河南省顶级名校2016届高三高考考前押题卷(一)——数学(理)
2016届河南省高三考前冲刺模拟卷(五)数学理科
2016届河南省高三考前冲刺模拟卷（五）数学理科理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{|24}A x x =<<，2{|60}B x x x =--≤，则()U A C B = （ ） A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(1,3) D ．(1,2)(3,4) 2.已知i 为虚数单位，1z m i =+，212z i =-，若12z z 为实数，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12- 3.已知,,,O A B C 为同一平面内的四个点，若20AC CB += ，则向量OC =（ ）A ．2133OA OB - B ．1233OA OB -C ．2OA OB -D ．2OA OB -+4.已知,a b 是实数，则“11()()33a b <”是“33log log a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A ．13 B ．13- C ．79 D ．79-6.设()f x 在定义域内可导，其图像如图所示，则导函数'()f x 的图象可能是（ ）7.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应该填的语句是（ ）A ．10?n >B ．10?n ≤C ．9?n <D ．9?n ≤8.已知实数,a b 满足23a =，32b =，则()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ） A ．(2,1)-- B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(1,2)9.已知不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，所表示的平面区域的面积为4，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．-3C ．1或-3D ．010.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．4 B ．203 C ．263D ．811.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =（ ） A ．122+ B ．422- C ．522- D ．322+12.已知函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且当(,0)x ∈-∞时，'()()0f x xf x +<恒成立（其中'()f x 是()f x 的导函数），若0.30.33(3)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，3311log (log )99c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.2(2|1|)x dx --=⎰.14.若函数()2x f x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 15.定义运算：(0)(0)x xy x y y xy ≥⎧∇=⎨<⎩，例如：343∇=，(2)44-∇=，则函数22()(2)f x x x x =∇-的最大值为 .16.设{}n a 是等比数列，公比2q =，n S 为{}n a 的前n 项和，记2117n nn n S S T a +-=，*n N ∈，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 所对边的长，且3cos cos 5a Bb Ac -=. （1）求tan tan AB的值； （2）若60A = ，求222sin ab Ca b c +-的值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90PAB ABC ∠=∠= ，//AD BC ，2PA AB BC AD ===，E 是PC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PBC ； （2）求二面角A PD E --的余弦值.19. （本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求分数在[50,60)的频率及全体人数；（2）求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（3）若规定：75分（包含75分）以上为良好，90分（包含90分）以上为优秀，要从分数在良好以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，设在抽取的试卷中，分数为优秀的试卷份数为X ，求X 的分布列及数学期望.20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为(2,0)A ，且C 过点3(1,)2-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)B 且斜率为11(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线,AE AF 分别交直线3x =于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.21. （本小题满分12分） 设函数1()ln af x x a x x-=-+. （1）若1a >，求函数()f x 的单调区间；（2）若3a >，函数22()3g x a x =+，若存在121,[,2]2x x ∈，使得12|()()|9f x g x -<成立，求a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接,AE BE ，APE ∠的角平分线与,AE BE 分别交于点,C D ，其中30AEB ∠= . （1）求证：ED PB PDBD PA PC∙=；（2）求PCE ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)A -，其倾斜角是α，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程是26cos 5ρρθ=-. （1）若直线l 和曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围； （2）设(,)B x y 为曲线C 上任意一点，求3x y +的取值范围. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()|3||4|f x x x =-+-. （1）求函数()2()g x f x =-的定义域；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.参考答案BDCBA BDBAB CB13. 3 14. (22ln 2,)-+∞ 15.4 16.4又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， ∴28sin cos sin cos 55A B B A =，∴tan sin cos 4tan sin cos A A BB B A==.（2）若60A = ，则tan 3A =，∴3tan 4B =. ∵222cos 2a b c C ab+-=，∴222sin sin 1tan 2cos 2ab C C C a b c C ==+-11tan tan 53tan()22tan tan 12A B A B A B +=-+=∙=--. 18.（1）因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90PAB ABC ∠=∠= ，//AD BC ， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，AD AB ⊥，如图，以点A 为坐标原点，分别以直线,,AD AB AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设22PA AB BC AD ====，E 是PC 的中点，则(0,0,2)P ，(1,0,0)D ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(1,1,1)E .于是(0,1,1)DE = ，(0,2,2)PB =- ，(2,2,2)PC =-，因为0DE PB ∙= ，0DE PC ∙=，所以DE PB ⊥，DE PC ⊥，因为PB PC P = ，所以DE ⊥平面PBC .（2）由（1）可知平面PAD 的一个法向量为1(0,2,0)n AB ==，设平面PCD 的法向量为2(,,)n x y z = ，因为(1,0,2)PD =- ，(2,2,2)PC =-，所以2200PD n PC n ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，所以202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 不妨设1z =，则2(2,1,1)n =-. 于是1226cos ,662n n -<>==-⨯.由题意可知，所求二面角为钝角，因此二面角A PD E --的余弦值为66-. 19.（1）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，全班人数为2250.08=. （2）分数在[80,90)的频率为25214-=，[80,90)间的矩形的高为40.0162510=⨯.（3）分数为良好的人数为9，优秀的人数为2.X 可能的取值为0,1,2，∴2921136(0)55C P X C ===，119221118(1)55C C P X C ===， 222111(2)55C P X C ===，∴X 的分布列为361814()01255555511E X =⨯+⨯+⨯=. 20.（1）依题得2222213142a b c a ba ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得2241ab ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）根据已知可知直线l 的方程为1(1)y k x =-. 由122(1)440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得2222111(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ，则211221841k x x k +=+，2112214441k x x k -=+，直线,AE AF 的方程分别为：11(2)2y y x x =--，22(2)2y y x x =--，令3x =， 则11(3,)2y M x -，22(3,)2y N x -，所以12121(3,())222yy P x x +--. 所以1112211212(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k k x x k x x k k x x --+--=⨯-- 211212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2221112211222111218824164414416164441k k k k k k k k k --+++=⨯--+++ 212141444k k -=⨯=-. 故12k k 为定值.21.（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2'2221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x -------=--==. 令'()0f x =，得11x =，21x a =-(1)a >.①当11a -<，即12a <<时，函数()f x 在(0,1)a -，(1,)+∞上单调递增，在区间(1,1)a -上单调递减； ②当11a -=，即2a =时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；③当11a ->，即2a >时，函数()f x 在区间(0,1),(1,)a -+∞上单调递增，在区间(1,1)a -上单调递减. （2）当3a >，即12a ->时，函数()f x 在区间1[,1)2上为增函数，在区间(1,2]上为减函数.所以函数()f x 在区间1[,2]2上的最大值为(1)20f a =-<.因为函数()g x 在区间1[,2]2上单调递增，所以()g x 的最小值为21()3024a g =+>. 所以()()g x f x >在1[,2]2x ∈上恒成立.若存在121,[,2]2x x ∈，使得12|()()|9f x g x -<成立，只需要1()(1)92g f -<，即23294a a ++-<，解得84a -<<.又3a >，所以a 的取值范围是(3,4).22.（1）由题意可知，EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，所以PED ∆～PAC ∆，所以PE PDPA PC=. 又PE ED PB BD =，所以ED PB PD BD PA PC∙=. （2）由EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，可得CDE ECD ∠=∠. 在ECD ∆中，30CED ∠= ，所以75PCE ∠= .23.（1）曲线C 的极坐标方程转化成直角坐标方程是22650x y x +-+=. 易知直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =+，其中tan k α=.联立22650(1)x y x y k x ⎧+-+=⎨=+⎩，消去y 得2222(1)2(3)50k x k x k ++-++=.因为直线l 和曲线C 有交点，所以22224(3)4(1)(5)0k k k ∆=--++≥，即3333k -≤≤，即33tan [,]33α∈-.所以5[0,][,]66ππαπ∈ . （2）曲线22:650C x y x +-+=的参数方程是32cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），所以点(,)B x y 的坐标可以写成(32cos ,2sin )θθ+， 所以3332sin 23cos 334sin()3x y πθθθ+=++=++.因为sin()[1,1]3πθ+∈-，所以3[334,334]x y +∈-+.24.（1）72,3()|3||4|1,3427,4x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，()f x 的图象与直线2y =交点的横坐标为52和92， 不等式()2()g x f x =-的定义域为59[,]22.（2）函数1y ax =-的图象是过点(0,1)-的直线， 结合图象可知，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞ .。
