或x e 1,•不等式的解集为：一3, 1U -|,+3 .(2) •.jax —1| + |ax —a|》|a —1| ,•原不等式解集为R等价于|a —1| > 1.• a > 2 或a e 0.•/ a>0 , • a > 2.•实数a的取值范围是[2 , +3 ).10.设函数f(x) = |2x + 1| —|x —2|.(1)求不等式f(x)>2的解集；2 11⑵？ x€ R, f(x) >t —-^t，求实数t的取值范围.1—x —3,x<—2，解：⑴f(x) 13x —1 , —x<2,x+ 3, x>2,1当x< —q时，一x —3>2, x< —5,「. x<—5；1当—寸 x<2 时，3x —1>2, x>1,「. 1<x<2 ；当x>2 时，x+ 3>2, x> —1,二x >2.综上所述，不等式f(x) >2的解集为{x|x>1或x< —5}.5 11⑵ f(x) min= —2，若？ x € R, f(x) > t 2—~t恒成立，5 2 11t 1则只需f(x) min= —2》t —2，解得2e t e 5.即t的取值范围是-|2, 5 111.设函数 f(x) = |2x — 1| - |x + 1|. ⑴求不等式f(x) < 0的解集D;⑵ 若存在实数x € {x|0 w x w 2}，使得.3x +2 — x>a 成立，求实数a 的取值范围.解：(1)当 x w — 1 时，由 f(x) =— x + 2w 0 得 x >2,所以 x € ?;1 1当一1<x w 2时，由 f(x) = — 3x w 0 得 x 》0,所以 0w x w ; 1 1当 x>2时，由 f(x) = x — 2 w 0 得 x w 2，所以 2<x w 2. 综上，不等式 f(x) w 0的解集D = {x|0 w x w 2}.(2) 3x + 2— x =3 x + 2 — x ，由柯西不等式得(，3 ,x + • 2 — x) 2w (3 + 1)[x + (23—x)] = 8,••• 3x + 2— x w 2〔2,当且仅当x =空时取“ =”， /• a 的取值范围是(一®2 .2). 第2课时 不等式证明的基本方法2 2 2 21. 已知 x > 1, y > 1,求证：x y + xy + 1 w x y + x + y.证明：左边一右边= (y — y 2)x 2+ (y 2— 1)x — y + 1 = (1 — y)[yx 2— (1 + y)x + 1] = (1 —y)(xy — 1)(x — 1),•/x > 1, y > 1 ,• 1 — y w 0, xy — 1 >0, x — 1 >0. 从而左边—右边w 0,• x y + xy + 1 w x y + x + y.2. (2017 •苏州期末)已知 a , b ,x ,y 都是正数，且 a + b = 1,求证:(ax + by)(bx + ay) >xy. 证明：因为a , b , x , y 都是正数，所以(ax + by)(bx + ay) = ab(x 2+ y 2) + xy(a 2+ b 2)2 2 2> ab • 2xy + xy(a + b ) = (a + b) xy. 又 a + b = 1,所以(ax + by)(bx + ay) >xy. 当且仅当x = y 时等号成立.3. 已知 x , y , z € R ,且 x + 2y + 3z + 8= 0.求证：(x — 1) + (y + 2) + (z — 3) > 14. 证明：因为[(x — 1)2+ (y + 2)2+ (z — 3) 2](1 2+ 22+ 32)2> [(x — 1) + 2(y + 2) + 3(z — 3)]2 2=(x + 2y + 3z — 6) = 14 ,X — 1 y -k 2 z 一 3当且仅当 〒=七厂=丁，即x = z = 0, y =— 4时，取等号，所以(x — 1)2+ (y + 2)2+ (z — 3)2> 14.4. 已知函数 f(x) = |2x — 1| + |x + 1|，函数 g(x) = f(x) + |x + 1| 的值域为 M. (1)求不等式f(x) w 3的解集；23若 t € M 求证：t + 1 > + 3t.一 3x ,3x , x > 2,2 —x w3 (2) 证明：g(x) = f(x) + |x + 1| = |2x — 1| + |2x + 2| > |2x — 1 — 2x — 2| = 3, 当且仅当(2x — 1)(2x + 2) w 0 时，取等号，••• M= [3 ,+s ).2 3 t3 — 3t2 + t — 3 (t — 3)( t2 + 1)原不等式等价于t 2— 3t + 1 —x w — 1. (1)依题意，得f(x)1—1< x < —,x w — 1,或—3x w31一 1< X V 2， x > 1,或 2 解得一1 w x w 1.