高等量子力学 轨道角动量
第3章_量子力学中的角动量
U = −M ⋅ B = −MB cosθ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按错误！未找到引用源。式，原子在 z 方向所受的力是
Fz
= − ∂U ∂z
=
M
∂B cosθ ∂z
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cosθ =+1 和-1 两个值。
为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电
36
电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色: (a) 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。 (b) 它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当 → 0 时，自旋效应消失 这可以从错误！未找到引用源。式看出。 (c) 它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向 的投影只取± / 2 两个值。 （1）、自旋算符 自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。自旋既然是角动量， 自旋算符必须满足
40
χ (1) = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ (2) = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (3) = χ1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (4) = χ−1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) 3、耦合表象（ S 2, Sz ）的基矢 （ S 2 , Sz ）的本征态可以由（ S1z ，S2z ）的本征态 χ1/ 2 (s1z ) ，χ−1/ 2 (s1z ) ，χ1/ 2 (s2z ) ，χ−1/ 2 (s2z ) 组合得到 χ11 = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ1,−1 = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z )
高等量子力学 角动量算符和角动量表象 自旋表象PPT课件
ml
2l
4
1
Pl
cos
(8.72)
式中 1,1 和 2 ,2 代表两个单位矢量的方向,而 是二矢量间
的夹角.
另一个有用公式为
eikr 4
l
il jl
kr Ylm*
ek
Ylm
er
l0 ml
2l 1il jl krPl cos
(8.73)
式中
r r r 2dr 1，
r r 1 r r
r2
sindd 1 （7.59）
1
sin
（7.62）
这 样 , 空 间 的 态 矢 量 g 可 以 有 两 种 表 象 : 表 象
g g和 lm 表象 lm g .前者是连续表象而后者是离散
表象. 球谐函数
lm Ylm,
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自旋算符 S 是一个矢量厄米算符, 通常取 S 2 和 Sz 作为对易
算符完备组,讨论它们的共同本征矢量 sm .
S 2 sm ss 12 sm
Sz sm m sm
根据前面角动量的普遍讨论, 量子数 s 和 m 的可能取值如下:
s 0, 1 2, 1, 3 2, 2, m s,s 1,s 1, s 自旋与轨道角动量不同的特点是, 非复合粒子的自旋量子数 s 只能取 一个值, 例如电子 s 取1 2 ; 在基本稳定的粒子态中, 所有的轻子和
为此，引入两个算符 J 和 J ：
Ji , J j i ijk Jk
k
J J x iJ y
（8.6）
这两个算符不是厄米算符，因而它们不是物理量；但它们有很重要的作用，满足
J
J
即二者互为伴算符。它们与 J 2 和 J z 的对易关系是
量子力学轨道角动量公式
量子力学轨道角动量公式
量子力学中轨道角动量的量子化公式是一个重要的公式，我们来仔细解释一下。
轨道角动量是指一个微观粒子绕着某一点旋转的角动量，它的量子化是指角动量只能取固定的值，不可以连续取值。
