6.3.1 用乘法公式分解因式
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。
它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。
一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。
在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。
以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。
2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。
4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。
乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。
它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。
二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。
它是乘法公式的逆运算。
因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。
1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。
质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。
2. 除法和因式分解之间有密切的关系。
将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。
例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。
3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。
对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。
例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。
因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。
它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。
三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。
因式分解法的公式
因式分解法的公式因式分解法是一种代数运算方法，用于将一个多项式分解为几个因式的乘积。
这种方法可以大大简化多项式的计算和分析过程，使问题求解更加方便。
本文将介绍因式分解法的基本原理、常见的因式分解公式以及一些应用示例。
一、因式分解法的基本原理因式分解法是基于多项式的乘法运算性质进行的，其基本原理可以概括为以下三点：1. 多项式乘法的分配律：对于任意三个数a、b、c，有(a+b)·c = a·c + b·c。
这个性质可以推广到多项式的情况，即(a+b)·c = a·c + b·c。
2. 公因式提取：如果一个多项式的每一项都有一个公共的因子，那么可以将这个公因式提取出来，得到一个因式和多项式。
3. 因式定理：如果一个多项式中的某一项可以整除该多项式，那么这个项是多项式的一个因式。
基于以上原理，我们可以通过因式分解法将一个多项式分解为多个因式的乘积。
二、常见的因式分解公式1. x² - a² = (x-a)(x+a)，其中a为任意常数。
这个公式是差平方公式，适用于多项式x²减去一个常数平方的情况。
例如，可以将x² - 4分解为(x-2)(x+2)。
2. a² - b² = (a-b)(a+b)，其中a、b为任意常数。
这个公式也是差平方公式，适用于多项式a²减去一个常数平方的情况。
例如，可以将9x² - 16分解为(3x-4)(3x+4)。
3. a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)，其中a、b为任意常数。
这个公式是和立方公式，适用于多项式a³加上b³的情况。
例如，可以将x³ + 8分解为(x+2)(x² - 2x + 4)。
4. a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)，其中a、b为任意常数。
6.3(1)用乘法公式分解因式
15、 15、从前有一位张老汉向地主租了一块 “十字 土地（尺寸如图）。为便于种植， ）。为便于种植 型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块 相同面积的长方形土地 同学们， 土地。 相同面积的长方形土地。同学们，你能帮助张老汉 算出这块长方形土地的长和宽吗？ 算出这块长方形土地的长和宽吗？
b米 b米
2
2
2 2
思考： 思考：16 ( a + b ) − 4( a − b )
如果有公因式,那么先考虑提公因式， 如果有公因式 那么先考虑提公因式， 那么先考虑提公因式 再考虑运用平方差公式进一步分解。 再考虑运用平方差公式进一步分解。
6、分解因式: 、分解因式
a4 − 9 a − 81 4 2 2 a b − 81b
D）
B.-(2a–1)(2a– B.-(2a–1)(2a–1) D.-(2a+1)(2aD.-(2a+1)(2a-1)
选一选：
13、 64因式分解为 因式分解为( 13、x2-64因式分解为( (x-16)(x+ )(x+4 (A) (x-16)(x+4); (x+16)(x16)(x (C) (x+16)(x-4);
平方差公式
6.3 用乘法公式分解因式 用乘法公式分解因式(1)
平方差 用平方差公式分解因式
a − b = ( a + b)( a − b)
2 2
预习作业 反馈性作业 巩固性作业
拓展性作业
应用性作业
课后作业
1、填空：
9 6 a =( 3 a 3 )2 25 5 m2n2=( mn )2
16(a+b)2=[ 4(a+b) ]2 =( 4a+4b )2
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和操作，它们在代数运算、方程求解、多项式的化简等方面具有广泛的应用。
本文将介绍乘法公式和因式分解的概念、性质以及应用。
一、乘法公式乘法公式是指在对两个或多个数进行乘法运算时，有一些特定的规律可以简化运算过程。
