第3章运动定理(3)力矩与角动量
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角动量和角动量守恒定律
恒矢量
M 0
质点或质点系所受对参考点 O 的合外力矩为零 时，质点或系统对该参考点 O 的角动量为一恒矢量 . (1) 不受外力
(2) 力臂 d 0 (3) F // r
3 – 2 角动量 角动量守恒动量守恒。
质点在有心力作用下的运动：r 与 F 同向或
第三章 刚体力学
dp dL F, ? Lrp dt d t dL d dp dr (r p) r p dt dt d t dt dr dL dp v, v p 0 r r F dt dt dt 作用于质点的合力对参考点 O dL 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 M dt 动量随时间的变化率 .
L mR
2 32 12
2g 12 ( sin ) R
L mR (2g sin )
Lx 、Ly 、Lz 质点对x、y、z 轴的角动量 M y、 M x、 M z 质点对x、y、z 轴的力矩
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
1）求角动量和力矩某一方向的分量的方法
L ( xi yj zk ) ( pxi py j pz k ) M （xi yj zk） （Fxi Fy j Fz k）
rb
通过一点（力心）—— 力对力心的力矩为零。
当力 F 的作用线始终
vb
ra mva rb mvb ra v b va va rb
ra
r
F
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
举例： 将一个质量为m的小球系在轻绳的一端，放在 光滑的水平桌面上，轻绳的另一端从桌面中间的一 光滑小孔穿出。先使小球以一初速度在水平桌面上 作圆周运动，然后向下拉绳。 动画演示：模拟实验
第三章 刚体的定轴转动
令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
动量守恒和角动量守恒定律——清华大学物理
i ix
质点系动量守恒
ac 0 vc const .
vcx 分动量守恒；
const .
15
质点系动量守恒和质心匀速运动等价！
例 由质心运动定理重解前斜面退行距离例
解：地面参考系，对(m+M)
m M
F 0, v v 0
mx MX x 0 mM
x x
由相对运动 v x v Vx x
3.3 质心和质心运动方程
一. 质心（center of mass）
概念的提出：研究质点系总体的运动 定义：质量中心（简称质心）的位矢
rc
m r m r
i 1 N i i
N
N
质心坐标：
m
i 1
i 1
i i
m
i
xc
mi xi
i 1
由牛顿第三定律，再加已有部分重力，得
N 3gh
*
10
例2 已知：M,m,θ,L,各接触面光滑 初始静止 求： m自顶滑到底， M的位移 解：建坐标如图
m
M L θ
Fix 0, MV x mvx p0 x 0
i
x
“－”表明位移 m v 解得 V 与x轴反向。 mM t m t ' mLcos X Vx d t dt v x 0 m M 0 m M 11
一. 力的冲量 impulse 定义： d I f d t f 的元冲量 (t ) I ( t ) f d t f 的冲量 是过程量，反映力的时间积累。 SI: N· s
2 1
二. 质点的动量定理
dp F F dt d p dt
质点系动量守恒
ac 0 vc const .
vcx 分动量守恒；
const .
15
质点系动量守恒和质心匀速运动等价！
例 由质心运动定理重解前斜面退行距离例
解：地面参考系，对(m+M)
m M
F 0, v v 0
mx MX x 0 mM
x x
由相对运动 v x v Vx x
3.3 质心和质心运动方程
一. 质心（center of mass）
概念的提出：研究质点系总体的运动 定义：质量中心（简称质心）的位矢
rc
m r m r
i 1 N i i
N
N
质心坐标：
m
i 1
i 1
i i
m
i
xc
mi xi
i 1
由牛顿第三定律，再加已有部分重力，得
N 3gh
*
10
例2 已知：M,m,θ,L,各接触面光滑 初始静止 求： m自顶滑到底， M的位移 解：建坐标如图
m
M L θ
Fix 0, MV x mvx p0 x 0
i
x
“－”表明位移 m v 解得 V 与x轴反向。 mM t m t ' mLcos X Vx d t dt v x 0 m M 0 m M 11
一. 力的冲量 impulse 定义： d I f d t f 的元冲量 (t ) I ( t ) f d t f 的冲量 是过程量，反映力的时间积累。 SI: N· s
2 1
二. 质点的动量定理
dp F F dt d p dt
第3章 动量与角动量
1) 人匀速运动，到达车尾时小车的速度为(由上式解得)： u=l/t
v v0
m uv m l 0 M m M mt
2)车的运动路程为： 由于人匀速运动，即u为常量，故小车的运动速度v 也为常量。此时车的运动路程可用 s=vt 进行计算。
