大学物理 127 动量和轨道角动量
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大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
大学物理动量与角动量(PPT课件)
写成
Fi f i
内力之和
质点系 F
外力之和
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法: 对每个质点分别使用牛顿定律，然后利 用质点系内力的特点加以化简 到 最简形式。
第1步，对 mi 使用动量定理：
fi
t2
t2 Fi dt f i dt Pi Pi 0 t1
3)碰撞或冲击过程，牛顿第二定律无法直接使
用，可用动量定理求解。如：估算平均作用力
定义平均作用（冲）力:
p2 p1 p t1 F t f t2 t1 t2 t1 方向与 p 的方向相同
t2
f
F dt
将冲量定义式 t 中的积分用平 I F dt F t 均冲力代替: t
m1 1 例如如图，则 xc m1 m2 m3 2m 2 3m3 yc zc m1 m2 m3 m1 m2 m3
3 . m3 m1 . o 1 m .2 2 y
z
质量连续分布的物体， 分成N 个小质元计算：
rc m i ri
5. 当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 可认为动量近似守恒。
6. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本， 在宏观和微观领域均适用。 7. 用守恒定律解题，应注意过程、选系统、 分析内外力、确定始末态。
三、火箭飞行原理——变质量问题
“神州”号飞船升空
变质量问题（低速，v << c）有两类：
N
m0 l x g l
(法二) 类似火箭飞行的方法求解
系统是：
动量定理 ( F mg)dt dm0
已提升的质量(主体) m 和将要提升的质量dm x m的动量 dm的动量 F m0 0 t x m d m t dt m g 0 0 0
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
大学物理动量与角动量
恒力的冲量：
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin
Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时,
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin
Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时,
大学物理学上册资料09 动量和角动量
冲量的方向就不能决定于某一瞬时外力的方向，然而总 决定于这段时间内动量增量的方向。 而冲量的量值，尽管在运动过程中外力随时改变， 质点的速度也逐点不同，冲量大小却完全决定于质点在 始末两点动量矢量差的绝对值，而与运动过程中物体在 各点处的动量无关。 ② 定理在碰撞、打击问题中的应用：求平均力 碰撞：力的作用时间很短 t 冲力：随时间变化很大又很复杂 t F d t 平均冲力：冲力对碰撞时间的平均值 F
例2 两个相互作用的物体A和B，无摩擦地在一条水平直 线上运动，A的动量是PA=P0-bt。在下列两种情况下，写 出B的动量：⑴开始时，若B静止,则PB1=＿＿＿＿＿＿; ⑵开始时，若B的动量为－P0 , 则PB2=＿＿＿＿。 易知 (A+B)系统动量守恒： 解：
P A PB P A 0 PB 0 P B P A 0 P B 0 P A
Px F x t Py F y t Pz F z t
p1 x t1
④ 当t 很小时，由于冲力很大，有时有的有限大小的 力（如重力）可忽略不计。 ⑤ 动量与参考系有关，但动量差值与参考系无关。因 此，动量定理适用于所有惯性系。
