轨道角动量及其表示
电子的总角动量轨道角动量自旋角动量
电子学院应用物理系王守海
对钠原子光谱，也有同样形式的四个线系公式：
主线系：
~
(
3
R s
)2
(
n
R p
)2
~ 3s np
第二辅线系：~
(3
R
p
)2
(
n
R
s
)2
~ 3 p ns
第一辅线系：~
(3
R
p )2
R
( n d
)2
~ 3 p nd
柏格曼系：
~
(
R
3 d
)2
(n
R
电子学院应用物理系王守海
二、四个线系的表达方式（有4种表达方式）
里德伯研究发现，与氢光谱类似，碱金属原子的光谱线的 波数也可以表示为二项之差：
碱金属原子的里德伯公式
~
Tm*
Tn*
R(
1 m *2
1 n *2
)
n* m*
当 n 时，系限。
~ ~ Tm* n * m* 有效量子数。
1．有效量子数
可以看出，对能级产生影响的除了R值，还有有效电荷数 Z*，通过前面的学习我们了解到R值是与核的质量联系着的， 而原子实极化和轨道贯穿导致了碱金属和氢原子之间有效电荷 的差别。当有效电荷Z*代替Z时，我们得到
光谱项为：T Z2R R R
n2
(
n Z
)2
n2
能量为：
hcR En hcTn n2
电子学院应用物理系王守海
价电子吸引原子实中的正 电部分，排斥负电部分 原子实正、负电荷的中心不 再重合 原子实极化 能量降低
l 小，b 小，极化强， 能量低
Ens Enp End Enf En
原子轨道角动量 自旋角动量表示
原子轨道角动量自旋角动量表示
原子轨道角动量和自旋角动量是量子力学中描述粒子角动量的两个相关概念。
原子轨道角动量是指电子绕原子核运动的角动量。
根据量子力学的原理，电子在原子中只能存在于一些特定的能级和轨道上。
每个轨道有其特定的轨道角动量量子数l，其取值范围为整数
值或半整数值，从- l 到 + l，表示角动量的大小和方向。
自旋角动量是指电子固有的自旋运动所带来的角动量。
电子自旋有两个可能的取向，分别记为上自旋（↑）和下自旋（↓）。
自旋角动量量子数 s 取值为 1/2，表示角动量的大小和方向。
原子轨道角动量和自旋角动量的总角动量记为 j，其大小和方
向由原子轨道角动量量子数 l 和自旋角动量量子数 s 决定。
总
角动量 j 的取值范围为 l - s 到 l + s。
例如，当 l = 1 和 s = 1/2 时，j 的取值范围为 1/2 和 3/2，表示电子的总角动量可以是
1/2 或 3/2。
总结起来，原子轨道角动量和自旋角动量可以组合成总角动量，其取值范围由 l 和 s 确定。
这些角动量在量子力学中有着重要
的应用，如解释原子能级结构和光谱现象等。
轨道角动量及其表示
• 在角动量的经典定义
(1)
• 中代入算符 和 ，则得到角动量算符
(2)
1
§3.1 轨道角动量及其表示
•即
(3)
2
§3.1 轨道角动量及其表示
• 首先考虑到各个积的因子都是对易的厄米 算符 ， 也是厄米的.
