(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.
量子力学中的自旋与角动量
量子力学中的自旋与角动量量子力学作为一门独特的物理学分支，研究微观粒子的行为和性质。
其中，自旋与角动量是量子力学中的重要概念之一。
本文将探讨自旋和角动量的基本原理、数学描述以及一些相关应用。
1. 自旋的概念与性质自旋是微观粒子特有的一种内禀角动量，不同于经典力学中的角动量。
它与粒子的自旋量子数有关，一般以s表示。
常见粒子，如电子、质子和中子，其自旋量子数s分别为1/2、1/2和1/2。
自旋具有一些独特性质。
首先，自旋不仅表现为一个量子态，还表现为自旋向上和自旋向下两个本征态，分别用|↑⟩和|↓⟩表示。
其次，自旋具有叠加的性质，即一个粒子的自旋可以处于上述两个态之一，或者两个态的叠加态。
2. 自旋的数学描述量子力学中，自旋量子态可以用狄拉克符号表示。
对于自旋1/2的粒子，其量子态可以表示为：|ψ⟩= α|↑⟩+ β|↓⟩其中α和β为复数，满足|α|^2 + |β|^2 = 1，且满足归一化条件。
该量子态描述了粒子自旋的量子信息。
自旋算符是描述自旋性质的数学工具。
对于自旋1/2粒子，Pauli自旋算符可以表示为σ=(σx, σy, σz)，其中σx，σy和σz分别为泡利矩阵。
通过对泡利矩阵与相应自旋态的乘积进行测定，可以获得自旋在不同方向上的测量结果。
3. 角动量的概念与性质角动量是描述粒子旋转和运动的物理量。
在量子力学中，角动量具有一些特殊性质。
首先，量子角动量是离散的，其取值受限于角动量量子数。
其次，角动量具有量子态的性质，可处于不同的本征态或叠加态。
最后，角动量操作满足比较特殊的代数关系，被称为角动量代数。
4. 自旋与角动量的关系自旋与角动量之间存在一种特殊的关系，称为自旋-角动量耦合。
在量子力学中，自旋-角动量耦合描述了自旋与轨道角动量之间的相互作用。
自旋和轨道角动量的耦合可以导致总角动量的量子态的复杂性。
通过自旋-角动量耦合，可以推导出多种多样的总角动量态，如自旋单重态、自旋三重态等。
通过自旋-角动量耦合，还可以研究粒子系统的态矢量演化、角动量守恒等问题。
量子力学中的相互作用与耦合项
量子力学中的相互作用与耦合项在量子力学中，相互作用和耦合项是非常重要的概念。
它们描述了不同粒子之间的相互作用以及它们如何通过相互作用而产生耦合。
相互作用和耦合项的研究对于理解物质的性质、电子结构、分子振动等方面都有着重要的作用。
一、相互作用的概念与分类在量子力学中，相互作用指的是两个或多个粒子之间的相互作用力。
相互作用可以分为不同的类型，比如电磁相互作用、弱相互作用、强相互作用等。
其中，电磁相互作用是最为常见的相互作用类型，它包括电荷之间的库仑相互作用和磁相互作用。
电荷之间的库仑相互作用决定了原子和分子的结构以及化学反应的过程，而磁相互作用则与磁性材料的性质相关。
二、耦合项的概念与意义耦合项是描述相互作用的数学形式，在量子力学的哈密顿量中起到了关键的作用。
耦合项表示了不同子系统之间的相互作用强度和性质。
通过引入耦合项，可以将不同子系统的哈密顿量耦合起来，从而得到一个整体的哈密顿量描述系统的动力学。
三、常见的量子力学模型中的相互作用与耦合项1. 带电粒子在电场中的作用当带电粒子处于电场中时，它们会受到电场力的作用。
在量子力学中，带电粒子在电场中的作用可以用与电场耦合的哈密顿量描述。
耦合项表示了带电粒子与电场之间的相互作用。
2. 费米子与玻色子的相互作用在量子力学中，质子、中子、电子等被称为费米子，而光子、声子等被称为玻色子。
费米子和玻色子之间的相互作用可以通过引入相互作用势来描述。
这个势能的耦合项决定了系统的相对运动。
3. 分子之间的相互作用与耦合项在分子物理领域，不同分子之间的相互作用以及分子内部的相互作用起着至关重要的作用。
通过对这些相互作用的研究，可以揭示分子的结构、性质以及化学反应的过程。
这些相互作用可以通过引入耦合项描述，从而得到分子的整体性质。
四、展望与总结量子力学中的相互作用和耦合项是深入研究物质微观结构以及其相互作用的重要工具。
通过对相互作用和耦合项的研究，可以更好地理解物质的性质，探索新的物理现象，并为应用领域如材料科学、量子计算等提供理论基础。