河南省六市2016届高三第一次联考(3月) 数学(理)Word版含标准答案
河南省六市2016届高三第一次联考(3月) 数学(理)Word版含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2016年河南省六市高三第一次联考试题数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|30},{1,}A x x x B a =-<=，且A B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)(1,3) C ．(0,1) D ．(,1)(3,)-∞+∞2、已知i 为虚数单位，a R ∈，若2i a i-+为纯虚数，则复数22z a i =+的模等于( ) A ．2 B ．11 C ．3 D ．63、若110a b<<，则下列结论不正确的是( ) A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b +< D ．a b a b +>+4、向量,a b 均为非零向量，(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为( )A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5、已知正弦数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和{}n S 都是等差数列，且公差相等，则6a =( )A ．114B ．32C ．72D ．1 6、实数,x y 满足01xy x y ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，使z a x y =+取得最大值的最优解有两个，则1z ax y =++的最小值为( ) A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-17、一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A ．433B ．533C ．23D ．8338、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为( )A ．14t ≥B ．18t ≥C ．14t ≤D ．18t ≤ 9、已知点12,F F 分布是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点，若21::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4C ．3D ．1510、三棱锥P ABC -中，15,6,AB BC AC PC ===⊥平面,2ABC PC =，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A ．253π B ．252π C ．833π D ．832π 11、一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数22(0)1x y x x=>+的图象上，如图，则此矩形绕x 旋转成的几何体的体积的最大值是( )A ．πB ．3πC ．4πD ．2π 12、已知函数()ln(2)x f x x =，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A ．1(,ln 2]3 B ．1(ln 2,ln 6)3-- C ．1(ln 2,ln 6]3-- D ．1(ln 6,ln 2)3- 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省顶级名校2016届高三高考考前押题卷(九))
河南省顶级名校2016届高三高考考前押题卷（九）一、选择题（本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列关于细胞结构和功能的叙述正确的有几项（）①遗传信息都储存在脱氧核糖核酸中②绿色植物线粒体内合成ATP常比叶绿体中光合作用合成的ATP多③细胞内转录时以DNA分子中的一条完整链为模版合成RNA④细胞内的小分子物质不会通过囊泡排出细胞⑤高尔基体形成的囊泡和细胞膜融合的位点是随机的⑥具有催化功能的转录产物不会有密码子A．1项B．2项C．3项D．4项2．某兴趣小组将某生长状态相同的植物进行不同处理，结果如图所示，下列相关叙述错误的是（）A．该兴趣小组研究的主要目的是探究植物激素对顶端优势的影响B．D和E实验说明生长素抑制剂和细胞分裂素作用的原理相同C．要证实内源生长素维持了顶端优势，至少要进行A、B、C实验D．此实验可知，生长素和细胞分裂素在调控顶端优势中表现为相互拮抗关系3．如图为来自某二倍体生物的染色体模式图，字母表示基因,下列有关判断错误的是（）A．1和3为同源染色体、4和5为非同源染色体B．4和5发生了染色体结构变异C．染色体l、2、3、4不可能同时出现在一个细胞中D．2和4在减数第一次分裂前期可以联会4．为了探究酵母菌的呼吸方式，按装置1图示配置实验材料和用具．若想得到实验结论·需设置装置2。
下列相关叙述不正确的是（）A．装置2中甲为等量的酵母菌溶液．乙为与NaOH溶液等量的蒸馏水B．若装置l和2中红色液滴移动的方向相反．则酵母菌既进行有氧呼吸也进行无氧呼吸C．装置1为实验组，装置2为对照组D．若要排除外界因素对实验的影响，可选取死亡的等量酵母菌．其他与装置2相同的作对照5．下列有关生物学研究中的相关叙述，正确的有几项（）①对酵母菌计数时，用吸管吸取培养液，滴满血球计数板的计数室及四周边缘，轻轻盖上盖玻片后镜检②探究温度对酶活性的影响，可选择过氧化氢溶液作为底物③在电子显微镜下拍摄到的叶绿体的结构照片属于物理模型④孟德尔遗传规律的研究过程和摩尔根果蝇眼色遗传的研究过程均用到了假说演绎法⑤在模拟细胞大小与物质运输的关系时，琼脂块表面积与体积之比是自变量，NaOH扩散速度是因变量⑥人们发现的第一种激素是由胰腺分泌的促胰液素⑦鉴定还原糖时，要先加入斐林试剂甲液摇匀后，再加入乙液⑧用鸡的红细胞可以获取较纯净的细胞膜⑨用纸层析法分离叶绿体中色素的实验结果中，蓝绿色色带最宽⑩观察DNA和RNA在细胞中分布的实验中，可选用洋葱鳞片叶内表皮细胞作为实验材料，甲基绿使RNA呈绿色，吡罗红使DNA呈红色A．五项B．四项C．三项D．二项6．中国是一个蝗灾频发的国家，治蝗问题备受关注。
【全国百强校】河南省郑州市第一中学2016届高三上学期联考理数试题(原卷版)
河南省郑州市第一中学2016届高三上学期联考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}12>=x x A ，{}1<=x x B ，则=B A （）A ．{}10<<x xB ．{}0>x xC ．{}1>x xD ．{}1<x x2.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数. 若复数z 满足29)52(=-z i ，则z =（ ） A ．25i + B ．25i - C ．25i -+ D ．25i --3.已知命题p ：“存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02≥x”，则下列说法正确的是（） A ．p 是假命题；p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x” B ．p 是真命题；p ⌝：“不存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02<x” C ．p 是真命题；p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x” D ．p 是假命题；p ⌝：“任意)1,(-∞∈x ，都有1)3(log 2<x”4.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（） A ．π320 B ．π6 C ．π310 D ．π3165.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若729=S ，则=++942a a a （ ） A ．8 B ．16 C ．24 D ．366.已知抛物线28y x =，点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点，记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ，则PQ d +的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．27.若在nx x )213(32-的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（） A ．2135- B ．-135 C ．2135 D ．1358.若实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且x y +的最大值为9，则实数m =（）A ．1B ．-1C ．2D ．-29.已知偶函数R x x f y ∈=),(满足：)0(3)(2≥-=x x x x f ，若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,log )(2x xx x x g ，则)()(x g x f y -=的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．410.已知实数m ，n ，若0≥m ，0≥n ，且1=+n m ，则1222+++n n m m 的最小值为（） A ．41 B ．154 C ．81 D ．31 11.如图，已知椭圆111:221=+y x C ，双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C ，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为（） A ．5 B ．5 C ．17 D ．714212.已知数列{}n a 共有9项，其中，191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则数列{}n a的个数为（）A ．729B ．491C ．490D ．243第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.执行右面的程序框图，若输出的结果为21，则输入的实数x 的值是________.14.若随机变量)1,2(~N ξ，且1587.0)3(=>ξP ，则=>)1(ξP ____.15.已知四面体P ABC -，其中ABC ∆是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，4PA =，则四面体P ABC -外接球的表面积为________.16.对于函数f(x)，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f --=，则称f(x)为准奇函数.给定下列函数：①11)(-=x x f ；②2)1()(-=x x f ；③3)(x x f =；④x x f cos )(=， 其中所有准奇函数的序号是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量)sin sin ,(C A b a m -+=，向量)sin sin ,(B A c n -=，且∥：（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设BC 中点为D ，且3=AD ：求a+2c 的最大值及此时ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0,10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； （Ⅲ）记X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X 的数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径， C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，41tan =∠EAB . （Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（Ⅱ）当三棱锥C-ADE 体积最大时，求二面角D-AE-B 的余弦值.20.（本小题满分12分）已知离心率为22的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 是圆1)1(22=+-y x 的圆心，过椭圆上的动点P 作圆的两条切线分别交y 轴于,M N （与P 点不重合）两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求线段MN 长的最大值，并求此时点P 的坐标.21.（本小题满分12分） 已知函数m mx x x f +-=ln )(. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0)(≤x f 在),0(+∞∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的0a b <<，求证：)1(1)()(+<--a a a b a f b f . 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点.（Ⅰ）求∠ADF 的度数；（Ⅱ）若AB=AC ，求AC ：BC.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=ty t x 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点. （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数,,a b c 满足0,0,0a b c >>>，且1abc =. （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++.高考一轮复习：。
精品：【全国百强校】河南省洛阳市第一高级中学2016届高三下学期第二次仿真模拟考试理数试题(原卷版)