m l m s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm
f AB F f
A
N
mA g
f BA
N AB mB g 外力： 推力F , A的重力mA g , B的重力mB g , 地面对质点系的滑动磨擦力f , 地面对质点质的支持力N . 内力： AB间的静摩擦力f AB和f BA , AB间的正压力N AB和支持力N BA
M 大小：M rF sin 方向：右手螺旋法则
由力矩的定义可知： M r F
2、角动量
O 定义： 一个质点相对于参考点 的角动量等于 质点位置矢量 与其动量mv 的矢量积。 r
o m
L
L r mv mv r
L
L
例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下， 这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总 动量在水平方向上的分量守恒。（某方向合外力为零，则 该方向动量守恒）
4、动量守恒定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性 系。（更广义的动量守恒定律不依赖于牛顿定律，是 自然界中的基本定律）
例2、 如图,车在光滑水平面上运动,已知人的质量m, 小车的质量M ,车长l ,小车的运动速度v0 人逆车运动,方向从车头经时间t到达车尾. 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动，上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M 不受外力作用，动量守恒。 x
第03章动量与角动量
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
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2 2
J J ' sin
例：圆周运动的质点关于圆心O的角动量
J r p
J rp m rv m r
2
J
v
r
m
SI：kg·m2/s
•
,或 J·s
o
微观体系的角动量是明显量子化的，其取值只能是 普朗克常数
h / 2 1 .0 5 1 0
34
i
m i ri m i rc M rc M r 0 ｃ
角动量的柯尼希定理的推导
第四项
所以
i
ric m i v ic
J rc M v c
i
ric m i v ic
2. 质心系的角动量的定理
据质点组的角动量定理
i
i
ric F i
rc M
i
2. 质心系的角动量的定理
d rc M v c ric m i v ic dt dt i d rc dvc d M v c rc M ric m i v ic dt dt dt i dvc d v c M v c rc M ric m i v ic dt dt i dvc d rc M ric m i v ic dt dt i dJ
质点的角动量定理（积分形式）
t
t
0
Ld t
t
t
0
dJ J J 0
意义：力矩L作用于质点m在△t时间内的积累效果， 导致质点的角动量发生改变。
质点角动量定理的几点说明
① 该定理仅适用于惯性系，在非惯性系下，要考虑惯
性力的力矩；
② J、L必须相对于同一参考点；
③ 参考点为固定点；
2
F引 F ， 就不变了， r
引力不能再使 r 减小 。 但在z 轴方向却无此限制， 可以在引力作用下不断收缩。
五．质心系的角动量定理
1. 角动量的柯尼希定理
在惯性系中，质点系相对确定参照点O的角动量等于 系统质心相对O的角动量与系统内各质点相对质心的 角动量之和
J rc M v c ric m i v ic
i i
rc m i v c ric m i v c
i
rc m i v ic ric m i v ic
i
角动量的柯尼希定理的推导
rc m i v c rc
第一项
i
i
mi
v c rc M v c
y
L F
r sin F d
力矩的几点说明
L F r sin F d
① 力矩L为矢量，数值：
方向：右手螺旋法则 ② 力矩与参照点有关，不指明参照点，力矩无意义 ③ L在直角坐标系下的描述
L ( yF z zF y ) i ( zF x x F z ) j ( x F y yF x ) k
i
角动量的柯尼希定理的推导
在惯性系，对于一固定参照点O，各质点的位矢ri，速 度为vi，质点组的角动量为
J
i
ri m i v i
因为 则有
ri rc ric , v i v c v ic
J
i
rc ric m i v c v ic
④ J 并非与L有关， L导致J 的变化；
⑤ 角动量守恒
• • •
若L＝0，则有 J＝J0（恒矢量），质点对o的角动量守恒；
L＝0的原因：F＝0 ；F与r的方向平行
若L≠0，但Lz＝0，则有 Jz＝Jz0，质点对z轴的角动量为恒量
例：F = 0，质点m作匀速直线运动，必有
J r mv A
角动量定义为
J r mv r P
角动量的几点说明
J mv r s in r m v s in
① 角动量为矢量，数值：
方向：右手螺旋法则
0