量子化的大小由一个整数l来描述，称之为轨道角量子数，它的取值范围是0、1、2、3……（整数），对应着不同的轨道形状。
而轨道角动量的大小则是由角动量量子数j来描述的，它的取值范围是l、l+1、l+2、……2l-1、2l，这些取值共有2l+1个，对应着不同方向上的角动量分量。
那么，量子力学中轨道角动量的量子化公式为：
L^2 = l(l+1)h^2 / 4π^2
其中，L^2是轨道角动量的平方，h是普朗克常数，π是圆周率。
这个公式告诉我们，轨道角动量的大小只能取某些固定值，这些取值由轨道角量子数l确定，并且当轨道角量子数确定时，轨道角动量的
大小也就被确定了。
值得注意的是，这个公式只适用于轨道角动量，而不适用于自旋角动量。
总之，量子力学中轨道角动量的量子化公式是一个非常重要的公式，它描述了微观粒子的轨道运动方式和角动量的量子化现象，是量子力学理论中必不可少的一部分。
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释1.引言1.1 概述量子力学是描述微观领域的物理学理论，它在20世纪初由一些杰出的科学家如普朗克、爱因斯坦等人奠定了基础。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量是两个重要的概念。
自旋角动量是粒子固有的属性，类似于物体的自转。
它与粒子的旋转对称性有关，可以用半整数来表示。
经过实验证明，自旋角动量在微观领域中起着非常重要的作用，并且与一些基本粒子的特性紧密相关。
自旋角动量的量子化使得粒子的行为在某些情况下表现出了奇特的性质，例如自旋相互作用和贝尔不等式等。
轨道角动量是粒子的运动轨道引起的角动量，与粒子的运动速度和轨道形状有关。
它可以用整数来表示。
轨道角动量在描述粒子围绕某一点或某一轴旋转的过程中的动力学性质时非常有用。
例如，在原子物理学中，轨道角动量可以解释电子在原子轨道中的分布和运动方式。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量可以进行叠加，形成新的总角动量。
这种叠加有一些独特的规则和性质，例如自旋角动量和轨道角动量相互作用会导致总角动量的取值范围发生变化。
这种角动量的叠加在理论和实验研究中非常常见，对于理解粒子行为和物理现象具有重要意义。
本文将通过介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，探讨它们在量子力学中的叠加规律和重要性。
此外，我们还将讨论量子力学中自旋角动量和轨道角动量的一些应用，并对文章进行总结和结论。
这样的研究不仅有助于深入理解量子力学的基本概念和原理，还为未来的量子技术和量子计算领域的发展提供了理论基础和实验指导。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章的结构是为了让读者更好地理解和组织文章内容，使其逻辑清晰、层次分明。
本文将按照以下结构展开讨论：2.正文：本部分将详细介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，并探讨它们的叠加效应。
具体包括以下几个方面的内容：2.1 自旋角动量的定义和性质：介绍自旋角动量的概念和定义，包括自旋角动量的量子化、自旋的本质和自旋之间的相关性质等内容。
高等量子力学17-角动量耦合演示文稿
m1 j1 m2 j 2 j1 j 2
j1
j1 j 2 * j1 j 2 S S j 'm'm1m2 m1m2 jm j ' j m'm j
j2
j j1 j 2 m j
j1 j 2 j1 j 2 * S S m1 'm2 ' jm jmm1m2 m1 'm1 m2 'm2
2 2 和 J z J1z J 2 z J ( J J ) 大系统的总角动量为 1 2
本征矢量为 j1 j2 jm
2
描写大系统的态矢量随空间转动而变的那一 部分，从两个子系统角度讲是在空间
jm
1
1
j2m j1 j2 jm 中，两组基矢所张的空间是同一个空间，两组 ， 基矢可以通过一个幺正变换相联系。
由二项式定理得
( J 1 J 2 )
j m
( j m)! ( J 1 ) s ( J 2 ) j m s s s!( j m s )!
s
则有
( J1 J 2 ) j m j1m1 j2 m2
( j m)! ( J1 ) s j1m1 ( J 2 ) j m s j2 m2 s!( j m s)!