河南省洛阳市第一高级中学2016届高三下学期第二次仿真模拟考试理数试题一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知复数312(2i z i i+=-为虚数单位),则||z =3. .1 .25A B C D 2. 设21:()1,:log 02xp q x <<,则p 是q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3. 执行如下程序框图,则输出结果为.5 .4 .3 .2A B C D4. 已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，③cos y x x =⋅，④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是.A ①④②③.B ①④③② .C ④①②③ .D ③④②①5. 已知sin()sin 032ππααα++=-<<，则2cos()3πα+等于4343. . . .5555A B C D --6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为4575.. . .3233A B C D 7. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过2F 作双曲线的渐近线的垂线，垂足为P ,则2212||||PF PF -=222222.4 .4 .3 .3A a B b C a b D a b ++8. 已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是57.. . .266A B C D ππππ 9. 已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是.A 若//,m n ααβ= ，则//m n .B 若,m m n α⊥⊥，则//n α.C 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ .D 若αβ⊥，n αβ= ，m n ⊥，则m β⊥10. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，22212b ac -=，则tan C = 11.2 . 2 . .22A B C D --11. 设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上不同的三点，0FA FB FC ++=，O 为坐标原点，且OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，则222123++=S S S .2 .3 .6 .9A B C D 12.如果函数()f x 在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<，满足1()()'()f b f a f x b a-=-，2()()'()f b f a f x b a-=-，则称函数()f x 是区间[,]a b 上的“双中值函数”.已知函数32()f x x x a =-+是区间[0,]a 上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是11311.(,) .(,3) .(,1) .(,1)32223A B C D二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 设,x y 满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的取值范围为_______.14. 安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为_______.15. 如图，直角梯形ABCD 中，o //,90,4AB CD DAB AD AB ∠===，1CD =，动点P 在边BC 上，且满足(,AP mAB nAD m n =+ 均为正实数)，则11m n+的最小值为_______．16. 已知函数3,[0,1]()93,(1,3]22x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当[0,1]t ∈时，(())[0,1]f f t ∈，则实数t 的取值范围是_____．三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈.(1)证明数列{}2nnS 为等差数列； (2)求12...n S S S +++. 18. (本小题满分12分)如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边4AB =，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图(2)）． (1)求证：PB DE ⊥；(2)若PE BE ⊥，直线PD 与平面PBC 所成的角为o30，求PE 长．19. (本小题满分12分)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为 “读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”(1)根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？(2)将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.20. (本小题满分12分)已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)(04)F x y r r +=-<<，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点,A B 满足：0MA MB =．(1)求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM ∆面积S 的最大值． 21. (本小题满分12分)设函数(),ln bxf x ax e x=-为自然对数的底数. (1)若曲线()y f x =在点 22(,())e f e 处的切线方程为2340x y e +-=，求实数,a b 的值； (2)当1b =时，若存在 212,[,]x x e e ∈，使12()'()f x f x a ≤+成立，求实数a 的最小值.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F .(1)证明：,,,C E F D 四点共圆；(2)若D 为BC 的中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0απ<<)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||OA OB +的值. 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()||,0f x x a a =-<． (1) 证明:1()()2f x f x+-≥； (2)若不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围．。
【全国校级联考】河南省新乡市名校学术联盟(卫辉一中)2016届高三高考押题卷(四)理数试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合231111,,,122i i i i i ⎧⎫-⎪⎪⎛⎫A =-+-⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭（其中i 为虚数单位），{}21x x B =<，则A B =（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．⎧⎪-⎨⎪⎩D ．【答案】D考点：集合的运算，复数的运算． 2. 已知1cos 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12± C D ．【答案】C 【解析】 试题分析：3cos cos cos cos cos sin sin cos 33326ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫+-=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=考点：两角和与差的余弦公式． 3. 下列命题正确的是（ ）A ．已知实数a 、b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0R x ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意R x ∈，均有210x ->”C ．函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点在区间11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内D ．设m ，n 是两条直线，α，β是空间中两个平面．若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥ 【答案】C考点：命题的真假判断．4. 如图，边长为1的正六边形CD F AB E 中，点M 为折线CD F B E A 上的一点，则使三角形MAB 的面积的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】试题分析：如图，当M 点在折线CD F E 上运动时，三角形MAB ，所以概率为35．考点：几何概型．5. 已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12F F P 的内切圆，PM 所在直线与x 轴的交点坐标为()1,0，与双曲线的一条渐近线平，则双曲线C 的离心率是（ ） AB ．2 CD【答案】C考点：双曲线的几何性质．6. 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”．由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88% 【答案】B 【解析】试题分析：由题中条件可知，该女子织布构成一个等差数列，设为{}n a ，首项15a =，第30项301a =，则公差为301430129a a d -==--，则前10日完成任务量为101094127010522929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-=⎪⎝⎭，而三十日织布总量为()303051902S ⨯+==，故103012700.492990S S ==⨯．考点：等差数列的的应用．7. 若等边三角形C AB 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足C C C x y M =A +B ，则当14x y+取最小值时，C C M ⋅N =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：设t AM =MB （0t >），则()C C C C t M -A =AM =B -M ，∴1C C C 11tt tM =A +B ++，所以1x y +=（0x >，0y >），∴()14144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13x =，23y =时，等号成立．所以22121112C C C C C C C C 332266⎛⎫⎛⎫M ⋅N =A +B ⋅A +B =A +B ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3C C 36+A ⋅B =． 考点：基本不等式与向量的数量积． 8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（02πϕ<<）与y 轴的交点为()0,1，且图象上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π【答案】A考点：三角函数的图象与性质．9. 执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．2048【答案】D 【解析】试题分析：由于20160-≤，由框图可知对x 反复进行加2运算，可以得到2x =，进而可得1y =，由于12015<，所以进行2y y =循环，最终可得输出结果为2048．考点：程序框图． 10. 已知n 为满足1232727272727CC C CS a =++++⋅⋅⋅+（3a ≥）能被9整除的正数a 的最小值，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第11项D ．第6项和第7项 【答案】B考点：二项式定理的应用．【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理．本题中还要注意二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大项的区别与联系．11. 已知三棱锥C S -AB 外接球的表面积为32π，C 90∠AB =，三棱锥C S -AB 的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】A考点：三视图．【名师点睛】本题涉及到三棱锥的外接球问题，因此要确定外接球的球心位置，对于这部分知识主要要记住长方体、正方体的的对角线就是其外接球的直径，因此在棱锥的外接球问题中，经常把棱锥构造成长方体，由三视图得出三棱锥中的线面垂直关系，是解题的关键．“长对正、高平齐、宽相等“是我们画三视图原则，明确侧视图三角形的高是SC ，底边长是三棱锥底面ABC ∆的边AC 上的高，就可以找到正确的解题途径．12. 设满足方程()()2222ln 30a a b c mc d-+-++=的点(),a b ，(),c d 的运动轨迹为曲线M 和曲线N ，若曲线N 与曲线M 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在两个交点（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，是自然对数的底数），则实数m 的最大值为（ ）A ．4B ．42ln 3+C ．32e e ++D ．132e e+- 【答案】C 【解析】考点：导数的综合应用．【名师点睛】本题可归于创新类题，解题时关键是等价转化．首先由曲线的方程确定两曲线，其次两曲线的交点就是两函数图象的交点，就是方程的根，从而最终问题转化为研究函数的单调性与极值，解题过程中的不断转化要注意转化的等价性及问题的简单化原则．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数()2ln log 1f x a x b x =++，()20163f =，则12016f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】－1 【解析】 试题分析：()22016ln 2016log 201613f a b =++=，∴2ln 2016log 20162a b +=，()22111ln log 1ln 2016log 201611201620162016f a b a b ⎛⎫=++=-++=- ⎪⎝⎭． 考点：对数的运算．14. 抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则F Q ∆P 外接圆的标准方程为 ．