4.3用乘法公式分解因式(2)
4.3用乘法公式分解因式(2)
a 2ab b 形如 2 2 的多项式称为完全平方式. a 2ab b 2 2 首 2 首 尾 尾
2 2
(3x 1)
2
对照公式填一填 a 2ab b
2
2
a2 + 2ab + b2 = （ a + b ）2
16x2+40x+25= ( 4x)2+2(4x 5)+( 5 )2 =( 4x + 5 )2 )( a2－2ab+b2 =（a－b）2
一“提”、二“套”、三 “检验”
ma mb ma b
a b a ba b
2 2
a 2ab b a b
2 2
2
1.你能用口算求出
20052-4010× 2003+20032 的值吗？
答案： 4
2、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， B 那么m的值为（ ） A、6 B、±6 C、3 D、±3
类比旧知探新知!
(a b) a 2ab b 2 2 2 完全平方公式： (a b) a 2ab b a 2ab b (a b) 2 2 2 a 2ab b (a b)
2 2
2 (a b)
2 2 a 2ab b
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
=( x y )2- 2( x y )( 4 )+( 4 )2
2
公式中的a、b可以表示数、字母、单项式甚至是多项式
辨一辨：
判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x y ；
2 2 2 2
不是
(2) x 2 xy y ；
2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第1课时用平方差公式分解因式练习新版浙教版
4.3 用乘法公式分解因式第1课时用平方差公式分解因式知识点1平方差公式分解因式把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，得a2－b2＝(a＋b)(a－b)．两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法．1．把下列多项式分解因式：(1)x2－36；(2)36－25y2；(3)(x＋p)2－(x＋q)2.一提公因式与平方差公式综合运用把下列各式分解因式：(1)18a2－8b2；(2)a5－81ab4.[归纳总结] (1)用平方差公式分解因式的条件：①二次(能写成平方的形式)；②异号．(2)对于多项式中的两部分不是很明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式进行因式分解，以免出现16a2－9b2＝(16a＋9b)·(16a－9b)的错误．(3)还要注意不要出现分解后又乘开的现象．(4)因式分解应遵循：一提二公式．同时因式分解需彻底．二尝试用平方差公式进行简便运算教材作业题第3题变式题用简便方法计算：(1)3142－2142；(2)3.14×752－3.14×252.探究三平方差公式分解因式的应用教材补充题如图4－3－1所示，在半径为R的大圆内部挖去四个半径为r的小圆．(1)用含R，r的式子表示剩余部分的面积S；(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，应用分解因式的知识计算剩余部分的面积(结果保留π)．图4－3－1[反思] 判断下列分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．①4a2－1＝(4a－1)(4a＋1)；②(x－y)2－4x2＝x2－2xy＋y2－4x2＝－3x2－2xy＋y2.1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．－m4－n4B．－16x2＋y2C．1.21－a2D．9a2－64b22．将整式9－x2分解因式的结果是( )A．(3－x)2B．(3＋x)(3－x)C．(9－x)2D．(9＋x)(9－x)3．将多项式x3－xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－y2) B．x(x－y)2C．x(x＋y)2D．x(x＋y)(x－y)4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，则这个多项式是( )A．4a2－b2B．4a2＋b2C．－4a2－b2D．－4a2＋b25．观察下面4个分解因式的过程：(1)(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；(2)a2－4b2＝(a＋4b)(a－4b)；(3)4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；(4)m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；(5)－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b)．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．