一、Clebsch-Gordan系数（CG系数）
任何系统所在的Hilbert空间总可以写成两个空间 的直积： 其中 不受空间转动的影响，
在空间转动时要发生相应的变化。
后一空间的基矢 jm 就是这个系统角动量本征矢量。
2 J 设子系统1的角动量算符为 1 和 J1z，本征矢量为 j1m1 2 J 子系统2的相应量为 2 ，J 2 z 和 j2m2
轨道角动量 量子力学
轨道角动量：探究微观世界的奇妙旋转1. 引言在量子力学的世界里，微观粒子以一种奇特而又令人困惑的方式旋转着。
这种旋转被称为轨道角动量，是研究微观世界的重要工具之一。
本文将深入探讨轨道角动量在量子力学中的重要性，以及它所带来的深入解析和理解。
2. 轨道角动量的概念轨道角动量是描述微观粒子运动状态的物理量之一，用来描述粒子沿固定轨道运动时的旋转运动。
在量子力学中，轨道角动量的大小和方向是量子化的，它的量子数决定了粒子所处旋转状态的特性。
在经典物理学中，轨道角动量的定义为L=mvr，其中m是粒子的质量，v是粒子的速度，r是粒子绕某个轴旋转的半径。
然而，在量子力学中，轨道角动量的情况变得更加复杂。
根据量子力学的理论，轨道角动量不再仅仅是一个简单的物理量，而是一个由一系列由哈密顿算符的本征向量所构成的完备集。
这些本征向量对应着不同的量子态，不同的量子态对应着具有不同角动量的粒子。
3. 轨道角动量量子化根据量子力学的理论，轨道角动量的大小由量子数l决定，量子数l的取值范围为0到无穷大。
每个量子数所代表的角动量大小为√l(l+1)ℏ，其中ℏ是约化普朗克常数。
对于给定的量子数l，轨道角动量的投影量子数m的取值范围为−l,−(l−1),...,l−1,l。
每个投影量子数对应着轨道角动量在空间中的方向。
这个量子化的特性将粒子的旋转状态分为多个离散的状态，这与经典物理学中连续的旋转状态形成鲜明对比。
4. 轨道角动量在原子物理中的应用轨道角动量在原子物理中扮演着重要的角色。
事实上，通过对轨道角动量的研究，科学家们能够更深入地了解原子的性质和行为。
轨道角动量解释了为什么原子中的电子在某些情况下会呈现环状的运动轨道。
根据量子力学的理论，对于给定的原子能级和量子数，电子将固定在特定半径的轨道上旋转。
这些轨道在空间中形成了一个奇特的“云”状分布，这也是我们熟知的原子壳层模型的基础。
轨道角动量解释了为什么原子中的电子在不同壳层具有不同的能级和性质。
高等量子力学 角动量的本征值和本征态
s in
x
方括号中的微分算符与拉普拉斯算符在球坐标 表示的角度部分仅差一因子1/r2（即轨道角动 量与转动部分的动能相联系）。
二、球谐函数
无自旋粒子受球对称势作用，波动方程在球坐标下可 分离变量，能量本征函数可写为
n是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对
称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz
值增加 。
又由于J±与J2对易, J±不改变J2的本征值. 即： J±|a,b> = c±|a,b> ， c±由归一化条件确定。
三、J2与Jz的本征值
由于
J
2
JБайду номын сангаас
2 z
J
2 x
J
2 y
，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的
期待值为实数，故 a-b2≥0 对给定a, b有上限bmax
和下限bmin,且J+|a,bmax>=0, J-|a,bmin>=0.
D(R)=
,
六、转动算符表示的一般性质
1.由任一确定 j 所表征的转动矩阵形成一个群
a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-Φ角），
c)乘积
也是成员，其中
乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。
2. 幺正性： v
v
*
D D R1 mm
jm eiJnˆ h jm
jm eiJnˆ h jm
十一、密度算符与量子统计力学
为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
在ρ本征态为基矢时
求一般算符函数的矩阵元方法：
f ( A) U Uf ( A)U U U f (UAU )U
其中：(UAU )ij ij (UAU )ii; [ f (UAU )]ij ij f ((UAU )ii )