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释1.引言1.1 概述量子力学是描述微观领域的物理学理论，它在20世纪初由一些杰出的科学家如普朗克、爱因斯坦等人奠定了基础。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量是两个重要的概念。
自旋角动量是粒子固有的属性，类似于物体的自转。
它与粒子的旋转对称性有关，可以用半整数来表示。
经过实验证明，自旋角动量在微观领域中起着非常重要的作用，并且与一些基本粒子的特性紧密相关。
自旋角动量的量子化使得粒子的行为在某些情况下表现出了奇特的性质，例如自旋相互作用和贝尔不等式等。
轨道角动量是粒子的运动轨道引起的角动量，与粒子的运动速度和轨道形状有关。
它可以用整数来表示。
轨道角动量在描述粒子围绕某一点或某一轴旋转的过程中的动力学性质时非常有用。
例如，在原子物理学中，轨道角动量可以解释电子在原子轨道中的分布和运动方式。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量可以进行叠加，形成新的总角动量。
这种叠加有一些独特的规则和性质，例如自旋角动量和轨道角动量相互作用会导致总角动量的取值范围发生变化。
这种角动量的叠加在理论和实验研究中非常常见，对于理解粒子行为和物理现象具有重要意义。
本文将通过介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，探讨它们在量子力学中的叠加规律和重要性。
此外，我们还将讨论量子力学中自旋角动量和轨道角动量的一些应用，并对文章进行总结和结论。
这样的研究不仅有助于深入理解量子力学的基本概念和原理，还为未来的量子技术和量子计算领域的发展提供了理论基础和实验指导。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章的结构是为了让读者更好地理解和组织文章内容，使其逻辑清晰、层次分明。
本文将按照以下结构展开讨论：2.正文：本部分将详细介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，并探讨它们的叠加效应。
具体包括以下几个方面的内容：2.1 自旋角动量的定义和性质：介绍自旋角动量的概念和定义，包括自旋角动量的量子化、自旋的本质和自旋之间的相关性质等内容。
量子力学中的角动量及其运算
量子力学中的角动量及其运算量子力学是现代物理学的基石之一，而其中的角动量及其运算则是量子力学中一个重要的概念。
角动量在宏观世界中就已经被我们熟知，比如地球的自转和公转都涉及到角动量。
而在微观世界中，角动量的性质和运算方式则呈现出了与经典物理学截然不同的特点。
在量子力学中，角动量是一个量子态的一个重要的内禀性质，它描述了一个粒子围绕一个轴旋转的特性。
量子力学中的角动量可以分为轨道角动量和自旋角动量两部分。
轨道角动量主要描述了一个粒子在真空中围绕着一个轴旋转的行为。
它的值是量子化的，即只能取特定的数值。
根据量子力学的原理，一个量子态的角动量模长的平方只能是整数倍的普朗克常数除以转动常数。
至于如何进行角动量的运算，量子力学提供了一套严密的数学方法。
对于轨道角动量，我们可以用角动量算符来表示和计算。
角动量算符是通过对角动量的坐标进行偏导数定义的。
具体来说，我们可以用三个分量的角动量算符（Lx、Ly和Lz）来描述一个粒子的角动量。
角动量算符之间的运算遵循一些特定的规则，称为规范对易关系。
这些规则表明，Lx、Ly和Lz之间互相不对易，但它们之间的对易子具有一定的对称性。
根据这些对易关系，我们可以推导出角动量算符的本征值和本征函数。
与轨道角动量不同，自旋角动量是粒子固有的内禀性质。
它描述了粒子通过自旋而产生的角动量。
自旋角动量同样遵循量子化的原理，只能取特定的数值。
自旋角动量的运算方式与轨道角动量类似，也可以通过自旋算符来表示和计算。
自旋算符的分量（Sx、Sy和Sz）之间同样遵循规范对易关系，并且也有对应的本征值和本征函数。
通过角动量和自旋角动量的运算，我们可以获得很多重要的物理结果。
比如，根据量子力学的原理，特定角动量的量子态具有特定的能量。
因此，我们可以通过测量粒子的角动量来得知粒子的能级情况。
此外，角动量在量子力学中还有很多重要的应用。
比如，在原子物理中，角动量可以帮助我们解释分子的结构和能级分裂。
在固体物理中，角动量可以解释晶格中的电子行为和电子能带结构。
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：量子力学是描述微观世界的一门物理学，其中的自旋角动量和轨道角动量是非常重要的量子力学特性。