例1：质量为 2. 5g 的乒乓球以10 m/s v2 y 的速率飞来，被板推挡后，又以 20 m/s的速率飞出。设两速度在垂直于 板面的同一平面内，且它们与板面法 30o x ˆ O n 线的夹角分别为45o和30o，求： o 45 （1）乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为0.01s，求板施于 v1 球的平均冲力的大小和方向。 解： （1）分量式法取挡板和球为研究对象，忽 略重力。 设挡板对球的冲力为F 则有： I m v 2 m v 1 取坐标系，将上式投影，有：
物理化学,轨道角动量
物理化学,轨道角动量
轨道角动量是物理化学中重要的概念之一。
它描述了电子围绕原子核运动时所具有的旋转性质。
根据量子力学的原理，电子的运动可以用波函数来描述，而波函数里的角动量又被称为轨道角动量。
轨道角动量的大小和方向由量子数l和ml来确定，l表示角动量的大小，ml表示角动量的方向。
角动量的大小只能是整数，而方向则可以取2l+1个离散的取值。
根据量子力学的理论，电子的轨道角动量在空间中是量子化的，即只能取特定的值。
这是由于电子在原子内部的轨道运动受到约束，只能处于特定的能量状态。
每个能量状态对应着一个特定的轨道角动量值。
轨道角动量的量子化为化学中的电子结构提供了重要的解释。
它决定了原子中电子的分布和化学性质。
不同的轨道角动量值对应着不同的轨道形状和分布特征，从而影响了电子的相对能量和电子之间的互斥效应。
总之，轨道角动量是物理化学中一个重要的概念，它揭示了电子在原子内部的旋转性质。
通过对轨道角动量的研究，可以更深入地理解和解释原子的电子结构和化学性质。
大学物理动量角动量
三、质点的角动量定理
L=r×pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dL dr dp = × p+r × dt dt dt
r × F =r ×
dP dt
0
υ
dL M = dt
注意： 注意： 1. M, L 必须对同一点 必须对同一点 2. M —合外力矩 合外力矩 3.惯性系成立 惯性系成立
∫t
t2
1
M dt =
∫L d L = L2 L1
M外 = 0 L总 = 常 量 矢
角动量守恒定律
M i = ri × ( Fi + ∑ f ij )
i≠ j
d 注意： M = ∑ ri × Fi = ( ∑ Li ) 注意： dt i i
F外
d P总 = dt
1.内力矩不改变质点系的总 内力矩不改变质点系的总 角动量， 角动量，但可以改变各质点 的角动量。 2. M = ∑ M i 必须对同一点。 必须对同一点。
∫v dv = u ∫M
0
v
M
0
dM M
M0 v = v0 + uln M
Fdt = (v u)dm vdm
u
= udm
它给火箭的推动力 指向前进方向
F ' = F > 0
dm dM F = u <0 =u dt dt
§3 质心运动定理 一 质心
N个粒子系统，可定义质量中心 个粒子系统， 个粒子系统
z mi
rc
ri
y
rc =
∑m r
i =1 N
N
i i
∑m
i =1
=
∑m r
i =1
N
i i
x
2019大学物理教学资料——动量与角动量.ppt
Fi d t d Pi i i
质点系的合外力 质点系的总动量 记作
F外 d t d P
质点系动量定理
（微分形式）
F外 d t d P
或
t2
t1
质点系动量定理 F外 d t P2 P1 （积分形式）
解：r1 R h1 6.64 103 km r2 R h2 8.20 10 km
3
h1
r1
角动量守恒： r1m v1 r2 m v2 r1 v2 v1 6.58km s 1 r2
h2
r2
例题：光滑的水平桌面上，放一质量为m0的木块，木块与轻 弹簧（k已知）相连，弹簧的另一端固定在O点。一质量为m 的子弹以初速度v0射向木块并嵌入其中，此时弹簧为原长L0， 求木块运动到b点（弹簧长度为L）时的速度。 o v 解：对子弹和木块，用动量守恒： b
mg
例：一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块，第 一块质量为m,速度v1=800m/s，向西；第二块质量为 m，速度v2=600m/s,向南；第三块质量为2m，求： 第三块弹片的速度大小和方向。
解：爆炸过程中，合外力为0，系统动量守恒， 如图建立坐标系 0 2mv 3 cos mv 1 y 0 2mv 3 sin mv 2
y
v2
0.1 2 9.8 1.6 2 9.8 2.5 0.01 126 N (负号表示什么意思?)