其中，常见的乘法公式包括：1. 乘法交换律：a × b = b × a乘法交换律指出，两个数的乘积与它们的顺序无关。
2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法结合律指出，三个数相乘时，可以按照不同的顺序进行运算，最终结果相同。
3. 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法分配律指出，一个数与括号中的和相乘，等于这个数分别与和中的每个数相乘之后再相加。
以上三个乘法公式是数学运算中常用的基本规律，能够简化计算过程，提高效率。
二、因式分解因式分解是将一个数或者多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。
因式分解有助于化简复杂的表达式、解方程和求极限。
1. 常见因式分解公式(1) 完全平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)该公式表示一个完全平方式减去另一个完全平方式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
(2) 三项平方差公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)该公式表示一个立方形式减去另一个立方形式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
2. 因式分解的应用(1) 化简表达式：通过因式分解，可以将复杂的代数表达式转化为简单的因式乘积形式，便于计算和理解。
(2) 解方程：因式分解是求解一元高次方程的重要方法之一。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程化简为多个一次方程的乘积形式，从而找到方程的解。
(3) 求极限：在一些复杂的极限求解问题中，通过因式分解可以将被极限运算影响的部分拆分为若干个因子，从而简化运算过程。
因式分解知识点归纳
因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)(2)运用公式法：平方差公式：a2—b2 = (a + b)(a—b)；完全平方公式：a2土2ab + b2= (a土b)2(3)十字相乘法：x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； (3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
(4)最后考虑用分组分解法5、同底数幂的乘法法则：a m・a n = a m+n( m, n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：(a + b)2•(a + b)3 = (a + b)56、幂的乘方法则：(a m)n = a mn( m, n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。
如：(-35)2= 310幕的乘方法则可以逆用：即a mn = (a m ) n = (a n ) m如：46 = (42)3 = (43)27、积的乘方法则：(ab)n = a n b n( n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：(一 2 x 3 y 2 z )5 = (-2)5 • (x 3)5 • ( y 2)5 • z 5 = -32 x 15 y 10 z 58、同底数幂的除法法则：a m + a n = a m - n ( a牛0, m, n都是正整数，且m n)同底数幕相除，底数不变，指数相减。
如：(ab)4 + (ab) = (ab)3 = a3b39、零指数和负指数；a 0 = 1，即任何不等于零的数的零次方等于1。
1a - p =——(a中0, p是正整数)，即一个不等于零的数的-p次方等于这个数的P次方的倒数。
分解因式小结
分解因式小结分解因式是指将一个多项式表达式写成若干个因式的乘积的形式。
分解因式的方法有以下几种：一、公因式提取法：如果一个多项式的每一项都有一个共有的因子，那么可以先提取出这个公因式，再将剩下的部分进行因式分解。
例如，对于多项式6x+12y，可以提取出公因式6，得到6(x+2y)。
二、差平方公式：差平方公式适用于两个平方项之差的情况，公式为a²-b²=(a+b)(a-b)。
例如，对于多项式x²-y²，可以使用差平方公式得到(x+y)(x-y)。
三、三个乘法公式：三个乘法公式是指二次多项式的乘法公式，由平方项之和展开可得。
1. 二次多项式的平方展开：(a+b)²=a²+2ab+b²；2. 平方差展开：(a-b)²=a²-2ab+b²；3. 二次多项式的乘法公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
四、二次三项式的特殊因式：对于形如ax²+bx+c的二次三项式，可以使用以下方法分解因式：1. 完全平方三项式：先判断是否满足a、b、c之间的关系，如果满足，则可以将其分解为一个完全平方和一个常数的乘积。
例如，对于二次三项式x²+4x+4，可以分解为(x+2)²。
2. 含有公因式的二次三项式：如果二次三项式可以提取公因式，则可以先提取公因式，再进行因式分解。
例如，对于二次三项式4x²-8xy+4y²，可以提取公因式4，得到4(x²-2xy+y²)，再使用完全平方三项式公式分解为(2x-y)²。
综上所述，分解因式是一种将多项式表达式写成若干个因式乘积的形式的方法。
常用的分解因式方法包括公因式提取法、差平方公式、三个乘法公式以及二次三项式的特殊因式。
通过灵活应用这些方法，可以有效地分解因式。
分解因式的方法与技巧
分解因式的方法与技巧
因式分解是一种重要的数学技巧，用于将一个多项式分解成更简单的因式乘积。
我们可以使用以下方法和技巧来进行因式分解：
1. 提取公因式：首先，我们可以检查多项式中是否有公因式，然后将其提取出来。
这可以通过找到多项式中的最大公因式来实现。
2. 分组：有时候，我们可以对多项式进行分组，然后利用分组因式分解的方法来分解多项式。
这通常发生在四项多项式中。
3. 使用因式公式：对于一些特定的多项式形式，例如二次多项式或立方多项式，我们可以利用因式公式来进行因式分解。
4. 试除法：对于一些多项式，我们可以使用试除法来找到因式分解的结果。
这通常适用于高次多项式。
以上是因式分解的一些常用方法和技巧。