自旋角动量是粒子固有的性质，可以看作是粒子自身的旋转运动，而轨道角动量则是由粒子绕着原子核运动而产生的角动量。
在量子力学中，这两种角动量可以相互叠加，形成新的角动量状态，这种叠加是量子力学中特有的现象。
让我们来了解一下自旋角动量和轨道角动量分别是什么。
自旋角动量是粒子固有的旋转运动角动量，与粒子的运动状态无关，可以看作是粒子本身围绕自身旋转而产生的角动量。
自旋角动量的大小以及可能的取向取决于粒子的自旋量子数，通常表示为s。
自旋角动量有一个很特殊的性质，即它是量子化的，只能取严格不连续的数值，如1/2，-1/2等。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量可以相互叠加，形成总的角动量。
这种叠加过程可以用量子力学的数学工具来描述，最终得到新的角动量状态。
总的角动量可以用总角动量量子数j来表示，其取值范围为|l-s|，|l-s|+1，…，l+s。
总的角动量对应着不同的角动量态，分别称为角动量本征态。
在叠加之后，总的角动量状态具有特定的性质和行为。
总的角动量对应着不同的角动量量子数，不同的角动量态之间可以发生转变，这种转变又可以通过特定的角动量算符来描述。
总的角动量还可以在外加电场或磁场的作用下发生演化，产生不同的物理效应，如轨道磁矩和自旋磁矩等。
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加是一种非常重要的现象，它展示了微观世界中粒子特有的性质和动力学行为。
通过研究自旋角动量和轨道角动量的叠加，我们可以更好地理解微观粒子的行为，并且为量子力学的发展提供重要的理论支持。
希望今后能有更多的研究能够深入探讨这一领域，为我们揭示更多微观世界的奥秘。
【2000字】第二篇示例：自旋角动量和轨道角动量是量子力学中最重要的两种角动量概念。
它们分别描述了粒子在自身旋转和环绕运动时所具有的角动量特征。
量子力学中的角动量与角动量守恒
量子力学中的角动量与角动量守恒量子力学是研究微观世界中粒子行为的物理学分支，而角动量是量子力学中的一个重要概念。
本文将探讨量子力学中的角动量以及守恒性质。
一、角动量的定义与性质角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的几何形状和运动方式密切相关。
在经典物理中，角动量可以通过物体的质量、位置矢量和速度矢量的叉积来定义。
然而，在量子力学中，由于粒子具有波粒二象性，角动量的定义与经典物理有所不同。
在量子力学中，角动量有两个关键属性：大小和方向。
大小由量子数j表示，而方向由量子数m表示。
这些量子数与角动量算符的本征值有关，通过测量可以得到具体的角动量数值。
二、角动量算符与本征态角动量算符在量子力学中具有重要的地位，它们分别表示对应的角动量分量在三个空间方向上的操作。
常见的角动量算符包括轨道角动量算符L和自旋角动量算符S。
通过对角动量算符的本征态进行测量，可以得到具体的角动量值。
这些本征态通常用球谐函数表示，并具有特定的角动量量子数。
例如，对于轨道角动量算符，其本征矢量即球谐函数Y_lm，其中l表示轨道量子数，m表示磁量子数。
三、角动量守恒定律在量子力学中，角动量守恒是一项重要的基本定律。
它意味着，在一个封闭系统中，角动量的总和在时间上保持不变。
这一定律的重要性在于它对微观粒子行为的限制，以及对物理现象解释的影响。
角动量守恒包括轨道角动量守恒和自旋角动量守恒。
轨道角动量守恒指的是在一个封闭系统中，轨道角动量的总和保持不变。
自旋角动量守恒则指的是系统中粒子的自旋角动量总和保持不变。
四、应用与实验验证角动量的概念和守恒性质在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
例如，在原子物理中，轨道角动量和自旋角动量的守恒性质对于描述原子光谱、电子结构和化学键的性质至关重要。
实验证实了角动量守恒的重要性。
通过实验观测到的自旋和轨道角动量的守恒，科学家们验证了量子力学的正确性，并为进一步研究微观世界的行为提供了重要的基础。
结论量子力学中的角动量与角动量守恒是研究微观世界行为的重要概念和定律。
自旋角动量轨道角动量总角动量关系
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中经常讨论的重要概念。