某同学粗心大意，在分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，8二、填空题7．xx·嘉兴、舟山分解因式：a2－9＝__________．8．xx·长沙分解因式：x2y－4y＝________．9．xx·荆门分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________．10．xx·株洲因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝____________________．11．已知58－1能被20～30之间的两个整数整除，则这两个整数是________．三、解答题12．分解因式：(1)a3－16a；(2)16(a＋b)2－9(a－b)2；(3)m4(m－2)＋16(2－m)．13.用简便方法计算：(1)6.42－3.62；(2)1.42×16－2.22×4.14．设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．n(m>2n)的小正方形．(1)用含m，n的式子表示剩余部分的面积S；(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，利用分解因式计算剩余部分的面积．图4－3－2详解详析【预习效果检测】1．解：(1)x2－36＝x2－62＝(x＋6)(x－6)．(2)36－25y2＝62－(5y)2＝(6＋5y)(6－5y)．(3)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．【重难互动探究】例1[解析] 分解因式时，要先观察多项式，有公因式的要先提取公因式再考虑是否符合公式．解：(1)18a2－8b2＝2(9a2－4b2)＝2(3a＋2b)(3a－2b)．(2)a5－81ab4＝a(a4－81b4)＝a(a2＋9b2)(a2－9b2)＝a(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．例2解：(1)原式＝(314＋214)×(314－214)＝52800.(2)原式＝3.14×(752－252)＝3.14×(75＋25)×(75－25)＝15700.例3[解析] 剩余部分的面积为大圆面积减去四个小圆的面积．解：(1)剩余部分的面积为S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，S＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(35＋2×12.5)×(35－2×12.5)＝π·60×10＝600π(cm2)．【课堂总结反思】[反思] 两个均不正确．改正：①4a2－1＝(2a)2－12＝(2a－1)(2a＋1)．②(x－y)2－4x2＝(x－y)2－(2x)2＝(x－y－2x)·(x－y＋2x)＝－(x＋y)(3x－y)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A 2.B3．[解析] D x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4．D 5.B 6.B7．[答案] (a＋3)(a－3)8．[答案] y(x＋2)(x－2)9．[答案] (m－3)(m＋3)10．[答案] (x－2)(x－4)(x＋4)11．[答案] 26，24[解析] 58－1＝(54＋1)(52＋1)(52－1)，因为52＋1＝26，52－1＝24，所以这两个数是26，24. 12．解：(1)原式＝a(a＋4)(a－4)．(2)原式＝(7a＋b)(a＋7b)．(3)原式＝m4(m－2)－16(m－2)＝(m－2)(m4－16)＝(m－2)(m2＋4)(m2－4)＝(m－2)(m2＋4)(m＋2)(m－2)＝(m－2)2(m＋2)(m2＋4)．13．[解析] 利用平方差公式简化计算过程．解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)(6.4－3.6)＝10×2.8＝28.(2)1.42×16－2.22×4＝(1.4×4)2－(2.2×2)2＝5.62－4.42＝(5.6＋4.4)(5.6－4.4)＝10×1.2＝12.14．解：原式＝(2n＋1)2－52＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，即(2n＋1)2－25能被4整除．[数学活动][解析] 剩余部分的面积为大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：(1)S＝m2－4n2＝(m＋2n)(m－2n)．(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，S＝(m＋2n)(m－2n)＝(13.2＋3.4×2)(13.2－3.4×2)＝20×6.4＝128(厘米2)．所以剩余部分的面积为128平方厘米．。
4.3公式法(2)9张)精美课件
解：（3）原式＝(y2－4y＋4)2＝(y－2)4 解：（4）原式＝(xy＋1)2(xy－1)2
20．(10分)计算： (1)3×192＋6×19×21＋3×212； 解：4 800 (2)2022＋202×196＋982.
