冀教版九年级下册数学精品导学案 第三十章二次函数 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
冀教版九年级数学下册精品课件：30.2 二次函数的图像和性质 第3课时
30.2 二次函数的图像和性质 第3课时
2019/6/16
1
学习目标
1.会画二次函数一般式 y=ax²+bx+c 的图像； 2.配方法求二次函数一般式 y=ax²+bx+c 的顶点坐标与
对称轴；（重点） 3.掌握二次函数的性质；（重点） 4.二次函数的性质的综合应用.（难点）
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二次函数 y=ax²+bx+c的图像和性质
问题：
如何画出
y
1 2
x2
6x 21 的图像呢?
我们知道,像y =a(x-h)2+k 这样的函数,容易确定相应抛物
线的顶点为(h,k),
二次函数
y
1
x2
6
x
21
也能化成这样的
形式吗？
2
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6
1 2
用配方法
1 2
∵a =根据表> 达0,式∴开口向上;
确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
对称轴:直线x=6; 顶点坐标:(6,3).
（1）列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
x
…3 4 5 6 7 8 9…
y 1 x 62 3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
2
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由a,b和c的符号确定
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图像
和性质
1D 2A 3B 4C 5C
提示：点击 进入习题
6D 7 见习题 8C 9B 10 D
答案显示
11 D 12 B 13 B 14 h≥1 15 见习题
提示：点击 进入习题
16 见习题
解：当x＜－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有 最大值．
8．【易错：混淆左右平移后表达式的特点而致错】将函数y＝x2 的图像向
左平移2个单位长度后，得到的新图像的表达式是( )
A．y＝x2＋2
B．y＝x2－2
C．y＝(x＋2)2
C
D．y＝(x－2)2
9．【2020·浙江衢州改编】二次函数y＝x2的图像平移后经过点(2，0)，则下
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC .
解：过点C作CD⊥x轴于D. 将C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2中，得b＝－4，即点C的坐标为(－ 3，－4)，∴S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝ ×3×(1＋4)－ ×4×(3－1)－
×1×1＝3.
1
1
1
2
2
2
17．已知抛物线y＝x2如图所示． (1)将抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度后，经过点A(0，3)，试求m的值；
解：由题意得，平移后得到的抛物线表 达式为y＝ (x－m)2. 把点A(0，3)的坐标
1 代入上式，得3＝ (0－m)2，解得m1＝3，m2＝－3. 3 ∵m>0，∴m＝3.
1 3
(2)画出(1)中平移后的图像； 解：如图所示．
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在 新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐 标．
2020春冀教版九年级数学下册 第30章 【教案】 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二、解决问题
由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－ x2＋x－ 的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－ x2＋x－ 的图像，进而观察得到这个函数的性质。
说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。
三、做一做
1．请你按照上面的方法，画出函数y＝ x2－4x＋10的图像，由图像你能发现这个函数具有哪些性质吗?
教学要点
(1)在学生画函数图像的同时，教师巡视、指导；
(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。
2．通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？
作业
设计
必做
选做
教学
反思
教学要点
(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图像的开口方向有什么关系?这个值与函数图像的顶点坐标有什么关系?