它们之间的关系不仅在物理学中有着重要的意义，也涉及到了许多其他领域的问题。
在本文中，我将就自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间的关系展开一次深入的探讨。
1. 自旋角动量自旋是微观粒子特有的一种内禀角动量，它不同于经典物理学中的角动量，是一种全新的物理量。
自旋可以用量子数s来描述，通常s=1/2的被称为自旋1/2粒子。
自旋对应了一个新的角动量，即自旋角动量，它是粒子旋转所带来的一种内禀角动量。
自旋角动量与粒子的自旋状态有关，具有两个投影方向，即自旋向上和自旋向下。
自旋角动量的测量值只能为ħ/2或-ħ/2。
2. 轨道角动量在量子力学中，电子在原子内的运动可以用波函数来描述，其中的位置坐标和动量算符是对易的。
由此，我们可以得出一个非常重要的结论：轨道角动量和位置、动量算符对易。
轨道角动量的大小由量子数l 来描述，取值范围为0到n-1，其中n是主量子数。
轨道角动量与电子的轨道运动有关，它的取值是量子化的，即ħ*√(l(l+1))。
轨道角动量在经典力学中对应了电子围绕原子核运动时所具有的角动量。
3. 总角动量总角动量是自旋角动量和轨道角动量之和，它对应了量子力学中的角动量算符。
总角动量的大小和夹角与自旋角动量和轨道角动量的大小和夹角有关。
总角动量的量子数可以用j来描述，其取值范围是|l-s|到l+s。
总角动量量子数的取值是离散的，而且总角动量和自旋角动量的测量值之间有一些特殊的关系。
在量子力学中，自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间存在着一些非常有趣的关系。
通常来说，总角动量算符的本征态是由自旋和轨道角动量算符的本征态进行耦合得到的。
而总角动量和自旋角动量（或轨道角动量）之间还存在着一些相互影响和制约的关系。
对于原子中的电子来说，总角动量可以影响到能级的分裂和跃迁等现象，从而导致原子的一些特殊性质。
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中非常重要的概念，它们之间的关系涉及到了许多量子系统的性质和行为。
(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.
量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论（陇东学院电气工程学院, 甘肃庆阳 745000）摘要：轨道角动量在直角坐标系与球极坐标系下的算符表示及相关推导，同时通过对易关系，得出轨道角动量并不能描写一个可观察量.然后运用力学量算符和波函数的矩阵表示,在给定表象下,讨论电子自旋算符的表示及自旋波函数的构造。
接着讨论角动量的LS耦合，其中主要计算总角动量与角动量分量的共同本征态，并且通过介绍耦合表象与非耦合表象，以及在展开耦合基矢的基础上规定量子数j的取值,进而分析角动量的JJ耦合关键词：角动量;算符；对易关系；自旋；角动量耦合The Disscussion of Angular Momentum and ItsCoupling Question in Quantum Mechemics(Electrical Engineering College, Longdong University， Qingyang 745000， Gansu，China）Abstract：First，using a basic assumption that the mechanical quantities in Quantum Mechanics is the appropriate operatorthe， it discuss the representation of orbital angular momentum optrator in both rectangular and spherical systems and related deduction in the text，at the same time it gets that orbital angular momentum optrator does not describe an observable quantity through the communication relations.Then useing mechanical quantity