v1
质点系的动量定理
质点系 : 有相互作用的若干质点组成的系统。 内力 f : 质点系内质点之间的相互作用力。 外力 F : 质点系外 其它物体对质点系内 质点的作用力。 F2 先讨论由两个质点 组成的质点系的动量: f2 F1 f1 d P1 对第1个质点 F 1 f1 d t d P2 对第2个质点 F2 f 2 dt
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测量粒子的 lˆz ，结果： m
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
3. 角动量空间取向量子化 角动量的大小： L l(l 1) ，l 0,1,2, 角动量沿 z 轴投影只能取2l+1)个值：
Lz m，m 0,1,2,
与z轴的“夹角”只能取2l+1个值。 空间取向量子化 例： l = 1， m 0,1
2
s
1
in
s in
1
sin 2
2
2
lˆz
i
角动量 z 轴分量 lˆz 本征方程的求解：
lˆz ()
()，
i
i
d () d
()
通解： () Ae
单值条件： ( 2 ) () ，即
y
i
y
，pˆ
z
i
z
矢量形式： pˆ ipˆ x jpˆ y kpˆ z
12.7.2 轨道角动量 1. 轨道角动量 在原子中，电子绕核转动的角动量称为轨道 角动量。经典力学：
l r p
量子力学： p pˆ ， 轨道角动量算符为
lˆ r pˆ
在直角坐标系中
L 1(11) 2 Lz 0,
角动量只能有三种可能的取向
*12.7.3 分子的转动能级 表达分子绕质心转动能量的哈密顿量：
Hˆ lˆ2 ， 2I
lˆ 2：角动量平方算符 I ：分子的转动惯量
能量本征方程：Hˆ ( ,) E ( ,)
Hˆ Ylm
( ,)
ei
(
2
)
e
i
，
e
i 2
1
lˆz 的本征值：
m，m 0，1， 2，
lˆz 的本征波函数：
m ()
1 eim，m 0,1,2,
2
归一化因子是由归一化条件求出
2
2
1 () 2 d A 2 d 2 A 2
i jk lˆ r pˆ x y z
pˆ x pˆ y pˆ z
轨道角动量算符的三个分量：
lˆx ypˆ z zpˆ y， lˆy zpˆ x xpˆ z， lˆz xpˆ y ypˆ x
还要引入轨道角动量的平方
lˆ2 lˆx2 lˆy2 lˆz2
四个算符： lˆx , lˆy , lˆz , lˆ2
12.7 动量和轨道角动量 12.7.1 动量 12.7.2 轨道角动量 *12.7.3 分子的转动能级
我们用哈密顿量来表达粒子的能量，并以一 维势场中的粒子为例求解了能量本征值问题。
在量子力学中，如何表达粒子的动量和轨道 角动量？
12.7.1 动量
自由粒子的动量取确定值，其波函数(x)应
该是动量算符的属于本征值 p 的本征波函数。
0
0
A 1
2
2. lˆ2和 lˆz 的共同本征值问题的解 球谐函数 lˆ2 的本征方程的求解比较复杂，我们不加证
明地给出 lˆ2 和 lˆz 的共同本征值问题的解：
lˆ2Ylm ( ,) l(l 1) 2Ylm ( ,) lˆzYlm ( ,) mYlm ( ,)
El
l(l 1) 2 2I
(2l
1) 个独立波函数 Ylm ( ,)
分子转动能级的简并度：
2l 1
可以证明，lˆx , lˆy , lˆz 不能同时取确定值，只有
角动量的平方lˆ 2和任意一个分量才能同时取确定
值。因此，轨道角动量只能用 lˆ2和任意一个分量 表达。习惯上选 lˆ2 , lˆz。
lˆ2表示角动量的大小；lˆz 表示角动量在 z 轴上 的投影。
可Hale Waihona Puke 证明，在球坐标系中lˆ 2
用 pˆ x代表动量算符的 x 轴分量，应有
pˆ x (x) p (x)
为寻找动量的算符形式提供了线索
假设动量算符的
x
轴分量：pˆ x
i
x
pˆ x (x)
i
x
i
Ae
px
p (x)
量子力学假设动量算符的形式：
pˆ x
i
x
，pˆ
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
l：角量子数，m：磁量子数，Ylm ：球谐函数
Ylm ( , ) NPlm (cos )eim
Ylm ( ,)是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征态 如果粒子处于用Ylm ( ,)描述的转动态上
测量粒子的 lˆ 2，结果：l(l 1) 2
lˆ 2 2I
Ylm ( ,)
l(l
1) 2 2I