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：量子力学是描述微观世界的一门物理学，其中的自旋角动量和轨道角动量是非常重要的量子力学特性。
自旋角动量是粒子固有的性质，可以看作是粒子自身的旋转运动，而轨道角动量则是由粒子绕着原子核运动而产生的角动量。
在量子力学中，这两种角动量可以相互叠加，形成新的角动量状态，这种叠加是量子力学中特有的现象。
让我们来了解一下自旋角动量和轨道角动量分别是什么。
自旋角动量是粒子固有的旋转运动角动量，与粒子的运动状态无关，可以看作是粒子本身围绕自身旋转而产生的角动量。
自旋角动量的大小以及可能的取向取决于粒子的自旋量子数，通常表示为s。
自旋角动量有一个很特殊的性质，即它是量子化的，只能取严格不连续的数值，如1/2，-1/2等。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量可以相互叠加，形成总的角动量。
这种叠加过程可以用量子力学的数学工具来描述，最终得到新的角动量状态。
总的角动量可以用总角动量量子数j来表示，其取值范围为|l-s|，|l-s|+1，…，l+s。
总的角动量对应着不同的角动量态，分别称为角动量本征态。
在叠加之后，总的角动量状态具有特定的性质和行为。
总的角动量对应着不同的角动量量子数，不同的角动量态之间可以发生转变，这种转变又可以通过特定的角动量算符来描述。
总的角动量还可以在外加电场或磁场的作用下发生演化，产生不同的物理效应，如轨道磁矩和自旋磁矩等。
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加是一种非常重要的现象，它展示了微观世界中粒子特有的性质和动力学行为。
通过研究自旋角动量和轨道角动量的叠加，我们可以更好地理解微观粒子的行为，并且为量子力学的发展提供重要的理论支持。
希望今后能有更多的研究能够深入探讨这一领域，为我们揭示更多微观世界的奥秘。
【2000字】第二篇示例：自旋角动量和轨道角动量是量子力学中最重要的两种角动量概念。
它们分别描述了粒子在自身旋转和环绕运动时所具有的角动量特征。
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十、 CG系数与转动矩阵
由于
得两转动矩阵元的乘积与直积矩阵矩阵元的联系：
十一、球谐函数乘积的展开
利用CG系数所联系的转动矩阵及 知球谐函数乘积可以表示成球谐函数的线性叠加：
作业
第三章习题15、20
用球坐标：
r, ,
1 i
h
Lz
r, ,
r, , r, ,
即
r
Lz
ih
r
或
因而在坐标空间
Lz
i
与直接用Lz=xpy-ypx
结果相
同，只是这里强调的是Lz作为转动生成元的作用。
由
xyz
1 i x
h
Lx
x, y zx , z yx
利用球坐标可得
x Lx
i
sin
此外，
(m≥0)
四、球谐函数与转动矩阵
设
，
则
(包含任意l)
有：
因
lm zˆ Ylm zˆ Ylm 0, Yl0 0, mo
2l
4
1
Pl
cos
0
mo
2l
4
1
mo
即转动算符矩阵元
对m=0，
§3.8 角动量的加法
一、LS的叠加例子 对粒子的描述应同时考虑空间与内禀自由度。如自旋
§3.7 轨道角动量
忽略自旋角动量时，粒子的角动量J与轨道角动量 L=xxp相同。容易验证L满足角动量的基本对易关系:
将
1
i
L
z
1 i
xPy
yPx
作用于|x’y’z’>，有
正是绕z轴无穷小转动的结果。即若p是平移的生成元， 则L是转动的生成元。
一、坐标空间中的轨道角动量
对无自旋粒子的任意态|α>，其波函数为<x’y’z’|α>。 绕z轴转无穷小角δΦ后，其波函数为
二、球谐函数
无自旋粒子受球对称势作用，波动方程在球坐标下可 分离变量，能量本征函数可写为
n是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对
称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz
的本征态， L2的本征值为 l l 1 h2， Lz的本征值为
mh, m l, l 1,L l 1,l 角度部分对所有球对称问题都是共同的，应单独考虑:
可知只有m=m1+m2的CG系数才可能不为零
2) 由矢量叠加模型可知，只有满足 j1 j2 j j1 j2