operator and matrix representation of wave funtion, it discusse the reprentation of the electronic spin operators and retructrue of spin wave funtion in a given reprentation.Nextit discusse the LS coupling of angular momentum, in which it mainly calculate the common eigenstates of the total angular momentum and angular momentum component,and through introdution the coupling and the non—coupling reprentation and determine the values of quantum number j on the basis of expand the coupling vectors, analyzeing the JJ coupling of angular momentum.Key words：angular momentum;operator;commutation relation;spin;angular momentum coupling； clebsh—gordan cofficient0 引言量子力学中有关角动量及其耦合的问题，在很多量子力学教材和文献［1，2，3,4，5，6]中都作过比较简明的阐述，但在许多文献中都是就某一方面进行分析的，并且由于角动量耦合的克莱布希—高登系数计算比较繁琐,大多数教材和文献中都是直接给出或查表得到,只有在一些高等量子力学教材中出现过较简明扼要的计算.本文对量子力学中的角动量及其耦合的问题进行了比较系统的阐述，首先详细讨论轨道角动量在直角坐标系下的算符表示向球极坐标系下的算符表示的推导,进而通过角动量的对易关系得出了轨道角动量的一些重要性质。
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量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论（陇东学院电气工程学院, 甘肃庆阳 745000）摘要：轨道角动量在直角坐标系与球极坐标系下的算符表示及相关推导，同时通过对易关系，得出轨道角动量并不能描写一个可观察量.然后运用力学量算符和波函数的矩阵表示,在给定表象下,讨论电子自旋算符的表示及自旋波函数的构造。
接着讨论角动量的LS耦合，其中主要计算总角动量与角动量分量的共同本征态，并且通过介绍耦合表象与非耦合表象，以及在展开耦合基矢的基础上规定量子数j的取值,进而分析角动量的JJ耦合关键词：角动量;算符；对易关系；自旋；角动量耦合The Disscussion of Angular Momentum and ItsCoupling Question in Quantum Mechemics(Electrical Engineering College, Longdong University， Qingyang 745000， Gansu，China）Abstract：First，using a basic assumption that the mechanical quantities in Quantum Mechanics is the appropriate operatorthe， it discuss the representation of orbital angular momentum optrator in both rectangular and spherical systems and related deduction in the text，at the same time it gets that orbital angular momentum optrator does not describe an observable quantity through the communication relations.Then useing mechanical quantity operator and matrix representation