多边形的内角和外角和
简述戴维宁定理和诺顿定理
简述戴维宁定理和诺顿定理
戴维宁定理和诺顿定理是几何学中的重要定理，它们有着深远的影响，在很多几何学中得到了广泛的应用。
戴维宁定理是一个关于多边形内角和外角之和的定理，即：任何一个多边形的内角和外角之和为360度。
这个定理在
1732年由瑞典数学家戴维宁首次提出，它是几何学中一个最
基本的定理，在很多几何学中都得到了广泛的应用。
诺顿定理是一个关于多边形内角和外角之和的定理，即：任何一个多边形的内角和外角之和为2π。
这个定理在1841年
由英国数学家诺顿首次提出，它也是几何学中一个非常重要的定理，在几何学中得到了广泛的应用。
戴维宁定理和诺顿定理都是在多边形内角和外角之和的定理，但是它们的推导方法却有所不同。
戴维宁定理是基于几何学中基本的定理，它是由一个多边形的角度进行推导的；而诺顿定理是基于微分几何学中基本的定理，它是由多边形内角和外角之和的微分方程进行推导的。
戴维宁定理和诺顿定理都是几何学中重要的定理，它们的推导方法不同，但它们的应用范围却是相同的，它们都可以用来解决几何学中的问题，比如：多边形的面积、多边形的周长等。
总之，戴维宁定理和诺顿定理是几何学中重要的定理，它们有着深远的影响，在很多几何学中得到了广泛的应用，它们都可以用来解决几何学中的问题。
多边形的内角和与外角和
第六章平行四边形
4. 多边形的内角和与外角和（一）
一、教学目标
1、掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想
2、经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．
二、创设现实情境，引入新课
组织学生观看视频，进入新课
三、自主探究
1、四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？
2、在四边形内角和的探索过程中，用到了几种方法，你认为哪种方法好？请讲述你的理由。
3．根据四边形的内角和的求法，你能否求出五边形的内角和呢？
4．小组合作，完成下面的表格。
6．从表格中你发现了什么规律？
四、巩固训练
1．如图6-24，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B与∠D有怎样的关系？
2．一个多边形的内角和为1440°，则它是几边形？
3．一个多边形的边数增加1，则它的内角和将如何变化？
五、拓展延伸
1．想一想：观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
正多边形定义：
2．议一议：
①一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
②一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
3．练一练：
①正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
②正边形的内角是多少度？
③一个正多边形的每个内角都是150°，求它的边数？
六、知识小结
1．过本节课的学习，你学到了哪些知识？有何体会？（多边形的有关概念、正多边形、多边形的内角和定理，并能利用公式进行计算）。
多边形的内角和与外角和练习题及其完整答案
多边形的内角和与外角和➢基础巩固题一、填空题1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______.2.五边形的内角和等于______度.3.十边形的对角线有_____条.4.正十五边形的每一个内角等于_______度.5.内角和是1620°的多边形的边数是________.6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______.二、选择题7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( )A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( )A.5B.6C.7D.89.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( )A.4B.5C.6D.810.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( )A.600°B.720°C.900°D.1080°11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( )A.八边形B.十边形C.十二边形D.十四边形12.用下列两种正多边形能拼地板的是( )A.正三角形和正八边形B.正方形和正八边形C.正六边形和正八边形D.正十边形和正八边形三、解答题13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.➢ 强化提高题16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的23, 求这个多边形的边数及内角和.17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长.EF DB C A➢ 课外延伸题19.若两个多边形的边数之比是1:2,内角和度数之比为1:3, 求这两个多边形的边数.20.如果多边形恰有四个内角是钝角,那么多边形的边数共有几种可能? 其中最多是几边形?最少是几边形?➢中考模拟题22.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.23.一个多边形除了一个内角等于α,其余角的和等于2750°,求这个多边形的边数及α.24.一个广场地面的一部分如图所示,地面的中央是一块正六边形的地砖, 周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成,从里往外共12层(不包括中央的正六边形地砖),每一层的外界都围成一个多边形.若中央正六边形地砖的边长是0.5米, 则第12层的外边界所围成的多边形的周长是多少?一、1、42、540°3、354、156°5、116、3,4,6二、7、C8、C9、C10、A11、B12、B三、13、1080°14、1015、80° 816、5 540°17、15（延长三边相交）19、4,820、最少五边形，最多七边形22、∠A=140°∠B=100°∠C=40°∠D=80°23、18 130°24、6n+6 39。