以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图像与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
教
学
目
标
知识
和
能力
1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图像。
2．使学生掌握用图像或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
九年级数学下册 30 二次函数教案 (新版)冀教版
第三十章二次函数1.从实际问题中建立二次函数,理解二次函数的意义.2.会用描点法画二次函数的图像,通过观察图像了解二次函数的性质.3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,能说出图像的开口方向,画出函数图像的对称轴.4.知道给出不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.5.了解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.6.能利用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题,进一步体会模型思想和函数思想,发展应用意识.1.经历从实际问题情景中建立二次函数模型的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的关系,培养学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.2.经历探究二次函数的图像和性质的过程,了解从特殊到一般的认识过程,学会合情推理,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.通过作图、类比、归纳等数学活动,逐步完善对二次函数的图像与性质的认识,积累与他人合作、探究、交流的经验,获得数学知识与技能.3.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.4.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会建模思想,获得用数学方法解决实际问题的经验,培养学生的应用意识.5.通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了一次函数、反比例函数的基础上,学习的又一类重要函数,是函数内容的继续和延伸,是对函数及其应用的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,二次函数的图像也是人们最为熟悉的曲线之一.同时,二次函数的相关性质也是解决最优化问题的理论基础,它与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,是初中许多知识的总结.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.本章内容从实际情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,二次函数无论是表达式还是函数图像、性质以及应用都要比前面学习的正比例函数、一次函数和反比例函数复杂,所以数学思想和方法在本章体现得尤为重要,待定系数法、配方法得到进一步理解,函数思想、模型思想和数形结合思想得到进一步提升.对于某些解决实际问题的安排,目的是加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.【重点】了解二次函数的意义;理解二次函数的图像及其性质;能根据二次函数的图像与性质解决有关实际问题;体会二次函数与一元二次方程的关系.【难点】理解二次函数的图像及其性质;理解二次函数与一元二次方程的关系;能应用二次函数的性质解决实际问题.1.本章是初中阶段函数内容的最后一章,也是代数部分的最后一章,因此在教学中要重视知识之间的联系,如对正比例函数、一次函数、反比例函数的表达式、图像及性质进行比较,体会二次函数和一元二次方程的关系等,提高学生综合运用知识解决数学问题的能力.2.在教学过程中重视数学思想和方法的渗透,类比一次函数、反比例函数的探究方法,探究二次函数的概念、图像和性质.用配方法将二次函数表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,进而确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴.让学生经历二次函数的图像、性质的形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用.由不共线三点的坐标确定二次函数表达式,是对待定系数法的进一步认识.用二次函数解决实际问题,体会建模思想是将实际问题转化为数学问题的重要思想.3.在教学中重视二次函数在数学中的应用,常常体现在对数学知识的应用上,二次函数模型是非常重要的模型,应用十分广泛.因此,让学生亲身经历把实际问题抽象为数学问题的过程,进一步体会建模思想,培养应用意识.4.在教学过程中,要努力营造学生自主探究、合作交流的环境,在探究二次函数的概念、图像、性质、应用及二次函数与一元二次方程的关系的过程中,给学生充足地操作、观察、思考、交流、归纳总结等数学活动的空间和时间,让他们亲身经历知识的形成过程,让学生通过思考感悟思想方法,体验成功的快乐.30.1二次函数1课时30.2二次函数的图像和性质3课时30.3由不共线三点的坐标确定二1课时次函数30.4二次函数的应用3课时30.5二次函数与一元二次方程的1课时关系回顾与反思1课时30.1二次函数1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.1.经历从实际问题中建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会数学与生活密切相关.2.通过进一步体验用数学方法描述变量之间的数量关系,提高学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过对一些实际问题中两个变量之间关系的探究,进一步增强用数学方法解决实际问题的能力.2.让学生经历二次函数概念的形成过程,提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.3.