大学物理角动量和力矩
刚体的角动量_角速度_力矩和角加速度的关系
〔收稿日期〕1999-11-15刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度的关系陈跃敏(濮阳广播电视大学,河南濮阳457000)[摘要]讨论了普通物理范围内刚体转动部分公式、定理的成立条件及使用范围。
[关键词]角动量;角速度;力矩;角加速度;转动惯量[中图分类号]O311.2 [文献标识码]B 一般情况下,刚体对某一轴(包括瞬时轴和固定轴)的转动,可用角速度矢量 ω及角加速度矢量 β描写,刚体运动时还有角动量L 和力矩 M 。
和 ω的关系及 M 和 β的关系如何?如问题属于理论力学的范围,但在普通物理学中也往往会涉及到这个问题。
因此,在普物范围内搞清它们之间的关系及成立条件和使用范围很有必要。
1 角动量和角速度的关系 首先看一个具体实例。
一个均匀杆绕其一端O 作水平转动.如图1所示.若取O 为参考点,则m i 是质量元,γ_i 是它对O 点的矢径,ν_i 是它的线速度。
显然,此时各质量元的γ_i ×m i ν_i 的方向正好都是Z 方向,即指向Z 轴的正方向。
同一旋转杆,如取Z 轴上方一点P 点作为参考点计算杆的角动量L _p ,则各质量元的γ_i ×m i ν_i 各不相同。
合成后,L _p 的方向大致如图2所示。
而且随着杆的转动,L _p 也转动。
可见,参考点的选择不同,刚体运动的角动量也就不同。
同样,若取转轴通过杆的质量中心,并取质心为参考点,角动量与角速度的方向也不一定一致。
下面直接引用理论力学的结果讨论它们之间的关系。
过参考点建立和刚体一起运动的坐标系,则刚体对活动坐标系X 、Y 、Z 轴的转动惯量及惯量积不随刚体的运动而改变其量值,角动量矢量的分量式为如果刚体绕Z 轴转动,则ωx =ωy =0,ωz =ω。
于是角动量矢量的分量式可写为L x =I xzωL y =-I yz ωL z =-I zzω由上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转动时,角动量沿该轴的分量与角速度成正比(L z =I zzω),但沿其它轴的分量却不一定为零。
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
大学物理角动量和力矩(一)2024
大学物理角动量和力矩（一）引言概述：大学物理中，角动量和力矩作为重要的概念之一，对于研究物体的运动和旋转有着重要的影响。
角动量是描述物体旋转运动状态的物理量，而力矩则是描述旋转物体所受到的力和力臂的乘积。
本文将从角动量和力矩的基本概念入手，通过各个角度的阐述和分析，深入探讨角动量和力矩的原理及其在物理中的应用。
正文：一、角动量的基本概念1. 角动量的定义和量纲2. 角动量的计算方法及其守恒定律3. 角动量和动量的关系4. 角动量的矢量性质及其坐标表示5. 角动量的多体系下的计算方法二、力矩的基本概念1. 力矩的定义和量纲2. 力矩与力的关系3. 力矩的计算方法及其守恒定律4. 力矩的矢量性质及其坐标表示5. 力矩的多体系下的计算方法三、角动量和力矩的物理意义1. 角动量的物理意义及其应用领域2. 力矩的物理意义及其应用领域3. 角动量和力矩在自然界中的实际案例4. 角动量和力矩在机械工程中的应用5. 角动量和力矩在天文学研究中的应用四、角动量和力矩的数学推导和分析1. 角动量守恒定律的动力学推导2. 力矩与角加速度的关系及其推导3. 角动量和力矩的相互作用机制分析4. 角动量和力矩的转动惯量及其数学解析5. 角动量和力矩的数学计算公式及其推导五、角动量和力矩的实验测量方法1. 实验测定角动量的装置和方法2. 实验测定力矩的装置和方法3. 角动量和力矩的实验数据处理和分析4. 角动量和力矩实验的误差分析和改进措施5. 角动量和力矩实验的应用案例和展望总结：通过对角动量和力矩的深入讨论，我们可以更好地理解物体的旋转运动以及受到的力和力臂的影响。
角动量和力矩的物理意义在不同的领域中得到广泛应用，并通过数学推导和实验测量方法得以验证和实践。
未来，随着科学技术的不断进步，角动量和力矩的研究将继续向更深层次发展，为人们认识世界的运动规律提供更多的突破点和启示。
《大学物理》3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动， 例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
1 2
卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力， 解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 m
0
r
A
θ = 90
0
mv
质点作圆周运动的角动量
θ
L = rmv = mr ω
2
2.2刚体的角动量 刚体的角动量 刚体对 oz轴的角动量为
z
ω
v
2
i
L = ∑ m r ω = (∑ m r )ω
2 i i i i
o
r
i
m
i
∑ m r 刚体绕 oz 轴的转动惯量
2 i i
L = Jω
L = Jω
刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。 刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。
1 m v 0 a = ( ML2 + ma 2 )ω 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML + ma )ω = mga (1 cos60°) + Mg (1 cos60°) 2 3 2
ω=
3(2ma + ML)g 2(3ma 2 + ML2 )
二、角动量定理和角动量守恒定理