【答案】()2212x y -+=或()2212x y ++=．考点：圆的标准方程．15. 已知x ，y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为 ． 【答案】 【解析】试题分析：先画出x ，y 满足41y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如下图阴影部分所示：由14x x y =⎧⎨+=⎩，得()1,3A ，由1x y x=⎧⎨=⎩，得()1,1B ，由图得，y k k x OB OA ≤≤，∴13yx ≤≤，因为22222232312y xy x y y y x x x x -+⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以[]2122,6y x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． 考点：简单线性规划的非线性运用．【名师点睛】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．16. 在C ∆AB 中，6πA =且21Csin cos 22B =，C B ，则C ∆AB 的面积等于 ．考点：解三角形，三角形的面积．【名师点睛】本题考查解三角形，对三角形中的边角都应该涉及，由已知21Csin cos 22B =得sin 1cos C B =+，从这个等式要能得出C 为钝角，从而B 为锐角，再由6A π=得56B C π+=代入可求得角,B C ，从而知这是一个等腰三角形，其中a b =，已知的一条线段BM 是腰上的高，因此只能用余弦定理求得腰长，选用公式1sin 2S ab C =得面积．在解三角形时，要注意分析已知条件选用恰当的公式，在求角是注意三角形的内角的范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，11a =，且()24331a a a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32333431log log log log n n b a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 【答案】（1）13n n a -=；（2）21nn +．考点：等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和，裂项相消法求和． 18. （本小题满分12分）如图（1），在三角形CD P 中，AB 为其中位线，且2D C B =P =CD =，若沿AB 将三角形PAB 折起，使D 120∠PA =，构成四棱锥CD P -AB ，且C CD2F C P ==P E． （1）求证：平面F BE ⊥平面PAB ；（2）求平面C PB 与平面D PA 所成的二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2（2）以A 点为原点，以AB 为x 轴，D A 为y 轴，面D AB 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，由（1）知BA ⊥平面D PA ，所以z 轴位于平面D PA 内，所以30z ∠PA =，P 到z 轴的距离为1，∴(0,P -，同时知()0,0,0A，)B，()C 2,0，（8分）设平面C PB 的一个法向量为(),,n x y z =，所以0C 0n n ⎧⋅PB =⎪⎨⋅B =⎪⎩，考点：面面垂直的判断，二面角．19. （本小题满分12分）某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100110的学生数有21人．（1）求总人数N和分数在110115分的人数n；（2）现准备从分数在110115的n名学生（女生占13）中选出3位分配给A老师进行指导，设随机变量ξ表示选出的3位学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望ξE；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．对他前7次考试的数学成绩x（满分150分）、物理成绩y进行分析．该生7次考试的成绩如下表：已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 【答案】（1）60,6N n ==；（2）分布列见解析，期望为1；（3）115．所以随机变量ξ的数学期望为()1310121555ξE =⨯+⨯+⨯=（8分） （3）12171788121001007x --+-++=+=；69844161001007y --+-+++=+=；由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到4970.5994β==，1000.510050α=-⨯=，∴线性回归方程为0.550y x =+． ∴当130x =时，115y =．（12分） 考点：频率分布直方图，随机变量分布列，数学期望，线性回归方程． 20. （本小题满分12分）设椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x ya b+=相切，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()Q 4,0-任作一直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记Q Q λM =N ．若在线段MN 上取一点R ，使得R R λM =-⋅N ．试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）点R 在定直线1x =-上．设点R 的坐标为()00,x y ，则由R R λM =-⋅N 得()0120x x x x λ-=--，解得()()112121212201122424441814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅++-+===+-++++．（10分）又()221212222641232242424343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++， ()212223224883434k x x k k -++=+=++，从而()()12110122418x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上．（12分）考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交，解析几何中的定直线问题．【名师点睛】求解点在定直线问题，“定”必与“动”联系在一起，象本题，设出点的坐标为00(,)x y ，动直线MN 为(4)y k x =+，同时设交点为()11,x y M ，()22,x y N ，下面就是通过12,x x （或12,y y ）把“动”有参数k 与坐标00(,)x y 建立联系，通过在解题过程是消去参数k ，得出00(,)x y 所满足的直线方程．这也是我们解决这类问题的一般方法． 21. （本小题满分12分） 已知函数()2xf x e ax bx =--．（1）当0a >，0b =时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数； （2）当b a =时，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：()12ln 22x x a +<． 【答案】（1）当20,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有0个零点；当24e a =时，有1个零点；当2,4e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，有2个零点；（2）证明见解析．（2）由已知()2xf x e ax ax =--，∴()2xf x e ax a '=--，1x ，2x 是函数()f x 的两个不同极值点（不妨设12x x <）， ∴0a >（若0a ≤时，()0f x '>，即()f x 是R 上的增函数，与已知矛盾）， 且()10f x '=，()20f x '=．∴1120x e ax a --=，2220x e ax a --=．两式相减得：12122x x e e a x x -=-，（8分）于是要证明()12ln 22x x a +<，即证明1212212x x x x e e ex x +-<-，两边同除以2x e ，即 证12122121x x x x e ex x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-，（10分） 即证()121221210x x x x x x ee ----+>，令12x x t -=，0t <．即证不等式210t tte e -+>，当0t <时恒成立．考点：函数的零点，函数的极值，导数的综合应用．【名师点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用．（1）在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．（2）在证明有关极值点或零点12,x x 的有关不等式时，由于函数中含有参数，极值点（或零点）12,x x 也不可能求出，因此我们要首先利用极值点或零点的定义，建立起12,x x 与参数（如本题中的a ）的关系，特别是把参数用12,x x 表示出来，这样待证不等式中的参数a 就可转化为12,x x ，因此不等式只是关于12,x x 的不等式，然后再变形，利用换元法，设12,0t x x t =-<（或21,0t x x t =->），在0x >的情况下也可设12,01x t t x =<<（或21,1xt t x =>），这样不等式就可转化为关于t 的不等式恒成立，这又可利用函数的知识进行证明求解．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点C 为圆O 上一点，C P 为圆的切线，C E 为圆的直径，C 3P =． （1）若PE 交圆O 于点F ，16F 5E =，求C E 的长；（2）若连接OP 并延长交圆O 于A 、B 两点，CD ⊥OP 于D ，求CD 的长．【答案】（1）4；（2．考点：切割线定理，相似三角形，直角三角形的性质及应用． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是243x ty t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）求曲线C 上任意一点到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，直线l 的普通方程为3460x y -+=；（2）145．【解析】考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-（R a ∈）．（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；（2）当()2,1x ∈-时，()121x x a f x ->---，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}11x x x ><-或；（2）(],2-∞-． 【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式，可利用绝对值定义分类去绝对值符号，化绝对值不等式为一般的一元一次不等式，从而得解；（2）不等式()121x x a f x ->---化为121x x a x a -+->--，由绝对值的性质有1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，其中等号成立的条件是(1)()0x x a --≥，因此题中不等式中x 满足(1)()0x x a --<，这样问题可转化为当(2,1)x ∈-时，(1)()0x x a --<，由二次不等式的考点：解绝对值不等式，绝对值不等式的性质．：。
2016年河南省信阳市、三门峡市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年河南省信阳市、三门峡市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|0.3x＜1}，B＝{x|x＜x2﹣2}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0＜x≤1}2．（5分）已知复数z1＝2+2i，z2＝1﹣3i（i为虚数单位），那么复数所对应的点在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设命题p：∀x＞0，lnx＞lgx，命题q：∃x＞0，＝1﹣x2，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q4．（5分）某同学有6本工具书，其中语文1本、英语2本、数学3本，现在他把这6本书放到书架上排成一排，则同学科工具书都排在一起的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，一条渐近线的方程为y＝x，则e＝（）A．B．C．2D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．2B．﹣C．3D．7．（5分）某几何体的三视图细图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．13C．18D．208．（5分）在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||＝3||，当＝x +y时，x﹣y＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．39．（5分）刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为．后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即V牟＝r3﹣V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，为从而计算出V球＝πr3．记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，则＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示，把f（x）的图象上各点向左平移单位，得到函数g（x）的图象，则g（）＝（）A．﹣1B．1C．﹣D．11．（5分）已知O为坐标原点，M（x，y）为不等式组表示的平面区域内的动点，点A的坐标为（2，1），则z＝•的最大值为（）A．﹣5B．﹣1C．1D．012．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c ＝2（b﹣cos C），则△ABC周长的取值范围是（）A．