多边形的定义及内角和、外角和
多边形相关定义：多边形：在平面内，有一些线段首尾顺序依次相接组成的封闭图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都是在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
一个n变形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，所有对角线的数量是n(n-3)/2条。
多边形的内角和、外角和设多边形有n条边，N边形内角和公式：(N-2)×180°（注n边形可分成（n-2）个三角形，（n-2）个三角形没有内角是重合的）正n边形的每个内角等于n-2/n×180°，每个外角等于360°/n任何多边形外角和为360度，与多边形的边数无关。
设多边形的边数为N则其内角和＝（N－2）*180°因为N个顶点的N个外角和N个内角的和＝N*180°（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）所以N边形的外角和＝N*180°－（N－2）*180°＝N*180°－N*180°＋360°＝360°即N边形的外角和等于360°设多边形的边数为N 则其外角和＝360°因为N个顶点的N个外角和N个内角的和＝N*180°（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）所以N边形的内角和＝N*180°－360°＝N*180°－2*180°＝（N－2）*180°即N边形的内角和等于（N－2）*180°。
《多边形的内角和与外角和》知识清单
《多边形的内角和与外角和》知识清单一、多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
如果一个多边形有 n 条边，那么就称这个多边形为 n 边形。
比如，三角形就是有 3 条边的多边形，四边形就是有 4 条边的多边形，以此类推。
二、多边形的内角和1、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。
这是一个基本且重要的定理，可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以形成一个平角，也就是 180°。
2、四边形的内角和四边形可以分成两个三角形，因为三角形内角和是 180°，所以四边形的内角和是 360°。
3、 n 边形的内角和从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，将 n 边形分成（n 2）个三角形。
所以 n 边形的内角和为（n 2）×180°。
例如：五边形的内角和＝（5 2）×180°＝ 540°六边形的内角和＝（6 2）×180°＝ 720°三、多边形的外角和1、外角的定义多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。
2、外角和的定义在每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。
3、多边形外角和的性质任意多边形的外角和都为 360°。
不管是三角形、四边形还是 n 边形，它们的外角和始终是 360°。
例如，三角形的三个外角和为 360°，四边形的四个外角和也是 360°。
四、内角和与外角和的应用1、已知内角和求边数如果已知一个多边形的内角和，可以通过内角和公式（n 2）×180°来求出边数 n。
例如，一个多边形的内角和为1080°，则有（n 2）×180°＝1080°，解得 n ＝ 8，所以这个多边形是八边形。
2、已知边数求内角和如果已知多边形的边数 n，可以直接使用公式（n 2）×180°求出内角和。
多边形内角和外角
多边形内角和外角多边形是几何学中重要的概念之一，它由若干条边和相应的角所组成。
多边形内角和外角是多边形的重要属性，它们在数学和几何学中具有重要意义。
1. 多边形内角多边形内角指的是多边形内部的相邻两条边所围成的角。
一般来说，n边形（n≥3）的内角和可以通过以下公式计算得到：内角和 = (n - 2) × 180°例如，一个三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，以此类推。
这个公式适用于所有的n边形。
2. 多边形外角多边形外角指的是多边形的一边与其相邻两边所围成的角。
多边形的每个外角所对应的内角可以通过以下公式计算得到：内角 = 180° - 外角由此可见，多边形内角和外角之间存在着特殊的关系。
例如，一个三角形的外角与其相对的内角之和为180°，四边形的外角与其相对的内角之和为360°，五边形的外角与其相对的内角之和为540°，以此类推。
3. 多边形内角和外角的性质多边形内角和外角有一些重要的性质：(1) 任意n边形的内角和等于360°。
(2) 多边形的每个外角与其相对的内角之和等于180°。
(3) 在任意n边形中，外角与内角所对应的边所夹的角度是相等的。
通过这些性质，我们可以在解决与多边形相关的问题时，更加方便地计算内角和外角的数值。
4. 例题解析让我们通过几个例题来更好地理解多边形内角和外角的概念。
例题1：一个六边形的内角和是多少？解析：根据公式，六边形的内角和可以通过计算得到：内角和 = (6 - 2) × 180° = 720°答案为720°。
例题2：一个六边形中的某个外角大小为60°，则这个外角所对应的内角是多少？解析：根据性质，外角与对应的内角之和为180°，所以这个外角所对应的内角大小为180° - 60° = 120°。
多边形的内角和与外角和
