2.1 LTI连续系统的响应

四、零输入响应和零状态响应

对于 LTI 系统，把输出响应分成由激励信号 f(t) 引起 的响应 H[f(t)] 和由系统起始状态 { x(0-)} 引起的响应 H[{x(0-)}]两者的叠加，由此可分别定义零输入响应 和零状态响应。
H[・] f(t) y(t)=H[f(t)]+H[{x(0-)}] {x(0-)}
四、零输入响应和零状态响应

带有起始值的等效电路
i(t) R1=1 iC(t) C=1F + e(t) vC(0-) + R2=3/2 iL(t)
其中： iL(0-) = 4/5 A
L
vC(0-) = 6/5 V
iL(0-)
问题： 如何求解izi(0+)、 izi '(0+) ？
四、零输入响应和零状态响应
R + vc(0-) t − 1 ( t −τ ) RC
+ vc(t) -
vC (t ) = e
−
t RC
完全响应中，第一项只和电容两端的起始储能有 关，与激励无关，被称为零输入响应，第二项与起始 储能无关，只与输入激励有关，被称为零状态响应。
1 vC (0 − ) + RC ∫ e 0−
f (t )dτ
i(t)
iC(t) C=1F
iL(t) L=1/4H R2=3/2
+ e(t)=4V -
+
- e(t)=2V
四、零输入响应和零状态响应
(1) 建立电路的微分方程 i''(t) +7i'(t) +10i(t) = e''(t) + 6e'(t) + 4e(t) (2) 求零输入响应 izi''(t) + 7izi'(t) + 10izi (t) = 0 其解的形式为： izi(t) = Azi1e-2t + Azi2e-5t ，t≥0 要求解Azi1、Azi2，必须首先确定izi(0+)、 izi '(0+)。
y zi (t ) = ∑ Azik e
k =1

n
xk t
由于没有外加激励的作用，因此系统的状态不会发 生变化，即y (k) (0+)= y (k) (0-) ，于是， yzi(t)中的常数 可以由 y (k) (0-)确定。
四、零输入响应和零状态响应

零状态响应的定义：不考虑起始时刻系统的储能作 用（系统起始状态为零），仅由外加激励信号所产 生的响应，记为yzs(t)。它满足方程 an yzs (n) (t) +an-1 yzs (n-1) (t) +…+a1 yzs (1) (t) + a0 yzs (t) = bm f(m) (t) + bm-1 f(m-1) (t) + …+b1 f(1) (t) + b0 f (t) 及起始状态y (k) (0-) (k=0,1,…,n-1) ，其表达式为：

零输入等效电路
i(t) R1=1 C=1F + vC(0-)=6/5V L=1/4

初始值等效电路
izi(0+) R1=1 + vC(0-)=6/5V iL(0+) iC(0+) iL(0-)=4/5A R2=3/2
iL(0-)=4/5A R2=3/2
-
由此可得：izi(0+) = -6/5 A、 izi ‘(0+)= 2 A/s，将该值代 入零输入响应的表达式可求得Azi1 =-4/3 、Azi2 =2/15
第二章 LTI 连续时间系统的时域分析和零状态响应 由时域经典法求解系统完全响应是把响 应分成自由响应和强迫响应，这只是系统响 应的一种分解形式，另一种广泛应用的重要 分解是零输入响应和零状态响应。
四、零输入响应和零状态响应

例 1 、设有如图所示 RC 电路，电容两端 + 有 起 始 电 压 vc(0-)， f(t) 激励源为 f(t)，求 t>0 时系统的响应vc(t) 。

零输入响应的定义：没有外加激励信号的作用，只 有系统起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响 应，记为yzi(t)。
四、零输入响应和零状态响应

零输入响应yzi(t)是满足方程： an yzi(n) (t) +an-1 yzi (n-1) (t) +…+a1 yzi (1) (t) + a0 yzi (t)=0 及起始状态y (k) (0-) (k=0,1,…,n-1)的解，因此，它是 齐次解的一部分，其表达式为：
零输入响应
｝
零状态响应
｝
四、零输入响应和零状态响应