Ylm
( ,)
分子的转动能级： El
l(l 1) 2 2I
,l
0,1,2,
本征波函数：Ylm ( ,)
如果一个能级对应两个或两个以上的互相独 立的本征波函数，则称该能级是简并的。
互相独立的本征波函数的个数，叫做简并度。
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
3. 角动量空间取向量子化 角动量的大小： L l(l 1) ，l 0,1,2, 角动量沿 z 轴投影只能取2l+1)个值：
Lz m，m 0,1,2,
与z轴的“夹角”只能取2l+1个值。 空间取向量子化 例： l = 1， m 0,1
2
s
1
in
s in
1
sin 2
2
2
lˆz
i
角动量 z 轴分量 lˆz 本征方程的求解：
lˆz ()
()，
i
i
d () d
()
通解： () Ae
单值条件： ( 2 ) () ，即
y
i
y
，pˆ
z
i
z
矢量形式： pˆ ipˆ x jpˆ y kpˆ z
12.7.2 轨道角动量 1. 轨道角动量 在原子中，电子绕核转动的角动量称为轨道 角动量。经典力学：
l r p
量子力学： p pˆ ， 轨道角动量算符为
lˆ r pˆ
在直角坐标系中
L 1(11) 2 Lz 0,
角动量只能有三种可能的取向
*12.7.3 分子的转动能级 表达分子绕质心转动能量的哈密顿量：
Hˆ lˆ2 ， 2I
lˆ 2：角动量平方算符 I ：分子的转动惯量
能量本征方程：Hˆ ( ,) E ( ,)
Hˆ Ylm
( ,)
ei
(
2
)
e
i
，
e
i 2
1
lˆz 的本征值：
m，m 0，1， 2，
lˆz 的本征波函数：
m ()
1 eim，m 0,1,2,
2
归一化因子是由归一化条件求出
2
2
1 () 2 d A 2 d 2 A 2
i jk lˆ r pˆ x y z
pˆ x pˆ y pˆ z
轨道角动量算符的三个分量：
lˆx ypˆ z zpˆ y， lˆy zpˆ x xpˆ z， lˆz xpˆ y ypˆ x
还要引入轨道角动量的平方
lˆ2 lˆx2 lˆy2 lˆz2
四个算符： lˆx , lˆy , lˆz , lˆ2
12.7 动量和轨道角动量 12.7.1 动量 12.7.2 轨道角动量 *12.7.3 分子的转动能级
我们用哈密顿量来表达粒子的能量，并以一 维势场中的粒子为例求解了能量本征值问题。
在量子力学中，如何表达粒子的动量和轨道 角动量？
12.7.1 动量
自由粒子的动量取确定值，其波函数(x)应
该是动量算符的属于本征值 p 的本征波函数。
0
0
A 1
2
2. lˆ2和 lˆz 的共同本征值问题的解 球谐函数 lˆ2 的本征方程的求解比较复杂，我们不加证
明地给出 lˆ2 和 lˆz 的共同本征值问题的解：
lˆ2Ylm ( ,) l(l 1) 2Ylm ( ,) lˆzYlm ( ,) mYlm ( ,)
El
l(l 1) 2 2I
(2l
1) 个独立波函数 Ylm ( ,)
分子转动能级的简并度：
2l 1
可以证明，lˆx , lˆy , lˆz 不能同时取确定值，只有
角动量的平方lˆ 2和任意一个分量才能同时取确定
值。因此，轨道角动量只能用 lˆ2和任意一个分量 表达。习惯上选 lˆ2 , lˆz。
lˆ2表示角动量的大小；lˆz 表示角动量在 z 轴上 的投影。
可Hale Waihona Puke 证明，在球坐标系中lˆ 2
用 pˆ x代表动量算符的 x 轴分量，应有
pˆ x (x) p (x)
为寻找动量的算符形式提供了线索
假设动量算符的
x
轴分量：pˆ x
i
x
pˆ x (x)
i
x
i
Ae
px
p (x)
量子力学假设动量算符的形式：
pˆ x
i
x
，pˆ
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
l：角量子数，m：磁量子数，Ylm ：球谐函数
Ylm ( , ) NPlm (cos )eim
Ylm ( ,)是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征态 如果粒子处于用Ylm ( ,)描述的转动态上
测量粒子的 lˆ 2，结果：l(l 1) 2
lˆ 2 2I
Ylm ( ,)
l(l
1) 2 2I
Ylm
( ,)
分子的转动能级： El
l(l 1) 2 2I
,l
0,1,2,
本征波函数：Ylm ( ,)
如果一个能级对应两个或两个以上的互相独 立的本征波函数，则称该能级是简并的。
互相独立的本征波函数的个数，叫做简并度。