§5-1 角动量与力矩 第五章 角动量变化定理与角动量守恒 Z O
第五章 角动量 角动量守恒(2011)
.中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 胡世祥，1940年生 黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 年生， 胡世祥，1940年生，黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 控制工程系。 控制工程系。 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师， 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师，西昌卫星发射 中心副主任、主任。 中心副主任、主任。 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 曾多次担任卫星发射现场的 总指挥。 总指挥。 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥， 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥，主 神舟”号飞船发射工作。 管“神舟”号飞船发射工作。
（2） 对 O 点的角动量 ）
r r r r = r′ + R r r r r r r r r r r L = r × p =(R+r′)× p= R× p = R×m t g O r r L = Rm gt R ⊥g O
m r m v
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
老校长杨士勤曾说： 老校长杨士勤曾说： 神舟号”飞船研制过程中， 在“神舟号”飞船研制过程中，有5项关键技术 是由哈工大教师 是由哈工大教师 做出的成果解决的。 做出的成果解决的。 超大型空间环境模拟器； 超大型空间环境模拟器； 仿真试验OUT型闭式转台 型闭式转台； 仿真试验OUT型闭式转台； 飞船数据管理容错计算机； 飞船数据管理容错计算机； 返回舱焊接变形控制技术； 返回舱焊接变形控制技术； 飞船故障诊断专家系统。 飞船故障诊断专家系统。 国产舱外航天服 失重训练模拟水槽 出舱用反光镜体 舱外航天服试验舱
第5章-角动量角动量守恒定律
② 在点2处
2
力矩 M 2
力矩定义式 M r v
P
{ 方向：垂直图平面向里， 大小； M 2 Gm0m / R
R
m
900
m0
1
角动量 L2
同上理可得 m 的速度v2 Gm0 / R
{
方向：垂直图平面向外，
L2
大小； L2 m Gm0 R
例4、地球在远日点时，它离太阳的距离为r1 1.52 1011 m，
子从静止开始以速度 v 相对绳子向上爬，求重物上升
的速度。
(复习题一、三. 19)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为 v1、v 2 。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
物体运动仅受有心力作用时， 力对力心 O点的力矩始终为零。
m 有心
在有心力作用下，运动物体
r 力F
对力心 O 的角动量守恒。
力心o
L1 L2
r1
mv1
r2
mv2
行星绕太阳运动：
引力指向太阳，行星在引
力动的(，力有而矩心且为力零)r作，//F用M，下对r绕 力太F心阳O0运,
，且有
d
2 2
d12
d
2 3
，试求：(1)小球所受重
{ 力相对 A,
解 (1) MA
B力, 矩C 的M力矩r；
(2)小球相对 F
方向：垂直图平面向里，
大小；
角动量与角动量定理
1
L
dt 2 dt 2 dt 2
2m
2m
太阳对行星的引力总是指向太阳，因而行星对太阳
中心的角动量守恒，L为常量，所以得证。
L rmv mr2
方向 垂直于圆面
② 质点作匀速直线运动时，角 动量守恒。
L rmv sin mvd
方向始终垂直纸面向外
r L
r pr r
O
Or
r
d
pr
③ 角动量与参考点的位置有关。
r L
因而在说明一个质点的角动量
pr
时，必须指明是相对于哪一个 参考点而言的。
O
rr
θ m
锥摆 O
l
m
O
v
且在高速低速范围均适用。
例题1：
证明行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳
的矢径在相等的时间内扫过的面积相等。
r
L
解：行星位矢扫过的面积dS
dS
1
r
r dr
sin
1
rr drr
dS r
2
2
单位时间行星位矢扫过的面积
•
drr
dS 1 rr drr 1 rr drr 1 rr vr 1
vr
y
xp z
L z
xp y
yp x
L , L , L 分别称为角动量在x、y、z轴上的分 x yz
量式，或称为对x、y、z轴的角动量。
二、力矩
1、定义
力
r F
对参考点O
rr
r F
r
M
r
rr
F
θ
Or
m
大小：
M
rF
sin
角动量定理及角动量守恒定律
精品文档，知识共享！！！角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示，定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为： θsin Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。