1× mv 对时间求导 = r × (mv ) + × mv dt dt dt dr d dL ∵ = v , F = (mv ) M = dt dt dt dL 质点所受合外力矩等于质 ∴ = r × F + v × mv dt 点角动量对时间的变化率
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
大学物理 动量与角动量解读
t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0
x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
大学物理3_3 角动量 角动量守恒定律
将
R 、 h1 、h2 和 v1 各值代入，得
2 6.13公里/ 秒
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-8 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器 圆盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴 转动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合 为一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度. 解: 系统角动量守恒
( L mR )
2
得
LdL m gR cosd
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式
L
0
LdL m gR
2
32
3
0
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.
一
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0
质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 2
2
航天器调姿
1
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-6 如图所示，有一质量为 m1 、长度为 l 的均质细 棒，原先静止地平放在水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定轴转动，另有一质量为 m2 的水平运动 的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A 相碰撞，并被棒反向弹回，设碰撞时间极短。已知小滑块 碰撞前、后的速率分别为 和 u ，桌面与细棒的滑动摩 擦系数为 。求：（1）从碰撞到细棒停止运动所需的时 间；（2）从碰撞到细棒停止运动，细棒转过的圈数。
大学物理专业力学知识点
大学物理专业力学知识点大学物理专业力学知识点-总结质点运动学１．直角坐标下质点的位置、速度、加速度的矢量表示y某ijzkdrd某dydzijk质点的速度vdtdtdtdtdvd2rd2某d2yd2z2i2j2k 质点加速度adtdt2dtdtdtdrdvdrdv注意区分：与，与dtdtdtdt质点的位置矢量r问题：（1）如何从位置求速度、加速度？（求导）如何从加速度求速度，求位置？（积分）（2）位置、速度、加速度的大小怎么求？方向怎么表示？（3）如何从运动学方程求轨迹方程？（消去时间t，得到某,y,z之间的函数关系）2．自然坐标系下，速度、加速度的表达速率vdsdset，速度vdtdtd2sv2加速度aatetaneneen2tdt圆周运动角速度角线关系：vddt角加速度ddtR，atR问题：自然坐标系下，速度、加速度又怎样表示？切向加速度和法向加速度如何计算？3．速度合成法则：绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
动量牛顿运动定律动量守恒定律1．牛顿定律及其应用Fma解题步骤：（1）确定研究对象（2）建立坐标系（3）分析研究对象的受力情况（4）在各方向上建立牛顿第二定律方程2．冲量动量t2冲量：恒力IFt，变力IF(t)dtt质点动量定理：Ipp0，质点所受冲量等于质点动量的增量质点系的动量定理：质点系所受外力的冲量等于质点系动量的增量注意：内力不会影响体系的动量3．质心质心定义：rcmriiim质心运动定理：质点系质量与质心加速度的乘积等于质点系所受一切外力的矢量合4．动量守恒定律质点系受合外力矢量合为零，则体系动量守恒。
要求：会用动量守恒定律求解问题！！动能和势能1．功功的定义：力在受力质点位移上的投影与位移的乘积Ar1Fr某1dr，对于一维情况AF(某)d某在一段有限路径上的功AFr0某02．质点及质点系动能定理质点动能定理：A质点系动能定理：EkEk0k1212mvmv0质点的动能增量等于作用于质点的合力所作的功22k0AEE 质点系的动能增量等于一切外力所作的功与一切内力所作功的代数和。
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dL
M ex
dt
惯性系中成立
ch4
质点系对惯性系中某给定参考点的角动量的时间
变化率，等于作用在该质点系上所有外力对该给
定参考点的总力 矩
dL
M
ex
dt
i
ri
Fi
ex
4.角动量守恒定律（普遍的）
If no external torques act upon a system of particles, the angular momentum remains costant.
dL
M ex
M in
dt
2.质点系对固定点的总内力矩为零 3.质点系的角动量定理
The rate change of the totle angular momentum
about any axis is equal to the external torque
about that axis.