的CG系数才可能不为零。
3) CG系数据约定取实数，故
<j1j2;m1m2|j1j2;jm>= <j1j2;jm|j1j2;m1m2>
4) 由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成幺正矩阵,即 正交矩阵：
3）表象变换 由于对给定的j1,j2, m1和m2的完整组合是完备的，
有： 展开系数
称为Clebsch-Gordan系数
五、CG系数的基本特征
1) 由
j1 j2; m1m2 (J z J1z J2z ) j1 j2 jm 0
(m m1 m2 ) j1 j2; m1m2 j1 j2 jm
1/2粒子的基矢属于由位置本征矢展开的无穷维空间 和自旋本征矢构成的二维空间的直积
位置空间的算符与自旋空间的任意算符对易。
波函数
空间部分基矢可用|nlm>构成，对应L2和Lz的本征值分
别为 l l 1 h2和mh。自旋部分|±>对应的S2和Sz本
征值分别为 3h2/4和 h / 2
转动算符：
三、角动量叠加的形式理论
考虑两不同子空间的角动量算符J1和J2，其分量满足 各自的角动量对易关系
作用于子空间1和2的无穷小转动算符可写为
定义总角动量为 有限转角的形式：
，简记为
上述转动算符具有通常角动量作为转动生成元的形式。 易证：
因此，以前所述关于 J 2、J z , J 的特征与行为均成
l m 1/ 2
2l 1
八、自旋球谐函数
定义：
该函数是L2，S2，J2和Jz的本征函数 由L•S=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是L•S的本
征函数，本征值为：
九、角动量叠加与转动矩阵
考虑由角动量本征值为j1的本征矢为基的转动算符 D(j1)(R)和相应定义的D(j2)(R) ，其直积是可约的，在 合适基矢下有如下矩阵表示:
nˆ lm Ylm , Ylm nˆ
nˆ 是方向本征态矢。由此可称 Ylm , 是在由θΦ确
定的方向找到由l,m标记的态的几率振幅。
三、球谐函数的求解
由轨道角动量本征矢的相关关系，可写出对应的关于 球谐函数的关系。如
故 Ylm 依赖于Φ的部分应是exp(imΦ) (m必为整数)。
又由 知
类似地，
六、CG系数的递推关系
由于 可知
用<j1j2;m1m2|左乘上式,得CG系数的递推关系:
上式给出了不同CG系数间的关系。除符号约定外， 递推关系和归一化条件完全确定了CG系数
由递推关系联系的CG系数
七、CG系数关系的应用例子：轨道与自旋的叠加
j1=l, j2=S=1/2; j=l±1/2 (l>0)或 j=1/2(l=0). 讨论j=l+1/2情形。
立。
四、基函数
1）无耦合表象
J
2 1
,
J
2 2
,
J
1z
,
J
2
z
相互对易,取其共同本征态
|j1j2;m1m2>为基
2）耦合表象
J12
,
J
2 2
,
J
2
,
J
z
相互对易, 取其共同本征态
|j1j2;jm>为基(|jm>)
由于J2与J1z(J2z)不对易，|j1j2;m1m2>不是J2的本征矢， |jm>不是J1z(J2z)的本征矢。 |j1j2;m1m2>和|jm>各是一 组完备基,包含了最大相互对易算符组的集合。
c ot c os
x
类似可得
x Ly
i c
os
cotsin
x
x L
iei
i
cot
x
再由 得
L2
L2z
1 2
L L
LL
，
x L2
2
1 sin 2
2 2
1 sin s inx方括号中的微分算符与拉普拉斯算符在球坐标 表示的角度部分仅差一因子1/r2（即轨道角动 量与转动部分的动能相联系）。
由递推关系:
即
结合
得
耦合态的展开：
l l
1/ 2, m 1/ 2, m
m 1/ 2,1/ 2 m 1/ 2,1/ 2
cos sin
sin cos
m 1/ 2,1/ 2 m 1/ 2,1/ 2
选相位约定
l m 1/ 2
2l 1 l m 1/ 2
2l 1
l m 1/ 2
2l 1
二、SS的叠加例子
两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道自由度时,总自 旋算符为S=S1+S2.
由
可导出 由此知相关算符的本征值：
两电子的任意自旋态可用 1)S1z和S2z 或 2)S2和Sz的本征矢展开：
1) |++>, |+->, |-+>, |-->;
2) 在2)中，前者为自旋三重态而后者为自旋单态。