• 这可用如下方法证明：为了考察厄米算符 的积 在什么条件下也是厄米的，我们 将其写成
• 角动量的平方是
(6)
• 它与角动量的所有分量都对易，即
(7)
6
球坐标中的角动量算符
• 由变换 • 及下列式子 • 故而，譬如
7
§3.1 轨道角动量及其表示
得到
(8)
以及
(9)
其中， 表示Laplace算符仅对角变量作用部分。8
• 考虑到 同本征矢
的共同本征函数
相互对易，我们可以得到它们的共
• 因此，对于本征值的限制就只能来自于边界条 件了：
• 若我们要求解对于旋转单值—就是说假设
Y()=Y()—则m就必须是一个整数了；
• 另外, 注意到方程(12)存在两个奇点和，
按照有关Legendre方程的标准理论，如果要求 解在奇点非奇异(nonsingular)，则参数
实际上，在角动量共同本征方程含 部分即(12)
中, 若令
x = cos
我们即可将其化为相应的缔合Legrendre方程. 如前所述，到目前为止，我们还未对 的取
值做任何假设； 若单纯从 和 的微分方程(11) 和(12)来考察，则对于参数 和的任何取值，
这两个方程都有解。
12
§3.1 轨道角动量及其表示
•
在这些假设下所生成的解就是众所周知
轨道和自旋合成总角动量课件
在粒子物理中的应用
在粒子物理中，轨道和自旋合 成总角动量用于描述粒子的运
动状态和相互作用。
通过对粒子运动状态的分析， 可以深入了解粒子之间的相
互作用机制和基本物理规律。
轨道和自旋合成总角动量在粒 子物理中的研究有助于推动物 理学的发展，并为其他领域提
供基础理论支持。
在光学领域的应用
在光学领域，轨道和自旋合成总角动 量用于描述光子的运动状态和偏振状 态。
轨道和自旋合成总角动量在光学领域 的研究有助于推动光子技术的发展， 促进光子在信息处理、通信和传感等 领域的应用。
利用轨道和自旋合成总角动量，可以 实现更高效、更灵活的光子操控，为 光学通信、光学计算和光学传感等领 域提供新的技术手段。
光学
轨道角动量在光学中用于描述光束的拓扑结构和 光与物质的相互作用。
02
自旋角动量
定义与特性
定义
自旋角动量是指粒子自旋时所具有的 动量，与粒子的自旋方向和自旋速度 相关。
特性
自旋角动量是矢量，具有方向性，其 大小与粒子的自旋速度和自旋半径相关。
自旋角动量的分类
01
根据自旋量子数的不同，自旋角 动量可分为三种类型：自旋-1/2、 自旋-1和自旋-3/2等。
实验原理
在量子力学中，轨道角动量和自旋角动量是两个重要的概念。 轨道角动量描述的是粒子在空间中的运动状态，而自旋角动 量描述的是粒子的自旋状态。这两个角动量可以合成总角动 量，遵循特定的数学规则。
实验步骤与操作
实验步骤一
准备实验器材，包括粒子源、 磁场、探测器等。
实验步骤二
通过磁场控制粒子的自旋状态， 并观察记录粒子的自旋角动量。
轨道和自旋合成总角动量课件
• 轨道角动量 • 自旋角动量 • 轨道与自旋合成总角动量 • 轨道和自旋合成总角动量的实验验证 • 轨道和自旋合成总角动量在现实生活中的应用
轨道角动量 量子力学
轨道角动量：探究微观世界的奇妙旋转1. 引言在量子力学的世界里，微观粒子以一种奇特而又令人困惑的方式旋转着。
这种旋转被称为轨道角动量，是研究微观世界的重要工具之一。
本文将深入探讨轨道角动量在量子力学中的重要性，以及它所带来的深入解析和理解。
2. 轨道角动量的概念轨道角动量是描述微观粒子运动状态的物理量之一，用来描述粒子沿固定轨道运动时的旋转运动。
在量子力学中，轨道角动量的大小和方向是量子化的，它的量子数决定了粒子所处旋转状态的特性。
在经典物理学中，轨道角动量的定义为L=mvr，其中m是粒子的质量，v是粒子的速度，r是粒子绕某个轴旋转的半径。
然而，在量子力学中，轨道角动量的情况变得更加复杂。
根据量子力学的理论，轨道角动量不再仅仅是一个简单的物理量，而是一个由一系列由哈密顿算符的本征向量所构成的完备集。
这些本征向量对应着不同的量子态，不同的量子态对应着具有不同角动量的粒子。
3. 轨道角动量量子化根据量子力学的理论，轨道角动量的大小由量子数l决定，量子数l的取值范围为0到无穷大。
每个量子数所代表的角动量大小为√l(l+1)ℏ，其中ℏ是约化普朗克常数。
对于给定的量子数l，轨道角动量的投影量子数m的取值范围为−l,−(l−1),...,l−1,l。
每个投影量子数对应着轨道角动量在空间中的方向。
这个量子化的特性将粒子的旋转状态分为多个离散的状态，这与经典物理学中连续的旋转状态形成鲜明对比。