二、力对转轴的力矩：力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M；2）刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩，用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角。
3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F才对刚体的转动状态有影响。
对于定轴转动，力矩M的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。
三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。
第五章角动量定理
p是动量， 是动量与径向夹角。
角动量定理
Mz
dJ z dt
（右手法则为正）
直角坐标系中， Jz可表示为
p py cos px sin
Mz=0,角动量守恒
J z p py cos px sin x py y px
积分形式
t2
M zdt
t2 Jzdt J z2 J z1
§5.4 有心力 掌握有心力场中运动的基本方程；利用有 效势能曲线，定性讨论运动轨道；利用基本方程，解出行 星的轨道方程。
§5.1 质点的角动量定理
一. 力矩
以二维 平面纯转动为例。
z
f
外力 f 作用于质点m，考察
其作功与角位移d的关系。
m
在极坐标系中对纯转动作功
O
x
dA f dr ( f eˆ f eˆ ) (d eˆ d eˆ )
哥白尼(N. Copernicus)日心说
Portrait, 1580, Toruń Old Town City Hall
第谷(Tycho Brahe)的观测数据，开普勒(J. Kepler)的分 析拟合。
Internet Keplaw
开普勒行星运动三定律 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆两焦点之 一。轨道定律
行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。 面积定律
各行星公转周期的平方正比于其轨道半长轴的立方。 周期定律
二. 万有引力定律 牛顿提出平方反比引力解释开普勒定律。
设行星绕日轨道近似为圆周，由面积定律，必是匀速圆
周运动，加速度 a v2 r
注意到 v 2r ，并利用开普勒第三定律 T r3/ 2
f f
f
O Larm
角动量变化定理
理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒§5-1. 角动量与力矩§5-2. 质点的角动量变化定理角动量守恒§5-3.质点组的角动量变化定理角动量守恒§5-4.有心运动12理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒一.质点的角动量(动量矩)v m r p r L r r r r r ×≡×≡又称动量矩Oαdpr L1.定义：在惯性参考系中选一固定的参考点O ，运动质点对O 点的位矢r ,动量为p ,则质点对O 点的角动量为:mvdsin rmv sin rp L ===ααα为r 和p 两矢量间的夹角角动量L 的大小：§5-1. 角动量与力矩垂直于矢径r 和动量p 所组成的平面，角动量L 的方向：指向由右手螺旋法则确定.3理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒mαO L = rmvL r v例：•角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动也依赖于所选定的参考点，参考点不同，质点的动量矩不同。
注意:•角动量的单位千克·米2/秒（kg ·m 2/s)水平面上质点做匀速圆周运动4理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒例如：vr r r m r L om O ×=vlm L O =方向变化v r r r m r L m o O ×=′′αsin v lm L O =′方向竖直向上不变O l αv r O ′锥摆m5理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒2.角动量的分量表示v m r p r L rr r r r ×≡×≡在直角坐标系中：yz y z x m z ym zp yp L v v −=−=zx x y m zm zp L v v x xp z −=−=xy x y z m y xm yp xp L v v −=−=()z y x z y x p p p zy x k j i L ,L ,L r rr =kL j L i L L z y x rrrr ++==L r6理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒二.力矩即F r M r r r ×=力矩的大小：Fr sin rF M 0==ααsin r r 0=——称力臂。
第五章 角动量角动量守恒定理解读
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
角动量 冲量矩 角动量守恒定律