of wave funtion, it discusse the reprentation of the electronic spin operators and retructrue of spin wave funtion in a given reprentation.Nextit discusse the LS coupling of angular momentum, in which it mainly calculate the common eigenstates of the total angular momentum and angular momentum component,and through introdution the coupling and the non—coupling reprentation and determine the values of quantum number j on the basis of expand the coupling vectors, analyzeing the JJ coupling of angular momentum.Key words：angular momentum;operator;commutation relation;spin;angular momentum coupling； clebsh—gordan cofficient0 引言量子力学中有关角动量及其耦合的问题，在很多量子力学教材和文献［1，2，3,4，5，6]中都作过比较简明的阐述，但在许多文献中都是就某一方面进行分析的，并且由于角动量耦合的克莱布希—高登系数计算比较繁琐,大多数教材和文献中都是直接给出或查表得到,只有在一些高等量子力学教材中出现过较简明扼要的计算.本文对量子力学中的角动量及其耦合的问题进行了比较系统的阐述，首先详细讨论轨道角动量在直角坐标系下的算符表示向球极坐标系下的算符表示的推导,进而通过角动量的对易关系得出了轨道角动量的一些重要性质。
接下来讨论自旋角动量的算符表示和波函数的矩阵形式.最后讨论角动量的LS耦合，主要通过比较耦合表象与非耦合表象的异同,详细分析角动量的JJ耦合.1 轨道角动量1.1 轨道角动量算符ˆ=rˆ⨯pˆ在直角笛卡儿坐标中的表示 1.1.1 轨道角动量算符L三个分量算符为⎧ˆ⎧∂∂⎧ˆˆL=yp-zp=y-z⎧xzy ⎧i∂z∂y⎧⎧⎧⎧⎧∂∂⎧⎧ˆˆˆ ⎧L=zp-xp=z—xyxy ⎧ （1）⎧i⎧∂x∂z⎧⎧⎧⎧Lˆ=xpˆ-ypˆ ⎧∂∂⎧⎧zyz=i ⎧x∂y-y∂x⎧⎧平方算符表示为Lˆ2=Lˆ2x+Lˆ2y+Lˆ2z=- 2⎧⎧⎧∂⎧-z∂⎧22⎧⎧y∂z∂y⎧⎧+⎧ ⎧z∂∂x—x∂⎧∂z⎧⎧+⎧2⎧ ⎧x∂∂y-y∂⎧∂x⎧⎧⎧⎧. ⎧1。
1。
2 推导轨道角动量在球极坐标中的算符表示笛卡儿坐标(x,y，z)和球极坐标（r,θ，ϕ）之间的关系为⎧x=rsinθcosϕ，y=rsinθsinϕ，⎧z=rcosθ⎧⎧⎧r2=x2+y2+z2,cosθ=zy r,tanϕ=x将r2=x2+y2+z2两边对x，y，z分别求偏导数,得⎧⎧∂rx⎧∂x=r=sinθsinϕ⎧⎧∂r=y=sinθsinϕ⎧∂yr ⎧⎧∂rz⎧∂z=r=cosθ将cosθ=zr两边分别对x,y，z求偏导数,得⎧⎧∂θ⎧∂x=1z∂rsinθr2∂x=1rcosθcosϕ⎧⎧∂θ1z∂r1⎧∂y=sinθr2∂y=rcosθsinϕ⎧⎧∂θ1z∂r1cos2⎧∂z=θsinθr2∂z=rsinθ再将tanϕ=yx两边分别对x，y,z求偏导数，得 (2) （3）（4) （5)1ysinϕ⎧∂ϕ=-=—⎧∂xsec2ϕx2rsinθ⎧111cosϕ⎧∂ϕ⎧ （6） ==⎧∂ysec2ϕxrsinθ⎧⎧∂ϕ⎧∂z=0联立（4)，(5），(6)式，得⎧⎧∂∂r∂∂θ∂∂ϕ∂⎧∂x=∂x∂r+∂x∂θ+∂x∂ϕ⎧⎧=sinθcosϕ∂+1cosθcos∂1 sinϕ∂⎧∂rrϕ∂θ—rsinθ∂ϕ⎧⎧∂∂r⎧⎧∂y=∂∂y∂r+∂θ∂∂ϕ∂∂y∂θ+∂y∂ϕ。
⎧=sinθsinϕ∂+1cosθsinϕ∂+1cosϕ∂⎧⎧∂rr∂θrsinθ∂ϕ⎧∂=∂r∂+∂θ∂+∂ϕ∂⎧⎧∂z∂z∂r∂z∂θ∂z∂ϕ⎧=cosθ∂—1sinθ∂⎧⎧∂rr∂θ1。