解：90 000
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【综合运用】
21．(10 分) 若△ ABC的三边是 a， b，c ，且满足 a2 ＋ b2＋ c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
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一、选择题(每小题4分，共12分) 12．(2014· 安徽)下列四个多项式中，能因式 分解的是( B ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 13．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是( B ) A．8 B．16 C．2 D．4 14．因式分解(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是(D ) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2
北师 · 数学
利用完全平方公式计算 10．(8分)(1)8002－1 600×798＋7982；
解：4
(2)2×1012＋2×101×98＋2×492. 解：45 000 11．(5分)试证明：无论x，y取何值， x2－4x＋y2－6y＋14不小于1. 证明：原式＝(x2－4x＋4)＋(y2－6y＋9)＋1 ＝(x－2)2＋(y－3)2＋1， ∵(x－2)2≥0，(y－3)2≥0， ∴无论x，y为何值，它总大于或等于
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4.3 公式法(第2课时) 得分________ 卷后分________
评价________
1．形如的式子
a2±2ab＋b2 a2＋2ab＋b2
称为完全平方式．
2．逆用乘法公式(a＋b)2＝ (a－b)2＝ a2－2ab＋b2
4.3 公式法 第二课时
4.3 公式法 第二课时一、学习准备：1、分解因式：492172+-x x2、填空：（1）=+2)(b a ； （2）2)(b a -= ； 二、学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用完全平方公式进行因式分解； 三、自学提示： 活动一阅读课本57页例3上面部分，并回答问题或填空：(1) 如果一个多项式的各项不具备相同的因式，我们可以运用平方差公式进行分解因式，我们还学过其它的公式吗？哪个公式还可以进行分解因式？ 2、结合预习导学2，完成下列填空（1）222b ab a +- = ； （2）222b ab a ++= ； 3、乘法公式2)(b a ±= 。
4、形如222b ab a ++与222b ab a +-的式子称为完全平方式．把乘法公式反过来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 。
活动二 观察222bab a +-；2244b ab a +-；25102++x x ,找出它们的共同特征。
然后讨论：1、什么样的多项式才可以用完全平方公式分解因式呢？2、下列各式是不是完全平方式？（1）a 2－4a ＋4；（2）x 2＋4x ＋4y 2；（3）4a 2＋2ab ＋41b 2； （4）22b ab a +-； （5）962--x x ； （6）25.02++a a ． 3、将下列各式分解因式。
（1）49142++x x （2）9)(6)(2++-+n m n m讨论：用完全平方公式分解因式我们首先要把题目中的多项式化为什么形式？由（2）知，公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是4、将下列各式因式分解：（1）22363ay axy ax ++ （2）xy y x 4422+-- 四、学习小结：1、本节课你有哪些收获？2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方 五、夯实基础：1、判断正误： （1）222)(y x y x +=+( ) （2）222)(y x y x -=- ( )（3）222)(2y x y xy x -=-- ( ) （4）222)(2y x y xy x +-=--- ( ) 2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的分解因式： （1）412+-x x （2）13922+-ab b a （3）251056+-x x3、把下列各式因式分解： （1）223612n mn m +- （2）422492416b b a a ++（3）222y x xy --- （4）2)(9)(124y x y x -+--六、能力提升： 1、,2,212=-=-ab b a 已知求42332444b a b a b a -+-的值。
【教案四】4.3用乘法公式分解因式(2)
4.3用乘法公式分解因式（2）一、教学目标：1、知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2、过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．3、情感、态度与价值观：通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．二、教学重难点：1、重点：掌握运用完全平方公式进行因式分解．2、难点：灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，及正确判断因式分解的彻底性问题．三、教学过程：第一环节：做一做活动内容：填空：（1）（a+b）（a-b）=____________________；（2）（a+b）2=____________________；（3）（a–b）2=____________________．根据上面式子填空：（1）a2–b2=____________________；（2）a2–2ab+b2=____________________；（3）a2+2ab+b2=____________________．结论：形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用．注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节：辨一辨活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．（1）x2–4y2（2）x2+4xy–4y2（3）4m2–6mn+9n2（4）m2+6mn+9n2结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，a 2–2ab +b 2=（a –b ）2；a 2+2ab +b 2=（a+b ）2．