量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论(陇东学院电气工程学院, 甘肃庆阳 745000)摘要:轨道角动量在直角坐标系与球极坐标系下的算符表示及相关推导，同时通过对易关系,得出轨道角动量并不能描写一个可观察量。

然后运用力学量算符和波函数的矩阵表示，在给定表象下,讨论电子自旋算符的表示及自旋波函数的构造。

接着讨论角动量的LS耦合, 其中主要计算总角动量与角动量分量的共同本征态，并且通过介绍耦合表象与非耦合表象，以及在展开耦合基矢的基础上规定量子数j的取值,进而分析角动量的JJ耦合关键词:角动量;算符;对易关系;自旋;角动量耦合The Disscussion of Angular Momentum and ItsCoupling Question in Quantum Mechemics(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu, China)Abstract:First,using a basic assumption that the mechanical quantities in Quantum Mechanics is the appropriate operatorthe, it discuss the representation of orbital angular momentum optrator in both rectangular and spherical systems and related deduction in the text,at the same time it gets that orbital angular momentum optrator does not describe an observable quantity through the communication relations.Then useing mechanical quantity operator and matrix representation of wave funtion, it discusse the reprentation of the electronic spin operators and retructrue of spin wave funtion in a given reprentation.Next it discusse the LS coupling of angular momentum, in which it mainly calculate the common eigenstates of the total angular momentum and angular momentum component,and through introdution the coupling and the non-coupling reprentation and determine the values of quantum number j on the basis of expand the coupling vectors, analyzeing the JJ coupling of angular momentum.Key words:angular momentum;operator;commutation relation;spin;angular momentum coupling; clebsh-gordan cofficient0 引言量子力学中有关角动量及其耦合的问题，在很多量子力学教材和文献[1,2,3,4,5,6]中都作过比较简明的阐述,但在许多文献中都是就某一方面进行分析的，并且由于角动量耦合的克莱布希-高登系数计算比较繁琐,大多数教材和文献中都是直接给出或查表得到,只有在一些高等量子力学教材中出现过较简明扼要的计算。

本文对量子力学中的角动量及其耦合的问题进行了比较系统的阐述，首先详细讨论轨道角动量在直角坐标系下的算符表示向球极坐标系下的算符表示的推导,进而通过角动量的对易关系得出了轨道角动量的一些重要性质。