2）观察质点的匀速直线运动:质 点相对于参考点的掠面速度不变
动量、动能都不能对上述现象作 出统一描述，需要引入新的物理 量。
r 参考点O
v 质点m
ch4
2.质点对参考点的角动量
(Angular Momentum)
L = r mv r p
What counts for angular momentum is not how fast it is going away from the origin, but how much it is going around the origin.
在计算氢原子的 角动量时的应用
ch4
本章习题：4 –1，3，4，5，9（1），10（2，3，4）
ch4
z
v// v
v
Or//
O’
r r
ch4
§4-2 力矩和角动量定理
一、力矩和质点的角动量定理
1.力矩 (torque)
M
r
F
力对某点的力矩 单位：N·m
2.质点的角动量定理：质点对任一固定点的角
动量的时间变d化L率，M等于外力对该点的力矩 dt
ch4
[例题4.1]圆锥摆由一根长为l的绳子悬挂着一个质量为m的
描述质点的运动方向相对于参考点的变化或物体 的转动特征的物理量
Angular momentum depends upon the position of the axis abour which it is to be calculated.
3.质点对z轴的角动量
Lz = Lcos
θ是L到z轴的角 可以在z轴上任意找一点， 求出质点对该点的角动量， 再求z轴分量
review
ch3
❖ 质心 质心坐标 质心速度 质心加速度
离 散 体
rc
mi ri
i
m
连续体
rc
rdm
m
表示质点系的质量分布的中心位置
vc
mi vi
i
p
m
m
代表质点系的总动量
mac
dp dt
F ex
代表质点系的合外力 描述质点系的平移轨迹
ch3
❖ 质点系的动能 — 克尼希定理
质点系的总动能等于相对于质心系的动能加上 随质心整体平移的动能，即
Ek Ek'
1 2
m vc2
❖ 两质点体系的动能
Ek
Ekc
Ekr
1 2
mv
2 c
1 2
mr u2
❖ 碰撞 — 动量守恒
ch4
第四章 角动量守恒
§4-1 质点的角动量
1.引入
1）开普勒：若以太阳 为中心，行星的位置矢量 在相等时间内扫过(sweep through)相等的面积。
量LC。
质 心 位 矢rC
mi ri
i
m
质 心 速 度vC
mivi
i
m
r
r
rC
v
v
vC
p1
mr u
p2
mr u
Lc r1' p1' r2' p2'
mr r12 u r12 (mr u)
质心系的角动量定理
M
ex C
dLC dt
角动量定理对惯性系成立，但站在质心系上时，无 论其是否是惯性系，则角动量定理形式上仍成立
ch4
ω
只受重力作用的质点系对 质心的角动量守恒
ch4
[例题4.2]质量为m1和m2的两个质点的位矢和速度分别为r1,
v1和r2 , v2，试求：两质点相对于它们的质心的动量和角动
动量守恒：合外力为零 与参考系和研究系统有关系
保守系机械能守恒：合外力作功为零 与参考系和研究系统有关系
三、质心系的角动量定理
M
MCex
rC
Fiex
L LC mrC vC
dL
M ex
ch4
dt
固有角动量 轨道角动量
对质心角动量+随质心角动量
作匀速圆周运动的小球构成。若摆线与铅垂线成 角，试
求摆球的速率。
研究对象：圆锥摆
参考系：实验室
选择参考点：支点O 受力与运动分析
dL
M
dt
v sin gl
cos
g l cos
ch4
速度调节器
cos
g
2l
ch4
二、质点系的角动量定理
1.质点系角动量随时间的变化率
如果质点系所受到的总外力矩为零 ，则质点系的
角动量守恒
dL
0
或
L 常量
dt
ch4
5.几种特殊情况 ▪ 有心力场中的质点（系）对“心”的角动量总 是守恒的
▪ 质点系的重力的合力矩可集中到质心处理
Mg r Cmg
ch4
6. 守恒条件
角动量守恒：合外力对固定点的力矩为零 与参考系、研究系统和参考点都有关系