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
41..4.质1 点质的点角的动角量动量定理和角动量z守L恒定v律
度
v
质量为m 的质点以速
在空间运动，某时对
O 的位矢为 r ，质点对O
rm
xo
y
的角动量
L
r
p
r
mv
L
1 2
mv 12
r1 r2
2
1
4.4.2 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的
角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
L
Ji
z
O ri
v i
mi
2 刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受dd合Lti力矩dM(diJ(t包 )括Midedxt、(mMiiirni
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于在
这段时间内转动物体的角动量的增量
例 在通过定滑轮的一条轻绳的两 端，分别连有质量为 m1和 m2的物体， 设滑轮是质量为M 、半径为R的质 量均匀分布的圆盘。设绳的质量可 不计，求两物体的加速度。 解： 支撑力与滑轮的重力皆通原 点。只有 m1和m2 的重力才有对原 点的力矩。
R
M
m 1
m 2
作用于该系统的力矩为
M Rm1g Rm2g m1 m2 Rg
整个系统的角动量为
L
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参考点O，合外力矩 M M i ri Fi i i M - M ri Fi ri Fi i i (ri ri) Fi R Fi
──质点组的角动量守恒定律
§5-1 角动量与力矩
§5-1 角动量与力矩
第 五 章 角动量变化定理与角动量守恒
§5 1 角动量与力矩 §5-1 §5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒 §5-3 有心运动
1
一.质点的角动量(动量矩)
1.定义：在惯性参考系中选一固 定的参考点O，运动质点对O点的 位矢 r, 动量为 p, 则质点m对O点的 角动量为: L r p r mv
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
一.质点组的角动量变化定理
1.一对内力的力矩之和为零 如图示,一对内力 fij 和f ji ( fij ) M i M j ri fij rj f ji ( ri rj ) fij
17 18
由于质点所受的力始终指向或背向力心，当质点在初始时 刻的速度v0给定后，质点以后就只能在初速度v0和初始位 矢r所构成的平面内运动，所以，有心力场中质点的运动 必定在一个平面上，是二维的.
3
§5-3 有心运动
§5-3 有心运动
例 试利用角动量守恒定律,证明关于行星运动的开普勒第二 定律：任一行星和太阳之间的联线，在相等的时间内扫过 的面积相等，即掠面速度不变. 证明： 行星对太阳O的角动量 的大小为:
因为一对内力的力矩之和为零, M内 M i内 0 ∴
i
i
i
t2
t1
L2 Mdt dL L2 L1 L
L1
──质点组的角动量变化定理(积分形式) 质点组角动量的增量等于作用于质点组的合外力矩的角冲量.
11 12
2
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
dL 于是有： M 外 dt
( M 外 和 L 都对同一点)
──质点组的角动量变化定理(微分形式) 质点组所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率.
式中： M 外 M i外 ri Fi
i
M内 M i内 ri fij i i j i
大小：rmv sin
Z
L
O X
r
Y p mv
m
方向：右手螺旋法则
2
§5-1 角动量与力矩 例:圆运动 匀速圆运动 直线运动 匀速直线运动
§5-1 角动量与力矩 2.角动量的分量表示 L r p r mv
L rmv ⊙ L 常量 L mvd
6
方向：右手螺旋法则
--- F 对O点 的力臂
5
1
§5-1 角动量与力矩
§5-1 角动量与力矩 注意:力矩和角动量都是对于惯性系中同一点.
三.质点的角动量变化定理
由
d dp M r F 和 F ( mv ) dt dt dp d dr r p p M r dt d t dt dr dr v p v mv 0 dt dt d dL dL Mdt M (r p) dt dt —角动量变化定理 (微分形式)
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
二.质点组的角动量守恒定律
1.质点组的角动量守恒条件 由质点系的角动量定理, 若对于某点 某点而言,质点系所受的 外力矩之和为零, 则质点系对该点 该点的角动量（动量矩）不 随时间改变, 即：
若 M外 0 ,则 L C
2.合外力为零时合外力矩与参考点无关 参考点O，合外力矩： M M i ri Fi
若用 r表示从O到速度矢 量 v 的垂直距离，则有 r sin r
dS
1 r sin v dt 2 dS dt
其中dS /dt 称为掠面速度.
L r m v sin 2m
L = r p r m v sin
其中 是径矢 r与行星的动量 p或速度 v 之间的夹角.