通过探索实际问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.【重点】理解二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.【难点】经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P26~27.导入一:出示投篮图片:【导入语】如果一种函数的图像就如投出的篮球在空中划过的一条抛物线,我们一定会觉得很有趣.这种函数就是这章要学习的二次函数.[设计意图]通过欣赏图片,让学生初步感受二次函数的存在以及二次函数的图像是一条抛物线,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.导入二:思考:1.什么是一次函数、反比例函数?2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?y是x的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗?3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?[设计意图]通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.[过渡语]我们学习一次函数、反比例函数时,在实际问题中抽象出函数的概念,然后研究它们的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——二次函数.一起探究(课件展示)1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n块瓷砖.思路一教师引导学生思考并回答:(1)设灰色瓷砖的总数为y块.①用含n的代数式表示y,则y=.②y与n具有怎样的函数关系?(2)设白色瓷砖的总数为z块.①用含n的代数式表示z,则z=.②z是n的函数吗?说说理由.【师生活动】学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系.(板书)(1)y=4n+6,一次函数.(2)z=n2+n-6,z是n的函数.思路二思考:(1)在实际问题中抽象出函数关系的关键是什么?(2)设灰色瓷砖的总数为y块,白色瓷砖的总数为z块,你能分别找到y与n,z与n之间的等量关系吗?(3)你能根据以上等量关系分别用含n的代数式表示y,z吗?(4)y与n、z与n之间是函数关系吗?如果是,是什么函数关系?如果不是,请说明理由.【师生活动】学生独立思考后,小组讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示讨论结果,教师及时补充并归纳建立函数模型的关键是找等量关系.(3)y=4n+6,一次函数.(4)z=n2+n-6,z是n的函数.(课件展示)2.某企业今年第一季度的产值为80万元,预计产值的季平均增长率为x.思路一教师引导分析:(1)设第二季度的产值为y万元,则y=.设第三季度的产值为z万元,则z=.(2)y,z都是x的函数吗?它们的表达式有什么不同?【师生活动】学生在教师的引导下思考并回答问题,教师点评并板书.(板书)(1)y=80x+80,一次函数.(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.思路二思考:(1)设第二季度的产值为y万元,第三季度的产值为z万元,你能用含x的代数式分别表示y,z吗?(2)y,z都分别是x的函数吗?【师生活动】学生思考后,小组内交流答案,学生板书,教师点评.(板书)(1)y=80x+80,一次函数.(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.[设计意图]通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做好铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.形成概念观察下面两个函数:z=n2+n-6,z=80x2+160x+80,思考:(1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同?(2)这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少?(3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?【师生活动】学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳二次函数的概念.(课件展示)一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.(1)二次项系数能不能为0?一次项系数和常数项呢?为什么?(2)如何判断一个函数是不是二次函数?(3)二次函数的一般形式与一元二次方程的一般形式有什么关系?(4)函数y=x2+2x+,y=-x2+x+5,y=3x2,y=-x2+6是不是二次函数?【师生活动】学生独立思考后,小组内合作交流,学生回答问题后,师生共同归纳二次函数的特征:(课件展示)(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.[设计意图]通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.大家谈谈(课件展示)1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同.【师生活动】学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,其他学生补充,教师点评.[设计意图]通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系.例题讲解[过渡语]我们通过实例归纳总结了二次函数的定义,试试能不能解决下列问题..(课件展示)例1(补充)若y=(m+1)是二次函数,则m的值为.【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,教师讲解分析过程并强调易错点.解:∵二次函数的自变量x的最高指数是2,∴m2-6m-5=2,由二次项系数不为0,得m+1≠0,解得m=7.