（1，3]B．[2，4]C．（2，3]D．[3，5]二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知函数y＝f（x）+x3为偶函数，且f（10）＝10，若函数g（x）＝f（x）+6，则g（﹣10）＝．14．（5分）如图所示的一系列正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下：4＝224+12＝16＝424+12+20+36＝624+12+20+28＝64＝82…由上述事实，请推测关于n的等式：．15．（5分）已知a＝dx，则（ax+）6展开式中的常数项为．16．（5分）已知e是自然对数的底数，实数a，b满足e b＝2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）＝1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＜0，且1，a2，81成等比数列，a3+a7＝﹣6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{}的前n项和T n取得最小值时n的值．19．（12分）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．20．（12分）如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l1，l2，直线l1与椭圆分别交于点M、N，直线l2与椭圆分别交于点P、Q，且，求四边形MPNQ 的面积S的最小值．21．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当a＝时，设函数g（x）＝x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．（1）求证：∠EDF＝∠CDF；（2）求证：AB2＝AF•AD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的参数方程（α为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝3（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；（2）求圆C上任一点P到直线l距离的最小值和最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2016年河南省信阳市、三门峡市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2016年百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)理科数学(第六模拟)(解析版)
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第六模拟）一、选择题：共12题1．已知复数z=2+i20151+i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】本题考查复数的运算、复数的几何意义等知识,考查考生基本的运算能力.∵i2 015=i4×503+3=i3=-i,∴z=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12-32i,∴z−=12+32i,其在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.2．设集合A={(x,y)|y=x+1,x∈R},B={(x,y)|x2+y2=1},则满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】本题考查集合的关系、集合的子集个数的求法.求解本题的关键是确定集合A∩B 中元素的个数.通解解方程组y=x+1x2+y2=1得x=0y=1,x=−1y=0,所以A∩B={(0,1),(-1,0)},即A∩B中有两个元素,因为C⊆(A∩B),所以集合C的个数是4,故选D.优解在同一坐标系中作出直线y=x+1和圆x2+y2=1,由图可知,直线与圆有两个交点,即A∩B中有两个元素,因为C⊆(A∩B),所以集合C的个数是4.3．已知向量a=(9,m2),b=(1,-1),则“m=-3”是“a⊥b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查向量垂直的条件及充要关系的判断,属于基础题.当m=-3时,a=(9,9),∴a·b=9×1+9×(-1)=0,所以a⊥b;当a⊥b时,由a·b=9-m2=0,得m=±3,故“m=-3”是“a⊥b”的充分不必要条件.4．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为A.15B.14C.7D.6【答案】A【解析】本题主要考查程序框图的知识,意在考查考生的运算求解能力.对于循环结构的程序框图,应特别注意循环结束时的条件.第一次循环,得a=2,S=1+2=3<10;第二次循环,得a=4,S=3+4=7<10;第三次循环,得a=8,S=7+8=15>10,输出S的值为15.故选A.5．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的一条渐近线的方程是y=32x,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为A.x221-y228=1 B.x24-y23=1 C.x228-y221=1 D.x23-y24=1【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的几何性质以及考生分析问题、解决问题的能力.双曲线的渐近线方程是y=±ba x,所以ba=32,抛物线的准线方程为x=-7,所以c=7,由a2+b2=c2,可得a2=4,b2=3,故选B.6．已知(x2+kx )6(k>0)的展开式的常数项为240,则1xk1d x=A.1B.ln 2C.2D.2ln 2【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理和定积分的基本运算.先求出k值,再由定积分的运算得出结果.(x 2+k x)6(k >0)的展开式的通项为T r+1=C 64(x 2)6−r ·(kx)r =C 6r k r x 12-3r ,当12-3r =0时,r =4,故常数项为C 64k 4=15k 4=240,得k =2, 1xk 1d x =ln x | 12=ln2.7．已知实数x ,y 满足不等式组 x −y −1≥0x +y −3≥03x +y −11≤0,则z =2y +1x−1的取值范围为 A.[-2,3] B.[-13,3]C.[-13,52]D.[52,3]【答案】B【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域的简单应用,考查考生的运算求解能力,属于中档题.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由题意可知,z =2y +1x−1=2·y +12x−1,它表示平面区域内的点(x ,y )与定点M (1,-12)的连线的斜率的2倍.由图可知,当点(x ,y )位于点C 时,直线的斜率取得最小值-16;当点(x ,y )位于点A 时,直线的斜率取得最大值32.故z =2y +1x−1的取值范围是[-13,3],选B.8．若将函数y =3sin(6x+π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度,得到函数y =f (x )的图象,若y =f (x )+a 在x ∈[-π6,π2]上有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A.[-3,32] B.[-32,32]C.[32,3]D.(-3,-32]【答案】D【解析】本题主要考查三角函数图象的变换,考查考生的计算能力和数形结合思想.把函数y=3sin(6x+π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=3sin(2x+π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得到函数f(x)=3sin(2x-π6)的图象,当x∈[-π6,π2]时,2x-π6∈[-π2,5π6],结合图形知-a∈[32,3),可得a∈(-3,-32].故选D.9．已知在数列{a n}中,a1=1,a2=3,记A(n)=a1+a2+…+a n,B(n)=a2+a3+…+a n+1,C(n)=a3+a4+…+a n+2(n∈N*),若对任意的n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列,则A(n)=A.3n-1B.2n-1+n2-1C.2n2-3n+2D.n2【答案】D【解析】本题考查等差数列的定义、通项公式及前n项和公式,考查考生的运算求解能力.通解根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列,∴A(n)+C(n)=2B(n),整理得a n+2-a n+1=a2-a1=3-1=2,∴数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列.∴a n=1+2(n-1)=2n-1.∴A(n)=n a1+a n2=n(1+2n−1)2=n2,故选D.优解(特值法)因为A(n)+C(n)=2B(n),当n=1时,得a3=5,所以A(1)=1,A(2)=4,A(3)=9,经检验只有D选项符合,故选D.10．一个三棱柱的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如图所示,若M,N分别为A1B,B1C1的中点,则下列选项中错误的是A.MN与A1C异面B.MN⊥BCC.MN∥平面ACC1A1D.三棱锥N-A1BC的体积为13a3【答案】D【解析】本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征,意在考查考生的空间想象能力和运算能力.取A1B1的中点D,连接DM、DN.由于M、N分别是A1B、B1C1的中点,所以可得DN∥A1C1,又DN⊄平面A1ACC1,A1C1⊂平面A1ACC1,所以DN∥平面A1ACC1.同理可证DM∥平面A1ACC1.又DM∩DN=D,所以平面DMN∥平面A1ACC1,所以MN∥平面ACC1A1,直线MN 与A1C异面,A,C正确.由三视图可得A1C1⊥平面BCC1B1,所以DN⊥平面BCC1B1,所以DN ⊥BC,又易知DM⊥BC,所以BC⊥平面DMN,所以BC⊥MN,B正确.因为V N−A1BC=V A1−NBC =13(12a2)a=16a3,所以D错误.故选D.11．如图,F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则a2+e23b(e为椭圆的离心率)的最小值为A.53B.54C.63D.64【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的定义、几何性质及基本不等式的应用,考查考生的运算能力和灵活运用知识的能力.连接F1P,OQ,因为点Q为线段PF2的中点,所以|F1P|=2|OQ|=2b,由椭圆的定义得|PF2|=2a-2b,由F1P⊥F2P,得(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,解得2a=3b,e=53,所以a2+e23b=a2+592a=12(a+59a)≥12·2 a·59a =53(当且仅当a=53时等号成立),故选A.12．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称阴阳鱼.太极图形展现了一种互相转化,相对统一的形式美、和谐美.现在定义:能够将圆O的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“太极函数”.给出下列命题:p1:对于任意一个圆O,其对应的“太极函数”不唯一;p2:f(x)=e x+e-x可能是某个圆的一个“太极函数”;p3:圆O:(x-1)2+y2=36的一个“太极函数”为f(x)=-ln5+x7−x;p4:“太极函数”的图象一定是中心对称图形.其中正确的命题是A.p1,p2B.p1,p3C.p2,p3D.p3,p4【答案】B【解析】本题主要考查考生对新定义的理解,考查函数的图象与性质,考查考生的综合能力.对于p1,过圆心的直线都能将圆的周长和面积平分,而这样的直线有无数条,故p1正确;对于p2,f(-x)=f(x)恒成立,故f(x)为偶函数,又f(0)=2,其图象如图1所示,不可能为某个圆的“太极函数”,故p2不正确;对于p3,圆O的圆心为(1,0),x∈[-5,7],而函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,故函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,x∈(-5,7),所以函数f(x)将圆的周长和面积平分,故p3正确(如图2所示);图1 图2图3对于p4,如图3,该函数的图象(圆内部的粗线)将圆的周长和面积平分,但不是中心对称图形,故p4不正确.故选B.二、填空题：共4题13．在正项等比数列{a n}中,log2a3+log2a6+log2a9=3,则a1a11=.【答案】4【解析】本题考查等比数列的性质,涉及对数的运算,属于基础题.∵在正项等比数列{a n}中,log2a3+log2a6+log2a9=3, ∴log2(a3a6a9)=log2a63=3, ∴a6=2,∴a1a11=a62=4.14．小明在微信群中给朋友发拼手气红包,1毛钱分成三份(不定额度,每份至少1分钱),若这3个红包被甲、乙、丙三人抢到,则甲抢到5分钱的概率为.【答案】139【解析】概率问题是每年必考的一个题目,现在人们在网上发红包又很热门,本题将实际问题与数学知识相结合,旨在考查考生分析问题、解决问题的能力.由题知将1毛钱,即10分钱分成三份,每份至少1分钱,可得基本事件总数为C82=28,这3个红包被甲、乙、丙三人抢到的基本事件数为(C82-4)A33+4C31=156.若甲抢到5分,则其余两人共得到5分,有4种情况,即(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故甲抢到5分钱的概率为4156=139.15．已知边长为3的等边三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上,若三棱锥O-ABC的体积为334,则球的表面积为.【答案】16π【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力.解题时,先根据正弦定理求出等边三角形外接圆的半径,再利用三棱锥O-ABC的体积求出球的半径,从而得出球的表面积.设三角形ABC的外接圆的半径为r,圆心为O1,由正弦定理得2r=3sin 60°=23,r=3.∵O1O⊥平面ABC,∴V O-ABC=13×34×32|O1O|=334,∴|O1O|=1,∴球O的半径R= r2+1=3+1=2,∴S球=4πR2=16π.16．