活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式． 第三环节：试一试活动内容：把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m 活动目的：（1）培养学生对平方差公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式． 注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误． 第四环节：想一想活动内容：将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时，一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解．第五环节：反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）2 （ ）（2）x 2–y 2=（x –y ）2 （ ）（3）x 2–2xy –y 2=（x –y ）2 （ ）（4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 （ ）2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2–x +41 （2）9a 2b 2–3ab +1 （3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x 3、把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4（3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y ）2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：当完全平方公式中的a与b表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．第六环节：学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式则先提取公因式；（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式．。
2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第1课时校本作业A本新版浙教版
2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第1课时校本作业A本新版浙教版课堂笔记两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积. 即a2-b2=（a+b）（a-b）.分层训练A组基础训练1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A. 2x2+y2B. -x2+y2C. -x2-y2D. x3+（-y）22. 把多项式-4n2+m2分解因式，其结果正确的是（）A. （m+2n）（m-2n）B. （m+2n）2C. （m-2n）2D. （2n+m）（2n-m）3. 下列因式分解中，正确的有（）①4x2-1=（4x+1）（4x-1）②m2-n2=（m+n）（m-n）③-16+9x2=（4+3x）（-4+3x）④a2+（-b）2=（a+b）（a-b）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（）A． 11cm2 B． 20cm2 C． 110cm2 D． 200cm25. （金华中考）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）A. 2（x2-9）B. 2（x-3）2C. 2（x+3）（x-3）D. 2（x+9）（x-9）6. 下列各式不是多项式x3-x的因式的是（）A. xB. 3x-1C. x-1D. x+17．小敏是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：乡、爱、我、家、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A. 我爱美B. 家乡游C. 爱我家乡D. 美我家乡8．小华在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，且能利用平方差公式分解因式，他抄到作业本上的式子是x□-4y2（□表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A． 2种 B． 3种 C． 4种 D． 5种9. 填空：（1）36x2y2-49a2=（）2-（）2；（2）-4n2+m2=（）2-（）2；（3）m4- =（m2+5）（m2- ）.10．（杭州中考）若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是（写出一个即可）.11．已知x+y=2，则x2-y2+4y= ．12. 分解因式：9x2（a-b）+y2（b-a）= .13. 把下列各式分解因式：（1）1-16x2；（2）-n2+0.81m2；（3）x2-64y2；（4）（a+b）2-4；（5）4m2-（m+n）2.（6）a4-b4；（7）x3y2-x3；（8）25（m+n）2-81（m-n）2.14. 用简便方法计算：（1）552-452；（2）99×100；（3）已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2-20b2的值.B组自主提高15. 两个偶数的平方差，一定是（）A. 2B. 4C. 8D. 4的倍数16. 如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）.17. 阅读题：我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看.（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.C组综合运用18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和xx这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．参考答案4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）【课堂笔记】和差【分层训练】1—6. BABCC 6. B7. C 【点拨】原式＝（x2－y2）（a2－b2）＝（x＋y）（x－y）（a＋b）（a－b）．