② 角动量与参照点有关，选不同的参考点，角动量不
相同；
J J xi J j Jzk
三个坐标分量
L x ( yF z zF y ) L y ( zF x xF z ) Lz ( xF y yF x )
④ Lx，Ly，Lz的意义
•
Lx=yFz－zFy ；与x无关，作用力F对于x轴的力矩
•
•
Ly=zFx－xFz ；与y无关，作用力F对于y轴的力矩
Lz=xFy－yFx ；与z无关，作用力F对于z轴的力矩
• J z ( xp y yp x )
；与z无关，质点对于z轴的角动量
⑥ 单位与量纲
• •
单位：千克·米2/ 秒 （kg·m2/s） 量纲：[L2MT-1]
例：质点m对于O’点的角动量 质点m对于O点的角动量
J ' r ' m v m L sin
2
J rm v m L sin
经典力学（上）
电子课件
易凡 wdyifan@
第三章 牛顿力学的运动定理 及守恒律
3.5
一．力矩
力矩与角动量
定义：
•
设作用力F作用于空间P点，选取空间一确定点o为
参照点，P点位矢为r，则力F对于o点力矩定义为
L r F
z
L
F
θ
o
r
d
m
x
L r F
L ri F i
L dJ dt
而
i
i
rc ric F i
i
rc F i
i
ric F i ric F i rc F ric F i
rc
i
Fi dvc dt
ri r j
rij
f ij
i
ri f ij
j(i)
i j
ri r j
f ij 0
而
i
ri F i L i L
i
（质点系的总力矩）
上式右边＝
d d t ri m i v i d t i d dJ J i dt dt i d
比较两边可得
i
ric F i
d dt
i
ric m i v ic
2. 质心系的角动量的定理
令
则有
Lc
i
ric F i J c ,
i
ric m i v ic
J s
的整数或半奇数倍。
•
但因宏观物体的角动量比h大得多，所以宏观物体的
角动量可以看作是连续变化的。
三．质点的角动量定理
设空间一质点 m，受到作用力 F，速度为 v 。相对于 确定参照点o，位矢 r ；力矩为L，角动量 J。 考虑
dJ dt d dt (r m v ) dv dr dt mv r dm v dt dv
i
ri m i v i
可得
L
dJ dt
或
Ldt dJ
质点系的角动量定理（微分形式），与质点
的角动量定理形式一样
质点系角动量定理的说明
① 该定理仅适用于惯性系，在非惯性系下，要考虑 惯性力的力矩； ② 内力的力矩对系统的总角动量无贡献，但它可以 改变系统内各质点的角动量； ③ 角动量定理的积分形式为
t
t
0
Ld t J J 0
质点系角动量定理的说明
④ 关于角动量守恒
•
若 L＝0，则有 J＝J0（恒矢量），质点对o的角动 量守恒；
•
若 L≠0，但 Lz＝0，则有 Jz＝Jz0，质点系对z轴的 角动量守恒
盘 状 星 系
星云具有盘形结构：
pc — 秒差距，1pc = 3.0861016m 旋 转 的 星 云
m i v ic 0
第二项
i
rc m i v ic rc
i
第三项
i
ric m i v c
i
m i ric v c 0 c
m i ric c
i
i i
m i ( ri rc )
r dr r v
的矢径在相等的时间内扫过相等的面积
2ds c dr ds r 2 c' dt dt
面积速度为常量
四．质点系的角动量定理
•
定义： 在惯性系中，质点系内各个质点相对于某确定参照 点的角动量的矢量和称为质点系对该点的角动量
J J r m ivi
v mv r m
dt dt dv r m r F L ( v v 0) dt
J J ' sin
例：圆周运动的质点关于圆心O的角动量
J r p
J rp m rv m r
2
J
v
r
m
SI：kg·m2/s
•
,或 J·s
o
微观体系的角动量是明显量子化的，其取值只能是 普朗克常数
h / 2 1 .0 5 1 0
34
i
m i ri m i rc M rc M r 0 ｃ
角动量的柯尼希定理的推导
第四项
所以
i
ric m i v ic
J rc M v c
i
ric m i v ic
2. 质心系的角动量的定理
据质点组的角动量定理
i
i
ric F i
rc M
i
2. 质心系的角动量的定理
d rc M v c ric m i v ic dt dt i d rc dvc d M v c rc M ric m i v ic dt dt dt i dvc d v c M v c rc M ric m i v ic dt dt i dvc d rc M ric m i v ic dt dt i dJ
质点的角动量定理（积分形式）
t
t
0
Ld t
t
t
0
dJ J J 0
意义：力矩L作用于质点m在△t时间内的积累效果， 导致质点的角动量发生改变。
质点角动量定理的几点说明
① 该定理仅适用于惯性系，在非惯性系下，要考虑惯
性力的力矩；
② J、L必须相对于同一参考点；
③ 参考点为固定点；
2
F引 F ， 就不变了， r
引力不能再使 r 减小 。 但在z 轴方向却无此限制， 可以在引力作用下不断收缩。
五．质心系的角动量定理
1. 角动量的柯尼希定理