已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx+d(a≠0)的导函数为g(x),且g(1)=0,a<b<c,设x1、x2是方程g(x)=0的两个根,则|x1-x2|的取值范围为.【答案】(32,3)【解析】本题以导数为背景,考查二次函数、方程的根、不等式的综合应用.解题时,先根据题中条件得到ca 的取值范围,再将|x1-x2|表示成关于ca的表达式,即可求出其取值范围.由已知g(x)=f'(x)=ax2+bx+c,∴g(1)=a+b+c=0,∵a<b<c,∴a<0,c>0,b=-a-c,∴a<-a-c<c,解得-2<ca <-12,∴|x1-x2|=(x1+x2)2−4x1x2=|1-ca|=1-ca,∵-2<ca<-12,∴|x1-x2|∈(32,3).三、解答题：共8题17．已知在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c2)sin B+(c-b2)sin C-a sin A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=3,求b+c的取值范围.【答案】(1)因为(b-c2)sin B+(c-b2)sin C-a sin A=0,由正弦定理得(b-c2)b+(c-b2)c-a2=0,化简得b2+c2-a2-bc=0,即cos A=b2+c2−a22bc =12,A=π3.(2)由正弦定理可得bsin B =csin C=asin A=3sinπ3=2,所以b=2sin B,c=2sin C,b+c=2(sin B+sin C)=2[sin B+sin(2π3-B)]=2(sin B+32cos B+12sin B)=3sin B+3cos B=23sin(B+π6).因为0<B<2π3,所以π6<B+π6<5π6,即12<sin(B+π6)≤1,所以b+c∈(3,23].【解析】本题主要考查三角恒等变换,正、余弦定理的应用.(1)先利用正弦定理将已知等式转化为三角形中三边之间的关系,再结合余弦定理求解;(2)先将b+c用关于B的正弦函数表示出来,再利用正弦函数的图象与性质求解.【备注】高考对三角函数与解三角形的考查主要以三角恒等变换,三角函数的图象和性质,利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,难度中等,因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可.在研究三角函数的图象和性质问题时,一般先用三角恒等变换将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.对于解三角形的题目,要注意通过正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式等实现边角互化,求出相关的边和角.18．用五种不同的颜色来涂如图所示的田字形区域,要求同一区域上用同一种颜色,相邻区域用不同的颜色(A与C,B与D不相邻).(1)求恰好使用两种颜色完成涂色任务的概率;(2)设甲、乙两人各自相互独立完成涂色任务,记他们所用颜色的种数差的绝对值为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).【答案】(1)按要求完成涂色任务,可分成三个互斥事件:恰好使用两种颜色完成涂色任务、恰好使用三种颜色完成涂色任务、恰好使用四种颜色完成涂色任务.恰好使用两种颜色完成涂色任务共有A52=20种方法;恰好使用三种颜色完成涂色任务共有2C53C31A22=120种方法;恰好使用四种颜色完成涂色任务共有A54=120种方法.所以按要求完成涂色任务,共有20+120+120=260种方法.记“恰好使用两种颜色完成涂色任务”为事件A,则P(A)=20260=113.(2)由已知可得ξ=0,1,2.记“恰好使用三种颜色完成涂色任务”为事件B,“恰好使用四种颜色完成涂色任务”为事件C.由(1)得P(B)=120260=613,P(C)=120260=613.所以P(ξ=0)=P(A)P(A)+P(B)P(B)+P(C)P(C)=(113)2+(613)2+(613)2=73169,P(ξ=1)=P(A)P(B)+P(B)P(C)+P(B)P(A)+P(C)P(B)=2(113×613+613×613)=84169,P(ξ=2)=P(A)P(C)+P(C)P(A)=113×613+613×113=12169.所以ξ的分布列为E(ξ)=0×73169+1×84169+2×12169=108169.【解析】本题主要考查古典概型、相互独立事件同时发生的概率的求法及离散型随机变量的分布列及数学期望.(1)求出完成涂色任务的方法总数以及恰好使用两种颜色完成涂色任务的方法种数,利用古典概型的概率计算公式即可求出相应的概率;(2)求出随机变量每个取值对应的概率,列出分布列,求出数学期望.【备注】高考对概率的考查第(1)问一般是求随机事件的概率,通常涉及等可能事件、对立事件、互斥事件以及相互独立事件的概率;第(2)问涉及离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求解,难度中等.19．已知在边长为4的等边△ABC(如图1所示)中,MN∥BC,E为BC的中点,连接AE交MN于点F.现将△AMN沿MN折起,使得平面AMN⊥平面MNCB(如图2所示).图1图2(1)求证:平面ABC⊥平面AEF;(2)若S四边形BCNM=3S△AMN,求直线AB与平面ANC所成角的正弦值.【答案】(1)∵△ABC是等边三角形,E为BC的中点,∴AE⊥BC,∵MN∥BC,∴AF⊥MN,MN ⊥E F.又AF∩FE=F,∴MN⊥平面AEF.∵BC∥MN,∴BC⊥平面AEF,∵BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面AEF.(2)由S四边形BCNM=3S△AMN,得S△AMN=14S△ABC,∵△ABC∽△AMN,且MN∥BC,∴(MNBC )2=14,即MN=12BC=2,建立如图所示的空间直角坐标系,则F(0,0,0),A(0,0,3),B(3,-2,0),N(0,1,0),C(3,2,0),AN=(0,1,-3),AC=(3,2,-3). 设平面ANC的法向量为n=(x,y,z),则AN·n=0AC·n=0,即y−3z=03x+2y−3z=0,令z=1,则x=-1,y=3,故平面ANC的一个法向量为n=(-1,3,1). ∵AB=(3,-2,-3),设直线AB与平面ANC所成的角为α,则sinα=|AB·n||AB|·|n|=265,∴直线AB与平面ANC所成角的正弦值为265.【解析】本题考查面面垂直的证明、线面角的求解,考查考生的空间想象能力.(1)利用面面垂直的判定定理求解;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求解.【备注】高考中,立体几何题一般设计为“一证一算”两问.第(1)问注重证明,主要考查线面垂直和线面平行、面面垂直和面面平行,主要是对平行和垂直性质定理和判定定理的考查;第(2)问注重计算,常见的题型是异面直线所成的角、线面角、二面角、表面积或体积的求解,主要考查考生的转化能力、运算能力.20．已知抛物线y2=2px(p>0),过点(4,0)作直线l交抛物线于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O.(1)求抛物线的方程;(2)过抛物线上的定点M(1,2p)作两条关于直线x=1对称的直线,分别交抛物线于C,D两点,连接CD,试问:直线CD的斜率是否为定值?请说明理由.【答案】(1)当直线l的斜率不存在时,22p=4,p=2,y2=4x.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4)(k≠0),联立y=k(x−4)y2=2px,消去y得k2x2-(8k2+2p)x+16k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=16,所以y12y22=4p2x1x2=64p2,y1y2=-8p,由OA·OB=0,得x1x2+y1y2=0,即16-8p=0,所以p=2,故抛物线的方程为y2=4x.综上,抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知,M(1,2),设直线CD的方程是x=my+n,显然直线CD不过点M.联立y2=4xx=my+n,消去x得y2-4my-4n=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则y3+y4=4my3y4=−4n,由题意MC,MD两直线关于直线x=1对称等价于直线MC,MD的倾斜角互补,即k MC+k MD=0,即y3−2x3−1+y4−2x4−1=0,整理得(y3-2)(x4-1)+(y4-2)(x3-1)=0,即x3y4+x4y3-2(x3+x4)-(y3+y4)+4=0,将x3=my3+n x4=my4+n和y3+y4=4my3y4=−4n代入上式化简得(m+1)(n+2m-1)=0,要使上式恒成立,当且仅当m+1=0或n+2m-1=0.①当m+1=0,即m=-1时,直线CD的方程为x=-y+n,即直线CD的斜率为-1.②当n+2m-1=0时,将n=1-2m代入直线CD的方程得x=my+1-2m,即x-1=m(y-2),此时直线CD过点M(1,2),与题意矛盾.所以直线CD的斜率恒为定值-1.【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力.求解此类试题通常是将直线与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系求解.【备注】直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等内容是解析几何的基石,也是高考命题的重点和热点内容,此外直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的另一个重点,解题时,要注意应用根与系数的关系.求解与圆锥曲线有关的最值和取值范围问题时,常把所讨论的参数作为一个函数,选一个适当的自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的取值范围.21．已知函数f(x)=x ln x-kx(k∈R),其图象与x轴交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2.(1)求实数k的取值范围;(2)证明:x1+x2<2e.【答案】(1)由f(x)=x ln x-kx=0,得x2ln x=k.令g(x)=x2ln x,则g'(x)=2x ln x+x.由2x ln x+x>0,解得x>1e ,所以g(x)在区间(1e,+∞)上单调递增;由2x ln x+x<0,解得0<x<1e ,所以g(x)在区间(0,1e)上单调递减.故g(x)在x=1e 处取得极小值,且g(1e)=-12e.又函数f(x)的图象与x轴交于不同的两点,当x→0时,g(0)→0,g(1)=0,作出函数g(x)的大致图象如图所示,所以-12e<k<0.(2)由(1)知0<x1<1e<x2<1.令φ(x)=g(x)-g(2e-x),则φ'(x)=2[x ln x+(2e -x)ln(2e-x)]+2e,令h(x)=x ln x+(2e -x)ln(2e-x),则h'(x)=ln x-ln(2e-x).令h'(x)<0,解得0<x<1e,则h(x)在(0,1e )上单调递减,所以当0<x<1e时,h(x)>h(1e)=-1e,于是φ'(x)>0,所以φ(x)在(0,1e)上单调递增.则当0<x<1e 时,φ(x)<φ(1e)=0,即g(x)<g(2e-x).所以g(x2)=g(x1)<g(2e-x1).又g(x)在区间(1e ,+∞)上单调递增,所以x2<2e-x1,即x1+x2<2e.【解析】本题主要考查函数的性质、导数的应用、函数的零点、不等式的证明等.第(1)问本质就是利用导数研究函数极值的分布情况,属于常规问题;第(2)问为利用导数证明不等式,先构造函数,然后用单调性证明x1+x2<2e.22．如图,直线PQ与☉O相切于点A,AB是☉O的弦,∠PAB的平分线AC交☉O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于点Q.(1)求证:QC ·AC =QC 2-QA 2; (2)若AQ =6,AC =5,求弦AB 的长.【答案】(1)∵PQ 与☉O 相切于点A ,∴∠PAC =∠CBA , ∵∠PAC =∠BAC ,∴∠BAC =∠CBA , ∴AC =B C.由切割线定理得, QA 2=QB ·QC =(QC-BC )QC ,∴QC ·BC =QC 2-QA 2,∴QC ·AC =QC 2-QA 2.(2) 由AC =5,AQ =6 及(1), 知QC =9,由∠QAB =∠ACQ ,∠AQB =∠CQA ,知△QAB ∽△QCA ,∴ABAC =QAQC ,∴AB =103.【解析】本题主要考查切割线定理、三角形的相似等知识,考查考生的推理能力、运算能力.灵活应用圆的有关性质是解题的关键.23．已知圆O :x 2+y 2=4上每一点的横坐标保持不变,将纵坐标变为原来的12,得到曲线C .(1)写出曲线C 的参数方程;(2)设直线l :x-2y+2=0与曲线C 相交于A ,B 两点,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线m 过线段AB 的中点,且倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍,求直线m 的极坐标方程.【答案】(1)设曲线C 上任意一点为M (x ,y ),则点P (x ,2y )在圆O 上,即 x 2+(2y )2=4,即x 24+y 2=1,所以曲线C 的参数方程为x =2cos φy =sin φ(φ为参数). (2)联立 x 2+4y 2=4x −2y +2=0,解得 x =−2y =0或x =0y =1, 不妨设A (-2,0),B (0,1),则AB 的中点为N (-1,12),因为直线l 的斜率为12,设直线l 的倾斜角为α,则tan α=12,所以tan 2α=2×121−(12)2=43,所以直线m 的方程为y-12=43(x+1),即8x-6y+11=0, 于是直线m 的极坐标方程为8ρcos θ-6ρsin θ+11=0.【解析】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等,属于中档题.24．已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立.(1)求a的值;(2)设m>n>0,求证:2m+1m2−2mn+n2≥2n+a.【答案】(1)设f(x)=|x+1|-|2-x|,则f(x)=−3,x≤−12x−1,−1<x<2, 3,x≥2∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x,|x+1|-|2-x|≤a都成立,即f(x)≤a, ∴a≥3.设h(x)=|x+1|+|2-x|=−2x+1,x≤−1 3,−1<x<22x−1,x≥2,则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x,|x+1|+|2-x|≥a都成立,即h(x)≥a, ∴a≤3.∴a=3.(2)由(1)知a=3.∵2m+1m2−2mn+n2-2n=(m-n)+(m-n)+1(m−n)2,且m>n>0,∴(m-n)+(m-n)+1(m−n)2≥3(m−n)(m−n)1(m−n)2 3=3,∴2m+1m2−2mn+n2≥2n+a.【解析】本题考查绝对值函数以及绝对值不等式的解法,考查考生的运算能力.。