【易错点】常忽略二次项系数不为0.做一做新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学,每两人之间都握手一次,用y表示全班同学握手的总次数.(1)请用含m的代数式表示y,说明y是m的二次函数,指出该函数中对应的a,b,c的值.(2)若全班有45名同学,则这样握手的总次数是多少?教师引导分析:全班共有人,每个人要与人握手一次,则每两人之间都握手一次共握手次,则y与m的函数关系式为.【师生活动】学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评.[设计意图]通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣.[知识拓展]1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:(1)正确辨别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式;(4)确保自变量有意义.2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a≠0.3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)叫做二次函数的一般式.4.当a≠0时,y=ax2+bx+c才是二次函数.当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.5.在y=ax2+bx+c(a≠0)中,x的取值范围是全体实数.6.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了.1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数叫做二次函数.2.二次函数满足的条件:(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x取任意实数,但在实际问题中要有实际意义.4.根据实际问题写出函数表达式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列函数表达式.1.下列各式中,y是x的二次函数的是()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=ax(a≠0)解析:选项A,B,D中自变量x的最高指数都是1,是一次函数,只有选项C符合二次函数的定义.故选C.2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则它的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()A.1,-3,5B.1,3,5C.5,3,1D.5,-3,1解析:二次函数中二次项系数为5,一次项系数为-3,常数项为1.故选D.3.若y=(m+2) 是二次函数,则m的值为.解析:根据二次函数的定义,得m2-2=2,且m+2≠0,解得m=2.故填2.4.若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)之间的关系式为s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为.解析:把t=4代入函数表达式,得s=5×16+2×4=88.故填88米.5.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系;(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;(4)某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,试写出两年后的产量y(台)与x的函数关系式.解:(1)S=6a2,二次函数.(2)y=π=,二次函数.(3)y=10000+10000×1.98%x=10000+198x,一次函数.(4)y=30(1+x%)2,二次函数.30.1二次函数一起探究形成概念大家谈谈例题讲解做一做一、教材作业【必做题】教材第27页习题A组的1,2,3题.【选做题】教材第28页习题B组的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列函数是二次函数的是()A.y=2x2+9B.y=mx2+2x-1C.y=2x2++1D.y=2.若y=(m2+m)-1是关于x的二次函数,则()A.m=-1或m=3B.m≠-1且m≠0C.m=-1D.m=33.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数项的和为()A.1B.-2C.7D.-64.若函数y=4x2+1的函数值为5,则自变量x的值应为()A.1B.-1C.±1D.5.二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.6.如果函数y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,那么a的取值范围是.7.菱形的两条对角线长度的和为26 cm,则菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式为.8.若y=(m+1)-2x+3 是y关于x的二次函数,求m的值.9.在如图所示的一张长、宽分别为 50 cm 和 30 cm 的矩形铁皮的四个角上,各剪取一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为x cm,长方体铁皮箱的底面积为y cm2.(1) 求y与x之间的函数表达式;(2) 写出自变量x的取值范围;(3)当x=5 cm时,求铁皮箱的底面积.【能力提升】10.下列函数关系中,可以看成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是()A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行使的时间的关系B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系C.矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系D.