功能关系与机械能守恒定律

v rb
v r r A = ∫a F ⋅ dr = ∫r F cosθdr
b
b a
O F
v r v ra
v dr θ
c a
v F
功等于力和位移的点积。 即，功等于力和位移的点积。 在数学形式上， 在数学形式上，力的功等于力 r 沿路径L从 到 的线积分. F沿路径 从a到b的线积分.
r
单位焦耳（ ），１Ｊ＝１ 单位焦耳（J），１Ｊ＝１Ｎ·m.
4
2.讨论： 2.讨论： 讨论 力的空间累积效应,总与力相联系 总与力相联系; ①力的空间累积效应 总与力相联系
v v ②恒力的功 A = F ⋅ ∆r = F ⋅ ∆r ⋅ cosθ
标量，没有方向，但有正负。 ③标量，没有方向，但有正负。
0 ≤θ 若 π 力不对物体作功； 若θ = 2 ，力不对物体作功；
(b )
(kinetic energy theorem)
A=
(a)
∫ d A = υ∫ mυdυ
a
υb
dυ υ v v υ + dυ
v
dυ
θ
v
v v v v υ ⋅dυ = υ dυ cosθ
dυ = υ + dυ − υ v dυ cos θ = dυ v v v
1 1 2 2 = mυ b − mυ a 2 2
v < ，力对物体作正功； v2 2 力对物体作正功；
π
c
2
若 2 < θ ≤ π ，力对物体作负功。 力对物体作负功。
π
v v1
b
r θ 2F
θ3 r
r F1
v v3
F3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱθ1
a
太 阳 对 行 星 的 作 功
过程量,一般与路径有关 一般与路径有关; ④过程量 一般与路径有关
5
r r r r 直角坐标系： ⑤直角坐标系： F = Fxi + Fy j + Fz k (N) r r r r dr = dxi + dyj + dzk (m)
t t 0 0
dv f Q a = = 6t = m dt
dx v = 3t = dt
2
x2
1
∫
v
v0
dv = ∫ adt = ∫ 6tdt
2
dx = vdt = 3t dt
3
A = ∫x fdx = ∫0 f ⋅ vdt = ∫0 12t ⋅ 3t 2 dt = 729(J )
3
10
处由静止开始落向地面， 例4、一陨石从距地面高为 处由静止开始落向地面，忽 、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面 略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力作的功？ 略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力作的功？ 取地心为原点， 解：取地心为原点，引力与矢径方向相反
§4-2-3系统的功能原理(work-energy theorem)
一.几种常见力的功
（1）重力的功
Aab = ∫
b
a
v v mg ⋅ dr
y
m
v dr
θ
=∫
b
a
v v v − mgj ⋅ (dxi + dyj )
ha
a
v mg
= ∫ − mgdy
yb
Aab = (mgha − mghb )
ya
hb
b x
结 重力作功只与质点运动的起始和终了位置有 而与所经过的路径无关。 论 关，而与所经过的路径无关。 17
（2）弹性力的功
m o xa F m
x b
a xb
x
v v xb v v xb Aab = ∫ F ⋅ dr = ∫ − kxi ⋅ dxi = −∫ kxdx
xa xa
1 2 1 2 Aab = kxa − kx b 2 2
A = ∫x f ⋅ dx = ∫0 v v v 质点从原点移动到x=8,y=6 例2 已知力 F = 4 xi + 3 yj 质点从原点移动到
x
10
10
0
5 2 (4 + 5 x)dx = 4 x 0 + x = 290(J) 2 0
10
处该力做功多少? 处该力做功多少?
Y P(8,6) X
9
v v 8 6 A = ∫rv F ⋅ dr = ∫0 Fx dx + ∫0 Fy dy
2 21
即: 两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和 与两质点的相对位置有关,与参考系无关. 与两质点的相对位置有关,与参考系无关.