【河南高考数学】2016年河南高考数学试题及答案
【河南高考数学】 2016年河南高考数学试题及答案【河南高考数学】 2016年河南高考数学试题及答案【河南高考数学】 2016年河南高考数学试题及答案今天是高考的第一天，高考数学在下文考完，由于数学试题尚未公布，小编暂时整理了往年的数学试题，欢迎参考!绝密?启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分。
第?卷1至3页，第?卷4至6页。
注意事项:1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第?卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第?卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第?卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合A B中元素的个数为(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量=(-4，-3)，则向量=(A)(-7，-4) (B)(7,4) (C)(-1,4) (D)(1，4)(3)已知复数z满足(z-1)i=i+1，则z=(A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i(4)如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为(A) (B) (C) (D)(5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C:y =8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2016届百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)理科数学(第四模拟)(解析版)
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第四模拟）一、选择题：共12题1．已知=1+n i,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m+n i在复平面内对应的点到坐标原点的距离为A. B.3 C. D.5【答案】C【解析】本题考查复数的运算、复数相等的定义等,属于基础题.将已知化简可得m=(1+n)+(n-1)i,或直接将等式左边的复数标准化,利用复数相等可得答案.通解由已知可得m=(1+n i)(1-i)=(1+n)+(n-1)i,因为m,n是实数,所以,故,即m+n i=2+i,m+n i 在复平面内对应的点为(2,1),其到坐标原点的距离为,故选C.优解+i=1+n i,故,即,m+n i在复平面内对应的点到坐标原点的距离为.2．若集合M={y|y=2-x},P={y|y=},则A.M=PB.M⊆PC.P⊆MD.M∩P=⌀【答案】B【解析】本题考查集合间的关系及函数的值域,属于基础题.先求得集合M,P,然后利用集合间的关系可得正确选项.因为集合M={y|y>0},P={y|y≥0},故M⊆P,选B.3．已知命题p:∀x∈R,x2+5x+8>0,则¬p为A.∀x∈R,x2+5x+8<0B.∃x0∈R,+5x0+8≤0C.∃x0∈R,+5x0+8<0D.∀x∈R,x2+5x+8≤0【答案】B【解析】本题考查特称命题与全称命题、命题的否定等知识,意在考查考生对基础知识的掌握情况.由全称命题的否定为特称命题可知,命题p:∀x∈R,x2+5x+8>0的否定为:∃x0∈R,+5x0+8≤0,故选B.4．2016年3月15日“国际消费者权益日”之际,物价局对某公司某种商品的广告费用x与销售额y进行调查,统计数据如表所示,根据图表可得回归直线方程x+中的=10.6,据此模型预测广告费用为10万元时的销售额为A.112.1万元B.113.1万元C.111.9万元D.113.9万元【答案】C【解析】本题考查回归直线方程的性质与应用,根据回归直线过样本点的中心得的值,从而求得广告费用为10万元时的销售额.将样本点的中心(3.5,43)代入回归直线方程得=5.9,所以广告费用为10万元时销售额为10.6×10+5.9=111.9(万元),故选C.5．已知有限等差数列{a n}共9项,其中前4项的和为3,后3项的和为4,则第5项为A. B. C. D.1【答案】A【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,意在考查考生的理解能力与运算求解能力.设等差数列{a n}的公差为d,则由题意可知,解得a1=,d=,∴a5=+4×,故选A.6．已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,设a=f(-),b=f(-),c=f(),则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用.由已知得函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,而a=f(-)=f(),b=f(-)=f(),c=f(),所以只需比较,,的大小即可.∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,∴f(x)在[0,+∞)上单调递减,且a=f(-)=f(),b=f(-)=f(),又c=f(),且0<,∴c>a>b,故选B.7．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.8-log38B.9-log38C.8-log340D.10-log340【答案】B【解析】本题考查程序框图的理解与应用,考查考生的运算求解能力.依次执行程序即可确定输出的S的值. 运行该程序,S=10+sin+lo1=11,n=2;S=11+sin π+lo2=11+lo2,n=3;S=11+lo2+sin+lo3=10+lo6,n=4;S=10+lo6+sin 2π+lo4=10+lo24=9+lo8,n=5.故输出的S=9-log38,故选B.8．设函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(|φ|<)的图象关于直线x=0对称,则y=f(x)在[,]上的值域为A.[-,0]B.[-2,0]C.(-,0)D.(-2,0)【答案】A【解析】本题考查函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象与性质.根据其图象关于直线x=0对称以及φ的范围,可得φ=,即可求解.由题意得函数f(x)=2sin(2x++φ),因为其图象关于直线x=0对称,所以2×0++φ=+kπ(k∈Z),即φ=+kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,f(x)=2sin(2x++)=2cos 2x.当≤x≤时,≤2x≤,所以y=f(x)在[,]上的值域为[-,0].9．已知实数x,y满足约束条件向量a=(x,y),b=(3,-1),设z表示向量a在向量b方向上的投影,则z的取值范围是A.[-,6]B.[-1,6]C.[-,]D.[-,]【答案】C【解析】本题考查线性规划、平面向量数量积的运算等知识,考查考生分析、解决问题的能力和运算求解能力.作出不等式组对应的平面区域,利用向量投影的定义得到z的表达式,利用数形结合即可得到结论.通解画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,向量a在向量b方向上的投影z=(3x-y),由可行域知,a=(x,y)=(2,0)时,向量a在b方向上的投影最大,且最大值为;当a=(,3)时,向量a在b方向上的投影最小,且最小值为-=-,所以z的取值范围是[-,].优解由可得可行域的顶点坐标分别为(2,0),(,3),(0,1),当a=(x,y)=(2,0)时,a·b=6,所以向量a在b 方向上的投影为;当a=(,3)时,a·b=-,所以向量a在b方向上的投影为-=-;当a=(x,y)=(0,1)时,a·b=-1,所以向量a在b方向上的投影为-=-.所以z的取值范围是[-,].10．若某几何体的正视图和俯视图(正六边形)如图所示,则该几何体的体积是A.+πB.3+πC.9+πD.3+π【答案】C【解析】本题考查三视图和简单组合体的体积,考查考生的空间想象能力与运算求解能力.由三视图可知,该几何体是一个上面是一个圆柱,下面是一个正六棱柱的组合体,进而利用圆柱、六棱柱的体积计算公式求解.由三视图可知,该几何体是一个简单组合体,上面是一个圆柱,圆柱的底面直径是,高是2,故圆柱的体积是π×()2×2=π,下面是一个正六棱柱,六棱柱的高是,底面是边长是2的正六边形,故六棱柱的体积是6××2×2×=9,因此该几何体的体积是9+π.11．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F1(-2,0),双曲线的离心率为2,经过F2的直线l的斜率为-m,直线l与双曲线的右支交于不同的两点A,B,若∠AOB(O为坐标原点)不是锐角,则实数m的取值范围为A.(-∞,-]∪[,+∞)B.(-∞,-)∪(,+∞)C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-∞,-]∪[,+∞)【答案】C【解析】本题考查双曲线的方程、几何性质,直线与双曲线的位置关系,考查考生的运算求解能力和数形结合能力,属于较难题.因为F1(-2,0),双曲线的离心率为2,所以c=2,a=1,b2=c2-a2=3,所以双曲线的标准方程为x2-=1.因为经过F2的直线l的斜率为-m,所以直线l的方程为y=-m(x-2),将其与双曲线的标准方程联立,化简整理得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0,由Δ>0,得4m4+(3-m2)(4m2+3)>0,即m2+1>0恒成立.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x 1+x2>0,x1x2>0,即>0,>0,所以m2>3.因为∠AOB不是锐角,所以·≤0,即x1x2+y1y2≤0,又y1y2=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2,所以(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2≤0,整理得-5m2+3≤0,解得m2≥.综上,m2>3,即实数m的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).12．已知函数f(x)=,把函数g(x)=f(x)-x的零点中的偶数按从小到大的顺序排列成一个数列{a n},该数列的前n项和为S n,则S10=A.40B.50C.90D.110【答案】C【解析】本题考查函数的图象、函数的零点、数列的通项公式及求和.先根据函数的图象与性质判断出零点,再由数列的特点求出其通项公式与前n项和.当x≤0时,g(x)=2x-1-x,其零点为0和-1.当0<x≤2时,有-2<x-2≤0,则f(x)=f(x-2)+1=2x-2,当2<x≤4时,有0<x-2≤2,则f(x)=f(x-2)+1=2x-4+1,当4<x≤6时,有2<x-2≤4,则f(x)=f(x-2)+1=2x-6+2,当6<x≤8时,有4<x-2≤6,则f(x)=f(x-2)+1=2x-8+3,以此类推,当2n<x≤2n+2(n∈N)时,f(x)=f(x-2)+1=2x-2n-2+n.结合函数图象可知方程f(x)-x=0在(0,2],(2,4],(4,6],…,(2n,2n+2]上的根依次为2,4,6,…,2n+2.即函数g(x)=f(x)-x的零点中的偶数按从小到大的顺序排列成的数列为0,2,4,6,…,2n+2,其通项公式为a n=2n-2,前n项和为S n==n(n-1),所以S10=90,C正确.二、填空题：共4题13．已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为.【答案】【解析】本题考查抛物线的定义与几何性质,考查考生的数形结合能力与简单的运算能力.解题的关键是由抛物线的定义得方程.设该点的横坐标为x0,则由抛物线的定义得x0+=2x0,解得x0=.14．已知(ax+1)5的展开式中x3的系数与(x+)4的展开式中第三项的系数相等,则a=.【答案】【解析】本题主要考查二项展开式的特定项的系数、通项,考查考生的运算能力,属于容易题.(ax+1)5=(1+ax)5的展开式的通项为T k+1=(ax)k=a k x k,令k=3,则x3的系数为a3=10a3,同理(x+)4的展开式中第三项的系数为×()2=,所以10a3=,a=.15．已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是.【答案】18【解析】根据已知可得球的半径等于1,故三棱柱的高等于2,底面三角形内切圆的半径等于1,即底面三角形的高等于3,边长等于2,所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2+2××2×3=18.16．设函数f(x)=e x+(x≠0,m≠0)在x=1处的切线与(e-1)x-y+2 016=0平行,kf(s)≥t ln t+1在s∈(0,+∞),t∈(1,e]上恒成立,则实数k的取值范围为.【答案】[,+∞)【解析】本题考查导数在解决函数性质与不等式恒成立问题中的应用,考查考生综合分析问题与解决问题的能力、等价转化能力及计算能力.由题意可得f'(1)=e-m=e-1,所以m=1.当s∈(0,+∞),t∈(1,e]时,f(s)>0,g(t)=t ln t+1>0 ,由kf(s)≥t ln t+1可得k≥在s∈(0,+∞),t∈(1,e]上恒成立,即k≥[]max,故只需求出f(x)在(0,+∞)上的最小值和g(x)在(1,e]上的最大值即可.由f(x)=e x+可得f'(x)=e-.由f'(x)>0可得x>或x<-,由f'(x)<0可得-<x<0或0<x<, 所以f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,0),(0,)上单调递减,故f(x)在(0,+∞)上的最小值为f()=2.由g(x)=x ln x+1可得g'(x)=ln x+1>0在(1,e]上恒成立,所以g(x)在(1,e]上的最大值为g(e)=eln e+1=e+1,所以k≥,所以实数k的取值范围是[,+∞).三、解答题：共8题17．在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2c sin.(1)求角C的大小;(2)若c=2,且△ABC的面积为,求a+b的值.【答案】(1)由题意得=sin A,由正弦定理得=sin A,又sin A≠0,∴sin C=,又0°<C<90°,∴C=60°.