例3 描述某系统的微分方程为 y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 2f'(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y'(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的 零输入响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应 yzi(t) = 4e–t –2e–2t ,t > 0 （2）零状态响应 yzs (t)= – 4e –t + e –2t + 3 ，t≥0
四、零输入响应和零状态响应

系统响应的分解可以表示为：
4 − 2t 2 −5t 8 e + y (t ) = e − 3 15 5
自由响应 强迫响应 （瞬态响应） （稳态响应）
｝
｝
2 −5t 8 − 2t 4 −5t 8 4 −2t = − e + e + e − e + 15 15 5 3 3

izs''(t) = aδ'(t) + bδ(t) + cu(t) izs'(t) = aδ(t) + bu(t) izs (t) = au(t)
解得：a=4, b=-4, c=4。进而可得：izs(0+)=4、 izs '(0+)=-4 代入解表达式即可求出： Azs1 =8/3 、Azs2 = -4/15。
四、零输入响应和零状态响应

例4 某LTI连续具有一定的起始状态，已知激励为 f1(t)时，系统的全响应为： y1(t)= 7e–t + 2e–3t ， t≥0 当起始状态不变，激励为f2(t) =3f1(t)时，全响应为 y2(t)= 17e–t - 2e–2t +6e–3t ， t≥0
求: (1) 系统地零输入响应。 (2) 若起始状态不变，激励f3(t) = 5f1(t)时系统 地全响应。
y zs (t ) = ∑ Azsk e
k =1

n
xk t
+ B(t )
其中 B(t) 是特解，可见零状态响应由自由响应的一 部分和特解构成。
四、零输入响应和零状态响应

系统响应的表达式：
y (t ) =
∑
n
k =1
Ak e x k t + B ( t )
强迫响应
自由响应
= ∑ Azik e
k =1
四、零输入响应和零状态响应

零状态等效电路
izs(t) R1=1 iC(t) + e(t)=4u(t) C=1F iL(t) L=1/4H R2=3/2
由于，izs(0-)=0、 izs’(0-)=0，可直接由冲激
函数匹配法求解。
四、零输入响应和零状态响应
将e(t)=4u(t)代入微分方程得： izs''(t) +7izs'(t) +10izs (t) = 4δ'(t) + 24δ(t) + 16u(t) 冲激函数匹配法：
n
｝
｝
n
xk t
+ ∑ Azsk e
k =1
xk t
+ B (t )
零输入响应
｝
零状态响应
｝
四、零输入响应和零状态响应

例2 给定电路如图，t<0时开关S处于1的位置，而且 已经达到稳态；t=0时，开关转向2，把t<0时的电路 状态看作起始状态，求t>0时i(t)的零输入和零状态响 应。
2
S
1
R1=1
四、零输入响应和零状态响应
(3) 零状态响应 izs''(t) +7izs'(t) +10izs (t) = e''(t) + 6e'(t) + 4e(t) 其解的形式为： izs(t) = Azs1e-2t + Azs2e-5t + B(t)，t≥0 由于，e(t) =4，因此，其特解 B(t) = 8/5。 另外，要求解Azs1、Azs2，必须首先确定izs(0+)、 izs'(0+)。
四、零输入响应和零状态响应
练习 某二阶LTI连续系统的起始状态为x1(0-)和 x2(0-) ，当x1(0-)=1、x2(0-)=0时，其零输入响应为： yzi1(t)= e–t + e–2t ， t≥0 当x1(0-)=0、x2(0-)=1时，其零输入响应为： yzi2(t)= e–t - e–2t ， t≥0 当x1(0-)=1、x2(0-)=1，输入激励为f(t)时，其零输入 响应为： yzi(t)= 2 + e–t ， t≥0 求:当x1(0-)=3、x2(0-)=2，激励为2f(t)时系统的全响应。