R Fi
i
i
当 Fi 0
i
i
m2 r1 r1 r2 r2 r3 O m3 R r O 3 F3
M M
m1
F1 F2
13
合外力为零时合外力矩与参考点无关.
14
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
§5-3 有心运动
A
一对内力的角冲量之和为零.
9 10
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
2.质点组的角动量变化定理 质点组角动量： L Li (对同一点) i dLi dL d （ L） i dt dt i dt i （M i外 M i内） M 外 M内
例:如图, 理想轻滑轮, 轻绳, m1 = m2, 从静止开始, 问哪个猴先到? 解: m1, m2系统合外力矩为零， 对O角动量守恒. 设右边绳对地速度为V, 方向向上.
R1m1O NhomakorabeaT1
T2
§5-3 有心运动
一.质点在有心力场中的运动方程
1. 有心力
2 m1 m2
m2 m1g m2g
有心力:方向始终指向或背向一个固定中心的力 有心力场:有心力存在的空间
L 常量
⊙
v m O r
r
在直角坐标系中： L Lx i Ly j Lz k
Lx yp z zp y ymvz zmv y
v
Ly zpx xpz zmvx xmvz
p 不变 L 不变
L 不变, p 不一定不变
0 M i dt M j dt 0
mω0 r02 m r 2 v r 0 r02 r
由动能定理，有
0
r0
r
Fi
mi
r﹣ i rj fji
v0 F0
ri
O
fij
mj
Fj
rj
2 1 2 1 2 1 2 2r mv mv0 m0 r0 02 1 2 r 2 2 3 r0 2 2 当r 时，拉力的功为: A m0 r0 2 2
大小： r F sin F d
M
在直角坐标系中：M M x i M y j M z k
M x yFz zFy
O
d r
P
M y zFx xFz M z xFy yFx i M Mx,M y,Mz x Fx j y Fy k z Fz
(中心对称)有心力：有心力的大小仅与参考点P到力心O的
, 2 为m1,m2对绳的速度，有 1
V )R 0 m1 (1 V ) R m2 (2 ) 2 解得 V (1 2 ) 2 1 2 (1 2
15
距离r 有关，即 F = F ( r ) er 可以证明，这类有心力必定是保守力.
t2
t1
L2 Mdt dL L2 L1 L —角动量变化定理(积分形式)
L1
四.质点的角动量守恒定律
当 M 0 时，L 常量
若质点所受的合力矩为零, 则质点的角动量不随时间改变.
M r F
7
质点所受的合外力矩的冲量矩等于它的角动量增量-质点角动量变化定理
16
§5-3 有心运动
§5-3 有心运动
2.运动方程 在有心力场中运动的质量为m的质点，其运动方程为 mr F ( r ) er
3. 二维平面运动与运动方程
二.角动量守恒和机械能守恒
有心力场中运动的质点的特点: 角动量守恒： 由于有心力对力心O的力矩为零，所以在有心力场中运 动的质点对力心O的角动量守恒. 机械能守恒： 由于有心力是保守力，所以在有心力场中运动的质点的 机械能也守恒.
O
d
m
Lz xp y ypx xmv y ymvx
3
i L Lx , Ly , Lz x px
j y py
k z pz
4
§5-1 角动量与力矩
§5-1 角动量与力矩 2.力矩的分量表示 M rF F
二.力矩
1.定义： M rF
M 0
F 0 F 过 O点
8
§5-1 角动量与力矩 例:小球质量为m.先使小球以角速度0绕管心作半径为r0的圆 周运动，然后向下拉绳子. 求:将小球拉至离中心r0/2处时，拉力 F0所作的功. 解:小球在有心力作用下运动: L 常量 L mvr m r 2
O
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
19
由于万有引力是有心力，它对力心O的力矩总是等于零， 所以角动量守恒 L 常量
即
dS L 常量 dt 2 m
——开普勒第二定律
20
4