三、多边形的内角和与外角和学前热身自学提示1.了解多边形及多边形的内角、外角等概念，2.掌握多边形的内角和与外角和定理，并会利用它们进行有关计算.释疑解惑1．多边形的定义一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．2．正多边形的定义如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形．3．多边形的内角和定理n边形的内角和等于（n－2）·180°．4．多边形的外角和定理注意任何多边形的外角和都为360°．5．多边形的对角线条数公式n边形，从一个顶点出发可引（n－3）条对角线，共有3)n(n21－条对角线．6．研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题资料查阅将多边形“转化”成三角形来研究“转化”的方法，是一种化繁为简﹑化难为易﹑化未知为已知的重要数学方法.比如我们在熟知了三角形的许多性质后，就可将四边形﹑五边形﹑…﹑n边形的问题，转化为三角形问题来研究.如图，连接AC，四边形ABCD的内角和就转化成△ADC﹑△ABC这两个三角形内角之总和；或如图，在四边形的一边上任取一点P，将四边形的四个内角和化成△APD ﹑△DPC﹑△CPB的内角总和减去平角∠APB（或△APB的内角和）：或如图，在四边形外任取一点P，将四边形的四个内角和化成△APD﹑△DPC﹑△CPB的内角之和与△APB 的内角和的差：或如图，在四边形内任取一点P，则四边形的内角和等于四个三角形的内角总和减去周角∠P. 不论用哪一种方法，都容易求出四边形的内角和为360°.尽管这些方法各有不同，但都具有一个共同点：将四边形问题转化成三角形问题来研究.其中以第一种转化方法最简易.类似地不难求出五边形﹑六边形﹑七边形﹑…n边形的内角和分别为540°﹑720°﹑900°﹑（n-2）180°.又比如，三角形没有对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，那么六边形﹑七边形﹑…n边形有多少条对角线呢？我们可以知道，当n＞3时，从多边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，这样n个顶点就有n（n-3）条对角线，但其中有重复的对角线，如AC与CA实际上是一条，所以n边形总共有n（n-3）/2条对角线。
多边形内角和与多边形外角和
多边形内角和与多边形外角和是初中数学重要内容，在解题中如能将这两者巧妙结合起来，可以化难为易，事半功倍的效果，现举例说明.例1.一个多边形每一个内角都是144°，求此多边形的边数。
析解：本题有两种思路：思路一：设边数为n，由内角和公式列方程: (n-2)·180°=n·144°，解得n=10.思路二：先求出外角的度数，再由外角和公式求边数：多边形每一个外角为180°-144°=36°，所以边数为360°÷36°=10.评注：比较这两种思路，不难发现思路二较好，通过内外角的关系求出外角，再根据多边形外角和直接求出边数.例2.多边形的外角中最多有几个钝角？内角中最多有几个锐角？析解：若一个多边形有4个外角为钝角，则多边形外角和大于360°，这与多边形外角和等于360°相矛盾，可见多边形外角中最多有3个钝角.第二个问题实际上与第一个问题是同一个问题，因为内角为锐角，外角必为钝角，根据第二个问题可知多边形外角中最多有3个钝角，其相应内角为锐角，可见多边形最多有3个内角为锐角.例3.已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？析解：本题与例2相类似，根据例2中的结论：n边形外角中最多有3个钝角，而本题中的 n边形恰有四个内角是钝角，即 n边形恰有四个外角是锐角，所以可分三种情况进行讨论：（1）若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；（2）若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；（3）若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；所以其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形.[回答2] 7条边. 凸边形不管几条边，外角和是360度，内角度数越大，边数越多，即该四边形4个钝角，其他角都是直角. 由此设边数为N，即内角个数也为N，4个钝角对应的外角度数分别为ABCD，联立方程：. （N-4）*90度+A+B+C+D=360 . N 属于正整数. 0>A,B,C,D>90. 要想N最大，A,B,C,D的和需要无限趋近于0，按照都为0近似得到N=8. 所以最多7条边例1. 如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数。
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多边形的内角和外角和
多边形是几何学中的一个基本概念，指的是由多条线段组成的闭合
图形。
在多边形中，每个顶点都有相应的内角和外角。
本文将探讨多
边形内角和外角的性质以及它们的和。
一、内角和的性质
1. 正多边形的内角和：对于一个正多边形，内角和等于360°。
例如，一个正三角形的每个内角为60°，三角形的内角和为180°；一个正四边形的每个内角为90°，四边形的内角和为360°。
2. 不规则多边形的内角和：对于不规则多边形，内角和取决于它的
边数和形状。
我们可以通过以下公式来计算不规则多边形的内角和：内角和 = (n - 2) × 180°，其中n表示多边形的边数。
3. 三角形的内角和：三角形是最简单的多边形，它的内角和始终为180°。
这可以通过欧拉公式证明：每个三角形可以划分为三个顶点，
每个顶点都对应了一个内角，因此三角形的内角和为180°。
二、外角和的性质
1. 外角和的性质：在任何一个凸多边形中，外角和等于360°。
凸多
边形的外角和是通过将每个顶点的外角相加得出的。
2. 凹多边形的外角和：与凸多边形不同，凹多边形中的外角和可能
大于360°。
原因在于凹多边形中某些外角的度数可能大于180°。
三、内角和与外角和的关系
内角和和外角和存在一个重要的关系：内角和加上外角和等于360°。
这是因为内角和和外角和分别计算了多边形内部和外部的角度总和，
它们加起来完全覆盖了一个平面。
结论：
多边形的内角和是由多边形的边数和形状所决定的，而外角和则是
由多边形的凸凹性质决定的。
无论多边形的类型如何，内角和加上外
角和始终等于360°，这是一个重要的性质。
在几何学中，了解多边形内角和和外角和的性质对于解决各种与多
边形相关的问题非常有帮助。
通过计算内角和和外角和，我们可以更
好地理解多边形的结构和性质，从而应用于实际问题的解决。
【参考资料】
- 《几何学教程》
- 《初中数学教学参考书》
以上为多边形的内角和外角和的相关内容。