∵x＋y，x －y，a＋b，a－b四个代数式分别对应我、爱、家、乡，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我家乡”．8. D9. （1）6xy 7a （2）m 2n （3）25 510. 答案不唯一，如-1，-4等11. 412. （a-b）（3x+y）（3x-y）13. （1）（1+4x）（1-4x）（2）（0.9m+n）（0.9m-n）（3）（x+8y）（x-8y）（4）（a+b+2）（a+b-2）（5）（3m+n）（m-n）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）（7）x3（y+1）（y-1）（8）4（7m-2n）（7n-2m）14. （1）1000 （2）9999 （3）7515. D16. 所需混凝土为[π（）2-π（）2]L=πL（-）（+）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm3）=1.2717（m3）≈1.3（m3）. 所以浇筑一节这样的管道需要1.3立方米的混凝土. 【点拨】混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体与小圆柱体的体积差. 17. 原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=×（332-1）=.18. （1）36是“和谐数”，xx不是“和谐数”．理由如下：36=102-82，xx=1008×2；（2）∵两个连续偶数为2k+2和2k（k为自然数），∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500．2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第2课时校本作业B本新版浙教版课堂笔记两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的倍，等于这两数和（或者差）的平方. 即a2+2ab+b2=（a+b）2； a2-2ab+b2=（a-b）2.注意：一般地，利用公式a2-b2=（a-b）（a+b），或a2±2ab+b2=（a±b）2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 公式中的a，b可以是数，也可以是整式.分层训练A组基础训练1. 下列各式是完全平方式的是（）A. x2-x+1B. 4x2+4xy+1C. x2+xy+y2D. x2-4xz+z22. （长春中考）把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x-3）2 B．（x-9）2C．（x+3）（x-3） D. （x+9）（x-9）3. 若等式x2-x+k=（x-）2成立，则k的值是（）A. B. - C. D. ±4. 把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A. a（x-2）2B. a（x+2）2C. a（x-4）2D. a（x+2）（x-2）5. 如果A（5a+2b）=25a2+20ab+4b2，则A等于（）A. 5a+2bB. 5a-2bC. 5a+2ab+2bD. a2-2b26. 已知正方形的面积是（16-8x+x2）cm2（x>4），则正方形的周长是（）A．（4-x）cm B．（x-4）cm C．（16-4x）cm D．（4x-16）cm7. 下列多项式中，①x2+2xy+4y2；②a2-2a+3；③x2-xy+y2；④m2-（-n）2可以进行因式分解的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 分解因式，若5a2+ma+=5（a-）2，则m的值是（）A. -2B. 2C.D. -9. 在括号内填入适当的数或单项式.（1）9a2-（）+b2=（ -b）2；（2）x4+4x2+（）=（）2；（3）p2-3p+（）=（p- ）2；（4）（a-b）2-2（a-b）+1=（ -1）2.10. 多项式a3c-4a2bc+4ab2c因式分解的结果是 .11. 若x=156，y=144，则多项式x2+xy+y2= .12．填空：（1）分解因式：x2－4x＋4＝．（2）4x2＋9y2＝（）2.（3）若4x2＋mx＋25是一个完全平方式，则实数m＝．（4）分解因式：x3＋2x2＋x＝．（5）分解因式：a2－2ab＋b2－1= ．13. 多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（填上一个你认为正确的即可）.14. 把下列各式分解因式：（1）x2+8x+16；（2）-4x2+12xy-9y2；（3）m2+mn+n2；（4）a3+2a2+a；（5）（a+b）2-18（a+b）+81；（6）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1.15. 利用因式分解计算下列各式：（1）872+87×26+132；（2）xx2-4034×xx+xx2.B组自主提高16．把下列各式分解因式：（1）3x2－12xy＋12y2；（2）a2－ab＋b2；（3）－2x3＋24x2－72x；（4）9（p－q）2－6p＋6q＋1；（5）（x2－7）2－4（x2－7）＋4.17. （1）已知b-a=-3，ab=-2，求-a3b+a2b2-ab3的值. （2）已知x2+y2-2x+6y+10=0，求x+y的值.C组综合运用18.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽．参考答案4.3 用乘法公式分解因式（第2课时）【课堂笔记】2【分层训练】1—5. CACAA 6—8. DBA9. （1）6ab 3a （2）4 x2+2 （3）（4）a-b10. ac（a-2b）211. 4500012. （1）（x－2）2（2）±12xy 2x±3y （3）±20（4）x（x＋1）2 （5）（a－b＋1）（a－b－1）13. 6x或-6x或x414. （1）（x+4）2（2）-（2x-3y）2 （3）（m+n）2（4）a（a+1）2（5）（a+b-9）2（6）（x+1）415. （1）10000 （2）116. （1）原式＝3（x2－4xy＋4y2）＝3（x－2y）2（2）原式＝a2－2·a·b＋（b）2＝（a－b）2（3）原式＝－2x（x2－12x＋36）＝－2x（x－6）2（4）原式＝9（p－q）2－6（p－q）＋1＝[3（p－q）－1]2＝（3p－3q－1）2（5）原式＝（x2－7－2）2＝（x2－9）2＝[（x＋3）（x－3）]2＝（x＋3）2（x－3）217. （1）-a3b+a2b2-ab3=-ab（a2-2ab+b2）=-ab（a-b）2=9（2）由题意，得（x2-2x+1）+（y2+6y+9）=0，（x-1）2+（y+3）2=0. ∵（x-1）2与（y+3）2的值都是非负数，∴（x-1）2=0且（y+3）2=0，∴x=1，y=-3，∴x+y=-2.18. （1）x2-140x+4756=x2-2×70x+702-702+4756=（x-70）2-144=（x-70）2-122=（x-70+12）（x-70-12）=（x-58）（x-82）（2）∵a2+8ab+12b2=a2+2×a×4b+（4b）2-（4b）2+12b2=（a+4b）2-4b2=（a+4b+2b）（a+4b-2b）=（a+2b）（a+6b），∴长为a+2b时这个长方形的宽为a+6b.。