通过灵活运用这些方法，我们可以更轻松地进行因式分解，从而简化复杂的多项式表达式。
用乘法公式分解因式课件
应用公式进行因式分解
选择合适的公式
根据公式的特点和结构，选择适 合的公式进行因式分解。
逐步应用公式
按照公式的步骤，逐步进行因式分 解，确保每一步的正确性。
检查因式分解结果
完成因式分解后，应检查分解结果 是否正确，确保所有项都已被正确 处理。
03
乘法公式分解因式的常见 问题及解决方案
如何处理项的符号问题
如何处理项的系数问题
总结词
处理项的系数问题是分解因式中的重要环节，需要关注系数的提取和简化。
详细描述
在乘法公式分解因式中，系数的处理也是一个关键问题。系数的提取和简化对于因式分解的正确性和简洁性至关 重要。例如，在分解 2x^2 - 3x + 1 时，我们需要提取公因子 2，并简化各项的系数，得到 (2x - 1)(x - 1)。这 样能够使因式分解更加简洁明了。
02
分解因式的方法有多种，其中乘 法公式是最常用的一种，适用于 多项式的因式分解。
乘法公式分解因式的意 义
简化多项式的表示
促进数学运算的简化
通过将多项式分解为因式，可以将复 杂的数学表达式转化为更简单的形式， 方便理解和计算。
通过分解因式，可以将多项式的计算 过程简化，提高计算效率和准确性。
便于提取公因式
每个项的系数是其在公式中的重要组成部分，理解其作用有助于更 准确的进行因式分解。
确定公式的形式
判断公式的类型
了解公式的类型是进行因 式分解的前提，不同类型 的公式有不同的分解方法。
分析公式的结构
观察公式中各项之间的关 系，有助于确定因式分解 的步骤和策略。
确定公式的特点
了解公式的特点有助于选 择合适的因式分解方法， 简化分解过程。
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2、分解因式 、 （1）－8a3p ＋12a2p2－16a3 ） （2）(2a－b)2－2a＋b ） － ＋
2
9 2 1 4 x y 25 16
= [( x + z ) + ( y + z )][( x + z ) ( y + z )] = ( x + y + 2 z )( x y )
课本P143 课内练习 ex2 课本
1 2 2 (3) - x + 4 x 9 1 1
(1) 25 x 4 = (5 x + 2)(5 x 2) 2 2 (2) 121 4a b = (11 + 2ab)(11 2ab)
把如图卡纸剪开， 把如图卡纸剪开，拼成一张长方形 卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？ 卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？ 你能给出数学解释吗？ 你能给出数学解释吗？
a2－b2 ＝ (a＋b)(a－b) ＋ －
a－b －
a-b
a－b －
b
平方差公式： 平方差公式： (a＋b)(a－b)＝a－b ＋ － ＝ －
用平方差公式分解因式的关键：在于把多项式看成怎样 用平方差公式分解因式的关键： 的两个数的平方差。 的两个数的平方差。
用平方差公式分解因式的关键：在于把多项式看成怎样 用平方差公式分解因式的关键： 的两个数的平方差。 的两个数的平方差。
下列多项式可以用平方差公式分解 因式吗？ 因式吗？说说你的理由 （1）4x2＋y2 ） （2）4x2－(－y)2 ） － （3）－4x2－y2 ） （4）－4x2＋y2 ） （5）a2－4 ） （6）a2＋3 ）
（2）4x3y－9xy3 ） － ＝xy(4x2－9y2) ＝xy(2x＋3y)(2x－3y) ＋ －
分解到 不能分 解为止
把下列各式分解因式
(1) a 81b
4 3
4
(2) 8a 2a
(3) 27a bc 3ab c
3 3
1 2 1 2 （1）用简便方法计算： (81 ) (78 ) ）用简便方法计算： 2 2 1 2 1 2 (81 ) (78 ) 2 2 1 1 1 1 = (81 + 78 )(81 78 ) 2 2 2 2
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？ 与你分享吗？
例1：把下列各式分解因式
(1) 16a 1 2 2 = (4a ) 1 = (4a + 1)(4a 1) 2 2 2 (2) m n + 4l 2 2 = (2l ) ( mn) = (2l + mn)(2l mn)
2
(3)
(4) ( x + z ) ( y + z )
2
3 2 1 2 3 1 3 1 = ( x ) ( y ) = ( x + y )( x y ) 5 4 5 4 5 4
（1）形如___________形式的多项式可以用平方 形如___________形式的多项式可以用平方 ___________ a b
2 2
差公式分解因式。 差公式分解因式。 提取公因式法 （2）因式分解通常考虑______________方法。 因式分解通常考虑______________方法。 ______________方法 彻底 （3）因式分解要_________ 因式分解要_________
2
= (2 x + )(2 x ) 3 2 3 (4) x 9 = ( x + 3)( x 3)
பைடு நூலகம்
合作学习
在因式分解时， 在因式分解时， （1）4a － 4a ） 若多项式中有公因式， 若多项式中有公因式， 应先提取公因式， 应先提取公因式，再 （2）4x3y－9xy3 ） － 考虑运用平方差公式 ：（1）原式＝ 解：（ ）原式＝4a(a－1) 分解因式 － ＝4a(a＋1)(a－1) ＋ － 请把下列各式分解因式
= 160 × 3 = 480
分解成两个整数的积。 （2）把9991分解成两个整数的积。 ） 分解成两个整数的积
9991 = 10000 9 = 100 3
2
2
= (100 + 3)(100 3)
= 103 × 97
分解下列因式 1 2 (1) 2 a 2 （2） 4( a + b) – 25(a – c) ） （3） (x – y+z)2 – (2x – 3y+4z)2 ）
整式乘法
a－b ＝ (a＋b)(a－b) － ＋ －
平方差公式反 过来就是说： 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
因式分解
下列各式能用平方差公式a 下列各式能用平方差公式a2－b2= 分解因式吗？ （a ＋b ）（ a －b）分解因式吗？ 分别表示什么？ a 、 b 分别表示什么 ？ 把下列各式 分解因式 （1）x2－1 ＝(x＋1)(x－1) ＋ － ＋ － （2）m2－9 ＝(m＋3)(m－3) （3）x2－4y2 ＝(x＋2y)(x－2y) ＋ －