圆的周长与半径之间的关系11.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现: 这种商品的销售量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系式,y是x的二次函数吗?【拓展探究】12.如图所示,用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形形状的地面, 请观察下列图形并解答有关问题:(1)在第n个图形中,每一横行共有块瓷砖,每一竖列共有块瓷砖(均用含n的代数式表示);(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的n的函数关系式;(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求n的值.【答案与解析】1.A(解析:B中的函数当m=0时不是二次函数;C,D中的函数表达式的右边不是整式的形式,所以不是二次函数.故选A.)2.D(解析:由题意,得m2-2m-1=2且m2+m≠0,解得m=3.故选D.)3.B(解析:∵二次项系数为2,常数项为-4,∴2+(-4)=-2.故选B.)4.C(解析:由题意有4x2+1=5,解得x=±1.故选C.)5.2-20(解析:化简可得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.)6.a≠1(解析:因为二次函数中二次项系数不为0,所以a-1≠0,即a≠1.)7.S=-x2+13x(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线的长为26-x,由菱形的面积公式可得S=x(26-x)=-x2+13x.)8.解:∵y=(m+1)-2x+3 是y关于x的二次函数,∴m+1≠0且m2+1=2,∴m=1.9.解:(1)根据题意,有y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160x+1500. (2)根据实际意义2x<30,即x<15.又x>0,所以自变量的取值范围是0<x<15. (3)当x=5时,y=800 cm2,∴当x=5 cm,铁皮箱的底面积是800 cm2.10.C(解析:设矩形周长为a,其中一边长为x,则另一边长为-x,则面积S=x=-x2+x,是二次函数.故选C.)11.解:由题意可知,该商品每件的利润为(x-30)元.则依题意,得y=(162-3x )(x-30),即y=-3x2+252x-4860 ,由此可知y是x的二次函数.12.解:(1)(n+3)(n+2)(2)由题意有,y=(n+3)(n+2),整理得y=n2+5n+6. (3)由题意,得(n+3)(n+2)=506,解得n1=-25(舍去),n2=20,∴n的值为20.本节课由实际问题导入新课,引导学生经历问题情景——建立数学模型——归纳总结的过程,掌握二次函数的有关概念.一起探究实际生活中的函数表达式时,教师把问题设计成问题串的形式,降低学生的理解难度,让学生体验成功的快乐.在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作学习中获取知识的形成过程,激发学生的学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人合作,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识.本节课经历从实际问题中建立函数模型,形成二次函数的概念,由于前面的学习经历了一次函数、反比例函数概念的形成过程,误认为学生类比前面的探究思路,通过自主学习会掌握二次函数的有关概念,所以在一起探究二次函数的知识形成时,过于急躁,造成概念中的细节问题掌握不牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏了学习数学知识的严谨性.所以课堂上要重视探究知识的过程,淡化某个问题的结论.二次函数是一种常见的函数,许多实际问题往往可以建立二次函数的模型加以研究.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数表达式的过程,让学生在探究过程中亲自去“做”,在“做”中感悟这类函数的特征,从而掌握二次函数的概念.在探究过程中给学生交流的时间和空间,培养学生与他人合作的精神,提高分析问题、解决问题的能力.例题的讲解教师要放手让学生思考、交流、展示,让学生成为课堂的主人.练习(教材第27页)1.解:(1)a=-5,b=3,c=1. (2)因为y=(x+1)2-1=x2+2x,所以a=1,b=2,c=0. (3)a=-1,b=0,c=6.2.解:y=x(x-2)=x2-2x,y是x的二次函数,且a=1,b=-2,c=0.习题(教材第27页)A组1.解:(1)(2)(5)(6)是二次函数.2.解:y=x2,y是x的二次函数.3.y=120(1-x)2=120x2-240x+120.B组1.解:如下表所示:x-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3y=x2+2x+3 18 11 6 3 2 3 6 11 18y=-2x2-21 -7 3 9 11 9 3 -7 -21-4x+92.解:当x=4或x=-6时,y的值是27.建立数学模型,类比归纳概念二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的、重要的函数,不仅和学生以前学过的一元二次方程有着密切的联系,而且对培养学生理解“数形结合”的数学思想具有重要作用.而二次函数的概念是以后学习二次函数的基础,在整个教材体系中起着承上启下的作用.本节课要学习的内容是二次函数的概念,通过具体实例中的变量关系的特征,感受二次函数的特征和意义,从而形成二次函数的初步认识,本节课的重点是经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.对于九年级的学生来说,前边已经学习了一次函数和反比例函数,对于函数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识,所以引导学生用类比的方法探究二次函数的有关概念.