即不等式f(x) w 3的解集为{x| — 1 w x w 1}.3x w 3,•/ t € M •- t — 3> 0, t 2+ 1 > 0.(t — 3)(t2 +1}> 0. • Z 1> 3 + 3t.5. （2017 •苏、锡、常、镇二模）已知a , b , c 为正实数，求证: b2 证明：T a , b , c 为正实数，• a + —>2b , a b2 c2 a2将上面三个式子相加得 a + b + c + +p+ —》2a +2b + 2c , a b cb2 c2 a2+ T + 7》a + * c .1 1 1a 1, a 2, a 3均为正数，且 a 1 + a ? + a 3= 1,求证： — > 9.a1 a2 a31 1 1 因为 a 1, a 2, a 3均为正数，且 a 1 + a2 + a3 = 1，所以 二+帀十-^ = (a 1 + a 2 + ai a2 a31 2 3，+7.已知正数x , y , z 满足x + 2y + 3z = 1，求- + -+-的最小值.x y z1 4 9解：一+-+二=二+代+丁 (x + 2y + 3z) /2y 4x> 14 + 2 • —+ 2\j x 2y1 “ 、 x = y = z = 6时等号成立,1 1 1且a + 2b + 4c = 3.求乔+ R +而的最小值，并指出取得最小值时a , b , c 的值. 解：••• a + 2b + 4c = 3,「 ••• a , b , c 为正数，•••由柯西不等式得［（a + 2)2.当且仅当(a + 1)2= 2(b + 1)2= 4(c + 1)2时，等式成立.1 1 1 11 + 62 • + + 》 a +1 b + 1 c +1 10'• 2(c + 1) + 2 2(c + 1) + 4(c + 1) = 10 ,b2 c2 a2+ — + — > a + b + c. a b c a2 c + > 2a , cc2b + > 2c ,b 6.设 证明: 1 1 1 i 3 = 9（当且仅当a 1 = a 2= a 3时等号成立），所以1 1 1 ■+ -a1 a2 诂 A 3(a 1a 2a 3)3'3F 1 1 +匚+二》9.a2 a3a 3) al a2 a3 xyz 込 2y 3z 厂 -2y 3z 4x 12z 9x 18y=1 + 4 + 9+ +—+ +—+ + 于x x 2y 2y 3z 3z当且仅当 12 3• -+ -+-的最小值为36.x y z 8.已知 x > 0, y > 0, z > 0 且 xyz = 1,证明：T x > 0, y >0, z > 0, • x + y + z > 3xyz.3333同理 x + y + 1 > 3xy , y + z + 1 > 3yz , 求证: 3 3 3x + y + z > xy + yz + zx.将以上各式相加，得 3x 3y + 3z + 3>3xyz + 3xy + 3yz + 3zx. 333T xyz = 1 ,• x + y + z > xy + yz + zx.9.已知a ，b ，c 均为正数, (a + 1) + 2(b + 1) + 4(c + 1) = 10.12z 2y3z 9x x 3z + 2 18y3z = 36, 1) + 2(b + 1) + 4(c + 1)] • 11 I厂+而+市 A(1+ 2+8- 5j215(2—17 23- 10F2…c = -, b= —7, a= 7 1 ~10.已知a+ b + c= 1, a, b, c>0.求证：1(1) abc w 27 ；(2) a 2+ b2+ c2> ^abc.证明：(1) a+ b + c>3 • Qabc,而a+ b+ c = 1? abc w£7,当且仅当a= b = c=g时取等号.2 2 2 1 2 13 1(2)由柯西不等式得a + b + c >^(a + b+ c) = 3，由(1)知•. abc w3,••• a 2+ b2+ c2> %bc，当且仅当a = b= c =''时取等号.11.已知函数f(x) = . 3x+ 6, g(x) = ■_ 14-x.若存在实数x使f(x) + g(x) > a成立，求实数a的取值范围.解：存在实数x使f(x) + g(x) > a成立，等价于f(x) + g(x)的最大值大于a.■/ f(x) + g(x) = 3x + 6 + ,14- x=i.；3 X :x + 2+ 1 X 14—x,由柯西不等式得， c 3 X，: X+ 2+ 1X 14 —x) 2w (3 + 1) •( x+ 2+ 14—x) = 64,• f(x) + g(x) = 3x + 6 + . 14 —x w 8,当且仅当x = 10 时取等号.故实数a的取值范围是(8).。
选修4-5 不等式选讲
解：(1)当 x≥12时，f(x)＝3x－12在12，＋∞上单调递增， 且 f(x)≥32－12＝1；当 x<12时，f(x)＝32－x 在－∞，12上单调递 减，且 f(x)>32－12＝1.