4. 轨道角动量在原子物理中的应用轨道角动量在原子物理中扮演着重要的角色。
事实上，通过对轨道角动量的研究，科学家们能够更深入地了解原子的性质和行为。
轨道角动量解释了为什么原子中的电子在某些情况下会呈现环状的运动轨道。
根据量子力学的理论，对于给定的原子能级和量子数，电子将固定在特定半径的轨道上旋转。
这些轨道在空间中形成了一个奇特的“云”状分布，这也是我们熟知的原子壳层模型的基础。
轨道角动量解释了为什么原子中的电子在不同壳层具有不同的能级和性质。
自旋角动量轨道角动量总角动量关系
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中经常讨论的重要概念。
它们之间的关系不仅在物理学中有着重要的意义，也涉及到了许多其他领域的问题。
在本文中，我将就自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间的关系展开一次深入的探讨。
1. 自旋角动量自旋是微观粒子特有的一种内禀角动量，它不同于经典物理学中的角动量，是一种全新的物理量。
自旋可以用量子数s来描述，通常s=1/2的被称为自旋1/2粒子。
自旋对应了一个新的角动量，即自旋角动量，它是粒子旋转所带来的一种内禀角动量。
自旋角动量与粒子的自旋状态有关，具有两个投影方向，即自旋向上和自旋向下。
自旋角动量的测量值只能为ħ/2或-ħ/2。
2. 轨道角动量在量子力学中，电子在原子内的运动可以用波函数来描述，其中的位置坐标和动量算符是对易的。
由此，我们可以得出一个非常重要的结论：轨道角动量和位置、动量算符对易。
轨道角动量的大小由量子数l 来描述，取值范围为0到n-1，其中n是主量子数。
轨道角动量与电子的轨道运动有关，它的取值是量子化的，即ħ*√(l(l+1))。
轨道角动量在经典力学中对应了电子围绕原子核运动时所具有的角动量。
3. 总角动量总角动量是自旋角动量和轨道角动量之和，它对应了量子力学中的角动量算符。
总角动量的大小和夹角与自旋角动量和轨道角动量的大小和夹角有关。
总角动量的量子数可以用j来描述，其取值范围是|l-s|到l+s。
总角动量量子数的取值是离散的，而且总角动量和自旋角动量的测量值之间有一些特殊的关系。
在量子力学中，自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间存在着一些非常有趣的关系。
通常来说，总角动量算符的本征态是由自旋和轨道角动量算符的本征态进行耦合得到的。
而总角动量和自旋角动量（或轨道角动量）之间还存在着一些相互影响和制约的关系。
对于原子中的电子来说，总角动量可以影响到能级的分裂和跃迁等现象，从而导致原子的一些特殊性质。
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中非常重要的概念，它们之间的关系涉及到了许多量子系统的性质和行为。
大学物理12.7动量和轨道角动量
自由粒子的动量取确定值，其波函数(x)应
该是动量算符的属于本征值 p 的本征波函数。
用 pˆ x代表动量算符的 x 轴分量，应有
pˆ x (x) p (x)
为寻找动量的算符形式提供了线索
假设动量算符的xຫໍສະໝຸດ 轴分量：pˆ xi
x
pˆ x (x)
i
x
i
Ae
px
p (x)
量子力学假设动量算符的形式：
0
0
A 1
2
2. lˆ2和 lˆz 的共同本征值问题的解 球谐函数 lˆ2 的本征方程的求解比较复杂，我们不加证
明地给出 lˆ2 和 lˆz 的共同本征值问题的解：
lˆ2Ylm ( ,) l(l 1) 2Ylm ( ,) lˆzYlm ( ,) mYlm ( ,)
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
l：角量子数，m：磁量子数，Ylm ：球谐函数
Ylm ( , ) NPlm (cos )eim
Ylm ( ,)是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征态 如果粒子处于用Ylm ( ,)描述的转动态上
测量粒子的 lˆ 2，结果：l(l 1) 2
测量粒子的 lˆz ，结果： m
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
,l
0,1,2,
本征波函数：Ylm ( ,)