本节课依据教材实例引导学生分析、思考,通过自主探索与合作交流,得到相关的函数表达式,分析所得到的关系式存在的共同特点,由学生归纳,得到二次函数的概念和一般形式,这样很自然地突破了本节课的难点,学生经历知识的形成过程,培养创新意识和实践能力,提高数学的应用意识.已知y=(m2+m)+2x-1.(1)当m为何值时,y=(m2+m)+2x-1是二次函数?(2)当m为何值时,y=(m2+m)+2x-1是一次函数?解:(1)由m2+m≠0,得m≠0且m≠-1.由m2-2m-1=2,得m=3或m=-1.所以当m=3时,y=(m2+m)+2x-1是二次函数.(2)由m2+m=0,得m=0或m=-1.由m2-2m-1=1且m2+m≠-2,得m=1±.由m2-2m-1=0,得m=1±.所以m=0,-1,1±,1±时,y=(m2+m)·+2x-1是一次函数.30.2二次函数的图像和性质1.知道二次函数的图像是一条抛物线,会用描点法画二次函数的图像.2.能根据二次函数的图像理解和掌握二次函数的性质.3.能用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此确定二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.4.能应用二次函数的图像和性质解决有关问题.1.通过学生动手作图、观察、类比、小组合作、归纳总结等方法,经历体验二次函数性质的探究过程,渗透从特殊到一般、由具体到抽象的思考方法.2.通过二次函数的图像探究二次函数的性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.3.经历探究抛物线y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k同y=ax2的图像的平移规律,体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程.4.通过操作、观察、交流、归纳等探索活动,进一步感悟函数思想,增强对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.5.通过二次函数的图像和性质解决有关问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.。
2020春冀教版九年级数学下册 第30章 【学案】 二次函数y=ax2的图像和性质
二次函数2ax y =的图像和性质一、明确学习目标1、会用描点法画出二次函数2ax y =的图像，掌握二次函数2ax y =性质。
2、经历探索二次函数2ax y =的图像与性质的过程，能运用二次函数2ax y =的图像及性质解决简单的实际问题，掌握数形结合的数学思想方法。
3、通过数学学习活动，体会数学与实际生活的联系，感受数学的实际意义，激发学习兴趣。
二、自主预习预习教材，填表画图，并初步完成自主预习区。
三、合作探究活动1 探究2ax y =)0(≠a 的图像 1、用描点法画2x y =的图像。
（1）用描点法画图像通常有哪些步骤？ （2）列表时，应注意什么问题？x… 3- 2- 1- 0 1 2 3 … 2x y =……（3）描点时应以哪些数值作为点的坐标？ （4）连线时应注意什么？2、思考与归纳让学生观察师生所画的图像，给出抛物线的概念。
并说明：二次函数2x y =的图像是一条抛物线，实际上，二次函数的图像都是抛物线。
思考：（1）思考表格中的数据是否反映了一种规律？（2）观察图像，这条抛物线有什么特征？请把你的发现说出来。
教师引导：任取一个x 的值，计算出相应y 的值，验证一下这个点关于y 轴的对称点是否也在这条抛物线上，从而给出抛物线的对称轴、顶点等概念。
学生观察、探究、交流、总结。
活动2 在同一坐标系中画出函数221x y =，22x y =的图像与2x y =的图像相比，有什么共同点和不同点，学生讨论后回答，教师点拨。
猜想：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由谁决定的？活动3 探究：在同一坐标系中画出函数2x y -=，221x y -=和22x y -=的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。
活动4 进一步探究，抛物线2x y =与2x y -=有什么关系？由此猜想2ax y =与2ax y -=的关系。
活动5 小组讨论例 1 填空：①函数2)2(x y -=的图像是_________，顶点坐标是_______，对称轴是__________，开口方向__________。
2024年九年级数学下册第30章二次函数30.3由不共线三点的坐标确定二次函数教案(新版)冀教版
a + b + c = 0
4a + 2b + c = 3
解得：a = 3，b = -6，c = 3
所以，该二次函数的解析式为y = 3x^2 - 6x + 3。
例题4：
已知抛物线y = ax^2 + bx + c的图像过点(1, 2)，(2, 5)，(3, 10)，求a、b、c的值。
解答：
由于抛物线过点(1, 0)和(2, 0)，可以设抛物线方程为y = a(x - 1)(x - 2)。
顶点在直线x = 3上，所以顶点坐标为(3, k)。
将顶点坐标代入方程，得到k = a(3 - 1)(3 - 2) = 2a。
由于顶点在抛物线上，所以满足抛物线方程，代入顶点坐标得到k = a(3 - 1)(3 - 2) = 0。
- 在课堂教学中，通过提问、观察和即时测试等方式，了解学生对通过不共线三点的坐标确定二次函数的理解和掌握程度。
- 对学生在小组讨论和互动中的表现进行评估，观察学生的参与度、合作能力和解决问题的策略。
- 及时发现学生在学习过程中的困难和误区，针对性地进行解答和辅导，确保学生能够及时纠正错误，巩固知识点。
解答：
设二次函数的解析式为y = ax^2 + bx + c。
将已知点的坐标代入，得到以下方程组：
4a - 2b + c = 0
a + b + c = 0
4a + 2b + c = 6
解得：a = 1，b = -1，c = -2
所以，该二次函数的解析式为y = x^2 - x - 2。
九．课堂
1. 课堂评价
- 对学生在课堂上的表现给予正面反馈，鼓励学生积极思考、大胆提问，增强学生的学习自信心。
冀教版九年级数学下册教案30.2 二次函数的图像和性质 第3课时
30.2 二次函数的图像和性质
第3课时
教学目标
1.会运用配方法将二次函数一般式化为顶点式并能确定二次函数图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.