2x＋4，x≤－1， 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝2，－1<x≤2，
－2x＋6，x>2.
可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋ 2|，且当 x＝2 时等号成立．故 f(x)≤1 等价于|a＋2|≥4.由|a＋ 2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2，所以 a 的取值范围是(－∞，－6] ∪[2，＋∞)．
故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥43， 当且仅当 x＝53，y＝－13，z＝－13时等号成立． 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值为43.
(2)证明：由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2 ＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x －2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥13成立，证明：a≤－3 或 a≥－1.
【解】 (1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋ 1)2 ＋ (z ＋ 1)2 ＋ 2[(x － 1)(y ＋ 1) ＋ (y ＋ 1)(z ＋ 1) ＋ (z ＋ 1)(x － 1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
(2)设 u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和 y＝x 的图象如图 所示．易知 y＝u(x)的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个 单位)，与 y＝x 的图象始终有 3 个交点，从而－1<a<0.所以实 数 a 的取值范围为(－1,0)．
近年高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关不等式选讲学案选修4-5(2021年整理)
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选修4.5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. （选修45P 5例2改编）解不等式|2x －1｜>3.解:不等式｜2x －1｜＞3可化为2x －1<－3或2x －1>3，解得x 〈－1或x>2.故不等式的解集为{x| x 〈－1或x 〉2｝.2. 已知｜x －a ｜〈b （a ，b ∈R ）的解集为｛x|2<x 〈4}，求a －b 的值。
解:由|x －a ｜〈b ，得a －b<x 〈a ＋b.又|x －a ｜〈b （a,b ∈R ）的解集为{x ｜2<x<4｝,所以a －b ＝2。
3。
求不等式|2x ＋1|－｜5－x ｜＞0的解集。
解：原不等式化为｜2x ＋1|>|5－x ｜，两边同时平方得 4x 2＋4x ＋1>25－10x ＋x 2，即3x 2＋14x －24>0,解得原不等式的解集为(－∞，－6）∪（错误!，＋∞）。
4. （选修45P 6例4改编）若存在实数x 满足不等式｜x －4｜＋｜x －3｜<a ，求实数a 的取值范围。
解：由绝对值不等式的几何性质知，|x －4｜＋｜x －3｜≥｜（x －4）－（x －3）｜＝1,所以函数y ＝｜x －4|＋｜x －3|的最小值为1。
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选修45 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1， 解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4， 得－1≤x≤2；当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①，或x 2－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅，解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时，x 2－x －2<0， 解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1， ∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1或③：⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3， 当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ， 即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3， 解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12，解得x≥32或x≤12，∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－12，3x －1，－12≤x<2，x ＋3，x ≥2，当x<－12时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；当－12≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x ≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－52，若∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t 恒成立，则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5.11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x ＋2－x>a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x ∈∅；当－1<x≤12时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤12；当x>12时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以12<x ≤2.综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x ，由柯西不等式得(3x ＋2－x)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]＝8，∴ 3x ＋2－x ≤22，当且仅当x ＝32时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，22)．第2课时 不等式证明的基本方法1. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥3t＋3t.(1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t.5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.证明：∵ a，b ，c 为正实数，∴ a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a2c ≥2a ，将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a2c≥2a ＋2b ＋2c ，∴ b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·1a 2·1a 313＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.7. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， 当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立，∴ 1x ＋2y ＋3z的最小值为36. 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0，y ＞0，z ＞0，∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值．解：∵ a＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a ，b ，c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时，等式成立．∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.10. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．11. 已知函数f(x)＝3x ＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， ∴ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取等号． 故实数a 的取值范围是(－∞，8)．。