在惯性系中，质点系相对确定参照点O的角动量等于 系统质心相对O的角动量与系统内各质点相对质心的 角动量之和
J rc M v c ric m i v ic
i i
rc m i v c ric m i v c
i
rc m i v ic ric m i v ic
i
角动量的柯尼希定理的推导
rc m i v c rc
第一项
i
i
mi
v c rc M v c
y
L F
r sin F d
力矩的几点说明
L F r sin F d
① 力矩L为矢量，数值：
方向：右手螺旋法则 ② 力矩与参照点有关，不指明参照点，力矩无意义 ③ L在直角坐标系下的描述
L ( yF z zF y ) i ( zF x x F z ) j ( x F y yF x ) k
i
角动量的柯尼希定理的推导
在惯性系，对于一固定参照点O，各质点的位矢ri，速 度为vi，质点组的角动量为
J
i
ri m i v i
因为 则有
ri rc ric , v i v c v ic
J
i
rc ric m i v c v ic
④ J 并非与L有关， L导致J 的变化；
⑤ 角动量守恒
• • •
若L＝0，则有 J＝J0（恒矢量），质点对o的角动量守恒；
L＝0的原因：F＝0 ；F与r的方向平行
若L≠0，但Lz＝0，则有 Jz＝Jz0，质点对z轴的角动量为恒量
例：F = 0，质点m作匀速直线运动，必有
J r mv A
角动量定义为
J r mv r P
角动量的几点说明
J mv r s in r m v s in
① 角动量为矢量，数值：
方向：右手螺旋法则
0
② 角动量与参照点有关，选不同的参考点，角动量不
相同；
J J xi J j Jzk
三个坐标分量
L x ( yF z zF y ) L y ( zF x xF z ) Lz ( xF y yF x )
④ Lx，Ly，Lz的意义
•
Lx=yFz－zFy ；与x无关，作用力F对于x轴的力矩
•
•
Ly=zFx－xFz ；与y无关，作用力F对于y轴的力矩
Lz=xFy－yFx ；与z无关，作用力F对于z轴的力矩
• J z ( xp y yp x )
；与z无关，质点对于z轴的角动量
⑥ 单位与量纲
• •
单位：千克·米2/ 秒 （kg·m2/s） 量纲：[L2MT-1]
例：质点m对于O’点的角动量 质点m对于O点的角动量
J ' r ' m v m L sin
2
J rm v m L sin
经典力学（上）
电子课件
易凡 wdyifan@
第三章 牛顿力学的运动定理 及守恒律
3.5
一．力矩
力矩与角动量
定义：
•
设作用力F作用于空间P点，选取空间一确定点o为
参照点，P点位矢为r，则力F对于o点力矩定义为
L r F
z
L
F
θ
o
r
d
m
x
L r F
L ri F i
L dJ dt
而
i
i
rc ric F i
i
rc F i
i
ric F i ric F i rc F ric F i
rc
i
Fi dvc dt
ri r j
rij
f ij
i
ri f ij
j(i)
i j
ri r j
f ij 0
而
i
ri F i L i L
i
（质点系的总力矩）
上式右边＝
d d t ri m i v i d t i d dJ J i dt dt i d
比较两边可得
i
ric F i
d dt
i
ric m i v ic
2. 质心系的角动量的定理
令
则有
Lc
i
ric F i J c ,
i
ric m i v ic
J s
的整数或半奇数倍。
•
但因宏观物体的角动量比h大得多，所以宏观物体的
角动量可以看作是连续变化的。
三．质点的角动量定理
设空间一质点 m，受到作用力 F，速度为 v 。相对于 确定参照点o，位矢 r ；力矩为L，角动量 J。 考虑
dJ dt d dt (r m v ) dv dr dt mv r dm v dt dv
i
ri m i v i
可得
L
dJ dt
或
Ldt dJ
质点系的角动量定理（微分形式），与质点
的角动量定理形式一样
质点系角动量定理的说明
① 该定理仅适用于惯性系，在非惯性系下，要考虑 惯性力的力矩； ② 内力的力矩对系统的总角动量无贡献，但它可以 改变系统内各质点的角动量； ③ 角动量定理的积分形式为
t
t
0
Ld t J J 0
质点系角动量定理的说明
④ 关于角动量守恒
•
若 L＝0，则有 J＝J0（恒矢量），质点对o的角动 量守恒；
•
若 L≠0，但 Lz＝0，则有 Jz＝Jz0，质点系对z轴的 角动量守恒
盘 状 星 系
星云具有盘形结构：
pc — 秒差距，1pc = 3.0861016m 旋 转 的 星 云
m i v ic 0
第二项
i
rc m i v ic rc
i
第三项
i
ric m i v c
i
m i ric v c 0 c
m i ric c
i
i i
m i ( ri rc )
r dr r v
的矢径在相等的时间内扫过相等的面积
2ds c dr ds r 2 c' dt dt
面积速度为常量
四．质点系的角动量定理
•
定义： 在惯性系中，质点系内各个质点相对于某确定参照 点的角动量的矢量和称为质点系对该点的角动量
J J r m ivi
v mv r m
dt dt dv r m r F L ( v v 0) dt