如果一个能级对应两个或两个以上的互相独 立的本征波函数，则称该能级是简并的。
互相独立的本征波函数的个数，叫做简并度。
El
l(l 1) 2 2I
(2l
1) 个独立波函数 Ylm ( ,)
分子转动能级的简并度：
2l 1
lˆz () ()， i
轨道角动量光束径向
轨道角动量光束径向
1. 什么是轨道角动量
物理学中，轨道角动量是指物体绕其运动轨道中心旋转所带来的角动量。
在量子物理学中，原子中的电子也拥有轨道角动量。
2. 光束的径向分布
光束的径向分布是指光线分布在光束的径向上的情况。
在物理学中，光线的径向分布可以用角动量进行描述，即称之为角动量光束径向。
3. 轨道角动量光束径向
轨道角动量光束径向是指光束的轨道角动量和径向分布共同作用所产生的结果。
由于轨道角动量的大小和方向都会影响光束的径向分布，所以轨道角动量光束径向在光物理学中起到了重要作用。
4. 应用
轨道角动量光束径向在现代光学中被广泛应用。
例如，它可以被用来诊断太阳表面的自转速度，或者用于产生光束的光学陷阱。
此外，轨道角动量光束径向还可以被用于实现光学旋转，提高光信息处理的速度和效率。
在实际应用中，轨道角动量光束径向的扩展性很强，因此有很大的研究空间和应用前景。
随着科技的不断进步，轨道角动量光束径向将会在更多的领域得到应用。
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(7)
6
球坐标中的角动量算符
由变换 及下列式子 故而，譬如
7
§3.1 轨道角动量及其表示
得到
(8)
以及
(9)
其中， 表示Laplace算符仅对角变量作用部分8 。
的共同本征函数
考虑到 相互对易，我们可以得到它们的共 同本征矢
这里关于 首先，由 进而
将其代入
的值尚未作出任何假设. 的算符表示，易知有
§3.1 轨道角动量及其表示
在角动量的经典定义
(1)
中代入算符 和 ，则得到角动量算符
(2)
1
§3.1 轨道角动量及其表示
即
(3)
2
§3.1 轨道角动量及其表示
首先考虑到各个积的因子都是对易的厄米 算符 ， 也是厄米的. 这可用如下方法证明：为了考察厄米算符 的积 在什么条件下也是厄米的，我们 将其写成
值做任何假设； 若单纯从 和 的微分方程(11) 和(12)来考察，则对于参数 和的任何取值，
这两个方程都有解。
12
§3.1 轨道角动量及其表示
因此，对于本征值的限制就只能来自于边界条 件了： 若我们要求解对于旋转单值—就是说假设
Y()=Y()—则m就必须是一个整数了； 另外, 注意到方程(12)存在两个奇点和，
按照有关Legendre方程的标准理论，如果要求 解在奇点非奇异(nonsingular)，则参数
在这些假设下所生成的解就是众所周知 的球谐函数(spherical harmonics):
13
§3.1 轨道角动量及其表示
(16)
这里， 即为缔合Legendre 多项式。 球谐函数组成一正交基：
(17)
15
的表示式中，则得
(10)
(11)
9
§3.1 轨道角的耦合得到了分离.
首先，由(11)容易得解的 部分为：
其次，方程(12)等价于缔合Legendre 方程，我们将
用
表示其解, 所以
(13)
所谓的Legendre 方程是指：
10
§3.1 轨道角动量及其表示
(4)
3
§3.1 轨道角动量及其表示
由
4
§3.1 轨道角动量及其表示
因为 所以
总是厄米的；又
只当它是零时
部分才是厄米的。
由于角动量算符各个因子相互对易，故知其为 厄米的。
5
§3.1 轨道角动量及其表示
另外，直接计算可知角动量分量的对易关系
(5)
或简略地记为
或
(5a)
角动量的平方是
(6)
它与角动量的所有分量都对易，即
(14)
方程(14)的解为Legendre 多项式Pn(x). 缔合Legrendre方程：
(15)
方程(15)的解是缔合Legendre 多项式 Pnm (x)
11
§3.1 轨道角动量及其表示
实际上，在角动量共同本征方程含 部分即(12)
中, 若令
x = cos
我们即可将其化为相应的缔合Legrendre方程. 如前所述，到目前为止，我们还未对 的取
14
§3.1 轨道角动量及其表示
值得指出的是，单值性、非奇异性的假设在经 典场论(比如电磁场)中可直接验证，因为场是
可观察量；但在量子理论中，态函数 没有这
样的直接物理意义，因此这样的经典边界条件 不能像经典场论中般验证.
单值性要求– A在旋转2 时应不变； 非奇异性要求– ||2因该可积.