【新浙教版】七年级数学下册第四章因式分解4.3《用乘法公式分解因式二》练习(含答案)
4.3 用乘法公式分解因式(二)A 组1．填空：(1)分解因式：x 2－4x ＋4＝(x －2)2．(2)分解因式：4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2．(3)若4x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则实数m ＝±20．(4)分解因式：2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2．(5)分解因式：x 3＋2x 2＋x ＝x(x ＋1)2．2．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是(C )A. m ＋1＋m 24B. －x 2＋2xy －y 2C. －a 2＋14ab ＋49b 2D. n 29－23n ＋1 3．把多项式x 2－6x ＋9分解因式，结果正确的是(A )A. (x －3)2B. (x －9)2C. (x ＋3)(x －3)D. (x ＋9)(x －9)4．分解因式：(1)x 2－x ＋14. 【解】原式＝x 2－2·x ·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122. (2)a 2－12ab ＋116b 2.【解】原式＝a 2－2·a ·14b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －14b 2. (3)9m 2－6mn ＋n 2.【解】原式＝(3m )2－2·(3m )·n ＋n 2＝(3m －n )2.5．把下列各式分解因式：(1)3x 2－12xy ＋12y 2.【解】原式＝3(x 2－4xy ＋4y 2)＝3(x －2y )2.(2)－2x 3＋24x 2－72x .【解】原式＝－2x (x 2－12x ＋36)＝－2x (x －6)2.(3)(a ＋b )2－12(a ＋b )－36.【解】原式＝[(a ＋b )－6]2＝(a ＋b －6)2.(4)2m 2＋2m ＋12. 【解】原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m ＋14 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122. 6．用简便方法计算：(1)9992＋2×999＋1.【解】原式＝9992＋2×999×1＋12＝(999＋1)2＝10002＝1000000.(2)552－110×45＋452.【解】原式＝552－2×55×45＋452＝(55－45)2＝102＝100.B组7．若(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，则x2＋y2的值为__4__．【解】∵(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，∴(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＝8，(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＋1＝9，∴(x2＋y2－1)2＝9，∴x2＋y2－1＝3或x2＋y2－1＝－3，∴x2＋y2＝4或x2＋y2＝－2.∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝4.8．分解因式：(1)(a2＋1)2－4a2.【解】原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2.(2)81＋x4－18x2.【解】原式＝x4－18x2＋81＝(x 2)2－2·x 2·9＋92＝(x 2－9)2＝[(x ＋3)(x －3)]2＝(x ＋3)2(x －3)2.9．(1)已知x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，求x y 的值．【解】x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，x 2＋4x ＋4＋y 2＋2y ＋1＝0，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0，∴x ＋2＝0且y ＋1＝0，∴x ＝－2，y ＝－1，∴x y ＝(－2)－1＝－12. (2)已知a ＋b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．【解】a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3＝ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝ab (a ＋b )2＝2×32＝18.10．阅读材料，并回答问题：分解因式：x 2－120x ＋3456.分析：由于常数项数值较大，可以把x 2－120x ＋3456变为平方差的形式进行分解，这样就简便易行．解：x 2－120x ＋3456＝x 2－2×60x ＋3600－3600＋3456＝(x －60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)．请按照上面方法分解因式：x2－16x－561.【解】x2－16x－561＝x2－16x＋64－64－561＝(x－8)2－625＝(x－8)2－252＝(x－8＋25)(x－8－25)＝(x＋17)(x－33)．11．已知(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，求(a＋2b)2018的值．【解】∵(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，∴(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1＝0，∴(a＋2b－1)2＝0，∴a＋2b－1＝0，∴a＋2b＝1，∴(a＋2b)2018＝12018＝1.