2.经历实践、观察、思考等数学活动,发展学生合情推理能力,学生能条理地、清晰地阐述观点.
教学重难点
【教学重点】
运用配方法将二次函数一般式化为顶点式.
【教学难点】
二次函数一般式化为顶点式的过程.
课前准备
无
教学过程
提出a，而不是除以a
＝a[x2＋2·b
2a x＋(
b
2a
)2－(
b
2a
)2]＋c
↑
加上一次项系数一半的
b
2a
2
b
2a
2
＝a[x2＋2·b
2a x＋(
b
2a
)2]－a·
b2
4a2
＋c
＝a(x＋b
2a )2＋
4ac－b2
4a
.
总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－
b 2a ,顶点坐标是(－
b
2a，
4ac－b2
4a
).。
冀教版九年级下册数学：第三十章 二次函数 302 二次函数的图像和性质 二次函数y=a(
目标回馈
1、通过几个形如 y a(x h)2 k 形式的二
次函数图像的对比分析，总结出 h 和 k 对于 图像的影响；
课本P34 表格
2、通过简单练习的实践过程，体会 h 和 k 的 作用.
★直接确定顶点坐标、对称轴、增减性、最值
★描绘抛物线草图（坐标系中大致位置）
——便于今后解决问题
独立思考，点号抢答，+1
a决定：抛物线开口方向和大小
任务一
y x2 y (x 3)2 y (x 2)2
1、三个函数图像形状是否相同？为什么？
2、三个图像有什么不同？这些不同点和表达 式有什么关系？其中的道理是什么？
研究方法建议：
◆先选择好自己的研究 方式，独立完成5分钟；
1、可以画出图像，观察发现； ◆再小组汇总3分钟；
任务二
◆任务：独立完成学案上4个问题， 每组4号上黑板（不用抄题，只
写空内答案） ◆时间： 5分钟 ◆评价：对组交换，1、2题每空1分，
小组平均分即为所加分数
独立思考，点号抢答，+1
由抛物线 y 2(x 4)2 6 ， 可以看作是由抛物线 y 2x2 经 过_向_右_平_移_4个_单_位_，_向_上_平_移_6_个_单_位_得到的. 它的开口___向_下___，顶点坐标是 _（_4_,6_）__,对称轴是__直__线_x_=4__，当 x=__4__时，函数y有最_大___值， 是___6___.当x增大时，y的变化 情况是__当__x<_4_时_，_y_随_x的__增_大_而_增_大__；__ ——当—x>—4时—，y—随x—的增—大—而减—小——.
由抛物线 y 5(x 1)2 4 ， 可以看作是由抛物线 y 5x2 经 过_向_左_平_移_1个_单_位_，_向_下_平_移_4_个_单_位_得到的. 它的开口___向_上___，顶点坐标是 （__-1_,-_4_）_,对称轴是__直_线__x=_-_1_，当 x=__-1__时，函数y有最_小___值， 是___-4___.当x增大时，y的变化 情况是__当_x_<_-1_时_，_y_随_x_的_增_大_而_减__小_；__
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第3课时 二次函数y=ax 2
+bx+c 的图像和性质
c bx ax y ++=2的顶点坐标公式
一、依标独学：
1.抛物线()2231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.
2. 二次函数解析式2()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式. 二、围标群学：
（一）、问题：（1）你能说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解：222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①
222
+-=x x y ②522
12++=x x y （5）归纳：二次函数的一般式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式： ，
因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；对称轴是 ，
（二）、用描点法画出122
1
2-+=x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ；
（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
（3）描点，并连线：
（4）观察：①图像有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；
②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小. ③该抛物线与y 轴交于点 . ④该抛物线与x 轴有 个交点.
x
... (12212)
-+=
x x y
…
x
y -1-2-3-4-5-6-7123-1
-2-3-4
1
2345
6
O。