1.3 轨道角动量算符Lˆ=rˆ⨯pˆ在球极坐标中的表示三个分量算符是⎧⎧Lˆ⎧∂⎧x=i ⎧sinϕ∂θ+ctgθcosϕ∂⎧∂ϕ⎧⎧⎧⎧⎧Lˆ=-⎧∂∂⎧⎧yi ⎧cosϕ∂θ-ctgθsinϕ∂ϕ⎧⎧⎧⎧ˆ⎧Lz=—i ∂⎧∂ϕ三个分量算符的平方表示分别为 (7)（8）⎧⎧2∂2∂2∂2⎧22⎧⎧sinϕ∂ϕ2+2ctgθsinϕcosϕ∂θ∂ϕ+ctgθcosϕ∂ϕ2⎧ˆ2=- 2⎧⎧L⎧x⎧⎧⎧∂∂222+ctgθcosϕ—ctgθ+cscθsinϕcosϕ(）⎧⎧⎧∂θ∂ϕ⎧⎧⎧⎧⎧2∂2∂2∂2⎧22⎧⎧cosϕ∂θ2—2ctgθsinϕcosϕ∂θ∂ϕ+ctgθsinϕ∂ϕ2⎧⎧ˆ22⎧⎧ (9）⎧Ly=-⎧⎧∂∂222⎧+ctgθsinϕ+ctgθ+cscθsinϕcosϕ（)⎧⎧⎧∂θ∂ϕ⎧⎧⎧2⎧ˆ22∂⎧Lz=- ∂ϕ2⎧⎧⎧⎧算符平方表示为∂⎧∂⎧1∂2⎧22222⎧1ˆˆˆˆ. (10） L=Lx+Ly+Lz=- ⎧sinθ⎧+22⎧sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ⎧⎧⎧⎧1。
2 轨道角动量算符的对易关系ˆ，Lˆ,Lˆ之间的对易关系为三个分量Lxyzˆ，Lˆ⎧=i Lˆ⎧⎧Lxy⎧z⎧⎧⎧⎧ˆˆ⎧ˆ (11) ⎧⎧Ly，Lz⎧=i Lx⎧ˆ,Lˆ⎧=iLˆ⎧⎧Ly⎧⎧zx⎧即ˆ⨯Lˆ=i Lˆ（12) Lˆ2和Lˆ，Lˆ，Lˆ的对易关系为 Lxyzˆ，Lˆ2⎧=0⎧⎧Lx⎧⎧⎧⎧ˆˆ2⎧ ⎧⎧L⎧y，L⎧=0 （13）⎧ˆ,Lˆ2⎧=0⎧⎧L⎧⎧z⎧ˆ的三个分量Lˆ是厄米矢量算符,ˆ，Lˆ，Lˆ彼此不对易,意味着虽然L 由此可见,轨道角动量算符Lxyz但其并不能描写一个可观察量,不能描写量子力学中所谓轨道角动量这么一个矢量力学量,即是说,量子力学中没有角动量矢量。
虽然经典力学中有轨道角动量,对应到量子力学中就有轨道角动量算符,却不存在轨道角动量,因此,轨道角动量矢量是经典概念而不是量子概念。
量子力学中没有轨道角动量矢量,但是,经典力学中有轨道角动量,特别是有轨道角动量平方及轨道角动量在n方向上的投影。
ˆ和Lˆ和Lˆ,而且Lˆ存在本征值和本值矢量完全集，可以描写对应到量子力学中就有相应的算符Lnn22量子力学中轨道角动量平方以及轨道角动量n分量这样的力学量。
2 自旋角动量2.1 自旋角动量算符自旋角动量算符满足的对易关系为ˆ⨯Sˆ=i Sˆ (14) S在Sˆz表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为⎧⎧Sˆ ⎧01⎧⎧x=2⎧10⎧⎧⎧ ⎧⎧Sˆ⎧0-i⎧⎧y=2⎧i0⎧ ⎧⎧⎧ˆ= 0⎧⎧S⎧1⎧z2⎧0—1⎧⎧因为Sˆ ⎧01⎧ ⎧01⎧ 2⎧10⎧ 2 22x=2 ⎧10⎧⎧2 ⎧10⎧⎧=4 ⎧01⎧⎧=4I=4其中I是单位矩阵。
同样可得Sˆ2222 y=4,Sˆz=4从而可以得到Sˆ2=Sˆ2+Sˆ2+Sˆ2xyz=3 24所以Sˆ2，Sˆ2xy,Sˆ2z和Sˆ2算符都是常数算符。
并且Sˆx,Sˆy，Sˆz满足反对易关系⎧⎧⎧⎧Sˆx，Sˆy⎧⎧+=0 ⎧⎧⎧⎧Sˆy，Sˆz⎧⎧ +=0⎧⎧⎧⎧⎧Sˆz,Sˆx⎧⎧+=02。
2 自旋波函数在Sˆz表象中，自旋角动量的一般态可表示为χ=c1χ1(Sz)+c2χ1（Sz） 2-2其中χ⎧1⎧χ⎧0⎧1（Sz）= ⎧，1(Sz)=⎧ 1⎧⎧；2⎧0⎧—2同理可得（15）（16） (17) (18) (19)(20)⎧⎧χ1（Sx)=⎧2⎧⎧χS=⎧1(y）⎧21⎧1⎧,χS=⎧1(x）⎧2⎧1⎧—22⎧—1⎧。
(21）1⎧1⎧⎧，χ1(Sy)=⎧⎧i⎧—2⎧—i⎧3 总角动量（LS耦合)3。
1 基本关系ˆ之和，即ˆ为轨道角动量Lˆ=rˆ⨯pˆ与自旋角动量S电子的总角动量J Jˆ=Lˆ+Sˆ或Jˆα=Lˆα+Sˆα, α=x,y,z 由于Lˆ与Sˆ属于不同自由度,相应的算符相互对易,即⎧⎧Lˆα,Sˆβ⎧⎧=0，α,β=x,y,z 总角动量仍满足角动量的普遍对易式Jˆ⨯Jˆ=i Jˆ 3.2 下面讨论Jˆ2，Lˆ2，JˆZ的共同本征态波函数的一般形式可写为ψ(r,sz，t)=ψ1(r,t)χ1(sz)+ψ2(r，t)χsz） 2-1（2采用（x，y，z,sz）表象，上式可以表示成ψ（r,sz，t）=ψ⎧1⎧⎧0⎧⎧ψ1(r，t）⎧1(r，t) ⎧0⎧⎧⎧+ψ2（r，t) ⎧1⎧⎧⎧= ⎧ψ⎧2（r,t）⎧⎧归一化条件为⎧⎧⎧ψ+ψdxdydz=⎧⎧⎧(ψ*1ψ1+ψ*2ψ2）dxdydz=1。