接下来讨论自旋角动量的算符表示和波函数的矩阵形式。

最后讨论角动量的LS耦合，主要通过比较耦合表象与非耦合表象的异同，详细分析角动量的JJ耦合。

1 轨道角动量1.1 轨道角动量算符ˆ=rˆ⨯pˆ在直角笛卡儿坐标中的表示 1.1.1 轨道角动量算符L三个分量算符为⎧ˆ⎛∂∂⎫ˆˆL=yp-zp=y-z⎪xzy ⎪i∂z∂y⎝⎭⎪⎪⎛∂∂⎫⎪ˆˆˆ ⎨L=zp-xp=z-xyxy ⎪ (1)⎪i⎝∂x∂z⎭⎪⎪⎪Lˆ=xpˆ-ypˆ ⎛∂∂⎫⎩zyz=i ⎝x∂y-y∂x⎪⎭平方算符表示为Lˆ2=Lˆ2x+Lˆ2y+Lˆ2z=- 2⎡⎢⎛∂⎢-z∂⎫22⎣⎝y∂z∂y⎪⎭+⎛⎝z∂∂x-x∂⎫∂z⎪⎭+⎛2⎤⎝x∂∂y-y∂⎫∂x⎪⎭⎥⎥. ⎦1.1.2 推导轨道角动量在球极坐标中的算符表示笛卡儿坐标（x,y,z）和球极坐标（r,θ,ϕ）之间的关系为⎧x=rsinθcosϕ,y=rsinθsinϕ, ⎪z=rcosθ⎨⎪⎩r2=x2+y2+z2,cosθ=zy r,tanϕ=x将r2=x2+y2+z2两边对x,y,z分别求偏导数,得⎧⎪∂rx⎪∂x=r=sinθsinϕ⎪⎨∂r=y=sinθsinϕ⎪∂yr ⎪⎪∂rz⎩∂z=r=cosθ将cosθ=zr两边分别对x,y,z求偏导数,得⎧⎪∂θ⎪∂x=1z∂rsinθr2∂x=1rcosθcosϕ⎪⎨∂θ1z∂r1⎪∂y=sinθr2∂y=rcosθsinϕ⎪⎪∂θ1z∂r1cos2⎩∂z=θsinθr2∂z=rsinθ再将tanϕ=yx两边分别对x,y,z求偏导数,得 (2) (3) (4) (5)1ysinϕ⎧∂ϕ=-=-⎪∂xsec2ϕx2rsinθ⎪111cosϕ⎪∂ϕ⎨ (6) ==⎪∂ysec2ϕxrsinθ⎪⎪∂ϕ⎩∂z=0联立(4),(5),(6)式,得⎧⎪∂∂r∂∂θ∂∂ϕ∂⎪∂x=∂x∂r+∂x∂θ+∂x∂ϕ⎪⎪=sinθcosϕ∂+1cosθcos∂1sinϕ∂⎪∂rrϕ∂θ-rsinθ∂ϕ⎪⎪∂∂r⎪⎨∂y=∂∂y∂r+∂θ∂∂ϕ∂∂y∂θ+∂y∂ϕ.⎪=sinθsinϕ∂+1cosθsinϕ∂+1cosϕ∂⎪⎪∂rr∂θrsinθ∂ϕ⎪∂=∂r∂+∂θ∂+∂ϕ∂⎪⎪∂z∂z∂r∂z∂θ∂z∂ϕ⎪=cosθ∂-1sinθ∂⎪⎩∂rr∂θ1.1.3 轨道角动量算符Lˆ=rˆ⨯pˆ在球极坐标中的表示三个分量算符是⎧⎪Lˆ⎛∂⎪x=i ⎝sinϕ∂θ+ctgθcosϕ∂⎫∂ϕ⎪⎭⎪⎪⎨Lˆ=-⎛∂∂⎫⎪yi ⎝cosϕ∂θ-ctgθsinϕ∂ϕ⎪⎭⎪⎪ˆ⎪Lz=-i ∂⎩∂ϕ三个分量算符的平方表示分别为 (7)(8)⎧⎡2∂2∂2∂2⎤22⎪⎢sinϕ∂ϕ2+2ctgθsinϕcosϕ∂θ∂ϕ+ctgθcosϕ∂ϕ2⎥ˆ2=-2⎢⎪L⎥x⎪⎢⎥∂∂222+ctgθcosϕ-ctgθ+cscθsinϕcosϕ()⎪⎢⎥∂θ∂ϕ⎣⎦⎪⎪⎡2∂2∂2∂2⎤22⎪⎢cosϕ∂θ2-2ctgθsinϕcosϕ∂θ∂ϕ+ctgθsinϕ∂ϕ2⎥⎪ˆ22⎢⎥ (9) ⎨Ly=-⎢⎥∂∂222⎪+ctgθsinϕ+ctgθ+cscθsinϕcosϕ()⎢⎥⎪∂θ∂ϕ⎣⎦⎪2⎪ˆ22∂⎪Lz=- ∂ϕ2⎪⎪⎪⎩算符平方表示为∂⎛∂⎫1∂2⎤22222⎡1ˆˆˆˆ. (10) L=Lx+Ly+Lz=- ⎢sinθ⎪+22⎥sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ⎝⎭⎣⎦1.2 轨道角动量算符的对易关系ˆ,Lˆ,Lˆ之间的对易关系为三个分量Lxyzˆ,Lˆ⎤=i Lˆ⎧⎡Lxy⎦z⎣⎪⎪⎡ˆˆ⎤ˆ (11) ⎨⎣Ly,Lz⎦=i Lx⎪ˆ,Lˆ⎤=i Lˆ⎪⎡Ly⎩⎣zx⎦即ˆ⨯Lˆ=i Lˆ (12) Lˆ2和Lˆ,Lˆ,Lˆ的对易关系为 Lxyzˆ,Lˆ2⎤=0⎧⎡Lx⎦⎪⎣⎪ˆˆ2⎤⎨⎡L⎣y,L⎦=0 (13)⎪ˆ,Lˆ2⎤=0⎪⎡L⎩⎣z⎦ˆ的三个分量Lˆ是厄米矢量算符,ˆ,Lˆ,Lˆ彼此不对易,意味着虽然L 由此可见,轨道角动量算符Lxyz但其并不能描写一个可观察量,不能描写量子力学中所谓轨道角动量这么一个矢量力学量，即是说,量子力学中没有角动量矢量。