8
3.功的计算 3.功的计算
某质点沿X轴作直线运动 受力f=（ 轴作直线运动， 例1 某质点沿 轴作直线运动，受力 （4+5 x） N。 ） 。 求质点从x 过程中该力做了多少功？ 求质点从 o =0到x =10m 过程中该力做了多少功？ 到 解：
v v dA = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
Aab = ∫x dA = ∫x Fx dx + ∫y Fy dy + ∫z Fz dz
xb
a
xb
a
yb
a
zb
a
自然坐标系： 自然坐标系：
Aab = ∫ Ft ds
sa
sb
r r r r r F ⋅ dr = ( Ft et + Fn en ) ⋅ dset = Ftds
13
1 2 单 位 : Ek = mv 焦耳 2
推广： 推广： 质点系的动能定理 设有两物体组成一个系统， 设有两物体组成一个系统，每个 物体均可视为质点处理。 物体均可视为质点处理。 对系统，有内力( 对系统，有内力(internal force)和 和 s2 外力( 外力(external force) r r r F2 受合力为: 物体 1 受合力为:内力 f 12 及合外力 F1， r r 受合力为: 物体 2 受合力为:内力 f 21 及合外力 F2 . 对每个质点应用动能定理， 对每个质点应用动能定理，有 r r r r ∫ F1 ⋅ dr1 + ∫ f12 ⋅ dr1 = ∆Ek 1 r r r r ∫ F2 ⋅ dr2 + ∫ f 21 ⋅ dr2 = ∆Ek 2
v v v dp v dv va a F= =m dt dt v v v v dr dv v ⋅ dv =m ⋅ v =m v dt dr dr
即有
r r v v F ⋅dr = mv ⋅ dv
3
§2-4-1 功(work)
b
一 功及其讨论
r r 1.功的定义：dA = F ⋅ dr = Fdr cosθ 功的定义： 功的定义
v r2
1
o
= ∫0 4 xdx + ∫0 3 ydy = 182(J)
8 6
3:某物体质量 某物体质量m=2kg，受力 ），从静止出发 例3:某物体质量 ，受力f=12t（ N），从静止出发 （ ）， 轴作直线运动。 沿X轴作直线运动。 轴作直线运动 3s内该力做了多少功 内该力做了多少功？ 求：3s内该力做了多少功？ 解： o X
∫
t2 r Fdt t1
=∫
r p2 r r dp p1
r r = p2 − p1
v v dL M= dt
t2
v v v ∫ Mdt = L2 − L1
t1
v ∑Fi = 0
v ∑P = 常矢量 i
i
v v v M = r ×F = 0
v r r L = r × p = 常矢量
2
现讨论力在一段空间位移内的累积效应与物体运 动状态变化间的关系。 动状态变化间的关系。 b v vb 设物体在变力F作用下沿 设物体在变力 作用下沿 r dr θ r f 任意曲线路径由a运动到 任意曲线路径由 运动到 b。由牛顿第二定律， 。由牛顿第二定律，
6
⑥合力的功
Aab = ∫
b
a
r r b r r r r F ⋅ dr = ∫ (F + F2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+Fn ) ⋅ dr 1
= A1 + A2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + An = ∑ Ai
i
a
n
功率：描述作功快慢 ⑦功率：描述作功快慢
∆A （1）平均功率 P = 平均功率 ∆t ∆A dA = （2）功率 P = lim ） ∆t →0 ∆t dt r r 恒力的功率： 恒力的功率： p = F ⋅ v r r r dr r dA =F⋅ = F ⋅v P= dt dt
Ae + Ai = ∆Ek
质点系的动能定理： 质点系的动能定理： 系统的外力和内力作功总和等于系统动能的增量。 作功总和等于系统动能 系统的外力和内力作功总和等于系统动能的增量。 外力
15
1.质量为 的小球系在轻绳的一端， 质量为m的小球系在轻绳的一端 例1.质量为 的小球系在轻绳的一端，绳的另一端固 定在墙上的O点 先使绳子伸直并使其处于水平状态， 定在墙上的 点。先使绳子伸直并使其处于水平状态， 然后释放小球。利用动能定理求：当绳子摆下θ角时， 然后释放小球。利用动能定理求 当绳子摆下 角时， 角时 绳子对小球的拉力T和小球的线速率 和小球的线速率v. 绳子对小球的拉力 和小球的线速率 l m o 合外力：张力、重力. 解:合外力：张力、重力. θ T 张力不作功.重力的功： 张力不作功.重力的功： n B v B v v v v Ag = ∫ mg ⋅ dr = ∫ mg dr cos α A A dr = ds = ldα τ θ θ mg Ag = ∫ mgl cos αdα = mgl sin θ 0 v2 v A = 0, vB = vθ 由动能定理，得 T − mg sin θ = m l 由动能定理， 1 2 T = 3mg sin θ mgl sin θ = mvθ vθ = 2gl sin θ 16 2