(2)∵S△ABC=ab sin60°=,∴ab=4.又c=2,∴由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos 60°,即4=a2+b2-2ab·,即4=(a+b)2-2ab-ab,∴(a+b)2=4+3ab=16,∴a+b=4 .【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识,考查考生对基础知识的掌握情况与计算能力,属于基础题.(1)由正弦定理化简a=2c sin A,从而得到角C的大小;(2)由余弦定理得到关于a,b的方程,由三角形面积公式得到关于a,b的方程,进而求解a+b的值.【备注】解决此类问题的关键在于能够正确地使用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式等,往往还会涉及最值或者是取值范围的求解,如本题中需要利用面积公式S△ABC=ab sin 60°与余弦定理,得到ab和a+b的关系.18．如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围. 【答案】(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.(2)由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,令FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,由,得,取x=1,则n1=(1,,-λ)为平面MAB的一个法向量,易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,∴ cosθ= .∵0≤λ≤, ∴当λ=0时,cosθ有最小值,当λ=时,cosθ有最大值,∴cosθ∈[,].【解析】本题考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求二面角等知识,考查考生的空间想象能力.对于(1),先证明BC⊥AC,由此即可证明BC⊥平面ACFE;对于(2),由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出cosθ的取值范围.19．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,按1%的比例从年龄在20~80岁(含20岁和80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查,并将年龄按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]进行分组,绘制成频率分布直方图,如图所示.规定年龄在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)岁的人为“中年人”, [60,80]岁的人为“老年人”.(1)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数,若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表,试估算所调查的600人的平均年龄;(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20~80岁的人口分布的概率,从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)由频率分布直方图可知60岁以上(含60岁)的频率为(0.01+0.01)×10=0.2,故样本中60岁以上(含60岁)的人数为600×0.2=120,故该城市60岁以上(含60岁)的人数为120÷1%=12 000.所调查的600人的平均年龄为25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(岁).(2)通解由频率分布直方图知,“老年人”所占的频率为,所以从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取1人,抽到“老年人”的概率为,分析可知X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=()0()3=,P(X=1)=()1()2=,P(X=2)=()2()1=,P(X=3)=()3()0=.所以X的分布列为EX=0×+1×+2×+3×.优解由题意知每次抽到“老年人”的概率都是,且X~B(3,),P(X=k)=()k(1-)3-k,k=0,1,2,3,所以X的分布列为故EX=3×.【解析】本题考查频率分布直方图及其应用、随机变量的分布列和数学期望,意在考查考生的数据处理能力、运算求解能力和应用意识.对于(1),从频率分布直方图可求出该城市60岁以上(含60岁)的人数,平均年龄等于频率分布直方图中每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标的乘积之和;对于(2),分析可知X的所有可能取值为0,1,2,3,据此求出相应的概率,从而求出分布列和数学期望,也可先得到X~B(3,),进而求分布列和数学期望.【备注】解决有关频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的关系,这些数据中,比较明显的有组距、,隐含的有频率(小长方形的面积),注意小长方形的高是,而不是频率.解题时要注意合理使用这些数据,同时要注意两个等量关系:(1)小长方形的面积等于频率,且小长方形的面积之和等于1,即频率之和为1;(2)频率分布直方图中,中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.20．已知两点A(-2,0)、B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率k PA、k PB满足k PA·k PB=-.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)若H是曲线E与y轴正半轴的交点,则曲线E上是否存在两点M、N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明满足条件的M、N有几对;若不存在,请说明理由.【答案】(1)设点P的坐标为(x,y)(x≠±2),则k PA=,k PB=.依题意k PA·k PB=-,所以·=-,化简得+y2=1,所以动点P的轨迹E的方程为+y2=1(x≠±2).(注:如果未说明x≠±2(或y≠0),扣1分.)(2)假设能构成等腰直角三角形HMN,其中直角顶点H为(0,1). 由题意可知,直角边HM、HN不可能垂直或平行于x轴,故可设HM所在直线的方程为y=kx+1(k>0),则HN所在直线的方程为y=-x+1.联立,消去y整理得(1+4k2)x2+8kx=0,得x M=-, 将x M=-代入y=kx+1可得y M=-+1,故点M的坐标为(-,+1).所以|HM|=,同理可得|HN|=,由|HM|=|HN|,得k(4+k2)=1+4k2,所以k3-4k2+4k-1=0,整理得(k-1)(k2-3k+1)=0,解得k=1或k=.当直线HM的斜率k=1时,直线HN的斜率为-1;当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为;当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为.综上所述,符合条件的M、N有3对.【解析】本题考查动点轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系,考查考生的运算能力和综合分析问题、解决问题的能力.对于(1),设点P的坐标为(x,y)(x≠±2),根据k PA·k PB=-列出等式,化简得动点P的轨迹E的方程;对于(2),易知直角边HM、HN不可能垂直或平行于x轴,故可设出HM、HN所在直线的方程,与椭圆的方程联立,结合|HM|=|HN|,得k(4+k2)=1+4k2,解方程即可.【备注】高考对圆锥曲线的考查主要围绕圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系展开,多涉及直线被圆锥曲线所截得的弦长、三角形的面积、向量数量积等的最值、取值范围等问题,也常常设置以定点、定值、定直线的存在性为主的探究性问题.这类问题的求解思路比较清晰,一般需利用根与系数的关系解决,对分析判断能力、运算能力等要求较高,需要考生多加练习.21．已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+bx(a≠0).(1)当a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,若函数φ(x)=e2x+b e x,x∈[0,ln 2],求函数φ(x)的最小值;(2)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线,分别交C1、C2于点M、N,则是否存在点R,使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行?若存在,求出点R的横坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)依题意h(x)=ln x+x2-bx.∵h(x)在其定义域(0,+∞)上是增函数,∴h'(x)=+2x-b≥0在(0,+∞)上恒成立,∴b≤+2x在(0,+∞)上恒成立.∵x>0,∴+2x≥2,当且仅当=2x,即x=时等号成立.∴b的取值范围为(-∞,2].设t=e x,则函数φ(x)可化为y=t2+bt,t∈[1,2],即y=(t+)2-,∴当-≤1,即-2≤b≤2时,函数y=t2+bt在[1,2]上为增函数,当t=1时,函数y=t2+bt取得最小值,且y min=b+1.当1<-<2,即-4<b<-2时,当t=-时,函数y=t2+bt取得最小值,且y min=-.当-≥2,即b≤-4时,函数y=t2+bt在[1,2]上为减函数,当t=2时,函数y=t2+bt取得最小值,且y min=4+2b. 综上所述,当-2≤b≤2时,φ(x)的最小值为b+1;当-4<b<-2时,φ(x)的最小值为-;当b≤-4时,φ(x)的最小值为4+2b.(2)设点P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且0<x1<x2,则点M、N的横坐标均为x=.曲线C1在点M处的切线的斜率k1=,曲线C2在点N处的切线的斜率k2=+b.假设曲线C1在点M处的切线与曲线C2在点N处的切线平行,则k1=k2,即+b,则+b(x2-x1)=(+bx2)-(+bx1)=g(x2)-g(x1)=f(x2)-f(x1)=ln x2-ln x1=ln,∴ln.设u=>1,则ln u=,u>1①,令r(u)=ln u-,u>1,则r'(u)=-.∵u>1,∴r'(u)>0,∴r(u)在(1,+∞)上单调递增,故r(u)>0 ,则ln u>,这与①矛盾,故假设不成立,故不存在点R,使曲线C1在点M处的切线与曲线C2在点N处的切线平行.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值、两条直线平行的判定等知识,考查考生的运算能力和分析问题、解决问题的能力.(1)先根据函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,得到一个关于b的不等式,解此不等式即得b的取值范围,再设t=e x,将函数φ(x)化为关于t的二次函数,最后将函数φ(x)的最小值问题转化成二次函数在闭区间上的最值问题;(2)先假设曲线C1在点M处的切线与曲线C2在点N处的切线平行,利用导数的几何意义求出两切线的斜率,再利用斜率相等进行求解.【备注】对于导数、函数、不等式相结合的综合题,解答的第一步是求函数f(x)的导函数f'(x),然后根据不同的问题进行求解.(1)若解决切线问题,将切点的横坐标代入f'(x)得切线的斜率;(2)若解决单调性、极值(最值)问题,由f'(x)≥0或f'(x)≤0确定其单调区间,再处理相关问题;(3)若解决与不等式相关的问题,则通常需要构造新函数,并利用导数研究其性质.22．在△ABC中,已知AB=AC,D为△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A,C重合),延长BD至E,延长AD交BC 的延长线于.(1)求证:∠CDF=∠EDF;(2)求证:AB·AC·DF=AD·FC·F.【答案】(1)∵A,B,C,D四点共圆,∴∠CDF=∠ABC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∠ADB=∠ACB,∴∠EDF=∠ADB=∠ACB=∠ABC,∴∠CDF=∠EDF.(2)由(1)得∠ADB=∠ABF,又∠BAD=∠FAB,∴△BAD∽△FAB,∴,∴AB2=AD·AF.又AB=AC,∴AB·AC=AD·AF,∴AB·AC·DF=AD·AF·DF.根据割线定理得DF·AF=FC·FB,∴AB·AC·DF=AD·FC·FB.【解析】本题考查圆周角定理、割线定理、三角形相似等知识.(1)根据A、B、C、D四点共圆,可得∠CDF=∠ABC,由AB=AC可得∠ABC=∠ACB,进而可得结论;(2)证明△BAD∽△FAB,可得AB2=AD·AF,根据AB=AC,得AB·AC=AD·AF,再利用割线定理即可得到结论.23．直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数),T为直线l与曲线C的公共点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点T的极坐标;(2)将曲线C上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线W,过点T作直线m,若直线m被曲线W截得的线段长为2,求直线m的极坐标方程.【答案】(1)曲线C的普通方程为+=1,将(t为参数)代入上式整理得t2-4t+4=0,解得t=2.故点T的坐标为(,1),其极坐标为(2,).(2)依题意知,坐标变换式为,故W的方程为+=1,即x2+y2=6.当直线m的斜率不存在时,其方程为x=,显然成立.当直线m的斜率存在时,设其方程为y-1=k(x-),即kx-y-k+1=0,由已知,圆心(0,0)到直线m的距离为,故,解得k=-.此时,直线m的方程为y=-x+2.故直线m的极坐标方程为ρcosθ=或ρsinθ+ρcosθ=2.【解析】无24．已知函数f(x)=|x-3|,g(x)=-|x+4|+m.(1)已知常数a<2,解关于x的不等式f(x)+a-2>0;(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围. 【答案】(1)由f(x)+a-2>0得|x-3|>2-a,∴x-3>2-a或x-3<a-2.∴x>5-a或x<a+1,故不等式的解集为(-∞,a+1)∪(5-a,+∞).(2) ∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,∴f(x)>g(x)恒成立,则m<|x-3|+|x+4|恒成立,∵|x-3|+|x+4|≥|(x-3)-(x+4)|=7,∴m的取值范围为m<7.【解析】无。