虽然经典力学中有轨道角动量,对应到量子力学中就有轨道角动量算符,却不存在轨道角动量,因此,轨道角动量矢量是经典概念而不是量子概念。

量子力学中没有轨道角动量矢量,但是,经典力学中有轨道角动量,特别是有轨道角动量平方及轨道角动量在n方向上的投影。

ˆ和Lˆ和Lˆ,而且Lˆ存在本征值和本值矢量完全集,可以描写对应到量子力学中就有相应的算符Lnn22量子力学中轨道角动量平方以及轨道角动量n分量这样的力学量。

2 自旋角动量2.1 自旋角动量算符自旋角动量算符满足的对易关系为ˆ⨯Sˆ=i Sˆ (14) S在Sˆz表象中,自旋角动量的分量算符的矩阵表示为⎧⎪Sˆ ⎛01⎫⎪x=2⎝10⎪⎭⎪⎪⎨Sˆ⎛0-i⎫⎪y=2⎝i0⎪⎭⎪⎪ˆ= 0⎫⎪S⎛1⎩z2⎝0-1⎪⎭因为Sˆ ⎛01⎫⎛01⎫ 2⎛10⎫ 2 22x=2 ⎝10⎪⎭2 ⎝10⎪⎭=4 ⎝01⎪⎭=4I=4 其中I是单位矩阵。

同样可得Sˆ2222 y=4,Sˆz=4从而可以得到Sˆ2=Sˆ2+Sˆ2+Sˆ2xyz=3 24所以Sˆ2,Sˆ2xy,Sˆ2z和Sˆ2算符都是常数算符。

并且Sˆx,Sˆy,Sˆz满足反对易关系⎧⎪⎡⎣Sˆx,Sˆy⎤⎦+=0 ⎪⎨⎡⎣Sˆy,Sˆz⎤⎦ +=0⎪⎪⎩⎡⎣Sˆz,Sˆx⎤⎦+=02.2 自旋波函数在Sˆz表象中,自旋角动量的一般态可表示为χ=c1χ1(Sz)+c2χ1(Sz) 2-2其中χ⎛1⎫χ⎛0⎫1(Sz)= ⎪,1(Sz)=⎝ 1⎭⎪;2⎝0⎭-2同理可得(15) (16) (17) (18) (19)(20)⎧⎪χ1(Sx)=⎪2⎨⎪χS=⎪1(y)⎩21⎫1⎫,χS=⎪1(x)⎪2⎝1⎭-22⎝-1⎭. （21）1⎫1⎫⎪,χ1(Sy)=⎪⎝i⎭-2⎝-i⎭3 总角动量(LS耦合)3.1 基本关系ˆ之和，即ˆ为轨道角动量Lˆ=rˆ⨯pˆ与自旋角动量S电子的总角动量J Jˆ=Lˆ+Sˆ 或Jˆα=Lˆα+Sˆα, α=x,y,z 由于Lˆ与Sˆ属于不同自由度,相应的算符相互对易,即⎡⎣Lˆα,Sˆβ⎤⎦=0, α,β=x,y,z 总角动量仍满足角动量的普遍对易式Jˆ⨯Jˆ=i Jˆ 3.2 下面讨论Jˆ2,Lˆ2,JˆZ的共同本征态波函数的一般形式可写为ψ(r,sz,t)=ψ1(r,t)χ1(sz)+ψ2(r,t)χsz) 2-1(2采用(x,y,z,sz)表象,上式可以表示成ψ(r,sz,t)=ψ⎛1⎫⎛0⎫⎛ψ1(r,t)⎫1(r,t) ⎝0⎪⎪⎭+ψ2(r,t) ⎝1⎪⎪⎭= ⎝ψ⎪2(r,t)⎪⎭归一化条件为⎰⎰⎰ψ+ψdxdydz=⎰⎰⎰(ψ*1ψ1+ψ*2ψ2)dxdydz=1.∞∞如果采用球极坐标(r,θ,ϕ),则本征函数表示成ψ(θ,ϕ,sψ⎛ψ1(θ,ϕ)⎫z)=1(θ,ϕ)χ1(sz)+ψ2(θ,ϕ)χ1(sz)= 2-2⎝ψ(θ,ϕ)⎪2⎪⎭, 试令：ψ(θ,ϕ,sz)=c1Ylml(θ,ϕ)χ1(sz)+c2Ylml(θ,ϕ)χ-1(sz) 22征函数,ψ应满足Jˆz的本征方程Jˆzψ=(Lˆz+Sˆz )ψ=m⎛1⎫j ψ= ⎝m+2⎪⎭ψ 只须m1=m,m2=m+1,有ψ=c1Ylmχ1+c2Ylm+1χ2-1 2(22) (23) （24） (25) (26)(27) (28) (29) 作为Jˆz的本(30)(31)ˆ的本征函数,应该满足Jˆ的本征方程又ψ作为J22ˆψ=Lˆ2+2Sˆ⋅Lˆ2+ σ⋅Lψ (32) ˆ2ψ=Lˆ+Sˆ2+Sˆψ=Lˆ2+S J即ψ应该满足σ⋅L的本征方程。