数学乐园12．阅读材料，并回答问题：分解因式：x4＋4.分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用乘法公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，且都是数或式的平方和的形式的特点，添加了一项4x2组成完全平方公式，然后将4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)·(x2－2x＋2)．人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下面各式分解因式：(1)x4＋4y4. (2)x2－2ax－b2－2ab.【解】(1)x4＋4y4＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝(x2＋2y2)2－(2xy)2＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)．(2)x2－2ax－b2－2ab＝x2－2ax＋a2－a2－2ab－b2＝(x－a)2－(a＋b)2＝[(x－a)＋(a＋b)][(x－a)－(a＋b)]＝(x＋b)(x－2a－b)．。
4.3乘法公式分解因式
（1）4x2+y2 (3) -4x2-y2 (5) a2-4
(2) 4x2-(-y)2 (4) -4x2+y2 (6) a2+3
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
（1）由两部分组成； （2）两部分符号相反； （3）每部分都能写成某个式子的平方。
a²- b²= ( a + b ) ( a – b ) x²- 4y² = x² -(2y) ² = ( x + 2y) ( x - 2y )
（1）形如___________ a b 形式的多项式可以用平方
2 2
差公式分解因式. 提取公因式法 方法, （2）因式分解通常先考虑______________ 再考虑用 彻底 （3）因式分解要_________
例1.把下列各式分解因式
(1) 16a 2 -1 (2)ຫໍສະໝຸດ -m2 n2 + 4t 2
当公式中的a、b表示多项 式时，要把这两个多项式 看成两个整体，分解成的 两个因式要进行去括号化 简，若有同类项，要进行 合并。
(3) 9 x 2 - 1 y 4
25 16
(4) ( x + z ) - ( y + z )
平方差公式： 整式乘法
互逆
( a + b ) ( a – b ) = a²- b²
因式分解
a²- b²= ( a + b ) ( a – b )
x²- 4y²= x² -(2y) ² = ( x + 2y) ( x - 2y )
a²- b²= ( a + b ) ( a – b ) x²- 4y² = x² -(2y) ² = ( x + 2y) ( x - 2y ) 下列多项式能否用平方差公式分解因式？
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4.3 用乘法公式分解因式（2）
课型：新授 主备人：魏柯平 审核人：姚琼晖
班级： 姓名：
【学习目标】
知识：会判断多项式是完全平方式，并掌握用此公式分解因式的方法。
能力：（1）培养学生换元的思想，养成严密的思维习惯，进一步培养学生观察能力、 分析能力和概括能力
（2）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。
情感：（1）通过对形式不同的问题解答，激发学生的学习兴趣，使全体学生积极参与，体验
到成功的喜悦。
（2）引导学生在课堂活动中感悟知识的生成，发展和变化。
【学习重难点】
重点：用完全平方公式分解因式
难点：灵活运用完全平方公式分解因式 【学习过程】
一、课前预习
1.叙述平方差公式，并写出公式.
2.把下列各式分解因式： （1）2
16x
+- （2）2
3
xy
x -
（3）14
-m
（4）()()x y ab y x ab -+-3
3
[归纳]：运用平方差公式进行因式分解的条件：①所给多项式为_______项，两项的符号_______；②这两项分别可以化为一个是数（或一个整式）的_______形式。
3.填空
什么是完全平方公式？反过来我们能得到什么？ （1）
()
2
a b +=
（2）
()
2
a b -=
二、自主探究 思考：你能将多项式2
2
2b ab a ++与2
2
2b
ab a
+-特点？ 归纳：(
)222
2=++b ab a
(
)2
2
22=+-b ab a
即：
三、小组合作展示 分解因式
1）16x 2
+24x+9 2）-x 2
+4xy-4y 2
3）3ax 2
+6ay+3ay 2
4）（a+b ）2
-12（a+b ）+36
[归纳]：要判断一个多项式是否为完全平方式，必须符合三个条件：①该多项式有_____项，②有两项_____号且能写成某数（或式）的______，③第三项是两数（或式）的积_ _倍，符号可正可负。
3、下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1）442+-a a ；（2）241a +；（3）1442-+b b ；（4）2
2
b ab a ++ 4、若多项式9
1
2
+
+kx x 是完全平方式，则k 的值为 5、在多项式：①22y xy x -+②2
2
2y xy x -+-③2
2y x xy ++④4
12x x +-中能用完
全平方公式分解因式的是 。
四、基础训练 1、分解因式 （1）36122
++x x ； （2）222y x xy ---； （3）122++a a
（4）1442
+-x x ； （5）3
222a x a ax ++ ； （6）22
363y xy x
-+-
（7）1222
+-xy y x ； （8）()()962++++y x y x
2、已知x 2
+2mx+16是完全平方式，求m 的值
3、已知ax 2+4x+1是完全平方式，求a 的值
【课后反思】
4.3 用乘法公式分解因式（2）达标测试
1、判断正误：
（1）x2 + y 2= (x+ y) 2( )
（2）x2 –y 2 = (x–y) 2( )
（3）x 2 –2xy–y 2 = (x–y) 2 ( )
（4）–x 2 –2xy–y 2 = –(x+ y) 2( )
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x2–4x+ 4 （2）9a2 b2–3ab+1 （3）m 2 +3mn+9n2（4）x 6 –10x 5+25
3、把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2
（2）16a4+24a2b2+9b4
（3）–2xy–x2–y2
（4）4–12（x–y）+9（x–y)2。