第2章2.6 Z变换

外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z
变换为
X ( z ) x (n ) z n
n n1
n2
设x(n)为有界序列，由于是有限项求和， 除0与∞点 是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。
如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则收敛域
不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
也可作为
边界)，收敛域内不包含任何极点，但可以包含零点，这才能保证Z变换的
图2.43 极－零点分布相同而收敛域不同的4个可能的z变换
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 逆Z变换 已知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为逆Z变 换。 序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：
X ( z) x ( n)
到FT和ZT之间的关系， 用下式表示：
X (e ) X ( z )
j
(2.6.4)
z e j
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
式中z=e jω表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位
圆。 (2.6.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶
变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(2.6.4)式， 很方 便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析 n1<0， n2≤0时， 0≤ |z|＜∞
n1<0， n2>0时， 0< |z| ＜∞ n1≥0， n2>0时， 0< |z| ≤∞ n1= n2=0时， 0≤ |z| ≤∞ 例 3. 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：
X ( z)
n
4
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为
X ( z)
n


x(n) z n
(2.6.1)
式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n求和是在±∞之间求和， 可以称为 双边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式
X ( z)
n
a u(n 1) z
n

n

n
a z
1
n n
a n z n
n 1
X(z)存在要求|a－1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
a 1 z 1 X ( z) , 1 1 1 a z 1 az
z a
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例 1. x(n)=u(n)， 求其Z变换。
解：
X ( z)
n


u( n ) z
n
z n
n 0

X(z)存在的条件是
<1， 因此收敛域为|z|>1， |z|>1
1 X ( z) 1 z 1
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列 之和， 其Z变换表示为

X ( z) X1 ( z)
n


x ( n) z n X 1 ( z ) X 2 ( z ) x ( n) z n , Z Rx Rx Z
1

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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第一项为有限长序列， 设n1≤－1， 其收敛域为
0≤|z|＜∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx-是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其 收敛域为Rx- <|z|<∞。 如果是因果序列， 收敛域定为 Rx- <|z|≤∞。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6 序列的Z变换
1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
Z变换的提出背景(1)
数字信号处理的目标
由数字信号序列分析其内在特性 对数字信号序列进行处理
正交变换（如傅里叶变换）、Z变换是手段
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
Z变换的提出背景(2)
正交变换
点对消， X(z)在单位圆上仍存在， 求RN(n)的FT， 可
将z=ejω代入X(z)得到。
2. 右序列 右序列是在n≥n1 时， 序列值不全为零， 而其它
n<n1， 序列值全为零。
X ( z)
n


x(n) z
n
x(n) z x(n) z n
n n n1 n 0
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.6.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：
X ( z)
n
a u ( n) z
n

n
a z
n 0

n n
1 1 az 1
在收敛域中必须满足|az－1|<1， 因此收敛域为∞≥ |z|>|a|。 3. 左序列 左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在 n>n12， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为
X ( z)
n


x(n)z n
X ( z ) ln(1 az 1 ), z a an n 1 n n (1) n 1 , n 1 (1) a z n X ( z) , x ( n) n n 1 0, n0
X ( z ) x(n ) z n
n 0
(2.6.2)
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
对因果序列来说,单边和双边Z变换相等. 用 z re j 代入
X (re )
j
n


x(n)r n e jn , 当r z 1时，
变成傅立叶变换， 要使级数收敛，则
az 1 X ( z) 1 az 1 az 1 1 a2 , 1 (1 az )(1 az )
|a|<|z|<|a|-1
如果|a|≥1， 则无公共收敛域， 因此X(z)不存在。
当0<a<1时， x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.6.2所示。
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
视序列为多维空间中一点 不同坐标系产生不同的坐标值(正交变换系数) 不同的坐标系可突出不同的特性
坐标变换 正交变换 Fourier变换
正交变 换相当 于不同 正交坐 标系之 间的变 换
直角坐标 方
极坐标
圆
三角函数， Harr , Walsh等 正交函数
用cos和sin 函数作为 正交基， 来描述振 动信号， 如语音等
X ( z)
n 1
a z n
n

n
an z n an z n
n0
an z n an z n
n 1频域分析
第一部分收敛域为|az|<1， 得|z|<|a|-1， 第二部分收
敛域为|az-1|<1， 得到|z|>|a|。 如果|a|<1， 两部分的公 共收敛域为|a|<|z|<|a|-1， 其Z变换如下式：
n


x ( n) z
n
，

x ( n) r n
n
要使FT变换存在，则收敛域包含 z 1, 有时FT 变换 不存在时，在一定的收敛域内，Z 变换存在,例如u (n). 要使Z 变换收敛，根据罗朗级数的性质有： Rx z Rx
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.2 例2.6.5图
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例2.12
求如图2．42(a)所示的序列
( a b)
a n， n 0 x ( n) n b ，n 0
的Z变换及其收敛域。
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
解 该序列为双边序列，其Z变换为
n


a u ( n 1) z
n
n

n 1
an z n

(az ) n az (1 az a 2 z 2 ...)
n 1

az 1 1 , az 1, z , 零点z=0,极点z= 1 az a a
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.1 Z变换的收敛域
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之
比表示
P( z ) X ( z) Q( z )
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式
Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因
此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式， 很容易得
2.6.2 几种序列的Z变换及其收敛域
序列的特性决定其Z变换收敛域， 了解序列特性与 收敛的一般关系， 对使用Z变换是很有帮助的。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式：
x(n)
x(n)= 0
n1≤n≤n2
其它
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之
X ( z)
n


x ( n) z
n